Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel. 1. Vecteurs

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel. 1. Vecteurs"

Transcription

1 Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel 1. Vecteurs

2 Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel 1. Vecteurs Définition. On appelle un vecteur réel en dimension n une colonne x 1 x 2. x n de n nombres réels. On note R n l ensemble de ces vecteurs.

3 Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel 1. Vecteurs Définition. On appelle un vecteur réel en dimension n une colonne x 1 x 2. x n de n nombres réels. On note R n l ensemble de ces vecteurs. On utilise x, u, v, w etc. pour désigner ces vecteurs.

4 Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel 1. Vecteurs Définition. On appelle un vecteur réel en dimension n une colonne x 1 x 2. x n de n nombres réels. On note R n l ensemble de ces vecteurs. On utilise x, u, v, w etc. pour désigner ces vecteurs. Voici quelques vecteurs spéciaux avec leurs noms réservés

5 Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel 1. Vecteurs Définition. On appelle un vecteur réel en dimension n une colonne x 1 x 2. x n de n nombres réels. On note R n l ensemble de ces vecteurs. On utilise x, u, v, w etc. pour désigner ces vecteurs. Voici quelques vecteurs spéciaux avec leurs noms réservés

6 Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel 1. Vecteurs Définition. On appelle un vecteur réel en dimension n une colonne x 1 x 2. x n de n nombres réels. On note R n l ensemble de ces vecteurs. On utilise x, u, v, w etc. pour désigner ces vecteurs. Voici quelques vecteurs spéciaux avec leurs noms réservés,.

7 Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel 1. Vecteurs Définition. On appelle un vecteur réel en dimension n une colonne x 1 x 2. x n de n nombres réels. On note R n l ensemble de ces vecteurs. On utilise x, u, v, w etc. pour désigner ces vecteurs. Voici quelques vecteurs spéciaux avec leurs noms réservés., e 1 1.,

8 Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel 1. Vecteurs Définition. On appelle un vecteur réel en dimension n une colonne x 1 x 2. x n de n nombres réels. On note R n l ensemble de ces vecteurs. On utilise x, u, v, w etc. pour désigner ces vecteurs. Voici quelques vecteurs spéciaux avec leurs noms réservés 1, e 1, e 2..

9 Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel 1. Vecteurs Définition. On appelle un vecteur réel en dimension n une colonne x 1 x 2. x n de n nombres réels. On note R n l ensemble de ces vecteurs. On utilise x, u, v, w etc. pour désigner ces vecteurs. Voici quelques vecteurs spéciaux avec leurs noms réservés., e 1 1., e 2 1.,

10 Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel 1. Vecteurs Définition. On appelle un vecteur réel en dimension n une colonne x 1 x 2. x n de n nombres réels. On note R n l ensemble de ces vecteurs. On utilise x, u, v, w etc. pour désigner ces vecteurs. Voici quelques vecteurs spéciaux avec leurs noms réservés., e 1 1., e 2 1., e 3.,, e n..

11 Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel 1. Vecteurs Définition. On appelle un vecteur réel en dimension n une colonne x 1 x 2. x n de n nombres réels. On note R n l ensemble de ces vecteurs. On utilise x, u, v, w etc. pour désigner ces vecteurs. Voici quelques vecteurs spéciaux avec leurs noms réservés., e 1 1., e 2 1., e 3.,, e n.. Les e 1,, e n constituent les vecteurs de la base canonique de R n.

12 Exemple. En dimension 2 : e 1 1, e 2, 1

13 Exemple. En dimension 2 : e 1 1, e 2, et en dimension 3 : 1

14 Exemple. 1 En dimension 2 : e 1, e 2, et en dimension 3 : 1 1 e 1, e 2, e 3. Si on liste en colonne les notes d un élève au Bac, c est un vecteur en quelle dimension?

15 Exemple. 1 En dimension 2 : e 1, e 2, et en dimension 3 : 1 1 e 1, e 2, e 3. Si on liste en colonne les notes d un élève au Bac, c est un vecteur en quelle dimension? matière Note maths Physique Chimie SVT Histoire Géo Français Réponse : en dimension 9 Philosophie LV 1 LV 2 EPS

16 Opérations permises dans R n addition, soustraction ou multiplication par un scalaire, ou une combinaison de ces opérations, appelée combinaison linéaire Exemples : 3, 3, a e e 2.

17 Opérations permises dans R n addition, soustraction ou multiplication par un scalaire, ou une combinaison de ces opérations, appelée combinaison linéaire Exemples : 3, 3, a 3 a e e 2. 11

18 Opérations permises dans R n addition, soustraction ou multiplication par un scalaire, ou une combinaison de ces opérations, appelée combinaison linéaire Exemples : 3, 3, a 3 a e e On peut aussi décomposer en combinaison linéaire : 7 2 a 5 3 e 5 1 1, a e b 1 + b e 2.

19 Opérations permises dans R n addition, soustraction ou multiplication par un scalaire, ou une combinaison de ces opérations, appelée combinaison linéaire Exemples : 3, 3, a 3 a e e On peut aussi décomposer en combinaison linéaire : 7 2 a 5 3 e 5 1 1, a e b 1 + b e Décomposer en combinaison linéaire de et revient à chercher des coefficients x et y tels que x + y { 7x + 2y 3 Ceci revient à résoudre le système 3x + y 2 x 1, y 5

20 2. Matrices Définition. On appelle matrice réelle de taille m n un tableau de m lignes et n colonnes de nombres réels. On note M m,n R l ensemble de ces matrices.

