Algorithme du Simplexe

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Algorithme du Simplexe"

Transcription

1 MATH-F-306 Optimisation chapitre 3 Algorithme du Simplexe 20 avril 2007

2 Optimisation MATH-F-306

3 MATH-F Algorithme du Simplexe RAPPEL au TABLEAU : Algorithme du Simplexe TODO step 0 : step 1 : step 2 : (Initialisation) Soit B un ensemble d indices de base initiale tel que la solution de base primale associée x B est réalisable. Calculer x B = A 1 B b et yt = c T B A 1 B. (Test d Optimalité) Calculer les coûts réduits c T N yt A N. Si c T N yt A N 0 alors la solution courante est optimale. Sinon choisir r / B tel que c r y T a r > 0. ( x r entre en base) (Pivot) Déterminer la variable qui sort de la base ( x s ). S il n en existe aucune, alors le problème est non borné. Mettre à jour l ensemble d indices de bases B et déterminer les nouvelles solutions de base x B et y B. Règle de Bland s il y a deux ou plusieurs variables qui peuvent entrer en base, alors on choisit celle qui a le plus petit indice ; s il y a deux ou plusieurs variables qui peuvent sortir de la base, alors on choisit celle qui a le plus petit indice ; Exemple : max x x 2 s.t. : x 1 + x 2 6 x 2 3 x j 0 j = 1, 2 1

4 3. Algorithme du Simplexe MATH-F-306 2

5 MATH-F Algorithme du Simplexe RAPPEL : Hypothèses initiales PL de la forme suivante : max { c T x : A x = b, x 0 } (ou min) s il y a des inégalités, ajouter des variables d écart b 0 (sinon multiplier une contrainte par 1) A contient une matrice identité (sinon voir séance suivante) Algorithme du Simplexe step 0 : step 1 : step 2 : (Initialisation) Soit B un ensemble d indices de base initiale tel que la solution de base primale associée x B est réalisable. Calculer x B = A 1 B b et yt = c T B A 1 B. (Test d Optimalité) Calculer les coûts réduits c T N yt A N. Si c T N yt A N 0 alors la solution courante est optimale. Sinon choisir r / B tel que c r y T a r > 0. ( x r entre en base) (Pivot) Déterminer la variable qui sort de la base ( x s ). S il n en existe aucune, alors le problème est non borné. Mettre à jour l ensemble d indices de base B et déterminer les nouvelles solutions de base x et y. En pratique... A chaque itération, on écrit le dictionnaire correspondant à la base B : x i = b i + j N āij x j i B z = b 0 + j N c j x j où : bi = ( A 1 B b) ā i ij = ( A 1 B A ) N ij b0 = c T B A 1 B b c j = ( c T N c T B A 1 B on choisit la variable x r qui entre en base telle que c r > 0 on détermine la variable s qui sort de la base : s = arg min i:ā ir <0 Règle de Bland A ) N j s il y a deux ou plusieurs variables qui peuvent entrer en base, alors on choisit celle qui a le plus petit indice ; s il y a deux ou plusieurs variables qui peuvent sortir de la base, alors on choisit celle qui a le plus petit indice ; bi ā ir 3

6 3. Algorithme du Simplexe MATH-F-306 RAPPEL : Comment trouver une première solution de base réalisable? On ajoute des variables artificielles s i pour chaque contrainte i et on résout d abord le problème de phase I : min m i=1 s i s.t. : A x + s = b x 0 s 0 si la solution optimale de ce problème est strictement positive, alors le problème initial est non réalisable si la solution optimale de ce problème est égale à 0, alors toutes les variables artificielles sont hors base et on a trouvé une solution de base réalisable du problème initial ; on peut ensuite résoudre le problème initial (sans variables artificielles) 4

7 MATH-F Algorithme du Simplexe Exercice 3. 1 Exercice 3. 1 On considère le polyèdre S de R 5 défini par les conditions suivantes : x 1 + x 3 + x 5 = 2, 2 x 2 + x 3 + x 4 = 4, x 1 + x 2 + x x 5 = 3, x i 0, i = 1,..., 5. a. Le point x = (1, 1, 1, 1, 0) est-il un point extrême? Pourquoi? b. Trouver les vecteurs u R 5 tels que x ± ε u S pour ε > 0 assez petit. c. Trouver tous les points x S de la forme x ± ε u qui ont au plus trois coordonnées non nulles. Ces points x sont-ils des points extrêmes? dégénérés? Solution : a. On vérifie d abord que x appartient bien à S. On a que x est un point extrême x est un sommet x vérifie 5 inégalités (lin. indép.) à l égalité au plus 3 coordonnées de x sont non nulles x = (1, 1, 1, 1, 0) n est pas un point extrême (car il a 4 coord. non nulles) b. x ± ε u S ± ε ( u 1 + u 3 + u 5 ) = ± ε ( 2 u 2 + u 3 + u 4 ) = ± ε ( u 1 + u 2 + u u 5 ) = 3 1 ± ε ( u 1 ) 0 1 ± ε ( u 2 ) 0 1 ± ε ( u 3 ) 0 1 ± ε ( u 4 ) 0 0 ± ε ( u 5 ) 0 u 1 + u 3 + u 5 = 0 2 u 2 + u 3 + u 4 = 0 u 1 + u 2 + u u 5 = 0 u 5 = u 5 = 0 u 3 = u 1 2 u 2 u 1 + u 4 = 0 u 1 + u 2 + u 4 = 0 5

8 Exercice Algorithme du Simplexe MATH-F-306 u u 5 = 0 u 3 = u 1 u 4 = u 1 u 2 2 u 2 u 1 u 1 u 2 = 0 u u u 5 = 0 u 3 = u 1 u 2 = 2 u 1 u 4 = 3 u 1 u = α 2 α α 3 α 0 où α R c. On obtient les points x suivants : α = 1 x = B 1 1 A + 2 B 1 3 A = C A pas bon ( x / S) α = x = B 1 1 A + 1 B A = 0 B A OK α = 1 x = B 1 1 A + 2 B 1 3 A = C A pas bon ( x / S) /3 4/3 α = x = B 1 1 A + 2/3 B 1/3 1 A = 5/3 B 2/3 0 A OK On obtient donc 2 points extrêmes qui sont tous les deux non dégénérés (comme ils ont m = 3 ccoordonnées > 0) 6

9 MATH-F Algorithme du Simplexe Exercice 3. 2 Exercice 3. 2 Soit S = {x R 4 : A x = b, x 0} où A = et b = a. Pour quelles valeurs de α, β, γ, le polyèdre S possède-t-il 4 sommets non dégénérées? α β γ. b. Pour b = (1, 1, 2) et c = (1, 1, 1, 2), minimiser c x sur S. Solution : 7

10 Exercice Algorithme du Simplexe MATH-F-306 8

11 MATH-F Algorithme du Simplexe Exercice 3. 3 Exercice 3. 3 Soit le programme linéaire suivant : min z = x 2 3 x x 5 s.t. : x x 2 x x 5 = 7 2 x x 3 + x 4 = 12 4 x x x 5 + x 6 = 10 x j 0 j = 1,..., 6. La solution optimale de ce problème est x = (0, 4, 5, 0, 0, 11). a. Donner l ensemble des indices de base B associé à la solution optimale. b. Quelle est la solution de base duale y associée à B? c. Prouver l optimalité des solutions x et y. d. Calculer les coûts réduits des variables primales hors base. Solution : a. B = { 2, 3, 6 } b. On prend y T = c T B A 1 A B = A 1 B = B : det (A B ) = 1 10 = c 11 c 21 c 31 c 12 c 22 c 32 c 13 c 23 c y T = ( ) = ( ) c. On vérifie bien que x est primal-réalisable OK 9 Par construction on sait déjà que c T x = y T b. En effet c T x = 4 15 = 11 y T b = = 55 5 = 11 OK

