L e c t u r e s o b l i g a t o i r e s 1

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1 L e c t u e s o b l g a t o e s Selon l auteu du module, les lectues oblgatoes espectent le dot d auteu et ne contevennent en aucun cas au copyght.

2 . LECTURES OBLIGATOIRES *One elevant mage must be nseted hee.n 579 UNITE : Les gandeus physques mesuables. - leu classfcaton et leu mesue, - les dfféentes souces d eeus de mesue, - les gandeus vectoelles, - les gandeus scalaes, - les opéateus vectoels Les lectues oblgatoes concenant l unté sont au nombe de quate. Elles sont goupées à l annexe. Lectue # Réféences Complètes : RATIARISON Adolphe (6. Gandeus physques Mesues-Incettudesopéatons vectoelles. Madagasca. Unvesté d Antanavo. Les deux pemèes pates de ce manusct sont tées des stes suvantes : Résumé : La valeu d'une gandeu physque est généalement expmée sous la fome du podut d'un nombe pa une unté. Pou une gandeu patculèe, on peut utlse de nombeuses untés dfféentes. Pam ces untés, nous dstnguons celles du Système Intenatonal (SI basé su sept gandeus de base. La mesue d une gandeu physque peut se fae de façon decte comme la longueu avec le mète, la tenson avec un voltmète, ou de fa on ndecte comme pa exemple une suface obtenue pa le podut de la longueu pa la lageu. En dene leu, les dfféentes opéatons su les vecteus y sont détallées.

3 Justfcaton : - Tout physcen dot connaîte le untés de mesues ca on ne peut pas addtonne deux gandeus dfféentes sans les expme dans la même unté. - L addton vectoelle ente non seulement dans la composton de foces mas elle est auss d une mpotance captale la composton des mouvements que l on vea ultéeuement. Lectue # Réféences Complètes : Addton, opposé et soustacton de vecteus. Résumé : Ce cous ans que la quas-totalté des éléments et de la pogammaton qu la composent ou qu en dépendent, ont été conçus et éalsés pa Jéôme ONILLON. Elle est mse en lgne pa la tavene de l'ilandas. L addton et la soustacton de deux vecteus y sont ben détallées. On y met en évdence les popétés de l addton vectoelle comme : la commutatvté, l assocatvté, l exstence de l élément neute sans ouble la elaton de Chasles. Justfcaton : Cec complète la lectue n. La ègle du paallélogamme utlsée pou l addton et la soustacton vectoelle y est ben explquée.

4 Lectue #3 Réféences Complètes : chapte/pate/ttees.htm Les vecteus. Addton vectoelle Résumé : L'addton vectoelle est une lo de composton ntene et possède les popétés suvantes : Assocatvté Commutatvté Elément neute Elément symétque Ans, on peut pale de soustacton de deux vecteus et de la elaton de Chasles. La multplcaton d'un vecteu pa un scalae est une lo de composton extene véfant les popétés : Dstbutvté pa appot à l'addton des vecteus : Dstbutvté pa appot à l'addton des scalaes : Assocatvté : Elément neute : De ces popétés découlent : - la détemnaton de la poston d un pont M su une dote AB, - la combnason lnéae de deux vecteus. Justfcaton : A pat de la combnason lnéae de pluseus vecteus, on peut défn le baycente de pluseus ponts affectés des pods α Lectue #4 Réféences Complètes :

5 Résumé : Géométe vectoelle On y développe encoe l addton et la soustacton vectoelles, la multplcaton d un vecteu pa un scalae. On y touve toutes popétés du podut scalae, du podut vectoel, du podut mxte et du double podut vectoel. Justfcaton : La lectue de cet ouvage mène les appenants ou appenantes à la connassance ben appofonde des opéatons vectoelles. Unté : Cnématque du pont matéel Mouvements à D, D ou 3D Les lectues oblgatoes concenant l unté sont au nombe de tos. Elles sont goupées à l annexe. Lectue #5 Réféences Complètes : RATIARISON, A. (6. Cnématque du pont. Mouvement à D, D ou 3D. Madagasca. Unvesté d Antananavo. Cous nédt Résumé : La généalté su la cnématque du pont concene la défnton des éféentels, le epéage d un moble dans l espace, l abscsse cuvlgne, les vecteus vtesses et les vecteus accéléatons. Ce manuel étude ensute les mouvements ectlgnes unfomes et unfomément vaés. Quand aux mouvements cuvlgnes, on y soulgne les composantes ntnsèques de l accéléaton, les mouvements cculae, cycloïdal et hélcoïdal. Pou temne, les dfféents systèmes de coodonnées ans que les composantes des vecteus vtesse et accéléaton dans ces systèmes de coodonnées. Justfcaton :

6 Avant d entame la dynamque du pont matéel, l faut ben posséde la cnématque du pont. Pou cela on a beson de connaîte les éléments ctés cdessus. Lectue #6 Réféences Complètes : Résumé : Cnématque du pont Cette lectue complète la pécédente su les calculs des composantes dues vecteus vtesse et accéléatons dans dfféents systèmes de coodonnées. On y touve encoe les coodonnées polaes et sem polaes. C est dans cette lectue que nous encontons ce qu on appelle hodogaphe. Les dfféents dagammes y sont ben lsbles. Justfcaton : Ce cous est facle à le. Il peut tès ben ade les appenants ou appenantes. Lectue #7 Réféences Complètes : Cnématque du pont Résumé : Cette lectue nous enfoce la connassance du mouvement plan, de la vtesse moyenne, l accéléaton moyenne, la vtesse nstantanée et l accéléaton nstantanée. Le mouvement de otaton unfome et le mouvement cculae unfomément vaé y sont tès développés. Justfcaton : En complément des deux lectues pécédentes, celle c complète le cous de la cnématque du pont. UNITE 3 : Equlbe d un solde su un plan hozontal

7 Les lectues oblgatoes concenant l unté 3 sont au nombe de tos. Elles sont goupées à l annexe 3. Lectue #8 Réféence Complète : RATIARISON, A. (6. Equlbe d un solde su un plan Faculté des Scences- Unvesté d Antananavo MADAGASCAR, Cous nédt Résumé : Cette lectue s occupe essentellement de l équlbe des soldes su un plan. Un solde su un plan peut glsse ou toune s l n est pas en équlbe. Pou ntodue l équlbe d un solde, l faudat pale de toseu qu n est aute qu un système de vecteus lbes. Ce système de vecteus lbes se édut à la ésultante généale des foces et du moment ésultant de toutes les foces applquées au système consdéé. La condton d équlbe est défn pa un toseu nul c'est-à-de ésultante généale nulle et moment ésultant nul. Justfcaton : Dans le pogamme l a été défn qu on pale seulement de ésultante de foces nulle, mas pou élag la connassance des appenants ou des appenantes l faut auss pale de moment ésultant nul des foces applquées au système consdéé. UNITE 3 : Lectue #9 Réféence complète : Statque du solde tée de «