21 2. Matrices Définition. On appelle matrice réelle de taille m n un tableau de m lignes et n colonnes de nombres réels. On note M m,n R l ensemble de ces matrices Exemples : 1 2,,, π, 2 2 π a b On utilise en générale des lettres capitales A, B, M etc. pour désigner des matrices.

22 2. Matrices Définition. On appelle matrice réelle de taille m n un tableau de m lignes et n colonnes de nombres réels. On note M m,n R l ensemble de ces matrices Exemples : 1 2,,, π, 2 2 π a b On utilise en générale des lettres capitales A, B, M etc. pour désigner des matrices. Opérations naturelles :

23 2. Matrices Définition. On appelle matrice réelle de taille m n un tableau de m lignes et n colonnes de nombres réels. On note M m,n R l ensemble de ces matrices Exemples : 1 2,,, π, 2 2 π a b On utilise en générale des lettres capitales A, B, M etc. pour désigner des matrices. Opérations naturelles : addition et soustraction des matrices de même taille et multiplication par un scalaire ou leur combinaison :

24 2. Matrices Définition. On appelle matrice réelle de taille m n un tableau de m lignes et n colonnes de nombres réels. On note M m,n R l ensemble de ces matrices Exemples : 1 2,,, π, 2 2 π a b On utilise en générale des lettres capitales A, B, M etc. pour désigner des matrices. Opérations naturelles : addition et soustraction des matrices de même taille et multiplication par un scalaire ou leur combinaison : a b 2 + s c d

25 2. Matrices Définition. On appelle matrice réelle de taille m n un tableau de m lignes et n colonnes de nombres réels. On note M m,n R l ensemble de ces matrices Exemples : 1 2,,, π, 2 2 π a b On utilise en générale des lettres capitales A, B, M etc. pour désigner des matrices. Opérations naturelles : addition et soustraction des matrices de même taille et multiplication par un scalaire ou leur combinaison : a b 1 + sa 3 + sb 2 + s c d sc sd

26 2. Matrices Définition. On appelle matrice réelle de taille m n un tableau de m lignes et n colonnes de nombres réels. On note M m,n R l ensemble de ces matrices Exemples : 1 2,,, π, 2 2 π a b On utilise en générale des lettres capitales A, B, M etc. pour désigner des matrices. Opérations naturelles : addition et soustraction des matrices de même taille et multiplication par un scalaire ou leur combinaison : a b 1 + sa 3 + sb 2 + s c d sc sd Réciproquement, on peut factoriser :

27 2. Matrices Définition. On appelle matrice réelle de taille m n un tableau de m lignes et n colonnes de nombres réels. On note M m,n R l ensemble de ces matrices Exemples : 1 2,,, π, 2 2 π a b On utilise en générale des lettres capitales A, B, M etc. pour désigner des matrices. Opérations naturelles : addition et soustraction des matrices de même taille et multiplication par un scalaire ou leur combinaison : a b 1 + sa 3 + sb 2 + s c d sc sd Réciproquement, on peut factoriser : 2 1 2, 4 2

28 2. Matrices Définition. On appelle matrice réelle de taille m n un tableau de m lignes et n colonnes de nombres réels. On note M m,n R l ensemble de ces matrices Exemples : 1 2,,, π, 2 2 π a b On utilise en générale des lettres capitales A, B, M etc. pour désigner des matrices. Opérations naturelles : addition et soustraction des matrices de même taille et multiplication par un scalaire ou leur combinaison : a b 1 + sa 3 + sb 2 + s c d sc sd Réciproquement, on peut factoriser : ,

29 2. Matrices Définition. On appelle matrice réelle de taille m n un tableau de m lignes et n colonnes de nombres réels. On note M m,n R l ensemble de ces matrices Exemples : 1 2,,, π, 2 2 π a b On utilise en générale des lettres capitales A, B, M etc. pour désigner des matrices. Opérations naturelles : addition et soustraction des matrices de même taille et multiplication par un scalaire ou leur combinaison : a b 1 + sa 3 + sb 2 + s c d sc sd Réciproquement, on peut factoriser : ,

30 Ecriture indicielle d une matrice Comment indexer chaque entrée position dans une matrice? v 1 Facile pour un vecteur v : v v 2. v 3 Comme faire pour une matrice a? a? A

31 Ecriture indicielle d une matrice Comment indexer chaque entrée position dans une matrice? v 1 Facile pour un vecteur v : v v 2. v 3 Comme faire pour une matrice a? a? a 11 a 12 A double indice a 21 a 22???? a ij l entrée sur la i-ème ligne et la j-ième colonne. Exo. 1. Déterminer le vecteur v en dimension 3 tel que v i i + 1, i 1, 2, 3 ainsi que la matrice A de taille 3x3 telle que a 23 1 et les autres a ij.

32 Ecriture indicielle d une matrice Comment indexer chaque entrée position dans une matrice? v 1 Facile pour un vecteur v : v v 2. v 3 Comme faire pour une matrice a? a? a 11 a 12 A double indice a 21 a 22???? a ij l entrée sur la i-ème ligne et la j-ième colonne. Exo. 1. Déterminer le vecteur v en dimension 3 tel que v i i + 1, i 1, 2, 3 ainsi que la matrice A de taille 3x3 telle que a 23 1 et 2 les autres a ij. Solution : v 3, A 1. 4

33 Ecriture indicielle d une matrice Comment indexer chaque entrée position dans une matrice? v 1 Facile pour un vecteur v : v v 2. v 3 Comme faire pour une matrice a? a? a 11 a 12 A double indice a 21 a 22???? a ij l entrée sur la i-ème ligne et la j-ième colonne. Exo. 1. Déterminer le vecteur v en dimension 3 tel que v i i + 1, i 1, 2, 3 ainsi que la matrice A de taille 3x3 telle que a 23 1 et 2 les autres a ij. Solution : v 3, A Expliciter d ij 2,2 avec d ij i + j à faire à la maison. 4

