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1 Angles 1 1. Vocabulaire. Soit l'angle de sommet O et de côtés [Ox et [Oy On le note: xoy Mesure de l'angle: mes xoy = 38 ou par abus de language : xoy = 38 Remarque En notant l'angle xoy, on note en fait deux angles: l'angle saillant dont la mesure est inférieure à 180 et l'angle rentrant dont la mesure est supérieure à 180. Dans la suite, on ne considère que l'angle saillant, que l'on appelle simplement angle.. Angles correspondants. Angles supplémentaires. Angles opposés par le sommet. Exemples xoy et yoz sont des angles complémentaires xoy et yoz sont des angles supplémentaires xoy + yoz = = 90 xoy + yoz = = 180 xoy et zot sont des angles opposés par le sommet Définitions xoy = zot = 30 Deux angles sont complémentaires et si la somme de leurs mesures vaut 90. Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures vaut 180. Deux angles sont opposés par le sommet si les côtés de l'un sont le prolongement des côtés de l'autre.

2 Angles Propriété des angles opposés par le sommet (admise sans démonstration). Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure. 3. Angles alternes-internes. Angles complémentaires. Définitions Soient: deux droites xx ' et yy ' zz ' une sécante aux deux droites O xx zz O' = yy' zz' { } = ' ' et { } alors, xoz ' et yo ' z ' sont correspondants xoz ' et y ' O ' z sont alternes-internes Propriétés (admises sans démonstration) Si xx'// yy ' alors les angles correspondants et les angles altenes-internes ont la même mesure. Si deux angles alternes-internes ont la même mesure, alors xx'// yy '. Si deux angles correspondants ont la même mesure, alors xx'// yy '.

3 Angles 3 4. Somme des angles d'un triangle. Somme des angles d'un quadrilatère. Somme des angles d'un triangle BAC + CBA + ACB = = 180 La somme des angles d'un triangle vaut 180. Démonstration Soit DE la parallèle à BC passant par A. CBA et DAB sont alternes-internes et DE // BC, donc: CBA = DAB ACB et CAE sont alternes-internes et DE // BC, donc: ACB = CAE DAB, BAC et CAE sont supplémentaires, donc : DAB + BAC + CAE = 180 Finalement : CBA + BAC + ACB = DAB + BAC + CAE = 180 Somme des angles d'un quadrilatère non croisé BAC + CBA + DCB + ADC = = 360 La somme des angles d'un quadrilatère non croisé vaut 360.

4 Angles 4 Démonstration Soit ABCD un quadrilatère non croisé (Viereck) quelconque. On peut partager ABCD en deux triangles ABC et ACD. BAD + CBA + DCB + ADC = CAD BAC CBA ACB DCA ADC BAD DCB = BAC CBA ACB CAD DCA ADC = Bissectrice d'un angle. Définition La bissectrice d'un angle est la droite qui partage l'angle en deux angles de même mesure. ( Oy) = biss xoz 6. Triangles isocèles. Triangles équilatéraux. Définition Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur.

5 Angles 5 Propriétés (admises sans démonstration) Si un triangle a deux angles de même mesure, alors il est isocèle. Si un triangle est isocèle, alors il a deux angles de même mesure. Cas particulier (triangle équilatéral) Définition Un triangle équilatéral est un triangle qui a trois côtés de même longueur. Propriétés (admises sans démonstration) Si un triangle a trois côtés de même mesure, alors il a trois angles de 60. Si un triangle a deux angles de 60, alors il est équilatéral. 7. Triangles rectangles. Définition Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.

6 Angles 6 Propriétés Si un triangle est inscrit dans un demi-cercle, alors il est rectangle. Si un triangle est rectangle, alors il est inscrit dans un demi-cercle. Démonstration Soit ABC un triangle inscrit dans le demi-cercle de diamètre [ BC ]. Montrons que ABC est rectangle en A. BAC = BAO + OAC = 1 ( BAO + OAC) 1 = OBA + BAO + OAC + ACO CBA BAC ACB = 1 ( CBA BAC ACB) + + = = 90 Réciproquement, soit ABC un triangle rectangle en A. Montrons que ABC est inscrit dans le demi-cercle de diamètre [ BC ]. Soient O le milieu de [ BC ] et A le symétrique de A par rapport à O. mil [ BC ] = mil [ AA' ] BAC = 90 ABA' C est un parallélogramme avec un angle droit ABA' C est un rectangle OA = OB = OC A, B et C sont sur le cercle de centre O et de diamètre [ BC ]

7 Angles 7 Exercices pour s entraîner 1) Sur la figure exacte ci-dessous AE // BD ; BED = 8 ; CBD = 84 et DCB = 35. Déterminez les angles du triangle ABE. ) Sur la figure (exacte) ci-contre, QPR = 40 ; PQ= PR ; RQ= RS et PQ // RS. Déterminez les angles du triangle RSI. 3) Sur la figure exacte ci-dessous, ABDF est un carré, ABE et BCD sont des triangles équilatéraux. Déterminez les angles du triangle DEC.