12 Exercice Algorithme du Simplexe MATH-F-306 Reste donc à vérifier que y est dual-réalisable : Écrivons le dual : max z = 7 y y y 3 s.t. : y y 1 2 y 2 4 y 3 1 y y y 3 3 y y y 3 2 y 3 0 y = ( 1 5, 4 5, 0 ) est bien dual-réalisable OK x et y sont donc bien les solutions optimales recherchées. d. Rappelons que les coûts réduits sont : c T N = ct N ct B A 1 B }{{} y T On obtient donc : c T N = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) A N Il est logique que tous les coûts réduits sont positifs, puisque x est une solution optimale! minimum) (problème à 10

13 MATH-F Algorithme du Simplexe Exercice 3. 4 Exercice 3. 4 Résoudre le programme linéaire suivant en utilisant l algorithme du simplexe : max z = 5 x x x 6 s.t. : x x x 3 + x 6 = 5 4 x 2 + x 3 + x x 6 = 11 3 x x 3 + x x 6 = 8 x j 0 j = 1,..., 6 Réponse : solution optimale x = ( 0, 2, 0, 0, 1, 1 ) de valeur z = 13 Solution : On voit qu une première base est : B = { x 1, x 4, x 5 } Première solution de base réalisable : x 1 = 5 2 x 2 3 x 3 x 6 x 4 = 8 3 x 2 4 x 3 2 x 6 x 5 = 11 4 x 2 x 3 2 x 6 z = x x x 6 Itération 1 : x 2 = x x x 6 x 4 = x x x 6 x 5 = x x 3 z = x x x 6 Itération 2 : x 2 = 2 2 x 1 2 x 3 + x 4 x 6 = x 1 + x 3 2 x 4 x 5 = x x 3 z = 13 x 1 3 x 3 x 4 Tous les coûts réduits sont négatifs ou nuls. solution optimale x = ( 0, 2, 0, 0, 1, 1 ) de valeur z = 13 11

14 Exercice Algorithme du Simplexe MATH-F

15 MATH-F Algorithme du Simplexe Exercice 3. 5 Exercice 3. 5 Résoudre le programme linéaire suivant en utilisant l algorithme du simplexe : max z = 5 x x x 3 s.t. : x x 2 + x 3 3 x x x 1 x x x x 2 x 3 2 x j 0 j = 1,..., 3 Réponse : solution optimale x = ( 32 29, 8 29, ) de valeur z = 10 Solution : On ajoute les variables d écart t 1, t 2, t 3 et t 4 afin d obtenir le programme linéaire : max z = 5 x x x 3 s.t. : x x 2 + x 3 + t 1 = 3 x x 3 + t 2 = 2 2 x 1 x x 3 + t 3 = 4 2 x x 2 x 3 + t 4 = 2 x j 0 j = 1,..., 3 t i 0 i = 1,..., 4 On voit qu une première base est : B = { t 1, t 2, t 3, t 4 } Première solution de base réalisable : t 1 = 3 x 1 3 x 2 x 3 t 2 = 2 + x 1 3 x 3 t 3 = 4 2 x 1 + x 2 2 x 3 t 4 = 2 2 x 1 3 x 2 + x 3 z = x x x 3 Itération 1 : t 1 = x x t 4 t 2 = x x t 4 t 3 = x 2 3 x 3 + t 4 x 1 = x x t 4 z = x x t 4 13

16 Exercice Algorithme du Simplexe MATH-F-306 Itération 2 : t 1 = x t 3 t 2 = x t t 4 x 3 = x t t 4 x 1 = x t t 4 Itération 3 : z = x t t 4 t 1 = t t t 4 x 2 = t t t 4 x 3 = t t t 4 x 1 = t t t 4 z = 10 t 2 t Tous les coûts réduits sont négatifs ou nuls. solution optimale x = ( 32 29, 8 29, ) de valeur z = 10 14

17 MATH-F Algorithme du Simplexe Exercice 3. 6 Exercice 3. 6 Résoudre le programme linéaire suivant en utilisant l algorithme du simplexe : min z = 2 x 1 3 x 2 4 x 3 + x 4 s.t. : x x 2 x 3 3 x x 1 + x 2 + x x x x x 4 4 x j 0 j = 1,..., 4 Réponse : solution optimale x = ( 0, 2, 6, 0 ) de valeur z = 30 Solution : On ajoute les variables d écart t 1, t 2, t 3 afin d obtenir le programme linéaire : min z = 2 x 1 3 x 2 4 x 3 + x 4 s.t. : x x 2 x 3 3 x 4 t 1 = 2 2 x 1 + x 2 + x x 4 + t 2 = 8 4 x x x 4 + t 3 = 4 x j 0 j = 1,..., 4 t i 0 i = 1,..., 3 Le terme de droite de la première contrainte est négatif, multiplions cette contrainte par ( 1) : min z = 2 x 1 3 x 2 4 x 3 + x 4 s.t. : x 1 3 x 2 + x x 4 + t 1 = 2 2 x 1 + x 2 + x x 4 + t 2 = 8 4 x x x 4 + t 3 = 4 x j 0 j = 1,..., 4 t i 0 i = 1,..., 3 On voit qu une première base est : B = { t 1, t 2, t 3 } Première solution de base réalisable : t 1 = 2 + x x 2 x 3 3 x 4 t 2 = 8 2 x 1 x 2 x 3 3 x 4 t 3 = x 2 2 x 3 6 x 4 z = x 1 3 x 2 4 x 3 + x 4 15

18 Exercice Algorithme du Simplexe MATH-F-306 Itération 1 : t 1 = 26 5 x 1 4 x 3 12 x 4 3 t 2 x 2 = 8 2 x 1 x 3 3 x 4 t 2 t 3 = 36 8 x 1 6 x 3 18 x 4 4 t 2 z = x 1 x x t 2 Itération 2 : t 1 = x t t 3 x 2 = x t t 3 x 3 = x 1 3 x t t 3 z = x x t t 3 Tous les coûts réduits sont positifs ou nuls. solution optimale x = ( 0, 2, 6, 0 ) de valeur z = 30 16

19 MATH-F Algorithme du Simplexe Exercice 3. 7 Exercice 3. 7 Résoudre le programme linéaire suivant en utilisant l algorithme du simplexe : max z = x x 2 x 3 s.t. : 2 x x 2 x x 1 2 x 2 + x 3 10 x 1 3 x 2 + x 3 10 x j 0 j = 1,..., 3 Solution : On ajoute les variables d écart t 1, t 2 et t 3 afin d obtenir le programme linéaire : max z = x x 2 x 3 s.t. : 2 x x 2 x 3 + t 1 = 10 3 x 1 2 x 2 + x 3 + t 2 = 10 x 1 3 x 2 + x 3 + t 3 = 10 x j 0 j = 1,..., 3 t i 0 i = 1,..., 3 On voit qu une première base est : B = { t 1, t 2, t 3 } Première solution de base réalisable : t 1 = 10 2 x 1 2 x 2 + x 3 t 2 = 10 3 x x 2 x 3 t 3 = 10 x x 2 x 3 z = 0 + x x 2 x 3 Itération 1 : t 1 = x x t 2 x 1 = x x t 2 t 3 = x x t 2 z = x x t 2 Itération 2 : x 2 = x t t 2 x 1 = t t 2 t 3 = x t t 2 z = x t t 2 17

20 Exercice Algorithme du Simplexe MATH-F-306 La variable qui devrait entrer en base est x 3, mais on peut augmenter x 3 tout en restant réalisable. le problème est non borné En effet, on vérifie que : 4 x (λ) = 1 + λ est réalisable pour tout λ R. Et la valeur de la fonction objective : c T x (λ) = λ si λ Donc r = ( 0, 1 2, 1 ) est un rayon tel que ct r > 0! 18