34 Matrices spéciales La matrice d identité de taille n est toujours notée par la lettre I, Id ou bien I n, Id n : 1 1 I 1 1, I 2, I 1 3 1, I 4 1

35 Matrices spéciales La matrice d identité de taille n est toujours notée par la lettre I, Id ou bien I n, Id n : 1 1 I 1 1, I 2, I 1 3 1, I 4 1 On peut aussi représenter une matrice comme une liste de vecteurs colonnes A 4 u v e 3 avec u 2 et v 2 e 2. 1 A

36 Matrices spéciales La matrice d identité de taille n est toujours notée par la lettre I, Id ou bien I n, Id n : 1 1 I 1 1, I 2, I 1 3 1, I 4 1 On peut aussi représenter une matrice comme une liste de vecteurs colonnes A 4 u v e 3 avec u 2 et v 2 e A

37 Matrices spéciales La matrice d identité de taille n est toujours notée par la lettre I, Id ou bien I n, Id n : 1 1 I 1 1, I 2, I 1 3 1, I 4 1 On peut aussi représenter une matrice comme une liste de vecteurs colonnes A 4 u v e 3 avec u 2 et v 2 e A Quels sont les vecteurs colonnes de Id n?

38 3 Multiplication de deux matrices AB Attention. L ordre est important! NE PAS confondre avec BA.

39 3 Multiplication de deux matrices AB Attention. L ordre est important! NE PAS confondre avec BA. Pour pouvoir effectuer AB, il faut la longueur d une ligne de A la longueur d une colonne de B

40 3 Multiplication de deux matrices AB Attention. L ordre est important! NE PAS confondre avec BA. Pour pouvoir effectuer AB, il faut la longueur d une ligne de A la longueur d une colonne de B B On pose A et B de telle façon : A, puis on calcule A 3 2 B 1 1 en suivant l exemple : 4 2, A 2 AB 1 1 B AB

41 3 Multiplication de deux matrices AB Attention. L ordre est important! NE PAS confondre avec BA. Pour pouvoir effectuer AB, il faut la longueur d une ligne de A la longueur d une colonne de B B On pose A et B de telle façon : A, puis on calcule A 3 2 B 1 1 en suivant l exemple : 4 2, A 2 AB 1 1 où B AB

42 3 Multiplication de deux matrices AB Attention. L ordre est important! NE PAS confondre avec BA. Pour pouvoir effectuer AB, il faut la longueur d une ligne de A la longueur d une colonne de B B On pose A et B de telle façon : A, puis on calcule A 3 2 B 1 1 en suivant l exemple : 4 2, A 2 AB 1 1 où C est comme le calcul de la note finale de deux matières avec 4 2 comme coefficients c est aussi le produit scalaire de deux vecteurs. B AB

43 , où B A Calculer toutes les cases de AB de la même manière en commençant par * :

44 , où B Calculer toutes les cases 1 1 de AB de la même manière en commençant par * : A Donc

45 , où B Calculer toutes les cases 1 1 de AB de la même manière en commençant par * : A Donc Remarque. La première colonne de AB ne concerne que A entière et la première colonne de B : c est la première colonne de AB

46 Exercices 1. La première colonne de AB ne concerne que A entière et la première colonne de B. La première ligne de AB ne concerne que?? et??. 2. a b a b 3. a b a b a a 4. b b a b 5. c d x y 6. Réécrire le système matriciel. { 7x + 2y 3 3x + y 2 sous forme de produit

47 Exercices 1. La première colonne de AB ne concerne que A entière et la première colonne de B. La première ligne de AB ne concerne que la première ligne de A et B entière. 2. a b a aa + bb b 3. a b a b n est PAS définie. Les tailles sont incompatibles! a a 4. b b a b x 5. c d y { 7x + 2y 3 6. Réécrire le système sous forme de produit 3x + y 2 matriciel.

48 Exercices 1. La première colonne de AB ne concerne que A entière et la première colonne de B. La première ligne de AB ne concerne que la première ligne de A et B entière. 2. a b a aa + bb b 3. a b a b n est PAS définie. Les tailles sont incompatibles! a a 4. b b aa ab ba bb bizarre...? a b x 5. c d y { 7x + 2y 3 6. Réécrire le système sous forme de produit 3x + y 2 matriciel.

49 Exercices 1. La première colonne de AB ne concerne que A entière et la première colonne de B. La première ligne de AB ne concerne que la première ligne de A et B entière. 2. a b a aa + bb b 3. a b a b n est PAS définie. Les tailles sont incompatibles! a a 4. b b aa ab ba bb bizarre...? a b x ax + by 5. c d y cx + dy { 7x + 2y 3 6. Réécrire le système sous forme de produit 3x + y 2 matriciel.

50 Exercices 1. La première colonne de AB ne concerne que A entière et la première colonne de B. La première ligne de AB ne concerne que la première ligne de A et B entière. 2. a b a aa + bb b 3. a b a b n est PAS définie. Les tailles sont incompatibles! a a 4. b b aa ab ba bb bizarre...? a b x ax + by 5. c d y cx + dy { 7x + 2y 3 6. Réécrire le système sous forme de produit 3x + y x 3 matriciel y 2

51 Exercices 1. La première colonne de AB ne concerne que A entière et la première colonne de B. La première ligne de AB ne concerne que la première ligne de A et B entière. 2. a b a aa + bb b 3. a b a b n est PAS définie. Les tailles sont incompatibles! a a 4. b b aa ab ba bb bizarre...? a b x ax + by 5. c d y cx + dy { 7x + 2y 3 6. Réécrire le système sous forme de produit 3x + y x 3 matriciel y 2 C est l une des raisons de multiplier deux matrices de telle façon!.