8 Résumé : Un atcle de Wkpéda, l'encyclopéde lbe. Statque du solde Les déplacements possbles, appelés auss degés de lbeté, sont de deux natues: tanslatons (3 dectons pncpales et otatons (autou de ces tos dectons. Alos que les tanslatons ne peuvent ête povoquées que pa des foces, les otatons sont généées pa des moments de ces foces, ou autes couples de foce. Quand l'équlbe d'un pont ne nécesste l'établssement que de 3 elatons algébques (équaton vectoelle des foces à 3 dmensons, celu du solde demande alos la consdéaton de 3 équatons supplémentaes (équaton vectoelle des moments. Le pncpe fondamental de la statque peut donc se compose alos:. du théoème de la ésultante (somme des foces nulle. du théoème du moment (somme des moments nulle. Justfcaton : L'étude de l'équlbe d'un solde nécesste toujous la consdéaton de ces théoèmes, même s cetans cas smples, tatés en mécanque du pont, semblent ête ésolus avec une seule des pates. En ègle généale, l n'est pas possble de tate sépaément les deux aspects (foces et moments: l s'agt ben d'un poblème complexe à 6 dmensons. UNITE 3 : Lectue # Réféence complète : Statque de solde Résumé

9 L acton mécanque qu est toute cause susceptble de manten un cops au epos,de cée ou de modfe un mouvement, de défome un cops, se manfeste sous deux fomes : - le mouvement de tanslaton dû à la ésultante des foces applquées au solde - le mouvement de otaton dû au moment ésultant de ces foces Avant d énonce Le Pncpe Fondamental de la Statque (PFS, l auteu pale de la modélsaton des actons de contact : Justfcaton : - le contact d un flude su un solde, - le contact de deux soldes. L un des caactéstques de dette lectue la classfcaton des actons mécanques applquées à un solde : - l acton mécanque à dstance ( pesanteu, électomagnétque, électostatque, appenantes. - l acton mécanque de contact (de pesson, de contact, Cette lectue est donc tès bénéfque pou les appenants et pou les UNITE 4 : Los de composton des mouvements Dynamque des ponts matéels- Taval, énege et pussance mécanques Oscllateus Lectue # Réféence complète : RATIARISON, A. (6. Composton de mouvement, Dynamque du pont matéel, Taval Enege - Pussance, Oscllateus Faculté des Scences- Unvesté d Antananavo MADAGASCAR, Cous nédt Les pates dynamques et Oscllateus ont été tées de Résumé

10 Cette unté commence pa l établssement des los de composton des mouvements et l énoncé des tos los de Newton avec leus applcatons patques. Elle contnue de pale de la mse en évdence des foces d nete de Cools et d entaînement. Elle met en évdence la défnton du taval et le calcul du taval podut pa les foces consevatves et celu podut pa les foces non consevatves. Elle établt le théoème de l énege cnétque et le théoème de l énege mécanque. Elle temne pa l étude des oscllateus hamonques et amotes. Justfcaton : Pou avo une dée généale su le mouvement absolu et le mouvement elatf, le cous commence pa la généalsaton des dfféentes vtesses et des accéléatons Les tos los de Newton et des théoèmes de l énege cnétque et mécanque sont à la base de la dynamque du pont matéel. Lectue # Réféence complète : Papancola Robet, CIN_DERIVATION_VECTORIELLE.pdf Dévaton vectoelle Résumé Ce cous de dévaton vectoelle débouche su la lo de composton des mouvements. Il complète donc le cous de Ratason Adolphe. Pou avo la noton de la composton de tos otaton l auteu fat ente les tos angles d Eule à savo la pécesson, la nutaton et la otaton pope. Justfcaton : Les tos angles d Eule ne sont pas au pogamme ca dans la patque cec concene la cnématque de solde. Il ne faut donc pas que l appenant consace

11 beaucoup de temps là-dessus. La composton des otatons est ben développée dans le cous de Ratason. Lectue #3 Réféence complète : Dynamque du pont matéelle Taval, énege, pussance Oscllateus Résumé C est un cous complet su la dynamque du pont matéel. Ce cous fat sute au ste que nous avons déjà cté à la pate cnématque. Justfcaton : Cous facle à le. Lectue #4 DIOUF, S. (4. L Evaluaton des appentssages. Sénégal. Unvesté Chekh Anta DIOP de Daka. FASTEF (ex ENS Résumé Ce texte dont la lectue est ecommandée pou pouvo éponde à l évaluaton fomatve optonnelle à caactèe pédagogque, content dfféentes pates dont La poblématque de l évaluaton qu tate des dfféentes questons elatves à l évaluaton Les dfféentes fomes d évaluaton où l est auss queston des ôles et des moments d évaluaton

12 Les statéges de ecuel d nfomaton. Dans cette pate vous touveez les questons à coecton objectve et les questons à coecton subjectve. On y touve auss les étapes de constucton d un sujet d examen et les caactéstques de l évaluaton Justfcaton de cette lectue La lectue de ce texte pemet aux appenants de éponde coectement aux questons de l évaluaton fomatve optonnelle à caactèe pédagogque. Tous les éléments de éponse à cette évaluaton sont contenus dans ce texte.

13 L e c t u e ( s #

14 MODULE : MECANIQUE LECTURE OBLIGATOIRE N GRANDEURS PHYSIQUES ET UNITES SI ERREURS - INCERTITUDES ADDITION ET SOUSTRACTION DE VECTEURS A. GRANDEURS PHYSIQUES ET SYSTEME SI. La valeu d'une gandeu est généalement expmée sous la fome du podut d'un nombe pa une unté. L'unté n'est qu'un exemple patcule de la gandeu concenée, utlsé comme éféence. Le nombe est le appot ente la valeu de la gandeu en queston et l'unté. Pou une gandeu patculèe, on peut utlse de nombeuses untés dfféentes. Pa exemple, la vtesse v d'une patcule peut ête expmée sous la fome : v = 5 m/s = 9 km/h, Les untés mète pa seconde et klomète pa heue étant des untés altenatves pou expme la même valeu de la gandeu «vtesse». Cependant, comme l est mpotant de dspose d'un ensemble d'untés ben défnes, unvesellement econnues et facles à utlse pou la multtude des mesues qu confotent l'assse de note socété, les untés choses dovent ête accessbles à tous, supposées constantes dans le temps et l'espace, et facles à éalse avec une exacttude élevée. Pou établ un système d'untés, comme le Système ntenatonal d'untés, le SI, l est nécessae tout d'abod d'établ un système de gandeus et une sée d'équatons défnssant les elatons ente ces gandeus. Cec est nécessae pace que les équatons elant les gandeus ente elles détemnent celles elant les untés ente elles, comme déct dans la sute de ce document. Il est commode auss de chos les défntons d'un nombe estent d'untés que nous appelons les untés de base, et de défn ensute les untés des autes gandeus comme poduts de pussances des untés de base, que nous appelons les untés dévées. De manèe smlae, les gandeus coespondantes sont déctes comme gandeus de base et gandeus dévées, et les équatons donnant les gandeus dévées en foncton des gandeus de base sont utlsées pou expme les untés dévées en foncton des untés de base (vo secton.4. Il est donc logque que le chox des gandeus et des équatons elant les gandeus pécède celu des untés. Du pont de vue scentfque, la dvson des gandeus en gandeus de base et gandeus dévées est affae de conventon ; ce n'est pas fondamental pou la compéhenson de la physque sous-jacente. Toutefos, pou ce qu concene les untés, l est mpotant que la défnton de chaque unté de base sot effectuée avec un son patcule, afn de satsfae aux exgences mentonnées au peme paagaphe c-dessus, pusqu'elles assuent le fondement du système d'untés tout ente. La défnton des untés dévées en foncton des untés de base découle des équatons défnssant les gandeus dévées en foncton des gandeus de base. Ans l'établssement d'un système d'untés, qu consttue le sujet de cette bochue, est ntmement lé aux équatons algébques elant les gandeus coespondantes.