21 MATH-F Algorithme du Simplexe Exercice 3. 8 Exercice 3. 8 Utiliser l algorithme du simplexe pour trouver tous les sommets optimaux du problème suivant : max z = 2 x x x x 4 s.t. : x x x 3 + x 4 5 x 1 + x x x 4 3 x j 0 j = 1,..., 4 Réponse : 3 sommets optimaux : x 1 = ( 1, 2, 0, 0 ) x 2 = ( 0, 12 5, 0, 1 5 ) x 3 = ( 0, 1, 1, 0 ) de valeur z = 8 Solution : On ajoute les variables d écart t 1 et t 2 afin d obtenir le programme linéaire : max z = 2 x x x x 4 s.t. : x x x 3 + x 4 + t 1 = 5 x 1 + x x x 4 + t 2 = 3 x j 0 j = 1,..., 4 t i 0 i = 1, 2 On voit qu une première base est : B = { t 1, t 2 } Première solution de base réalisable : t 1 = 5 x 1 2 x 2 3 x 3 x 4 t 2 = 3 x 1 x 2 2 x 3 3 x 4 z = x x x x 4 Itération 1 : t 1 = 2 x 2 x x 4 + t 2 x 1 = 3 x 2 2 x 3 3 x 4 t 2 z = 6 + x 2 + x 3 2 x 4 2 t 2 Itération 2 : x 2 = 2 x x 4 t 1 + t 2 x 1 = 1 x 3 5 x 4 + t 1 2 t 2 z = 8 t 1 t 2 19

22 Exercice Algorithme du Simplexe MATH-F-306 Tous les coûts réduits sont négatifs ou nuls. solution optimale x 1 = ( 1, 2, 0, 0 ) de valeur z = 8 Comment trouver tous les sommets optimaux? Vu le dernier tableau de l algorithme du simplexe, on sait que dans toute solution optimale, on a que t 1 = t 2 = 0 (pourquoi?) Et pour une telle solution optimale, le reste du tableau nous dit que : { x1 = 1 x 3 5 x 4 x 2 = 2 x x 4 ( 8.1 ) Donc toutes les solutions optimales s écrivent de la manière suivante : x 1 = 1 x 3 5 x 4 0 x 2 = 2 x x 4 0 x 3 0 x 4 0 t 1 = 0 t 2 = 0 On sait aussi que tout sommet possède 4 coordonnées nulles (pourquoi?) Donc afin de trouver tous les sommets optimaux, nous générons tous les points qui vérifient (??) et qui ont au plus 2 coordonnées non nulles. Alors les points obtenus ainsi, qui, de plus, ont toutes les coordonnées positives ou nulles, sont les sommets optimaux recherchés. Pour notre exercice, on obtient les points suivants : ( 1, 2, 0, 0, 0, 0 ) OK 12 ( 0, 0, 7, - 1 7, 0, 0 ) non réalisable 12 ( 0, 5, 0, 1 5, 0, 0 ) OK ( 0, 1, 1, 0, 0, 0 ) OK ( 6, 0, 0, -1, 0, 0 ) non réalisable ( -1, 0, 2, 0, 0, 0 ) non réalisable Finalement on a 3 sommets optimaux : x 1 = ( 1, 2, 0, 0 ) x 2 = ( 0, 12 5, 0, 1 5 ) x 3 = ( 0, 1, 1, 0 ) 20

23 MATH-F Algorithme du Simplexe Exercice 3. 9 Exercice 3. 9 Résoudre le programme linéaire suivant en utilisant l algorithme du simplexe (résoudre d abord le problème de phase I) : max z = 3 x x x 3 + x 4 x 5 + x 6 s.t. : x 1 + x x 3 + x 4 = 4 2 x x 3 2 x 4 + x 5 = 5 2 x 1 + x x 3 x x 6 = 7 x j 0 j = 1,..., 6 Réponse : solution optimale x = ( 5 2, 3 2, 0, 0, 0, 1 4 ) de valeur z = 43 4 Solution : On ajoute les variables artificielles s 1, s 2, s 3 et on résout le problème de phase I : min w = s 1 + s 2 + s 3 s.t. : x 1 + x x 3 + x 4 + s 1 = 4 2 x x 3 2 x 4 + x 5 + s 2 = 5 2 x 1 + x x 3 x x 6 + s 3 = 7 x j 0 j = 1,..., 6 s i 0 i = 1,..., 3 On a maintenant une première base : B = { s 1, s 2, s 3 } Première solution de base réalisable : s 1 = 4 x 1 x 2 2 x 3 x 4 s 2 = 5 2 x 1 3 x x 4 x 5 s 3 = 7 2 x 1 x 2 3 x 3 + x 5 2 x 6 w = 16 5 x 1 2 x 2 8 x 3 + x 4 2 x 6 Itération 1 : s 1 = 3 2 x x 3 2 x x s 2 x 1 = x 3 + x x s 2 s 3 = 2 x 2 2 x x 5 2 x 6 + s 2 w = x x 3 4 x x 5 2 x s 2 Itération 2 : x 2 = x 3 2 x x 5 s s 2 x 1 = x 3 + x x s 2 s 3 = x x 5 2 x 6 + s s 2 w = x x 5 2 x s s 2 21

24 Exercice Algorithme du Simplexe MATH-F-306 Itération 3 : x 2 = x 3 2 x x 5 s s 2 x 1 = x 3 + x x s 2 x 6 = x x s s s 3 w = 0 + s 1 + s 2 + s 3 On a trouvé une solution optimale du problème de phase I, passons à la phase II. On connaît maintenant une première base réalisable du problème initial (sans les s) : x 2 = x 3 2 x x 5 x 1 = x 3 + x x 5 x 6 = x x 5 z = x x 5 Tous les coûts réduits sont négatifs ou nuls. x 1 = ( 5 2, 3 2, 0, 0, 0, 1 ) 4 est une solution optimale Remarque : le sommet x 2 = ( 13 4, 0, 0, 3 4, 0, 1 ) 4 est aussi optimal, ainsi que le segment qui relie ces 2 sommets. 22

25 MATH-F Algorithme du Simplexe Exercice Exercice Résoudre le programme linéaire suivant en utilisant l algorithme du simplexe : min z = 2 x x 2 2 x 3 + x 4 s.t. : x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1 2 x x x 4 + x 5 = 7 x x 2 + x x 5 = 19 x j 0 j = 1,..., 5 Réponse : solution optimale x = ( 0, 9 10, 0, 1 10, ) de valeur z = Solution : On ajoute les variables artificielles s 1, s 2, s 3 et on résout le problème de phase I : min w = s 1 + s 2 + s 3 s.t. : x 1 + x 2 x 3 + x 4 + s 1 = 1 2 x x x 4 + x 5 + s 2 = 7 x x 2 + x x 5 + s 3 = 19 x j 0 j = 1,..., 5 s i 0 i = 1,..., 3 On a maintenant une première base : B = { s 1, s 2, s 3 } Première solution de base réalisable : s 1 = 1 x 1 x 2 + x 3 x 4 s 2 = 7 2 x 1 4 x 3 2 x 4 x 5 s 3 = 19 x 1 6 x 2 x 3 2 x 5 w = 27 4 x 1 7 x 2 4 x 3 3 x 4 3 x 5 Itération 1 : x 1 = 1 x 2 + x 3 x 4 s 1 s 2 = x 2 6 x 3 x s 1 s 3 = 18 5 x 2 2 x 3 + x 4 2 x 5 + s 1 w = 23 3 x 2 8 x 3 + x 4 3 x s 1 Itération 2 : x 2 = 1 x 1 + x 3 x 4 s 1 s 2 = 7 2 x 1 4 x 3 2 x 4 x 5 s 3 = x 1 7 x x 4 2 x s 1 w = x 1 11 x x 4 3 x s 1 23