52 Définition formelle Rappel. Pour une matrice quelconque A, on utilise une double indice a ij indiquant la valeur de A dans la i-ème ligne et j-ème colonne. Définition Etant données deux matrices A de taille m n et B de taille n p NB : le même nombre n on définit le produit des deux matrices AB M m,p R, par n AB ik A ij B jk j1

53 Définition formelle Rappel. Pour une matrice quelconque A, on utilise une double indice a ij indiquant la valeur de A dans la i-ème ligne et j-ème colonne. Définition Etant données deux matrices A de taille m n et B de taille n p NB : le même nombre n on définit le produit des deux matrices AB M m,p R, par n AB ik A ij B jk A i1 B 1k + A i2 B 2k + A i3 B 3k + + A in B nk. j1

54 Définition formelle Rappel. Pour une matrice quelconque A, on utilise une double indice a ij indiquant la valeur de A dans la i-ème ligne et j-ème colonne. Définition Etant données deux matrices A de taille m n et B de taille n p NB : le même nombre n on définit le produit des deux matrices AB M m,p R, par n AB ik A ij B jk A i1 B 1k + A i2 B 2k + A i3 B 3k + + A in B nk. j1 l élément ik est formé à partir de la i-ème ligne de A : A i1 A i2 A in et la k-ème colonne de B : scalaire. B 1k B 2k. B nk par un produit

55 Retrouver une ligne ou colonne On peut récupérer la j-ème colonne d une matrice A M m,n R. par A e j où e j 1 R n, avec 1 à la j-ème ligne et ailleurs. Le. n-tuple de vecteurs, e 1,..., e n s appelle la base canonique de R n.

56 Retrouver une ligne ou colonne On peut récupérer la j-ème colonne d une matrice A M m,n R. par A e j où e j 1 R n, avec 1 à la j-ème ligne et ailleurs. Le. n-tuple de vecteurs, e 1,..., e n s appelle la base canonique de R n. Question : Comment récupérer la i-ème line d une matrice?

57 Retrouver une ligne ou colonne On peut récupérer la j-ème colonne d une matrice A M m,n R. par A e j où e j 1 R n, avec 1 à la j-ème ligne et ailleurs. Le. n-tuple de vecteurs, e 1,..., e n s appelle la base canonique de R n. Question : Comment récupérer la i-ème line d une matrice? réponse : la multiplier à gauche par un vecteur spécial!

58 4. Quelques lois Théorème. Soient A, B, C trois matrices.

59 4. Quelques lois Théorème. Soient A, B, C trois matrices. 1. Multiplier avec la matrice identité ne change rien : Id A A et B Id B

60 4. Quelques lois Théorème. Soient A, B, C trois matrices. 1. Multiplier avec la matrice identité ne change rien : Id A A et B Id B 2. Si les produits AB et BC sont définis, alors on peut effectuer les produits ABC et ABC, de plus : ABC A BC On écrit simplement ABC pour ce produit c est la lois associative.

61 4. Quelques lois Théorème. Soient A, B, C trois matrices. 1. Multiplier avec la matrice identité ne change rien : Id A A et B Id B 2. Si les produits AB et BC sont définis, alors on peut effectuer les produits ABC et ABC, de plus : ABC A BC On écrit simplement ABC pour ce produit c est la lois associative. 3. Si B et C ont la même taille, et AB est défini, on peut factoriser AB+ACAB+C, AB+kC AB + kac c est la lois distributive.

62 4. Quelques lois Théorème. Soient A, B, C trois matrices. 1. Multiplier avec la matrice identité ne change rien : Id A A et B Id B 2. Si les produits AB et BC sont définis, alors on peut effectuer les produits ABC et ABC, de plus : ABC A BC On écrit simplement ABC pour ce produit c est la lois associative. 3. Si B et C ont la même taille, et AB est défini, on peut factoriser AB+ACAB+C, AB+kC AB + kac c est la lois distributive. 4. AC + BC A + BC sous quelle condition?

63 4. Quelques lois Théorème. Soient A, B, C trois matrices. 1. Multiplier avec la matrice identité ne change rien : Id A A et B Id B 2. Si les produits AB et BC sont définis, alors on peut effectuer les produits ABC et ABC, de plus : ABC A BC On écrit simplement ABC pour ce produit c est la lois associative. 3. Si B et C ont la même taille, et AB est défini, on peut factoriser AB+ACAB+C, AB+kC AB + kac c est la lois distributive. 4. AC + BC A + BC sous quelle condition? Question piège : Est-ce qu on peut factoriser AB + BC?

64 1 x x Exemples. 1 y y et

65 1 x x Exemples.. et 1 y y matrice identité Question de quelle taille? 1 3 2? 1 1 2

66 Preuve de ABC ABC Prenons B M n,p R. Alors : p p n ABC il AB ik C kl A ij B jk C kl j1 k1 k1 k1 j1 n p n n A ij B jk C kl B jk C kl A ij BC jl ABC il. j1 A ij p k1 j1 commutativité de l addition des nombres réels.

67 Preuve de ABC ABC Prenons B M n,p R. Alors : n j1 k1 ABC il p A ij B jk C kl p AB ik C kl k1 n j1 A ij p k1 p n A ij B jk C kl k1 B jk C kl j1 n A ij BC jl ABC il. j1 commutativité de l addition des nombres réels Ex Ex Il serait stupide 2 2 de calculer ce produit différemment.