15 Les gandeus de base utlsées dans le SI sont la longueu, la masse, le temps, le couant électque, la tempéatue themodynamque, la quantté de matèe et l'ntensté lumneuse. Les gandeus de base sont, pa conventon, consdéées comme ndépendantes. Les untés de base coespondantes du SI, choses pa la CGPM, sont le mète, le klogamme, la seconde, l'ampèe, le kelvn, la mole et la candela. Les défntons de ces untés de base sont données dans la secton.. au chapte suvant. Les untés dévées du SI sont ensute fomées des poduts de pussances des untés de base, selon les elatons algébques qu défnssent les gandeus dévées coespondantes en foncton des gandeus de base (vo.4. À de aes occasons, on a le chox ente pluseus fomes de elatons ente les gandeus. Un exemple patculèement mpotant concene la défnton des gandeus électomagnétques. Les équatons électomagnétques atonalsées à quate gandeus, utlsées avec le SI, sont fondées su la longueu, la masse, le temps et le couant électque. Dans ces équatons, la constante électque (la pemttvté du vde et la constante magnétque (la peméablté du vde ont des dmensons et des valeus qu véfent l'équaton = /c, où c est la vtesse de la lumèe dans le vde. La lo de Coulomb déct la foce électostatque ente deux patcules de chages q et q à une dstance sous la fome** : qq F = 3 et l'équaton de la foce magnétque s'exeçant ente deux éléments de fls électques mnces pacouus pa des couants électques, dl et dl, est expmée sous la fome suvante : µ dl.( dl. d F = 3 4! où d F est la dfféentelle seconde de la foce F. Ces équatons, su lesquelles le SI est fondé, sont dfféentes de celles utlsées dans les systèmes CGS-UES, CGS-UEM et CGS de Gauss, dans lesquelles et sont des gandeus sans dmenson, choses comme étant égales à un, et où les facteus de atonalsaton 4 sont oms. Pa conventon, les gandeus physques sont ogansées selon un système de dmensons. Chacune des sept gandeus de base du SI est supposée avo sa pope dmenson, epésentée symbolquement pa une seule lette majuscule sans empattement en oman. Les symboles utlsés pou les gandeus de base, et les symboles utlsés pou ndque leu dmenson, sont les suvants : Gandeus de base et dmensons utlsées avec le SI Gandeu de base Symbole de la Symbole de la gandeu dmenson Longueu l, x,, etc. L Masse M M temps, duée T T couant électque I, l tempéatue themodynamque T quantté de matèe N N ntensté lumneuse I v J Toutes les autes gandeus sont des gandeus dévées, qu peuvent ête expmées en foncton des gandeus de base à l'ade des équatons de la physque. Les dmensons des gandeus

16 dévées sont éctes sous la fome de poduts de pussances des dmensons des gandeus de base au moyen des équatons qu elent les gandeus dévées aux gandeus de base. En généal la dmenson d'une gandeu Q s'éct sous la fome d'un podut dmensonnel, dm Q = L M T l N J où les exposants,,,,,, et, qu sont en généal de petts nombes entes, postfs, négatfs ou nuls, sont appelés exposants dmensonnels. L'nfomaton foune pa la dmenson d'une gandeu dévée su la elaton ente cette gandeu et les gandeus de base est la même que celle contenue dans l'unté SI pou la gandeu dévée, elle-même obtenue comme podut de pussances des untés de base du SI. Cetanes gandeus dévées Q sont défnes pa une équaton aux gandeus telle que tous les exposants dmensonnels entant dans l'expesson de la dmenson de Q sont égaux à zéo. C'est va, en patcule, pou une gandeu défne comme le appot ente deux gandeus de même natue.* Ces gandeus sont déctes comme étant sans dmenson, ou de dmenson un. L'unté cohéente dévée de telles gandeus est toujous le nombe un,, pusque c'est le appot ente les untés de deux gandeus de même natue, donc dentques. Il exste également des gandeus qu ne peuvent pas ête déctes au moyen des sept gandeus de base du SI, mas dont la valeu est détemnée pa comptage. Pa exemple le nombe de molécules, la dégénéescence en mécanque quantque (le nombe d'états ndépendants ayant la même énege et la foncton de patton en themodynamque statstque (le nombe d'états themques accessbles. Ces gandeus sont auss habtuellement consdéées comme sans dmenson, ou de dmenson un, et ont pou unté le nombe un,. Les untés dévées sont défnes comme le podut de pussances des untés de base. Quand le podut des pussances ne compend pas de facteu numéque aute que, les untés dévées sont appelées untés dévées cohéentes. Les untés de base et les untés dévées cohéentes du SI foment un ensemble cohéent, désgné sous le nom d'ensemble cohéent des untés SI. Le mot cohéent est utlsé c dans le sens suvant : losque l'on utlse des untés cohéentes, les équatons elant les valeus numéques des gandeus pennent exactement la même fome que les équatons elant les gandeus popement dtes. Ans, s l'on utlse unquement des untés d'un ensemble cohéent, on n'a jamas beson de facteus de conveson ente les untés. L'expesson de l'unté cohéente d'une gandeu dévée peut ête obtenue à pat du podut dmensonnel de la gandeu en emplaçant le symbole de chaque dmenson pa le symbole de l'unté de base coespondante. Cetanes untés dévées cohéentes du SI ont eçu des noms spécaux,* pa souc de smplfcaton (vo... Il est mpotant de soulgne que chaque gandeu physque n'a qu'une seule unté SI cohéente, même s cette unté peut ête expmée sous dfféentes fomes au moyen de noms spécaux ou de symboles patcules. L'nvese, toutefos, n'est pas va ; la même unté SI peut, dans cetans cas, ête employée pou expme les valeus de pluseus gandeus dfféentes (vo... La Conféence généale a, de plus, adopté une sée de péfxes pou la fomaton des multples et sous-multples décmaux des untés SI cohéentes (vo 3., la lste des noms de péfxes et de leu symbole. Ces péfxes sont commodes pou expme les valeus de gandeus beaucoup plus gandes ou beaucoup plus pettes que l'unté cohéente. Suvant la Recommandaton (969 du Comté ntenatonal, ces péfxes sont désgnés sous le nom de péfxes SI. (Ces péfxes sont auss pafos utlsés avec des untés en dehos du SI, comme déct dans le chapte 4 de cette bochue. Cependant, quand un péfxe est utlsé avec une unté du SI, l'unté dévée obtenue n'est plus