26 Exercice Algorithme du Simplexe MATH-F-306 Itération 3 : x 2 = x x x 5 s s 2 x 3 = x x x s 2 s 3 = x x x s s 2 w = x x x s s 2 Itération 4 : x 2 = 2 10 x 1 11 x 4 7 s 1 2 s 2 + s 3 x 3 = 1 9 x 1 10 x 4 6 s 1 2 s 2 + s 3 x 5 = x x s s 2 4 s 3 w = 0 + s 1 + s 2 + s 3 On a trouvé une solution optimale du problème de phase I, passons à la phase II. On connaît maintenant une première base réalisable du problème initial (sans les s) : x 2 = 2 10 x 1 11 x 4 x 3 = 1 9 x 1 10 x 4 x 5 = x x 4 Iteration 1 : z = 2 x 4 x 2 = x x 3 x 4 = x x 3 x 5 = x x 4 z = x x 4 Tous les coûts réduits sont positifs ou nuls. x = ( 0, 9 10, 0, 1 10, 68 ) 10 est une solution optimale 24

27 MATH-F Algorithme du Simplexe Exercice Exercice Résoudre le programme linéaire suivant en utilisant l algorithme du simplexe : min z = 2 x 1 2 x 2 2 x 3 + x 4 s.t. : x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 4 2 x 1 + x 2 x 3 = 1 3 x 2 + x 3 + x 4 = 9 x j 0 j = 1,..., 4 Réponse : solution optimale x = ( 0, 5 2, 3 2, 0 ) de valeur z = 8 Solution : On ajoute les variables artificielles s 1, s 2, s 3 et on résout le problème de phase I : min w = s 1 + s 2 + s 3 s.t. : x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + s 1 = 4 2 x 1 + x 2 x 3 + s 2 = 1 3 x 2 + x 3 + x 4 + s 3 = 9 x j 0 j = 1,..., 4 s i 0 i = 1,..., 3 On a maintenant une première base : B = { s 1, s 2, s 3 } Première solution de base réalisable : s 1 = 4 x 1 x 2 x 3 x 4 s 2 = x 1 x 2 + x 3 s 3 = 9 3 x 2 x 3 x 4 w = 14 + x 1 5 x 2 x 3 2 x 4 Itération 1 : s 1 = 3 3 x 1 2 x 3 x 4 + s 2 x 2 = x 1 + x 3 s 2 s 3 = 6 6 x 1 4 x 3 x s 2 w = 9 9 x 1 6 x 3 2 x s 2 Itération 2 : x 2 = x x s s 2 x 1 = x x s s 2 s 3 = + x s 1 + s 2 w = 0 + x s s 2 25

28 Exercice Algorithme du Simplexe MATH-F-306 On a trouvé une solution optimale au problème de phase I, mais il reste toujours une variable artificielle en base, i.e. s 3! On essaie de pivoter pour faire sortir des variables artificielles de la base et de les remplacer par des variables «normales». On n a plus besoin de tenir compte de la fonction objective. Pour notre exercice, on va faire s 3 sortir de la base et x 4 entrer en base : Itération 3 : x 2 = x s s s 3 x 1 = x s s s 3 x 4 = 2 s 1 s 2 + s 3 On a trouvé une solution réalisable du problème de phase I où toutes les variables artificielles sont hors base. On peut passer à la phase II. On connaît maintenant une première base réalisable du problème initial (sans les s) : x 2 = x 3 x 1 = x 3 x 4 = 0 z = x 3 Itération 1 : 5 x 2 = x 1 3 x 3 = x 1 x 4 = 0 z = x 1 Tous les coûts réduits sont positifs ou nuls. x = ( 0, 5 2, 3 2, 0 ) est une solution optimale 26

29 MATH-F Algorithme du Simplexe Exercice Exercice Résoudre le programme linéaire suivant en utilisant l algorithme du simplexe : max z = 10 x 1 57 x 2 9 x 3 24 x 4 s.t. : 1 2 x x x x 4 + x 5 = x x x 3 + x 4 + x 6 = 0 x 1 + x 7 = 1 x j 0 j = 1,..., 7 a. Utiliser la stratégie suivante : s il y a deux ou plusieurs variables qui peuvent entrer en base, alors on choisit celle qui a le plus grand coût réduit (en valeur absolue) ; s il y a deux ou plusieurs variables qui peuvent sortir de la base, alors on choisit celle qui a le plus petit indice ; b. Utiliser les règles de Bland. Remarque : vous pouvez commencer à partir de la base B = { x 5, x 6, x 7 } Réponse : solution optimale x = ( 1, 0, 1, 0, 2, 0, 0 ) de valeur z = 1 Solution : a. Prenons donc B = { x 5, x 6, x 7 } comme première base : x 5 = 1 2 x x x 3 9 x 4 x 6 = 1 2 x x x 3 x 4 x 7 = 1 x 1 z = 10 x 1 57 x 2 9 x 3 24 x 4 Itération 1 : x 1 = 11 x x 3 18 x 4 2 x 5 x 6 = 4 x 2 2 x x 4 + x 5 x 7 = 1 11 x 2 5 x x x 5 z = 53 x x x 4 20 x 5 Itération 2 : x 1 = 1 2 x x x x 6 x 2 = 1 2 x x x x 6 x 7 = x 3 4 x x x 6 z = 29 2 x 3 98 x x x 6 27

30 Exercice Algorithme du Simplexe MATH-F-306 Itération 3 : x 3 = 2 x x x x 6 x 2 = x 1 2 x x x 6 x 7 = 1 x 1 z = 29 x x x 5 93 x 6 Itération 4 : x 3 = 2 x 1 4 x x x 6 1 x 4 = 2 x x x x 6 x 7 = 1 x 1 Itération 5 : z = 20 x 1 9 x x x 6 x 5 = 4 x 1 8 x 2 2 x x 6 x 4 = 1 2 x x x 3 x 6 x 7 = 1 x 1 z = 22 x 1 93 x 2 21 x x 6 Itération 6 : x 5 = 1 2 x x x 3 9 x 4 x 6 = 1 2 x x x 3 x 4 x 7 = 1 x 1 z = 10 x 1 57 x 2 9 x 3 24 x 4. On voit que le dernier tableau est identique au tableau initial. Après 6 itérations du simplexe, on est revenu au point de départ, l algorithme cycle! On en conclut que la stratégie utilisée ne fonctionne pas toujours. b. Regardons ce qui se passe si on utilise les règles de Bland. En appliquant les règles de Bland, on voit que les 5 premières itérations sont identiques à celles utilisant la stratégie précédente. Reprenons donc le tableau obtenu après 5 itérations. Itération 5 : x 5 = 4 x 1 8 x 2 2 x x 6 x 4 = 1 2 x x x 3 x 6 x 7 = 1 x 1 z = 22 x 1 93 x 2 21 x x 6 28

31 MATH-F Algorithme du Simplexe Exercice Itération 6 : x 5 = 4 x x 3 8 x 4 + x 6 x 1 = 3 x 2 + x 3 2 x 4 2 x 6 x 7 = 1 3 x 2 x x x 6 z = 27 x 2 + x 3 44 x 4 20 x 6 Itération 7 : x 5 = 2 2 x 2 4 x x 6 2 x 7 x 1 = 1 x 7 x 3 = 1 3 x x x 6 x 7 z = 1 30 x 2 42 x 4 18 x 6 x 7 Tous les coûts réduits sont négatifs ou nuls. x = ( 1, 0, 1, 0, 2, 0, 0 ) est une solution optimale 29