68 5 Matrice inverse Définition. Une matrice A est dite carrée si elle a le même nombre de lignes et de colonnes. La diagonale d une telle matrice part d en haut à gauche vers en bas à droite.

69 5 Matrice inverse Définition. Une matrice A est dite carrée si elle a le même nombre de lignes et de colonnes. La diagonale d une telle matrice part d en haut à gauche vers en bas à droite. Soit A une matrice carrée de taille n. Si une matrice B de même taille vérifie BA Id n, on dit que B est la matrice inverse de A, et on note B par A 1.

70 5 Matrice inverse Définition. Une matrice A est dite carrée si elle a le même nombre de lignes et de colonnes. La diagonale d une telle matrice part d en haut à gauche vers en bas à droite. Soit A une matrice carrée de taille n. Si une matrice B de même taille vérifie BA Id n, on dit que B est la matrice inverse de A, et on note B par A 1. Ex. : I 2, donc

71 5 Matrice inverse Définition. Une matrice A est dite carrée si elle a le même nombre de lignes et de colonnes. La diagonale d une telle matrice part d en haut à gauche vers en bas à droite. Soit A une matrice carrée de taille n. Si une matrice B de même taille vérifie BA Id n, on dit que B est la matrice inverse de A, et on note B par A 1. Ex. : I 2, donc Attention. Il y a des matrices A n admettant pas de matrice d inverse!

72 5 Matrice inverse Définition. Une matrice A est dite carrée si elle a le même nombre de lignes et de colonnes. La diagonale d une telle matrice part d en haut à gauche vers en bas à droite. Soit A une matrice carrée de taille n. Si une matrice B de même taille vérifie BA Id n, on dit que B est la matrice inverse de A, et on note B par A 1. Ex. : I 2, donc Attention. Il y a des matrices A n admettant pas de matrice d inverse! Questions : A quoi ça sert? Comment la trouver si elle existe?

73 5 Matrice inverse Définition. Une matrice A est dite carrée si elle a le même nombre de lignes et de colonnes. La diagonale d une telle matrice part d en haut à gauche vers en bas à droite. Soit A une matrice carrée de taille n. Si une matrice B de même taille vérifie BA Id n, on dit que B est la matrice inverse de A, et on note B par A 1. Ex. : I 2, donc Attention. Il y a des matrices A n admettant pas de matrice d inverse! Questions : A quoi ça sert? Comment la trouver si elle existe? A quoi ça sert? Ça sert à annuler l effet d avoir été multiplié par A : si on connait AX sans pour autant connaître X, on peut retrouver X à l aide de A 1 :

74 5 Matrice inverse Définition. Une matrice A est dite carrée si elle a le même nombre de lignes et de colonnes. La diagonale d une telle matrice part d en haut à gauche vers en bas à droite. Soit A une matrice carrée de taille n. Si une matrice B de même taille vérifie BA Id n, on dit que B est la matrice inverse de A, et on note B par A 1. Ex. : I 2, donc Attention. Il y a des matrices A n admettant pas de matrice d inverse! Questions : A quoi ça sert? Comment la trouver si elle existe? A quoi ça sert? Ça sert à annuler l effet d avoir été multiplié par A : si on connait AX sans pour autant connaître X, on peut retrouver X à l aide de A 1 : X

75 5 Matrice inverse Définition. Une matrice A est dite carrée si elle a le même nombre de lignes et de colonnes. La diagonale d une telle matrice part d en haut à gauche vers en bas à droite. Soit A une matrice carrée de taille n. Si une matrice B de même taille vérifie BA Id n, on dit que B est la matrice inverse de A, et on note B par A 1. Ex. : I 2, donc Attention. Il y a des matrices A n admettant pas de matrice d inverse! Questions : A quoi ça sert? Comment la trouver si elle existe? A quoi ça sert? Ça sert à annuler l effet d avoir été multiplié par A : si on connait AX sans pour autant connaître X, on peut retrouver X à l aide de A 1 : X Id X

76 5 Matrice inverse Définition. Une matrice A est dite carrée si elle a le même nombre de lignes et de colonnes. La diagonale d une telle matrice part d en haut à gauche vers en bas à droite. Soit A une matrice carrée de taille n. Si une matrice B de même taille vérifie BA Id n, on dit que B est la matrice inverse de A, et on note B par A 1. Ex. : I 2, donc Attention. Il y a des matrices A n admettant pas de matrice d inverse! Questions : A quoi ça sert? Comment la trouver si elle existe? A quoi ça sert? Ça sert à annuler l effet d avoir été multiplié par A : si on connait AX sans pour autant connaître X, on peut retrouver X à l aide de A 1 : X Id X A 1 AX

77 5 Matrice inverse Définition. Une matrice A est dite carrée si elle a le même nombre de lignes et de colonnes. La diagonale d une telle matrice part d en haut à gauche vers en bas à droite. Soit A une matrice carrée de taille n. Si une matrice B de même taille vérifie BA Id n, on dit que B est la matrice inverse de A, et on note B par A 1. Ex. : I 2, donc Attention. Il y a des matrices A n admettant pas de matrice d inverse! Questions : A quoi ça sert? Comment la trouver si elle existe? A quoi ça sert? Ça sert à annuler l effet d avoir été multiplié par A : si on connait AX sans pour autant connaître X, on peut retrouver X à l aide de A 1 : X Id X A 1 AX A 1 AX.