17 cohéente, ca le péfxe ntodut un facteu numéque dfféent de dans l'expesson de l'unté dévée en foncton des untés de base. Pa déogaton à la ègle, le nom du klogamme, l'unté de base pou la masse, compend le péfxe klo, pou des asons hstoques. Il est néanmons consdéé comme une unté de base du SI. Les multples et sous-multples du klogamme sont fomés en attachant des noms de péfxes au nom de l'unté «gamme» et des symboles de péfxes au symbole d'unté «g» (vo 3.. Ans 6 kg s'éct mllgamme, mg, et pas mcoklogamme,!kg. L'ensemble des untés SI compend l'ensemble des untés cohéentes et les multples et sousmultples de ces untés fomés en les combnant aux péfxes SI. Il est désgné sous le nom d'ensemble complet des untés SI, ou smplement untés SI, ou untés du SI. Notons toutefos que les multples et sous-multples décmaux des untés du SI ne foment pas un ensemble cohéent.

18 I. LA MESURE I. Défnton B. MESURE - ERREURS INCERTITUDES. Une mesue est caactésée pa un nombe et une unté. Cette unté est une gandeu de éféence appelée «étalon». Pou mesue une dstance on peut pende n mpote quel objet comme étalon. Cependant, pou des asons patques, on utlse une unté ntenatonale qu est le mète. Dans tout ésultat l est donc essentel d ndque quelle est l unté de mesue utlsée : un ésultat sans untés n est pas un ésultat. I. Mesue decte On appelle «mesue decte» un ésultat qu est obtenu dectement à pat d un nstument de lectue. La mesue d une longueu avec une ègle, la mesue de la tenson avec un voltmète ou la mesue de la vtesse avec un tachymète sont toutes des mesues dectes. I.3 Mesue ndecte On appelle «mesue ndecte» un ésultat obtenu pa un calcul. Pa exemple, s nous ne dsposons pas de tachymète pou mesue dectement la vtesse d un véhcule, on peut alos mesue la dstance pacouue et le temps nécessae pou pacou cette dstance et pa la sute calcule la vtesse. L ae d une suface obtenue pa le podut de la longueu de ses côtés seat auss une mesue ndecte. II. ERREURS Losqu on effectue la mesue de la lageu d une feulle de pape, on sat que le ésultat obtenu ne epésente pas exactement la vétable lageu de cette feulle : on commet une cetane eeu su ce ésultat. L eeu est la dfféence ente la valeu vae d une gandeu et la valeu de cette mesue. Étant donné que nous ne connassons pas la valeu vae d une mesue, l nous est mpossble de détemne l eeu commse. Nous pouvons cependant savo quelle est l eeu maxmale qu on peut commette su cette mesue : c est ce que nous appelons l ncettude. II. Chffes sgnfcatfs En mesuant la lageu d une feulle de pape, l seat llusoe de donne un ésultat au centème de mllmète. L éctue de note ésultat dot efléte la qualté de la mesue qu on a effectuée. C est pou cela qu on dot expme le ésultat avec un nombe de chffes sgnfcatfs qu coespond à la pécson de la mesue effectuée. On appelle chffes sgnfcatfs tous les chffes d un nombe sauf les zéos sevant unquement à stue la vgule. Pa exemple, le nombe, a 5 chffes sgnfcatfs alos que, n en a qu un seul. On vot que la mesue 5 mm est dfféente de 5, mm pusque la pemèe mesue mplque qu on

19 a mesué jusqu au mllmète pès, alos que la deuxème mesue mplque qu on a mesué jusqu au dxème de mllmète. II. Incettude absolue L ncettude absolue est l eeu maxmale qu on peut commette en effectuant une mesue. On utlse habtuellement le symbole D pou la epésente (pa exemple L ±!L. Pou des asons de smplcté, on gade un seul chffe sgnfcatf pou l ncettude. Cependant, losque le peme chffe est égal à un (, on conseve auss le second. Pa exemple, on éca L = (,65 ±,5 cm ; M = (,5 ±, g. II.3 Incettude elatve L ncettude elatve est obtenue en dvsant l ncettude absolue pa la valeu de la mesue ("L / L. Habtuellement, on l expme en poucentage. Pou cela, l faut multple l ncettude elatve pa cent. Pa exemple, s L = (,65 ±,5 cm, l ncettude elatve en poucentage est :!L / L =,5/,65 =,39 =,3 %. On conseve habtuellement deux ( chffes sgnfcatfs pou l ncettude elatve. L utlté de l ncettude elatve est de nous ensegne su la pécson d une mesue. Une ncettude absolue de m peut coesponde à une pète mesue ou une excellente mesue : s L = ( ± m, l ncettude elatve est 7%, alos que s L = (4 55 ± m, l ncettude est de,8 %. II.4 Méthode des extêmes Il exste pluseus méthodes pou détemne l ncettude su un ésultat. Dans le cous NYA, seule la méthode des valeus extêmes est utlsée. Cette méthode consste à calcule les valeus mnmale et maxmale de note ésultat pou connaîte quelle est l ncettude. Elle compend les étapes suvantes. Calcul du ésultat pobable (A avec nos mesues telles quelles.. Calcul du ésultat mnmal (A mn en tenant compte des ncettudes. 3. Calcul du ésultat maxmal (A max en tenant compte des ncettudes. 4. Calcul de l écat ente la valeu maxmale ("A + et la valeu pobable. 5. Calcul de l écat ente la valeu mnmale ("A et la valeu pobable. S les écats "A + et "A ne sont pas dentques (ce qu se podut dans une foncton qu n est pas lnéae, on conseve le plus gand des deux écats. C est ce ésultat qu est l ncettude absolue "A. Pa la sute, on dot aond "A pou especte la façon d éce l ncettude absolue. Le ésultat fnal A aua la même pécson que l ncettude "A. Exemple : On a mesué la longueu et la lageu d une feulle et on a obtenu les valeus suvantes :

20 a = (3,4 ±, cm et b = (,5 ±,5 cm. On cheche à détemne l ae A de cette feulle avec son ncettude.. Calcul du ésultat pobable (A avec nos mesues telles quelles. A = a x b = 3,4 x,5 = 384,65 cm. Calcul du ésultat mnmal (A mn en tenant compte des ncettudes. À la lmte nféeue, nos mesues sont a mn = 3, cm et b mn =, cm. L ae A mn qu on obtent avec ces mesues est : A mn = a mn x b mn = 3, x, = 38,64 cm 3. Calcul du ésultat maxmal (A max en tenant compte des ncettudes. À la lmte supéeue, nos mesues sont a max = 3,6 cm et b max =,3 cm. A max = a max x b max = 5,6 x,3 = 388,68 cm 4. Calcul de l écat ente la valeu maxmale ("A + et la valeu pobable. "A + = A max A = 388,68 384,65 = 4,3 cm 5. Calcul de l écat ente la valeu mnmale ("A et la valeu pobable. "A = A A mn = 384,65 38,64 = 4, cm Comme on dot aond à un seul chffe sgnfcatf, l ncettude est "A = ± 4 cm. Le ésultat fnal dot avo la même pécson que l ncettude (384,65 #385. A = 385 ± 4 cm Exemple : Losque la même vaable appaaît plus d une fos dans le calcul, l faut s assue de lu donne toujous la même ncettude. Supposons que, dans l exemple pécédent où a est la longueu et b la lageu, on veulle détemne le appot R = lageu /(longueu +lageu. Le calcul de R max seat : où on emaque qu on a utlsé b max aux deux endots