32 Exercice Algorithme du Simplexe MATH-F

33 MATH-F Algorithme du Simplexe Exercice Exercice Résoudre le problème linéaire suivant en utilisant l algorithme du simplexe : min z = 2 x 1 + x x 3 + x x 5 s.t. : 4 x x x x 4 + x 5 = 17 x 1 + x x 3 + x 4 + x 5 = 7 x j 0 j = 1,..., 5 Solution : FIXME : TODO!!!!!!!! On ajoute les variables d écart t 1, t 2 et t 3 afin d obtenir le programme linéaire : max z = x x 2 x 3 scq 2 x x 2 x 3 + t 1 = 10 3 x 1 2 x 2 + x 3 + t 2 = 10 x 1 3 x 2 + x 3 + t 3 = 10 x j 0 j t i 0 i On voit qu une première base est : B = { t 1, t 2, t 3 } Première solution de base réalisable : t 1 = 10 2 x 1 2 x 2 + x 3 t 2 = 10 3 x x 2 x 3 t 3 = 10 x x 2 x 3 z = 0 + x x 2 x 3 Itération 1 : t 1 = x x t 2 x 1 = x x t 2 t 3 = x x t 2 z = x x t 2 Itération 2 : x 2 = x t t 2 x 1 = t t 2 t 3 = x t t 2 z = x t t 2 La variable qui devrait entrer en base est x 3, mais on peut augmenter x 3 tout en restant réalisable. 31

34 Exercice Algorithme du Simplexe MATH-F-306 le problème est non borné En effet, on vérifie que : 4 x (λ) = 1 + λ est réalisable pour tout λ R. Et la valeur de la fonction objective : c T x (λ) = λ si λ Donc r = ( 0, 1 2, 1 ) est un rayon tel que ct r > 0! 32

35 MATH-F Algorithme du Simplexe Exercice Exercice Résoudre le problème linéaire suivant en utilisant l algorithme du simplexe : max z = 3 x 1 + x x 3 x x 5 s.t. : 2 x 1 2 x 2 2 x 4 = 0 2 x x 2 + x x 4 = 4 4 x 1 4 x 2 2 x 4 x 5 = 4 x j 0 j = 1,..., 5 Solution : On ajoute deux variables artificielles s 1 et s 3 et on résout le problème de phase I : min w = s 1 + s 3 s.t. : 2 x 1 2 x 2 2 x 4 + s 1 = 0 2 x x 2 + x x 4 = 4 4 x 1 4 x 2 2 x 4 x 5 + s 3 = 4 x j 0 j = 1,..., 5 s i 0 i = 1, 3 On voit qu une première base est : B = { s 1, x 3, s 3 }. Première solution de base réalisable : s 1 = x x x 4 x 3 = x 1 2 x 2 2 x 4 s 3 = 4 4 x x x 4 + x 5 w = 4 2 x x x 4 + x 5 Itération 1 : s 1 = x x x s 3 x 3 = 6 x x s 3 x 1 = 1 + x x x s 3 w = x x x s 3 Il n y a plus de variable susceptible d entrer en base, et il existe toujours des variables artificielles strictement positives. Le problème initial est donc non réalisable. 33

Optimisation linéaire

Optimisation linéaire Cours 1 Optimisation linéaire L optimisation linéaire est un domaine de la recherche opérationnelle. Elle consiste à modéliser des problèmes de recherche opérationnelle à l aide d inégalités linéaires

Plus en détail

Optimisation linéaire

Optimisation linéaire Optimisation linéaire Recherche opérationnelle GC-SIE Algorithme du simplexe 1 Rappel Si un problème de programmation linéaire en forme standard possède une solution optimale, alors il existe une solution

Plus en détail

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie III: Optimisation

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie III: Optimisation Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie III: Optimisation Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2016 Table des matières 1 Optimisation

Plus en détail

Programmation linéaire et Méthode du simplexe (en bref)

Programmation linéaire et Méthode du simplexe (en bref) Université de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines Tahar Z. BOULMEZAOUD boulmeza@math.uvsq.fr Programmation linéaire et Méthode du simplexe (en bref) On appelle programme linéaire un problème d optimisation

Plus en détail

Optimisation Linéaire - TD 2 (Corrigé)

Optimisation Linéaire - TD 2 (Corrigé) Optimisation Linéaire - TD (Corrigé) Exercice 1 : Mise sous forme canonique Mettre les problèmes linéaires suivants sous forme canonique. Problème 1 : max 3x 1 x + x 3 (1) 5x 1 + x + x 3 5 () 3x 1 4x =

Plus en détail

Chapitre 6 : Programmation linéaire, Algorithme du simplexe

Chapitre 6 : Programmation linéaire, Algorithme du simplexe Chapitre 6 : Programmation linéaire, Algorithme du simplexe ENSIIE - Module de Recherche Opérationnelle (dimitri.watel@ensiie.fr) 2016-2017 Objectif Résoudre un programme linéaire quelconque de la forme

Plus en détail

IFT2505. Programmation Linéaire

IFT2505. Programmation Linéaire IFT 505 Programmation Linéaire DIRO Université de Montréal http://www.iro.umontreal.ca/~bastin/ift505.php Automne 0 Exemple sur le simplexe dual et primal-dual On considère le problème Le dual est min

Plus en détail

se trouve en un sommet de l ensemble convexe des solutions admissibles K = {x 0 Ax =

se trouve en un sommet de l ensemble convexe des solutions admissibles K = {x 0 Ax = Chapitre 3 Méthode du simplexe Comme toujours, on suppose que A une matrice de format m n et b R m. On notera les colonnes de A par [a 1, a 2,..., a n ]. Aussi, on fera l hypothèse que le rang de la matrice

Plus en détail

IFT2505. Programmation Linéaire

IFT2505. Programmation Linéaire IFT 2505 Programmation Linéaire DIRO Université de Montréal http://www.iro.umontreal.ca/~bastin/ift2505.php Automne 2013 Solutions de base min c T x x s.c. Ax = b, x 0. Supposons m n et rang(a) = m. Sans

Plus en détail

Simplexe. Recherche Opérationnelle et Optimisation Master 1 I2L. Sébastien Verel

Simplexe. Recherche Opérationnelle et Optimisation Master 1 I2L. Sébastien Verel Simplexe Recherche Opérationnelle et Optimisation Master 1 I2L Sébastien Verel verel@lisic.univ-littoral.fr http://www-lisic.univ-littoral.fr/~verel Université du Littoral Côte d Opale Laboratoire LISIC

Plus en détail

Optimisation Linéaire

Optimisation Linéaire Optimisation Linéaire Cours 2 : algorithme du simplexe Adrien Goëffon Bureau H207 / adrien.goeffon@univ-angers.fr Algorithme du simplexe On souhaite résoudre le programme linéaire suivant (ici sous forme

Plus en détail

Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Étape 1 de l algorithme du simplexe

Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Étape 1 de l algorithme du simplexe Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Étape 1 de l algorithme du simplexe Zoltán Szigeti Laboratoire G-SCOP INP Grenoble, France Z. Szigeti (G-SCOP, Grenoble) RO 1A 1 / 15 Rappel de l algorithme

Plus en détail

IFT1575 Modèles de recherche opérationnelle (RO) 2. Programmation linéaire b. Méthode du simplexe c. Dualité d. Analyse de sensibilité

IFT1575 Modèles de recherche opérationnelle (RO) 2. Programmation linéaire b. Méthode du simplexe c. Dualité d. Analyse de sensibilité IFT575 Modèles de recherche opérationnelle (RO) 2. Programmation linéaire b. Méthode du simplee c. Dualité d. Analyse de sensibilité Interprétation des variables d écart Dans la solution optimale du problème

Plus en détail

Moca B2. v1.00. Kevin DEHLINGER

Moca B2. v1.00. Kevin DEHLINGER Moca B2 v1.00 Kevin DEHLINGER http://dev.pulsed.net/wp 200 Table des matières Chapitre 1 : Programmation linéaire... 4 1) Exemple... 4 2) Méthode graphique... 5 3) Méthode algébrique... 6 4) Méthode algébrique

Plus en détail

(2) Où trouver une solution de base pour commencer?