78 7 2 x Exemple : Sachant 3 1 y 3, quel est 2 x? y On suit la recette : X Id X A 1 AX

79 7 2 x Exemple : Sachant 3 1 y 3, quel est 2 x? y On suit la recette : X Id X A 1 AX x 1 x x y 1 y y

80 7 2 x Exemple : Sachant 3 1 y 3, quel est 2 x? y On suit la recette : X Id X A 1 AX x 1 x x y 1 y y A 1 AX

81 7 2 x Exemple : Sachant 3 1 y 3, quel est 2 x? y On suit la recette : X Id X A 1 AX x 1 x x y 1 y y A 1 AX x y

82 7 2 x Exemple : Sachant 3 1 y 3, quel est 2 x? y On suit la recette : X Id X A 1 AX x 1 x x y 1 y y A 1 AX x y x 1 Solution. y

83 7 2 x Exemple : Sachant 3 1 y 3, quel est 2 x? y On suit la recette : X Id X A 1 AX x 1 x x y 1 y y A 1 AX x y x 1 Solution. y Une autre façon de poser la question, résoudre avec x, y comme 7 2 x 3 inconnues. 3 1 y 2

84 7 2 x Exemple : Sachant 3 1 y 3, quel est 2 x? y On suit la recette : X Id X A 1 AX x 1 x x y 1 y y A 1 AX x y x 1 Solution. y Une autre façon de poser la question, résoudre avec x, y comme 7 2 x 3 inconnues. Ou encore : résoudre le système 3 1 y 2 { 7x + 2y 3. 3x + y 2

85 7 2 x Exemple : Sachant 3 1 y 3, quel est 2 x? y On suit la recette : X Id X A 1 AX x 1 x x y 1 y y A 1 AX x y x 1 Solution. y Une autre façon de poser la question, résoudre avec x, y comme 7 2 x 3 inconnues. Ou encore : résoudre le système 3 1 y 2 { 7x + 2y 3. Solution : x 1 et y 5. 3x + y 2

86 7 2 x Exemple : Sachant 3 1 y 3, quel est 2 x? y On suit la recette : X Id X A 1 AX x 1 x x y 1 y y A 1 AX x y x 1 Solution. y Une autre façon de poser la question, résoudre avec x, y comme 7 2 x 3 inconnues. Ou encore : résoudre le système 3 1 y 2 { 7x + 2y 3. Solution : x 1 et y 5. 3x + y 2 Donc ça sert à résoudre les systèmes entre autres.

87 Comment trouver l inverse d une matrice? Méthode brutale : on considère les coefficients comme des inconnus et on essaye de résoudre le problème :?A I. 1 1 a b Exemple. Soit. A. On cherche telle que c d a b c d 1

88 Comment trouver l inverse d une matrice? Méthode brutale : on considère les coefficients comme des inconnus et on essaye de résoudre le problème :?A I. 1 1 a b Exemple. Soit. A. On cherche telle que c d a b Réponse? c d 1

89 Comment trouver l inverse d une matrice? Méthode brutale : on considère les coefficients comme des inconnus et on essaye de résoudre le problème :?A I. 1 1 a b Exemple. Soit. A. On cherche telle que c d a b Réponse? c d 1 Plus tard nous allons apprendre : des tests simples sur la possibilité ou non d inverser une matrice donnée. des méthodes systématiques de calculer cette matrice inverse lorsqu elle existe. résoudre des systèmes A x c : si A admet une matrice inverse B, alors la solution du système est B c. tirer des info lorsque A n est pas inversible.

90 6. Matrices particulières et d autres opérations matricielles Définition Si A M m,n R on définit sa matrice transposée t A M n,m R qui échange les lignes et les colonnes : t A ji A ij. 2 3 Ex. 1. t Ex. 2. a et 2 b On a 2 produit scalaire a b t a b Questions : Lorsqu on combine la transposée avec +, k. et la multiplication AB, qu obtient-on?

91 Théorème AC 1 C 1 A 1. Si BA I alors AB I. Preuve : Pour que C 1 A 1 soit la matrice inverse de AC, il faut les multiplier : C 1 A 1 AC C 1 A 1 AC C 1 IC C 1 C I. Pour le deuxième, BA I pour tout v, le système A x v admet comme solution x B v. Du coup AB v AB v A x v pour tout v. En particulier AB e j e j pour tout e j de la base standard. Or AB e j est la j-ième colonne de AB. Cette colonne est donc e j. Ainsi AB I. Questions pièges : Comment procéder lorsqu on combine l inversion avec la transposition, la multiplication avec un scalaire, et l addition?

92 Définition Une matrice carrée est dite symétrique si t A A, ou encore A ij A ji anti-symétrique si t A A, A ij A ji diagonale si A ij pour i j triangulaire supérieure inférieure si A ij pour i > j i < j respectivement.

93 Exemples 1. une matrice symétrique : la table des multiplication, la table des kilométrages entre des pairs de villes. 2. un exemple antisymétrique : la table des différence, ou prêt-emprunts. 1 x y 3. correspond à l opération "chapeau" 1 y x x; y y; x qui effectue une rotation de π/2 9 o dans le sens direct dans le plan.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Chapitre 2. Matrices

Chapitre 2. Matrices Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Cours d analyse numérique SMI-S4

Cours d analyse numérique SMI-S4 ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,

Plus en détail

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation

Plus en détail

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2. Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.

Plus en détail

Le théorème de Thalès et sa réciproque

Le théorème de Thalès et sa réciproque Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!»

CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» Corrigé Cours de Mr JULES v3.3 Classe de Quatrième Contrat 1 Page 1 sur 13 CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» «Correction en rouge et italique.» I. Les nombres décimaux relatifs.