21 et le calcul de R mn seat : II.5 Incettude su une moyenne Losqu on pend pluseus mesues afn d en fae la moyenne et que l ncettude est la même su toutes les mesues, l ncettude su la moyenne est la même que celle su les mesues. II.6. Utlsaton de la méthode des chffes sgnfcatfs Il ave que l ncettude su une mesue est nconnue. Dans ce cas, on utlse la méthode des chffes sgnfcatfs. On pésume que l ncettude su cette mesue est su le dene chffe sgnfcatf qu elle content. Dans une opéaton de multplcaton ou de dvson on gade autant de chffes sgnfcatfs dans le ésultat que le nombe qu en a le mons. Dans une opéaton d addton ou de soustacton, le ésultat aua la même pécson que celu qu en a le mons. Pa exemple, le pods d un objet de,4 kg su Mas où g Mas = 3,7 m/s seat : P = mg Mas = 3,7 x,4 = 3,85 N. Cette méthode pésume que dans ce ésultat ce sont les centèmes qu sont ncetans. Cependant losque les ncettudes sont connues, l faut alos effectue le calcul d ncettude. Ans s g Mas = 3,7 ±,5 m/s et m =,4 ±,5 kg. Le ésultat seat P = 3,8 ±, N en se sevant de la méthode des extêmes. On se seva de la méthode des chffes sgnfcatfs seulement s l ncettude est nconnue. III. ÉGALITE PHYSIQUE Pou compae deux mesues ente elles, on se set de leu domane d ncettude. S les deux mesues peuvent se ejonde à l ntéeu de leus domanes d ncettude alos l écat est non sgnfcatf. Pa exemple, on veut compae les deux ésultats suvants : a = 9,8 ±,5 m/s et a = 9,86 ±,5 m/s. Repésentons-les su une échelle : Étant donné qu l y a au mons un pont commun ente les deux domanes, l y a égalté physque.

22 C. ADDITION ET SOUSTRACTION DE VECTEURS I. ESPACE VECTORIEL I. Défntons On appelle espace vectoel E su un cops commutatf K, un ensemble d éléments, appelés vecteus, qu satsfat aux popétés suvantes :! E est mun d une stuctue de goupe commutatf pou une lo de composton ntene, l addton vectoelle, notée +! Pou deux vecteus U et V, éléments de E, on a, s! et µ appatennent à K :!(U + V =! U +! V (! + µ U =! U + µ U!( µ U = (!µu U = U On appelle vecteu un élément d un espace vectoel. De façon plus smple, et plus patque, on appelle vecteu un bpont odonné (A,B, noté AB ou V, A s appelle l ogne, et B l extémté. Un vecteu est détemné s on connaît - son suppot (dote AB, - son sens (de A ves B - son ntensté (module AB du vecteu AB. I. Base d un espace vectoel On appelle base d un espace vectoel un système de n vecteus de E, lnéaement ndépendants, pemettant d expme lnéaement tout vecteu de E : n U =! = x e Les coeffcents x sont les composantes du vecteu U dans la base consdéée. La base est othonomée s, quels que soent et j, on a : e.e et e. e = II. ESPACE AFFINE = j II. Défnton On appelle espace affne " un ensemble de ponts, tel qu à tout bponts odonné (AB de deux ponts A et B, on peut fae coesponde un vecteu AB, d un espace vectoel E. S A, B, C désgnent tos ponts de ", on a :

23 AB =! BA AC = AB + BC S O est un pont quelconque de ", et V un vecteu appatenant à E, l exste un pont A et un seul tel OA = V II. Espace métque S on a deux vecteus / / / / OA =! x e et OA =! x e on a : AA =!( x " x e # $! $! % " % " Dans un système de coodonnées, un vecteu est détemné pa ses composantes dans ce epèe. La nome AA / / est : = & / / # & $ (( ' (( '! = $ ( / AA x x e. x x e. ( x ' x On appelle composantes d un vecteu pa appot à un système de coodonnées donné, les pojectons othogonales de ce vecteu su les 3 axes du epèe. x 3 x 3 O x x x x II. OPERATIONS SUR LES VECTEURS III. Addton et soustacton vectoelles L addton de deux vecteus U + V = W Relaton de Chasles. U et V donne un vecteu W tel que On se donne un vecteu AB. Quels que soent les ponts B,B,B3,B4, la elaton de Chasles s éct : AB = AB + BB + BB3 + B3B4 + B4B

24 Ce qu se tadut pa le schéma suvant : B W V V B 4 U A B B 3 B Technque d addton de vecteus Soent deux vecteus U et V. On constut un paallélogamme de côtés U et V. Le vecteu somme est le dagonal de ce paallélogamme. Notons que l addton vectoelle est commutatve. U + V = V + U = W Le module du vecteu somme est : ( U + V = U + V + UV W = V W # U W = U + V + U V cos! On peut auss addtonne deux vecteus pa les composantes. S on se donne un epèe et deux a a vecteus somme est c U b et V b. Le vecteu c W = U a + V = b c + a + b + c Le module du vecteu somme est : ( a + a + ( b + b + ( c W = + c

25 Technque de soustacton de vecteus W=U-V U -V V La soustacton de deux vecteus U et V se fat comme sut : On constut le vecteu l addton de vecteus U et de - V. - V et on fat U - V = W S on se donne un epèe et deux a a U b c et V b c, les composantes de U - V = W sont : U - V = a b c! a! b! c III. Multplcaton d un vecteu pa un scalae. Sot V = x e + x e + x 3 e 3 un vecteu. S on multple ce vecteu pa un scalae! on a :! V =! ( x e + x e + x 3 e 3 (! x e + (! x e + (! x 3 e 3 = Multple un vecteu pa un scalae event donc à multple les composantes pa ce scalae :! V = =! (! x + (! x + (! x ( x + ( x + ( x 3 3 3V =! V L angle du vecteu ne change pas. Le module du vecteu est multplé pa ce nombe. S! est négatf, le vecteu! V est de sens contae à V V

26 L e c t u e ( s #

27 Les vecteus : Addton, opposé et soustacton de vecteus Addton, opposé et soustacton de vecteus. Avant d'entame les hostltés avec l'addton vectoelle, evenons su un vecteu et un de ses epésentants. Ayant un pont A et un vecteu, quelle est la démache à suve pou constue un pont B tel que. C'est l'objet de l'anmaton suvante : Dans cette constucton, on utlse le fat que s (ABDC est un paallélogamme alos les vecteus et sont égaux. Addton de deux vecteus. L'addton de deux nombes éels est quelque chose de natuel : on assemble les deux quanttés qu'l s'agt d'addtonne et on compte! Pou les vecteus, les choses sont un peu mons tvales. Soent deux vecteus. Qu'est leu somme? Pemèe chose : c'est un vecteu qu'l s'agt donc de défn. Seconde chose : constusons un de ses epésentants. C'est l'objet de l'anmaton suvante : of 6 3/3/7 9:58

