Les paires particulières d angles

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1 Les paires particulières d angles 1

2 Table des matières 1 Introduction 3 2 Les angles adjacents Illustration Définition Exemples (Reconnaitre des angles adjacents) Propriété Les angles complémentaires Définition Les angles supplémentaires Définition Les angles opposés par le sommet Illustration Définition Propriété Les angles alternes-internes Illustration Définition Propriétés Propriété Propriété Les angles correspondants Illustration Définition Propriétés Propriété Propriété Carte mentale 15 9 Application : Somme des angles d un triangle Propriété fondamentale de géométrie du triangle Preuve en image Exercices 17 2

3 1 Introduction Ce chapitre introduit six différentes familles de paires d angles. Il est intéressant de les connaître et de les reconnaître pour utiliser leurs propriétés. Nous allons voir les paires d angles suivantes : Les angles adjacents. Les angles complémentaires. Les angles supplémentaires. Les angles opposés par le sommet. Les angles alternes-internes. Les angles correspondants. 3

4 2 Les angles adjacents 2.1 Illustration 2.2 Définition Figure 1: Une paire d angles adjacents Une paire d angles représente des angles adjacents lorsque ces deux angles satisfont les 3 conditions suivantes : Ils ont un même sommet(sommet commun). Ils ont un même côté (côté commun). Ils sont situés de part et d autre de ce côté commun(pas de chevauchement). 2.3 Exemples (Reconnaitre des angles adjacents) Exemple 1 Dans la figure ci-dessous les angles ĈAB et BAD sont-ils adjacents? 4

5 Figure 2 la réponse est oui car, la condition n 1 est vraie : A est un sommet commun. la condition n 2 est vraie : [AB) est un côté commun. la condition n 3 est vraie : les angles sont de part et d autre de la demidroite[ab). Exemple 2 Dans la figure ci-dessous les angles BAC et ĈDE sont-ils adjacents? Figure 3 Non, car la condition n 1 est fausse : il y a deux sommets distincts A et D (donc pas de sommet commun). Exemple 3 Dans la figure ci-dessous les angles BAC et DAE sont-ils adjacents? 5

6 Figure 4 Non, car la condition n 2 est fausse : il n y a pas de côté commun. Exemple 4 Dans la figure ci-dessous les angles BAC et BAD sont-ils adjacents? Figure 5 Non, car la condition n 3 est fausse : les angles se chevauchent. Remarque méthodologique : Dès qu on trouve une condition est fausse cela suffit à conclure que les angles ne sont pas adjacents, il n est pas nécessaire de vérifier les autres.! 2.4 Propriété Deux angles adjacents forment un plus grand angle dans la mesure est égale à la somme des mesures de ces angles adjacents Exemple Dans la figure ci-dessous les angles BAC et ĈAD sont adjacents. 6

7 Figure 6 Ils forment un plus grand angle BAD et : BAD= BAC+ĈAD BAD= BAD=

8 3 Les angles complémentaires 3.1 Définition Une paire d angles représente des angles complémentaires lorsque la somme de leur mesure est égale à 90. Exemples Des angles complémentaires peuvent être adjacents ou pas Figure 7: Exemple d angles complémentaires non adjacents Figure 8: Exemple d angles complémentaires adjacents 8

9 4 Les angles supplémentaires 4.1 Définition Une paire d angles représente des angles supplémentaires lorsque la somme de leur mesure est égale à 180. Exemples Des angles supplémentaires peuvent être adjacents ou pas Figure 9: Exemple d angles supplémentaires non adjacents Figure 10: Exemple d angles supplémentaires car les points B,A et D sont alignés adjacents 9

10 5 Les angles opposés par le sommet 5.1 Illustration 5.2 Définition Figure 11 Deux droites sécantes en un point O forment quatre angles de même sommet. Les angles formés qui ne sont pas adjacents sont dits opposés par le sommet. 5.3 Propriété Deux angles opposés par le sommet sont de même mesure. (car ils sont symétriques par rapport à leur sommet commun). Figure 12: Exemple d angles opposés par le sommet 10

11 6 Les angles alternes-internes 6.1 Illustration On considère deux droites coupées par une même troisième droite sécante. Il se forme entre les deux premières droites deux paires d angles adjacents et supplémentaires 6.2 Définition Figure 13: configuration Dans la configuration décrite ci-dessus, les paires d angles non adjacents situés de part et d autre de la sécante sont des angles alternes-internes. Remarques : Les angles alternes-internes sont de la même couleur. 11

12 6.3 Propriétés Figure 14: configuration Propriété 1 Lorsque deux droites sont parallèles. Alors ces deux droites forment avec une même sécante des angles alternes-internes de même mesure Propriété 2 Lorsque deux droites forment avec une même sécante des angles alternesinternes de même mesure Alors ces deux droites sont parallèles. Remarque : La propriété 2 est la réciproque de la propriété 1. 12

13 7 Les angles correspondants 7.1 Illustration On considère deux droites coupées par une même troisième droite sécante. Il se forme entre les deux premières droites deux paires d angles adjacents et supplémentaires 7.2 Définition Figure 15: configuration Dans la configuration décrite ci-dessus, les paires d angles situés d un même côté de la sécante et non simultanément situés à l intérieur (ou à l extérieur) des deux premières droites sont des angles correspondants. Remarques : Les angles correspondants sont de la même couleur. 13

14 7.3 Propriétés Figure 16: configuration Propriété 1 Lorsque deux droites sont parallèles. Alors ces deux droites forment avec une même sécante des angles correspondants de même mesure. preuve de la propriété Propriété 2 Lorsque deux droites forment avec une même sécante des angles correspondants de même mesure Alors ces deux droites sont parallèles. Remarque : La propriété 2 est la réciproque de la propriété 1. 14

15 8 Carte mentale Voir en plein ecran 15

16 9 Application : Somme des angles d un triangle Figure 17: Un triangle avec ses trois angles codés en couleur 9.1 Propriété fondamentale de géométrie du triangle Pour tout triangle, la somme de ses 3 angles est toujours égale à Preuve en image On va considérer la droite parallèle à (BC) passant par A.On la nomme par exemple (DE). Figure 18: introduction d une parallèle Les angles rouges DAB et ÂBC sont alternes-internes de même mesure car (DE)//(BC). Les angles bleus ÊAC et ÂCB sont alternes-internes de même mesure car (DE)//(BC). L angle DAE est plat donc DAB+ BAC+ĈAE=180. Conclusion : la somme de l angle rouge( DAB), l angle vert( BAC) et l angle bleu(ĉae) est égalme à

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