8 Angles 8 4) Dans un triangle isocèle, la différence entre deux des angles vaut 96. Alors un des angles de ce triangle vaut A : 4 B : 3 C : 48 D : 14 E : Il n existe aucun triangle ayant la propriété énoncée. 5) Si les angles extérieurs α ', β ' et γ ' sont proportionnels à 4, 5 et 6, alors les angles intérieurs correspondants α, β et γ sont proportionnels à A : 3, et 1 B : 4, et 1 C : 4,3 et 1 D : 7,5 et 3 E : 0, 15 et 8 6) Que vaut l angle intérieur d un polygone régulier à douze côtés? A : 168 B : 150 C : 135 D : E : 10 7) La somme des amplitudes des angles intérieurs d un polygone convexe est 340. Quel est le nombre de côtés de ce polygone? 8) Sur un demi-cercle de diamètre [ AB ] et de centre O, soit C tel que AOC = 9 et D tel que BOD = 1. Quel est, en degrés, la mesure principale ( 180 ) de l angle des droites AC et BD.

9 Angles 9 9) Dans la figure (exacte) ci-dessous,le triangle ABC est isocèle de sommet principal A et le triangle DEF, qui lui est inscrit est équilatéral. Si laquelle des relations suivantes est toujours vraie? FDA = δ ; DEB = ε et EFC = φ, A : ε = δ + φ B : ε = δ φ C : δ = ε + φ D : δ = ε φ E : δ + ε + φ = 10 10) Dans la figue (imprécise), P' est le symétrique de P par rapport à QR et Q' est le symétrique de Q par rapport à PR. Si l'angle PRQ vaut 50, quelle est la mesure de l'angle QSP? Q' P S R Q P' 11) Dans le cube ABCDEFGH ci-dessous, quelle est la mesure de l'angle ABG? A : 45 B : 60 C : 90 D : 10 E : 135 H G E F D C A B

10 Angles 10 Réponses 1) BAE = CBD = 84 AEB = = 33 EBA = = 63 ) SRI = QPR = RQP = PRQ = = RQS = QSR = ISR = = 35 RIS = = 105

11 Angles 11 3) BAF = DBA = FDB = AFD = 90 BAE = EBA = AEB = 60 ; CBD = DCB = BDC = 60 DBE = = BE = BD BED = EDB = = 75 EDC = = 135 CBE = = BE = BC BEC = ECB = = 45 CED = = 30 DCE = = 15

12 Angles 1 4) 180 ACB 180 γ BAC = CBA = ; α = β = 1 1 ) cas de figure : γ α = 96 γ = α + 96 ( ) 180 ( α + 96 ) () dans (1) : α = α = 8 γ = = 14 ) cas de figure : α γ = 96 γ = α 96 ( 3) 180 ( α 96 ) (3) dans (1) : α = α = 9 γ = 9 96 = 4 impossible, car γ > 0. Par conséquent, un des angles mesure 14. () 5) α' + β' + γ ' = ( 180 α) + ( 180 β) + ( 180 γ) = 540 α + β + γ = k+ 5k+ 6k = 360 k = 4 α ' = 4 4 = 96 ; β' = 5 4 = 10 ; γ ' = 6 4 = 144 α = 180 α' = = 84 ; β = 180 β' = = 60 ; γ = 180 γ ' = = 36 α 84 7 γ 60 5 = = ; = = α, β et γ sont proportionnels à 7,5 et 3. β 60 5 β 36 3

13 Angles ) Mesure d un angle d un polygone régulier à n côtés : n = 180 n 360 Si n = 1 : 180 = = Triangle équilatéral : n = 3 : 180 = = Carré : n = 4 : 180 = = ) D après (6) : 360 n 180 = n 360 = 340 n = 0 n 8) Soit E le point d intersection de AC et BD, alors OAC = ACO = = = 85,5 ; DBO = ODB = = = 79,5 DOC = = CED = 360 OCE EDO DOC = = 15

14 Angles 14 9) ABC est un triangle isocèle de sommet principal A, donc : 180 α α CBA = ACB = β = = 90 La somme des angles du triangle BED vaut 180, donc : α α BDE = ε = 90 + ε () 1 Les angles BDE, EDF et FDA sont supplémentaires, donc: BDE = 180 EDF FDA = δ = 10 δ ( ) α α () 1 et ( ): 90 + ε = 10 δ δ ε = 30 ( 3) La somme des angles du triangle ECF vaut 180, donc : α α CEF = φ = 90 + φ ( 4) Les angles CEF, FED et DEB sont supplémentaires, donc: CEF = 180 FED DEB = ε = 10 ε ( 5 ) α α ( 4) et ( 5 ) : 90 + φ = 10 ε ε φ = 30 ( 6) D après (3) et (6) : δ ε = ε φ δ + φ = ε ε = δ + φ

15 Angles 15 10) QP P est isocèle de sommet principal Q, donc : QP ' I = QPI PQ Q est isocèle de sommet principal P, donc : PQ ' J = JQP La somme des angles du triangle PQK vaut 180, donc : QPK + KQP = IP ' Q + PQ ' J = = 50 La somme des angles du quadrilatère SP KQ vaut 360, donc: ( ) QSP = IP ' Q PQ ' J = =80

16 Angles 16 11) G H G E F a A D B C A 90 C a B

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