(2) Où trouver une solution de base pour commencer? Problèmes avec l algorithme du simplexe p. 1/1 (2) Où trouver une solution de base pour commencer? Modifier le problème de sorte que le nouveau problème auxiliaire aie une solution de base triviale et

Plus en détail

Info0804. Cours 2. La programmation linéaire

Info0804. Cours 2. La programmation linéaire Info0804 Recherche Opérationnelle Cours 2 La programmation linéaire Pierre Delisle Université de Reims Champagne-Ardenne Département de Mathématiques et Informatique 16 décembre 2013 Plan de la séance

Plus en détail

Recherche Opérationnelle

Recherche Opérationnelle Chapitre : Programmation linéaire (Partie : Un problème d optimisation linéaire en dimension supérieure) Vendredi 13 Novembre 015 Sommaire 1 Problème de transport 3 Plan 1 Problème de transport 3 Problème

Plus en détail

Unité d Enseignement RCP101 : Recherche Opérationnelle et Aide à la Décision. Cours 6 Programmation linéaire (suite) - Dualité

Unité d Enseignement RCP101 : Recherche Opérationnelle et Aide à la Décision. Cours 6 Programmation linéaire (suite) - Dualité Unité d Enseignement RCP0 : Recherche Opérationnelle et Aide à la Décision Cours 6 Programmation linéaire (suite) - Dualité Conservatoire National des Arts et Métiers E. Soutil 2 UE RCP0 Recherche Opérationnelle

Plus en détail

Programmation linéaire. Méthode du simplexe.

Programmation linéaire. Méthode du simplexe. Programmation linéaire. Méthode du simplexe. S. EL BERNOUSSI 25 octobre 2010 Table des matières 1 Introduction. 2 2 Notion de programme linéaire. 2 2.1 Exemple................................ 2 2.2 Forme

Plus en détail

Cours 3. Algorithmes d optimisation sous contraintes

Cours 3. Algorithmes d optimisation sous contraintes Cours 3. Algorithmes d optimisation sous contraintes A. Désilles 2 octobre 2015 A. Désilles Cours 3. Algorithmes d optimisation sous contraintes 2 octobre 2015 1 / 19 Resume Résumé 1 Problème d optimisation

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Matrices et carrés magiques

Problèmes de Mathématiques Matrices et carrés magiques Énoncé Dans tout le problème, n est un entier supérieur ou égal à 2. On désigne par M n (IR) l algèbre des matrices carrées d ordre n à coefficients réels. Pour tout A de M n (IR), on note a ij le coefficient

Plus en détail

Chapitre 2 : Méthode du Simplexe

Chapitre 2 : Méthode du Simplexe Graphes et RO TELECOM Nancy 2A Chapitre 2 : Méthode du Simplexe J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre 1 Introduction 2 Progression de l algorithme du simplexe (phase 2) 3 Méthode des dictionnaires 4 Finitude

Plus en détail

Programmation linéaire suite

Programmation linéaire suite Programmation linéaire suite Cas limites du simplexe Hugues Talbot Laboratoire A2SI 6 avril 2007 Plan Cas limites de la programmation linéaire Limites de l algorithme du simplexe Solution unique Solution

Plus en détail

Formation CNAM 1. Plan du chapitre 4 Principes de base de la PL. 1. Introduction à la Programmation Linéaire. Exemple d un modèle de PL

Formation CNAM 1. Plan du chapitre 4 Principes de base de la PL. 1. Introduction à la Programmation Linéaire. Exemple d un modèle de PL Optimisation en Informatique RCP04 Cours 3 Principes de base de la Programmation Linéaire (PL) Plan du chapitre 4 Principes de base de la PL. Introduction à la programmation linéaire. Modélisation de problèmes

Plus en détail

Méthodes de points intérieurs pour la programmation linéaire

Méthodes de points intérieurs pour la programmation linéaire Cinquième partie Méthodes de points intérieurs pour la programmation linéaire 4 Notions de base Introduction L algorithme du simplexe n est pas un algorithme polynomial pour la programmation linéaire.

Plus en détail

CC2 - Optimisation Durée : 2h30.

CC2 - Optimisation Durée : 2h30. INSA Toulouse - Département GMM Lundi 6 janvier 2014 4ème année CC2 - Optimisation Durée : 2h30. Seuls le polycopié de cours et les notes personnelles de cours sont autorisés. Exercice 1. QUESTIONS DE

Plus en détail

Méthode du simplexe Analyse algébrique

Méthode du simplexe Analyse algébrique Analyse algébrique Illustration des théorèmes On reprend l exemple des ceintures de cuir, c- à-d maximiser z, avec : z = 4x + 3x 2 x + x 2 + s = 40 2x + x 2 + s 2 = 60 x, x 2, s, s 2 0 Solution optimale

Plus en détail

Programmation Linéaire Nombres Entiers (PLNE)

Programmation Linéaire Nombres Entiers (PLNE) Programmation Linéaire en Nombres Entiers p. 1/1 (PLNE) Toutes les variables sont obligées de prendre des valeurs entières En général les coefficients a i,j sont aussi entiers Et, donc, on peut se limiter

Plus en détail

Espaces euclidiens, orthogonalité, longueur. Moindres carrés.

Espaces euclidiens, orthogonalité, longueur. Moindres carrés. Université de Nice SL2M 2009-10 Algèbre 2 Espaces euclidiens, orthogonalité, longueur. Moindres carrés. On travaille avec le corps des réels, noté R. Pour tout entier naturel n, on considère l ensemble

Plus en détail

Rappels sur les tableaux et l algorithme du simplexe

Rappels sur les tableaux et l algorithme du simplexe Rappels sur les tableaux et l algorithme du simplexe À tout tableau est associée non seulement une base du problème initial (primal) mais également une base du problème dual. Les valeurs des variables

Plus en détail

Méthodes itératives de résolution des

Méthodes itératives de résolution des Chapitre 4 Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires 4.1 Généralités On se donne une matrice inversible A et un système linéaire Au = b. (4.1) On désire transformer (4.1) en un système équivalent

Plus en détail

CM 1 Programmation linéaire Exemple

CM 1 Programmation linéaire Exemple CM 1 Programmation linéaire Exemple Cours Optimisation Discrète 24 février 2011 Friedrich Eisenbrand EPFL 1 Programmation linéaire Un exemple max x 1 + x 2 x 1 0 x 2 0 x 2 x 1 1 x 1 + 6x 2 15 4x 1 x 2

Plus en détail

Exercice I.1 Montrer que la somme de vecteurs et le produit d un vecteur par un nombre réel donnent à IR 3 une structure d espace vectoriel sur IR.