28 Les vecteus : Addton, opposé et soustacton de vecteus S l'on ésume, pou constue l'un des epésentants d'ogne A de, l faut : Constue le pont B tel que. Constue le pont C tel que. Un epésentant du vecteu est alos le vecteu. Popétés de cette addton vectoelle. Cette addton pésente quelques popétés smlaes à celles de l'addton des nombes. Il est fot pobable que vous ne les connassez pas. C'est donc le moment de les évoque. La pemèe de ces popétés est la commutatvté. Commutatvté :. En effet, s l'on egade su une fgue : Cette popété peut vous semble banale. Poutant elle est pmodale. L'addton des nombes pésente la même popété. En effet + 3 = 3 + pa exemple! En effet, s l'on egade su une fgue : La queston que vous vous posez sans doute est : quel est l'ntéêt d'une telle popété? Apès tout c'est une chose qu semble natuelle! L'addton des nombes pésente une popété smlae qu'on appelle également assocatvté. Pa of 6 3/3/7 9:58

29 Les vecteus : Addton, opposé et soustacton de vecteus exemple, on a que : ( = + (3 + 5 On pouat se demande pouquo on conseve, c des paenthèses. Beaucoup les font saute les estmant nutles! Ils écvent , tout smplement! Une chose à ne pas pede de vue est que l'addton est une opéaton bnae. C'est-à-de qu'on addtonne deux temes. Et non tos comme l'éctue l'ndque! S'ls peuvent fae saute les paenthèses, c'est tout smplement à cause de cette assocatvté. Fae + 3 pus y ajoute 5 équvaut à ajoute à Cette assocatvté qu semble s modeste est en fat d'une mpotance cucale! Mas là débute une aute hstoe. Et s fae + 3 pus y ajoute 5 équvaut à ajoute 3 à + 5, c'est auss gâce à la commutatvté. Elément neute : On dt que le vecteu nul (que l'on note est l'élément neute de l'addton vectoelle. A tte d'nfomaton est l'élément neute de l'addton des nombes... En effet pou tout éel x, x + = + x = x. Relaton de Chasles. Revenons à la constucton pécédente. Nous avons vu que. O et. Ans vent-l cette elaton que l'on appelle elaton de Chasles : Remaque : Comme toutes les égaltés, la elaton peut se le dans les deux sens : de la gauche ves la dote pou décompose le vecteu en une somme de vecteus et. de la dote ves la gauche pou édue la somme fomée des vecteus et en un seul vecteu. En ésumé : Attenton, eeu féquente! Un aute pont mpotant est la condton d'applcaton de la elaton de Chasles. 3 of 6 3/3/7 9:58

30 Les vecteus : Addton, opposé et soustacton de vecteus Dans les copes, on vot souvent des eeus du style : Cetans coent pouvo applque c la elaton de Chasles. Hoeu et eeu! Pou applque la elaton de Chasles, l faut que les deux vecteus aent un pont en commun qu sot l'extémté de l'un et l'ogne de l'aute. Dans le cas suvant, les condtons sont pafatement emples : La ègle du paallélogamme. Nous avons déjà vu qu'une égalté vectoelle nous pemet de caactése un paallélogamme. Une aute fasant nteven une somme le pemet également. La peuve : Nous allons pocéde pa équvalence. 4 of 6 3/3/7 9:58

31 Les vecteus : Addton, opposé et soustacton de vecteus Bef, on a gagné! Opposé d'un vecteu. L'opposé d'un nombe x est un nombe y qu ajouté à x donne. De la même manèe, on défnt l'opposé d'un vecteu. Cette une belle défnton mathématque peut lasse peplexe. Développons donc note popos... Intéessons-nous à l'opposé du vecteu. Il semble qu'l s'agsse du vecteu. Véfons : Note doute est donc devenu cettude. S l'on compae les vecteus et, on s'apeçot qu'ls ont même decton et nome mas sont de sens contae. Ans l'opposé du tout vecteu a-t-l même decton et même nome que mas l est de sens contae. Un dene mot su l'opposé : on sat que l'opposé du vecteu est le vecteu. Mas quel l'opposé de l'opposé du vecteu? C'est-à-de quel est l'opposé du vecteu? 5 of 6 3/3/7 9:58

32 Les vecteus : Addton, opposé et soustacton de vecteus C'est tout smplement le vecteu. Ans : Enfn, sgnalons que l'opposé du vecteu est le vecteu. A ne pas confonde avec le vecteu. Soustacton vectoelle. La soustacton de deux éels est en fat une addton. En effet, etanche un nombe à un aute event à y ajoute l'opposé. De la même manèe, on défnt la soustacton vectoelle. Remaque : Une chose à emaque au sujet des vecteus expmés à pat de ponts : Dans le cas des "vecteus à ponts", l est souvent judceux d'élmne les mons. Pou conclue ce second paagaphe, nous énonceons une poposton qu tadut pa une soustacton la elaton de Chasles. La peuve : Tout se fea tès vte! Nous avons utlsé dans note démonstaton la elaton de Chasles. Cette page ans que la quas-totalté des éléments et de la pogammaton qu la composent ou qu en dépendent, ont été conçus et éalsés pa Jéôme ONILLON. Elle est exclusvement mse en lgne pa la tavene de l'ilandas. (c AMLTI Mas 998/Janve 3. Tous dots ésevés. 6 of 6 3/3/7 9:58

33 L e c t u e ( s # 3

34 Addton vectoelle Mathématques pou la Physque et la Chme Les Vecteus Addton vectoelle Défnton La somme de deux vecteus lbes et, notée, est un vecteu lbe, obtenu pa la "ègle du paallélogamme". Popétés L'addton vectoelle est une lo de composton ntene et possède les popétés suvantes : Assocatvté : Commutatvté : Elément neute : ( vecteu nul Elément symétque : ( vecteu opposé de Applcatons Dfféence de deux vecteus Etant donné deux vecteus et l exste un unque vecteu tel que : Relatons de Chasles En epésentant les vecteus, et espectvement pa, et alos l'addton vectoelle condut à : o comme : on en dédut, quels que soent les ponts O, A et B (Relaton de Chasles Cas patcule : Les tos ponts O, A et B sont algnés su une dote de vecteu untae. S les mesues algébques des vecteus, et sont notées, et alos : of 3/3/7 :

35 Addton vectoelle et nous obtenons la elaton de Chasles pou les mesues algébques : Mathématques pou la Physque et la Chme Les Vecteus Addton vectoelle of 3/3/7 :