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh

2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh 2 Fonctions binaires 45 2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh On peut définir complètement une fonction binaire en dressant son tableau de Karnaugh, table de vérité à 2 n cases pour n variables

Plus en détail

Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites

Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites I Droites perpendiculaires Lorsque deux droites se coupent, on dit qu elles sont sécantes Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites Lorsque deux

Plus en détail

Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe

Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11

Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11 Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et

Plus en détail

Compter à Babylone. L écriture des nombres

Compter à Babylone. L écriture des nombres Compter à Babylone d après l article de Christine Proust «Le calcul sexagésimal en Mésopotamie : enseignement dans les écoles de scribes» disponible sur http://www.dma.ens.fr/culturemath/ Les mathématiciens

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Activités numériques [13 Points]

Activités numériques [13 Points] N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible

Plus en détail

Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA

Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA 75. Un plombier connaît la disposition de trois tuyaux sous des dalles ( voir figure ci dessous ) et il lui suffit de découvrir une partie de chacun d eux pour pouvoir y poser les robinets. Il cherche

Plus en détail

1S Modèles de rédaction Enoncés

1S Modèles de rédaction Enoncés Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC

Plus en détail

Mathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion

Mathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion Mathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion Mr Makrem Ben Jeddou Mme Hababou Hella Université Virtuelle de Tunis 2008 Continuité et dérivation1 1- La continuité Théorème : On considère un intervalle

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

Algèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008)

Algèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008) Université Mohammed V Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Filière : SMI Algèbre binaire et Circuits logiques (27-28) Prof. Abdelhakim El Imrani Plan. Algèbre de Boole 2. Circuits

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux

Plus en détail

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Cryptographie et fonctions à sens unique

Cryptographie et fonctions à sens unique Cryptographie et fonctions à sens unique Pierre Rouchon Centre Automatique et Systèmes Mines ParisTech pierre.rouchon@mines-paristech.fr Octobre 2012 P.Rouchon (Mines ParisTech) Cryptographie et fonctions

Plus en détail

Analyse en Composantes Principales

Analyse en Composantes Principales Analyse en Composantes Principales Anne B Dufour Octobre 2013 Anne B Dufour () Analyse en Composantes Principales Octobre 2013 1 / 36 Introduction Introduction Soit X un tableau contenant p variables mesurées

Plus en détail

MATLAB : COMMANDES DE BASE. Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */.

MATLAB : COMMANDES DE BASE. Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */. Page 1 de 9 MATLAB : COMMANDES DE BASE Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */. Aide help, help nom_de_commande Fenêtre de travail (Command Window) Ligne

Plus en détail

INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES

INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Dominique LAFFLY Maître de Conférences, Université de Pau Laboratoire Société Environnement Territoire UMR 5603 du CNRS et Université de Pau Domaine

Plus en détail

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire

Plus en détail

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES. CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

avec des nombres entiers

avec des nombres entiers Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0

Plus en détail

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques

La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques III. Cercles 1. Cercle d'euler 2. Droite d'euler 3. Théorème de Feuerbach 4. Milieux des segments joignant

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe

Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe Graphes et RO TELECOM Nancy A Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre I. Définitions 1 Graphe Graphe valué 3 Représentation d un graphe (matrice d incidence, matrice d

Plus en détail

201-105-RE SOLUTIONS CHAPITRE 1

201-105-RE SOLUTIONS CHAPITRE 1 Chapitre1 Matrices 1 201-105-RE SOLUTIONS CHAPITRE 1 EXERCICES 1.2 1. a) 1 3 Ë3 7 3 2 Ë 1 16 pas défini d) 16 30 17 3 e) Ë 7 68 22 16 13 Ë 5 18 6 2. a) 0 4 4 4 0 4 Ë4 4 0 Ë 0 4 32 4 4 0 4 32 32 4 0 4 4

Plus en détail

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie

Plus en détail

Optimisation, traitement d image et éclipse de Soleil

Optimisation, traitement d image et éclipse de Soleil Kléber, PCSI1&3 014-015 I. Introduction 1/8 Optimisation, traitement d image et éclipse de Soleil Partie I Introduction Le 0 mars 015 a eu lieu en France une éclipse partielle de Soleil qu il était particulièrement

Plus en détail

Séquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire

Séquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire Séquence Repérage dans le plan Équations de droites Sommaire 1 Prérequis Repérage dans le plan 3 Équations de droites 4 Synthèse de la séquence 5 Exercices d approfondissement Séquence MA0 1 1 Prérequis

Plus en détail

Programmation Linéaire - Cours 1

Programmation Linéaire - Cours 1 Programmation Linéaire - Cours 1 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 265 Ouvrages de référence V. Chvátal - Linear Programming, W.H.Freeman, New York, 1983.