Exercice I.1 Montrer que la somme de vecteurs et le produit d un vecteur par un nombre réel donnent à IR 3 une structure d espace vectoriel sur IR. Exercices avec corrigé succinct du chapitre 1 (Remarque : les références ne sont pas gérées dans ce document, par contre les quelques?? qui apparaissent dans ce texte sont bien définis dans la version

Plus en détail

Max z = cx Ax b x 0. x 1.. x n

Max z = cx Ax b x 0. x 1.. x n Chapitre 2 Dualité 21 Introduction Avant de donner la definition formelle d un problème dual, nous allons expliquer comment il s explique en terme de problème de production Une entreprise I fabrique n

Plus en détail

Recherche Opérationnelle Mercredi 06 Novembre Contrôle Terminal - Session 1

Recherche Opérationnelle Mercredi 06 Novembre Contrôle Terminal - Session 1 Master LT, MPM, MIR Pôle Lamartine - ULCO Recherche Opérationnelle Mercredi 06 Novembre 0 - Contrôle Terminal - Session Durée de l épreuve : h00 Documents interdits. Calculatrice autorisée Exercice - Correction

Plus en détail

Réseaux de transports

Réseaux de transports Réseaux de transports Marie-Pierre Béal Université Paris-Est Marne-la-Vallée. L3 Informatique Bibliographie V. Chávtal. Linear Programming, W.H. Freeman, 1983. Exemple de problèmes de transport Example

Plus en détail

Programmation Linéaire - Cours 5

Programmation Linéaire - Cours 5 Programmation Linéaire - Cours 5 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 265 Sommaire Algorithme du simplex dual 1 Algorithme du simplex dual 2 3 4 Changement

Plus en détail

Cours 4: Programmation linéaire

Cours 4: Programmation linéaire Cours 4: Programmation linéaire Position du problème Algorithme du simplexe générique Dualité. Dégénérescence et terminaison de l algorithme 1-1 Cours 4: Programmation linéaire Position du problème Algorithme

Plus en détail

Exercice de recherche opérationnelle

Exercice de recherche opérationnelle Exercice de recherche opérationnelle Problème de transfèrement Marc Roelens Corrigé 1 Rappel du problème Une matière première se trouvée stockée dans 5 dépôts situés à Dunkerque (50 tonnes disponibles),

Plus en détail

Introduction à l optimisation discrète

Introduction à l optimisation discrète Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées (ENSTA) -http://www.ensta.fr Adam Ouorou France Télécom Division R&D ENSTA - Mars 2006 Plan 1 Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées (ENSTA)

Plus en détail

CONTRÔLE DE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE

CONTRÔLE DE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE CONTRÔLE DE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE Tout objet électronique (smartphone, tablette, ordinateur, calculatrice, etc.) interdit. Tout document papier autorisé. 1. Production chimique Une usine de produits

Plus en détail

École polytechnique - Écoles normales supérieures. Concours d admission filière MP. Corrigé de l épreuve de mathématiques A

École polytechnique - Écoles normales supérieures. Concours d admission filière MP. Corrigé de l épreuve de mathématiques A École polytechnique - Écoles normales supérieures Concours d admission 2016 - filière MP Corrigé de l épreuve de mathématiques A corrigé de l énoncé modifié par Abdellah Bechata, après correction des erreurs

Plus en détail

Modélisation en Programmation Linéaire

Modélisation en Programmation Linéaire Ecole Centrale Paris, vincent.mousseau@ecp.fr March 3, 2009 Contexte Modélisation du problème 1 Exemple de référence Contexte Modélisation du problème 2 Les 4 étapes Une seconde illustration 3 4 Définitions

Plus en détail

Modèle dual. Programmation linéaire (dualité et analyse de sensibilité) Dualité : exemple Wyndor Glass. Modèle dual (suite)

Modèle dual. Programmation linéaire (dualité et analyse de sensibilité) Dualité : exemple Wyndor Glass. Modèle dual (suite) Modèle dual Modèles de recherche opérationnelle (RO Programmation linéaire (dualité et analyse de sensibilité Variables de décision : y i = prix ($/h pour louer du temps à l usine i Dual Glass cherche

Plus en détail

Espaces vectoriels de dimension finie

Espaces vectoriels de dimension finie Bibliothèque d exercices Énoncés L Feuille n 9 Espaces vectoriels de dimension finie Base Exercice Montrer que les vecteurs {,, 0 } forment une base de R. Calculer les coordonnées respectives des vecteurs

Plus en détail

I - Programmation linéaire

I - Programmation linéaire EOAA - 2009/10 Préliminaires Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Exercice

Plus en détail

Calcul des équilibres de Nash pour un jeu stratégique à 2 joueurs

Calcul des équilibres de Nash pour un jeu stratégique à 2 joueurs Calcul des équilibres de Nash pour un jeu stratégique à 2 joueurs Basé sur chapitre 3 du livre Algorithmic Game Theory: Equilibrium Computation for two-player Games in strategic and extensive form de B.

Plus en détail

Fiche méthodologique Rang d une matrice et applications

Fiche méthodologique Rang d une matrice et applications Fiche méthodologique Rang d une matrice et applications BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Les deu définitions du rang d une matrice Le rang d une matrice M M n,p (K) est défini de deu manières

Plus en détail

Recherche opérationnelle

Recherche opérationnelle Recherche opérationnelle Master 2 LT, MPM, MIR Université du Littoral - Côte d Opale, Pôle Lamartine Laurent SMOCH (smoch@lmpauniv-littoralfr) Septembre 2013 Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées

Plus en détail

Matrices symétriques réelles. Exercice 2 Le produit de deux matrices symétriques réelles est-il symétrique? R n = ker (u) Im (u)

Matrices symétriques réelles. Exercice 2 Le produit de deux matrices symétriques réelles est-il symétrique? R n = ker (u) Im (u) Matrices symétriques réelles 1 Préliminaires On se place dans (R n, ) euclidien, le produit scalaire canonique étant défini par : (x, y) R n R n, x y = t x y = x k y k On note : M n (R) l algèbres des

Plus en détail

Concours PT 2004 Maths PT I-B

Concours PT 2004 Maths PT I-B Concours PT 4 Maths PT I-B L usage des calculatrices est interdit Partie A ) ( ) ( ) a a Soit A = b b et B = deux éléments de S a a b b ( ) c c C = AB = avec c c c i = a ik b k, évidemment i =,, c i =

Plus en détail

Initiation aux processus : Chaînes de Markov (solutions)

Initiation aux processus : Chaînes de Markov (solutions) Initiation aux processus : Chaînes de Markov (solutions) Fabrice Rossi 8 février Espace d état fini. Exercice.. Question Pour représenter la chaîne, on choisit de numéroter les états de à, dans l ordre

Plus en détail

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des

Plus en détail

Cours de mathématiques - Alternance Gea Programmation linéaire à plusieurs variables

Cours de mathématiques - Alternance Gea Programmation linéaire à plusieurs variables Cours de mathématiques - Alternance Gea Programmation linéaire à plusieurs variables Anne Fredet 2 janvier 2006 Définitions Définition. Un programme linéaire est un programme consistant à trouver un extremum

Plus en détail

Espaces de dimension finie

Espaces de dimension finie [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 28 décembre 2016 Enoncés 1 Espaces de dimension finie Bases en dimension finie Dimension d un espace Exercice 1 [ 01634 ] [Correction] Soit E l ensemble des fonctions

Plus en détail

Exo7. Espaces vectoriels. 1 Définition, sous-espaces. 2 Systèmes de vecteurs

Exo7. Espaces vectoriels. 1 Définition, sous-espaces. 2 Systèmes de vecteurs Exo7 Espaces vectoriels 1 Définition, sous-espaces Exercice 1 Déterminer lesquels des ensembles E 1, E 2, E 3 et E 4 sont des sous-espaces vectoriels de R 3. Calculer leurs dimensions. E 1 = {(x,y,z) R

Plus en détail

Séance 2 : Exercices corrigés FONCTIONS CONVEXES

Séance 2 : Exercices corrigés FONCTIONS CONVEXES Mathématiques 2 1 Séance 2 : Exercices corrigés FONCTIONS CONVEXES Question 1 Un circuit électrique : exemple de système non linéaire Montrer que les lois de Kirchhoff (la somme des intensités arrivant

Plus en détail

Exo7. Méthodes itératives. Enoncés et corrections : Ana Matos. Exercice 1

Exo7. Méthodes itératives. Enoncés et corrections : Ana Matos. Exercice 1 Enoncés et corrections : Ana Matos. Exo7 Méthodes itératives Exercice Soit a R et A = a a a a a a. Pour qu elles valeurs de a A est elle définie positive? 2. Pour qu elles valeurs de a la méthode de Gauss

Plus en détail

Cours optimisation. Benjamin Monmege. 29 février 2012

Cours optimisation. Benjamin Monmege. 29 février 2012 Cours optimisation Benjamin Monmege 29 février 202 On appelle problème d optimisation la donnée d une instance de la forme minimiser/maximiser f(x) { g i (x) 0 i {,..., m} sous les conditions h j (x) =

Plus en détail

DEVOIR 1. MAT-2920 : recherche opérationnelle Hiver 2015 A remettre vendredi le 13 mars avant 16h00.