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37 Géométe vectoelle - Wkpéda Géométe vectoelle Accédez à la lste des pages à ecycle. Un atcle de Wkpéda, l'encyclopéde lbe. Cet atcle ou cette secton dot ête ecyclé. Sa qualté devat ête lagement améloée en le éogansant et en le clafant. L'utlsateu qu appose ce bandeau est nvté à énonce les ponts à améloe en page de dscusson. La géométe vectoelle est la pate de la géométe eucldenne fasant nteven les vecteus. Sommae Notatons des vecteus Opéatons su les vecteus dans le plan et l'espace. Podut d'un vecteu pa un scalae. Somme de deux vecteus.3 Podut scalae de deux vecteus.3. Défnton.3. Popétés 3 Podut vectoel de deux vecteus dans l'espace 4 Podut mxte 4. Défnton et popétés 4. Applcaton du podut mxte 5 Double podut vectoel 5. Vo auss 6 Vo auss Notatons des vecteus À l'époque où l'mpmee ne dsposat pas encoe des possbltés actuelles, l état malasé de mette des flèches au-dessus des lettes, les vecteus étaent donc notés en caactèe gas. Cec est toujous adopté losque l'on veut fae essot le caactèe généal des vecteus (c'est-à-de s'abstae du côté géométque. Opéatons su les vecteus dans le plan et l'espace Les vecteus dont l sea queston dans cet atcle sont ceux de l'espace \mathbb R^3 ou du plan \mathbb R^. Comme soulgné c-dessus, cetanes constuctons géométques sont spécfques aux vecteus. Ces constuctons géométques ayant des popétés communes avec les opéatons su les nombes (addton, multplcaton, on adopte une notaton smlae. of 7 3/3/7 :3

38 Géométe vectoelle - Wkpéda Podut d'un vecteu pa un scalae Le teme «scalae» désgne c un nombe éel. Le podut d'un vecteu \vec{u} pa un scalae a est un vecteu noté a \cdot \vec{u} de même decton et sens que \vec{u}, mas dont la longueu vaut a \cdot \vec{u}, s a > de même decton mas de sens contae que \vec{u}, et dont la longueu vaut -a \cdot \vec{u}, s a <. l s'agt d'un vecteu nul s a = Il s'agt d'une dlataton (s a > ou d'une contacton (s a <, bef d'une homothéte de appot a. podut d'un vecteu u pa un scalae a podut d'un vecteu \m \vec{u} pa un scalae a On a.\vec{u} = \vec{u},.\vec{u} = \vec{} et a.\vec{} = \vec{} est donc l'élément scalae neute, et l'élément scalae absobant pou cette opéaton. Le podut d'un vecteu pa un scalae est dstbutf su l'addton des scalaes (a+b \cdot \vec{u} = a \cdot \vec{u} + b \cdot \vec{u} mas l n'est pas commutatf : la notaton \vec{u} \cdot a n'a pas de sens. Notez que deux vecteus sont colnéaes (paallèles s et seulement s ls sont popotonnels, c'est-à-de s'l exste un nombe a tel que \vec{u} = a \cdot \vec{v}. Somme de deux vecteus La somme de deux vecteus \vec{u} et \vec{v} est un vecteu, noté \vec{u}+\vec{v}, qu est constut de la manèe suvante : on amène l'ogne du deuxème vecteu à l'extémté du peme, la somme est le vecteu qu jont l'ogne du peme vecteu à l'extémté de second. Il s'agt du tosème côté d'un tangle fomé pa les deux pemes vecteus. On peut auss le constue d'une aute manèe : on amène les ognes des deux vecteus en un même pont, on tace un paallélogamme dont les vecteus sont deux côtés, la somme est alos la dagonale du paallélogamme patant de l'ogne. of 7 3/3/7 :3

39 Géométe vectoelle - Wkpéda Dans les deux cas, on place les vecteus bout-à-bout ; mas s l'ogne d'un vecteu coespond à l'extémté de l'aute, on utlse la méthode du tangle, s les ognes sont confondues, on utlse la méthode du paallélogamme. somme de deux vecteus Somme de deux vecteus S l'on a tos ponts A, B et C, alos on a la «elaton de Chasles» : \oveghtaow{ab} + \oveghtaow{bc} = \oveghtaow{ac} on dédut de cela que \oveghtaow{ab} + \oveghtaow{ba} = \oveghtaow{aa} = \vec{} ce qu pemet de défn l'opposé d'un vecteu, et donc la soustacton : en posant la notaton on a -\oveghtaow{ab} = - \cdot \oveghtaow{ab} \oveghtaow{ab} = - \oveghtaow{ba} L'opposé d'un vecteu est le vecteu de même decton, de même longueu, mas de sens opposé. On a : \vec{u} + \vec{} = \vec{u} \vec{} est l'élément neute de l'addton des vecteus. L'addton des vecteus est commutatve \vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u} Le podut d'un scalae pa un vecteu est dstbutf su l'addton des vecteus : a \cdot (\vec{u} + \vec{v} = a \cdot \vec{u} + a \cdot \vec{v}. Podut scalae de deux vecteus Défnton S \vec{u} et \vec{v} sont deux vecteus fasant un angle!, on appelle podut scalae, et on note \vec{u} \cdot \vec{v}, le nombe (éel valant : \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{v} \cdot \cos(\alpha. Le podut scalae est nul s l'un des vecteus est nul ou s l'angle ente eux est dot (c'est à de s et! = "/ ad = 9 ou! = -"/ ad = -9., les vecteus \vec{u} et \vec{v} sont dans ce cas othogonaux, stctement postf s l'angle est agu et stctement négatf s l'angle est obtus. 3 of 7 3/3/7 :3

40 Géométe vectoelle - Wkpéda Cette opéaton a été ntodute pou smplfe les calculs su les pojectons othogonales. En effet s v u est la longueu algébque de la pojecton de \vec{v} su une dote oentée selon \vec{u} (v u est postf s la pojecton est dans le même sens que \vec{u}, négatf s'l est dans le sens opposé, alos on a \vec{u} \cdot \vec{v} = v_u \cdot \vec{u} Ans, s la nome de \vec{u} vaut, alos la longueu algébque de la pojecton othogonale de \vec{v} su la dote est \vec{u} \cdot \vec{v}. De la même manèe, s u v est la longueu algébque de la pojecton de \vec{u} su une dote oentée selon \vec{v},alos on a \vec{u} \cdot \vec{v} = u_v \cdot \vec{v} podut scalae de deux vecteus Popétés Le podut scalae est commutatf \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} Il est dstbutf su l'addton des vecteus \vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}= \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} Le vecteu nul est l'élément absobant du podut scalae \vec{u} \cdot \vec{} = \vec{} \cdot \vec{u} = \vec{u} \cdot \vec{u} s'appelle le caé scalae du vecteu \vec{u} et se note \vec{u} ; ans : \vec {u} = \vec{u} \cdot \vec{u} Le caé scalae d'un vecteu est égal au caé de sa nome \vec{u} = \ \vec{u} \ et donc \sqt{{\vec{u}}^} = \ \vec{u} \ Deux vecteus non nuls sont othogonaux s et seulement s leu podut scalae est nul \vec{u} \pep \vec{v} s et seulement s \vec{u} \cdot \vec{v} = Dans le plan appoté à une base othonomale \left ( \vec, \vec j \ght \vec u \cdot \vec v=u_x\cdot v_x+u_y\cdot v_y Démonstaton [ Déoule ] Dans l'espace appoté à une base othonomale \left ( \vec, \vec j, \vec k \ght \vec u \cdot \vec v=u_x\cdot v_x+u_y\cdot v_y+u_z\cdot v_z Vo auss ( pou une défnton généale valable dans toutes les banches des mathématques 4 of 7 3/3/7 :3