Plus en détail

Équations d amorçage d intégrales premières formelles

Équations d amorçage d intégrales premières formelles Équations d amorçage d intégrales premières formelles D Boularas, A Chouikrat 30 novembre 2005 Résumé Grâce à une analyse matricielle et combinatoire des conditions d intégrabilité, on établit des équations

Plus en détail

Quelques contrôle de Première S

Quelques contrôle de Première S Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage

Plus en détail

2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R

2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R 2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R Dans la mesure où les résultats de ce chapitre devraient normalement être bien connus, il n'est rappelé que les formules les plus intéressantes; les justications

Plus en détail

Eteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques :

Eteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : MTH EN JEN 2013-2014 Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : Lycée Michel Montaigne : HERITEL ôme T S POLLOZE Hélène 1 S SOK Sophie 1 S Eteindre Lycée Sud Médoc : ROSIO Gauthier 2 nd PELGE

Plus en détail

Partie 1 - Séquence 3 Original d une fonction

Partie 1 - Séquence 3 Original d une fonction Partie - Séquence 3 Original d une fonction Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 I. Généralités I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t)

Plus en détail

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites. Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Plus en détail

Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore. david.madore@enst.fr. 29 mai 2015

Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore. david.madore@enst.fr. 29 mai 2015 et et Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore Télécom ParisTech david.madore@enst.fr 29 mai 2015 1/31 et 2/31 : définition Un réseau de R m est un sous-groupe (additif) discret L

Plus en détail

MATHÉMATIQUES DISCRÈTES (4) CRYPTOGRAPHIE CLASSIQUE

MATHÉMATIQUES DISCRÈTES (4) CRYPTOGRAPHIE CLASSIQUE MATHÉMATIQUES DISCRÈTES (4) CRYPTOGRAPHIE CLASSIQUE Michel Rigo http://www.discmath.ulg.ac.be/ Année 2007 2008 CRYPTOGRAPHIE. N. F. Art d écrire en chiffres ou d une façon secrète quelconque. Ensemble

Plus en détail

Déterminants. Marc SAGE 9 août 2008. 2 Inverses et polynômes 3

Déterminants. Marc SAGE 9 août 2008. 2 Inverses et polynômes 3 Déterminants Marc SAGE 9 août 28 Table des matières Quid des formes n-linéaires alternées? 2 2 Inverses et polynômes 3 3 Formule de Miller pour calculer un déterminant (ou comment illustrer une idée géniale)

Plus en détail

Premiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon

Premiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon Premiers exercices d Algèbre Anne-Marie Simon première version: 17 août 2005 version corrigée et complétée le 12 octobre 2010 ii Table des matières 1 Quelques structures ensemblistes 1 1.0 Ensembles, relations,

Plus en détail

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale. MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes. Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de

Plus en détail

3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements

3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements 3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements Développer une expression consiste à transformer un produit en une somme Qu est-ce qu une somme? Qu est-ce qu un produit?

Plus en détail

Le produit semi-direct

Le produit semi-direct Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.

Plus en détail

Optimisation des fonctions de plusieurs variables

Optimisation des fonctions de plusieurs variables Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

Chap 4: Analyse syntaxique. Prof. M.D. RAHMANI Compilation SMI- S5 2013/14 1

Chap 4: Analyse syntaxique. Prof. M.D. RAHMANI Compilation SMI- S5 2013/14 1 Chap 4: Analyse syntaxique 1 III- L'analyse syntaxique: 1- Le rôle d'un analyseur syntaxique 2- Grammaires non contextuelles 3- Ecriture d'une grammaire 4- Les méthodes d'analyse 5- L'analyse LL(1) 6-

Plus en détail

Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier

Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier Vincent Lefèvre (Lycée P. de Fermat, Toulouse) 1990, 1991 1 Introduction Nous allons étudier des propriétés du triangle de Pascal dans Z/pZ, p étant un nombre

Plus en détail

PROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond.

PROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond. PROBLEME(12) Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40m, la largeur est 5,20m et la hauteur est 2,80m. Il comporte une porte de 2m de

Plus en détail

Introduction à la Programmation par Contraintes (PPC) Ruslan Sadykov LIX, École Polytechnique

Introduction à la Programmation par Contraintes (PPC) Ruslan Sadykov LIX, École Polytechnique Introduction à la Programmation par Contraintes (PPC) Ruslan Sadykov LIX, École Polytechnique Contenu Introduction Modélisation Problèmes de satisfaction des contraintes Exemples des modèles PPC simples

Plus en détail

Cours Informatique Master STEP

Cours Informatique Master STEP Cours Informatique Master STEP Bases de la programmation: Compilateurs/logiciels Algorithmique et structure d'un programme Programmation en langage structuré (Fortran 90) Variables, expressions, instructions

Plus en détail

Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau

Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau i Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau Bonjour, bienvenue dans votre début d étude du cours de mathématiques de l année de remise à niveau en vue du D.A.E.U. B Au cours

Plus en détail

1 Complément sur la projection du nuage des individus

1 Complément sur la projection du nuage des individus TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent

Plus en détail

Une forme générale de la conjecture abc

Une forme générale de la conjecture abc Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante

Plus en détail

Démonstration de la conjecture de Dumont

Démonstration de la conjecture de Dumont C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 1 (005) 71 718 Théorie des nombres/combinatoire Démonstration de la conjecture de Dumont Bodo Lass http://france.elsevier.com/direct/crass1/ Institut Camille Jordan, UMR

Plus en détail

Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point

Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point 03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de

Plus en détail

Introduction à l approche bootstrap

Introduction à l approche bootstrap Introduction à l approche bootstrap Irène Buvat U494 INSERM buvat@imedjussieufr 25 septembre 2000 Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-1 Plan du cours Qu est-ce que le bootstrap?

Plus en détail

VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE

VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE 12. Compléments sur les modules 12.1. Théorème de Zorn et conséquences. Soient A un anneau commutatif

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

Coefficients binomiaux

Coefficients binomiaux Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant

Plus en détail

MPI Activité.10 : Logique binaire Portes logiques

MPI Activité.10 : Logique binaire Portes logiques MPI Activité.10 : Logique binaire Portes logiques I. Introduction De nombreux domaines font appel aux circuits logiques de commutation : non seulement l'informatique, mais aussi les technologies de l'asservissement

Plus en détail