41 Géométe vectoelle - Wkpéda Podut scalae Podut vectoel de deux vecteus dans l'espace Notons tout d'abod que deux vecteus non colnéaes Podut vectoel \vec{u} et \vec{v} défnssent un plan vectoel ; un Podut vectoel tosème vecteu \vec{w} est coplanae aux deux pécédents s et seulement s'l peut s'éce comme une combnason lnéae des deux pemes, c'est-à-de s'l exste deux éels a et b tels que \vec{w} = a \cdot \vec{u} + b \cdot \vec{v} Tos vecteus non coplanaes foment une base. La base (\vec{u},\vec{v}, \vec{w} est dte decte s on peut l'mage avec la man dote, \vec{u} étant le pouce, \vec{v} étant l'ndex et \vec{w} étant le majeu. On défnt le podut vectoel des deux vecteus \vec{u} et \vec{v}, noté \vec{u} \wedge \vec{v}, comme étant le vecteu : nomal au plan vectoel de base (\vec{u},\vec{v} dont la nome vaut \ \vec{u}\ \cdot \ \vec{v}\ \cdot \sn(\wdehat{\vec{u},\vec{v}} tel que (\vec{u},\vec{v}, ( \vec{u} \wedge \vec{v} fome une base decte. On étend la défnton pécédente au cas où \vec{u} et \vec{v} sont colnéaes en posant : \vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{} Vo l'atcle détallé Podut vectoel. Podut mxte Défnton et popétés Etant donnés tos vecteus \vec u\,, \vec v\, et \vec w\,, on appelle podut mxte de ces 3 vecteus la quantté : \left[\vec u, \vec v, \vec w\ght] = (\vec u \wedge \vec v \cdot \vec w\,. On peut démonte que l'on a : \left[\vec u, \vec v, \vec w\ght] = \left[\vec v, \vec w, \vec u\ght] = \left[\vec w, \vec u, \vec v\ght]\, et : \left[\vec v, \vec u, \vec w\ght] = \left[\vec w, \vec v, \vec u\ght] = \left[\vec u, \vec w, \vec v\ght] = - \left[\vec u, \vec v, \vec w\ght]\, et auss : \left[\vec u, \vec v, \vec w\ght] = \begn{vmatx} u_x & u_y & u_z\\v_x & v_y & v_z\\w_x & w_y & w_z \end{vmatx} autement dt : \left[\vec u, \vec v, \vec w\ght] = (u_x v_y w_z + v_x w_y u_z + w_x u_y v_z - (u_z v_y 5 of 7 3/3/7 :3

42 Géométe vectoelle - Wkpéda w_x + v_x w_z u_y + w_y u_x v_z\, Remaque : S deux des tos vecteus sont égaux ou colnéaes, le podut mxte est nul. Applcaton du podut mxte S les vecteus \vec u\,, \vec v\, et \vec w\, ont même ogne, la valeu absolue du podut mxte \left[\vec u, \vec v, \vec w\ght]\, est égale au volume du paalléléppède constut su \vec u\,, \vec v\, et \vec w\,, ou encoe à sx fos le volume du tétaède constut su ces mêmes vecteus. Double podut vectoel On peut combne tos vecteus \vec u\,, \vec v\, et \vec w\, pa deux poduts vectoels successfs. C'est ce qu'on appelle un double podut vectoel. Exemple : \vec u \wedge \left(\vec v \wedge \vec w\ght Attenton : comme le podut vectoel n'est n assocatf, n commutatf, l est nécessae d'utlse comme c des paenthèses et le ésultat va dépende à la fos de l'ode dans lequel les opéatons sont effectuées et de l'ode de pésentaton des 3 vecteus. On peut démonte (sans dffculté mas assez laboeusement les fomules suvantes : \vec u \wedge \left(\vec v\wedge \vec w\ght = (\vec u\cdot\vec w\ \vec v\ -\ (\vec u\cdot\vec v\ \vec w et \left(\vec u \wedge \vec v\ght\wedge \vec w = (\vec u\cdot\vec w\ \vec v\ -\ (\vec v\cdot\vec w\ \vec u Vo auss Podut scalae généalsé Podut vectoel Podut mxte généalsé Détemnant de deux vecteus Détemnant Vo auss Base (algèbe lnéae Espace vectoel Géométe eucldenne Géométe dans l'espace Géométe analytque Récupéée de « Catégoes : Atcle à ecycle Géométe 6 of 7 3/3/7 :3

43 Géométe vectoelle - Wkpéda Denèe modfcaton de cette page le 5 féve 7 à :7. Copyght : Tous les textes sont dsponbles sous les temes de la lcence de documentaton lbe GNU (GFDL. Wkpeda est une maque déposée de la Wkmeda Foundaton, Inc., assocaton de benfasance ége pa le paagaphe 5(c(3 du code fscal des États-Uns. 7 of 7 3/3/7 :3

44 L e c t u e ( s # 5

45 ANNEXE : Lectues appopées de l unté CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL (Mouvement à une dmenson, à deux ou à 3 dmensons

46 Goupe Fancophone de Physque Consultant : P Sémou DIOUF Expet : P RATIARISON Adolphe MODULE : MECANIQUE UNITE : CINEMATIQUE DU POINT A. GENERALITES SUR LA CINEMATIQUE DU POINT I. Réféentels II. Repéage d un moble dans l espace III Abscsse cuvlgne IV Vecteu vtesse IV. Vtesse moyenne IV. Vtesse nstantanée IV.3 Popété du vecteu vtesse V Vecteu accéléaton V. Accéléaton moyenne V. Accéléaton nstantanée V.3 Expesson de l accéléaton V.4 Popété du vecteu accéléaton B. MOUVEMENT RECTILIGNE I. Défnton d un mouvement ectlgne II. Mouvement ectlgne unfome II. Mouvement ectlgne unfomément vaé III. Mouvement ectlgne snusoïdal C. MOUVEMENT CURVILIGNE I. Les composantes ntnsèques du vecteu accéléaton II. Mouvement cculae II. Cas généal II. Mouvement cculae unfome III. Mouvement cycloïdal IV. Mouvement hélcoïdal D. DIFFERENTS SYSTEMES DE COORDONNEES I. Coodonnées cylndques I. Les coodonnées cylndques I. Les composantes du vecteu vtesse I.3 Les composantes du vecteu accéléaton II Coodonnées sphéques II. Les coodonnées sphéques II. Les composantes du vecteu vtesse II.3 Les composantes du vecteu accéléaton