DEVOIR 1. MAT-2920 : recherche opérationnelle Hiver 2015 A remettre vendredi le 13 mars avant 16h00. DEVOIR 1 MAT-2920 : recherche opérationnelle Hiver 2015 A remettre vendredi le 13 mars avant 16h00. Note: On fera le devoir à l aide du logiciel Matlab. Pour les questions qui n exigent pas Matlab, on

Plus en détail

N1MA3W01 Algèbre 2 - Examen final En janvier, 3h - 35 points

N1MA3W01 Algèbre 2 - Examen final En janvier, 3h - 35 points N1MA3W01 Algèbre 2 - Examen final En janvier, 3h - 35 points Exercice 0 (sur 6 points) 1. Calculer les valeurs et vecteurs propres des matrices 1 2 0 0 0 0 A = 2 1 0 et B = 1 0 0. 0 0 3 6000 80008 4 2.

Plus en détail

Unité d Enseignement RCP101 : Recherche Opérationnelle et Aide à la Décision. Cours 2 Chemins de longueur optimale

Unité d Enseignement RCP101 : Recherche Opérationnelle et Aide à la Décision. Cours 2 Chemins de longueur optimale Unité d Enseignement RCP101 : Recherche Opérationnelle et Aide à la Décision Cours 2 Chemins de longueur optimale Conservatoire National des Arts et Métiers 2 UE RCP101 Recherche Opérationnelle et Aide

Plus en détail

Théorie des Jeux. Mohammed Said RADJEF

Théorie des Jeux. Mohammed Said RADJEF Unité de Recherche LaMOS Département de Recherche Opérationnelle Faculté des Sciences Exactes Université Abderrahmane Mira de Béjaia Année universitaire 2016-2017 Jeux bimatriciels Considérons un jeu

Plus en détail

Commutant d une matrice

Commutant d une matrice Énoncé On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2, et par M n (IK) l algèbre sur IK des matrices carrées d ordre n à coefficients dans IK, avec IK = IR ou lc. La matrice identité de M n (IK)

Plus en détail

Math IV, analyse (L2) Fiche 1

Math IV, analyse (L2) Fiche 1 UNIVERSITÉ CLAUDE BERNARD LYON Cours: O. Kravchenko Institut Camille Jordan Travaux dirigés: T. Altınel, T. Eisenkölbl & S. Richard Math IV, analyse (L) Fiche 5 février 8 Exercice (Ouvert / fermé, intérieur

Plus en détail

CH V : Généralités sur les suites réelles

CH V : Généralités sur les suites réelles CH V : Généralités sur les suites réelles I. Notion de suite I.1. Définition générale Définition Une suite de nombre réels u est une application de N dans R i.e. une fonction de N dans R telle que tout

Plus en détail

AH - FONCTIONS AFFINES PAR INTERVALLES

AH - FONCTIONS AFFINES PAR INTERVALLES AH - FONCTIONS AFFINES PAR INTERVALLES Définition On appelle fonction affine par intervalles une fonction f définie et continue sur R pour laquelle il existe une subdivision a 1 < a 2 < < a n telle que

Plus en détail

Université Paris-Nord Année Corrigé de l examen partiel d Analyse Numérique du mardi 10 novembre 2009

Université Paris-Nord Année Corrigé de l examen partiel d Analyse Numérique du mardi 10 novembre 2009 Université Paris-Nord nnée 29-2 Institut Galilée Licence de Mathématiques - L3 Département de Mathématiques C. Basdevant - F. Cuvelier Corrigé de l examen partiel d nalyse Numérique du mardi novembre 29

Plus en détail

Fiche Systèmes d Équations Linéaires

Fiche Systèmes d Équations Linéaires Fiche Systèmes d Équations Linéaires MOSE 1003 13 Septembre 2014 Table des matières Systèmes de 2 équations à 2 inconnues 1 Méthode des combinaisons linéaires.................................... 2 Interprétation

Plus en détail

Géométrie analytique dans l espace

Géométrie analytique dans l espace Généralités Points coplanaires Quatre points de l espace sont dits coplanaires s ils appartiennent à un même plan (rappel : 3 points d un plan sont dits alignés s ils appartiennent à une même droite) Vecteurs

Plus en détail

Graphes et Recherche Opérationnelle

Graphes et Recherche Opérationnelle Graphes et Recherche Opérationnelle ESIAL 2ème année Notes de cours de J.-F. Scheid 2010-2011 2 Table des matières 1 Introduction générale 5 1.1 Quelques exemples et domaines d applications de la R.O...................

Plus en détail

J.F.C. F.N.P.V. p. 1 EXTREMUM. Dans ce cas le minimum de f sur D est f(a), c est le plus petit élément de f(d) et on le note : Min

J.F.C. F.N.P.V. p. 1 EXTREMUM. Dans ce cas le minimum de f sur D est f(a), c est le plus petit élément de f(d) et on le note : Min 19-3- 2010 J.F.C. F.N.P.V. p. 1 V EXTREMUM 1. Les définitions de base Il convient d avoir une parfaite connaissance des définitions qui suivent Déf. 37 f est une application d une partie D de R n dans

Plus en détail

Dualité en PLNE avec la chasse à la bête Par Aline Parreau

Dualité en PLNE avec la chasse à la bête Par Aline Parreau Dualité en PLNE avec la chasse à la bête Par Aline Parreau But de la séance : donner un problème ludique d optimisation combinatoire, utiliser la RO et la dualité pour le résoudre, sentir ce qu est le

Plus en détail

Espaces euclidiens, orthogonalité, longueur. Moindres carrés.

Espaces euclidiens, orthogonalité, longueur. Moindres carrés. Université Nice Sophia-Antipolis SL2SF 2012-13 Algèbre 2 Espaces euclidiens, orthogonalité, longueur. Moindres carrés. On travaille avec le corps des réels, noté R. Pour tout entier naturel n, on considère

Plus en détail

Cours 4 Méthodes arborescentes et PLNE

Cours 4 Méthodes arborescentes et PLNE RCP4 Optimisation en Informatique Cours 4 Méthodes arborescentes et PLNE CNAM /3 Sourour Elloumi et Eric Soutif RCP4 Optimisation en Informatique Plan du cours Cours : Introduction Cours : Modélisation

Plus en détail

Calcul matriciel : rappels et compléments

Calcul matriciel : rappels et compléments CHAPITRE 5 Calcul matriciel : rappels et compléments 5 L ensemble M n,p (K) 5 Structure d espace vectoriel Définition Soit K = R ou C On note M n,p (K) l ensemble des matrices ayant n lignes et p colonnes

Plus en détail

Exercices Corrigés Matrices 1 2 A = 2 1

Exercices Corrigés Matrices 1 2 A = 2 1 Exercices Corrigés Matrices Exercice Considérons les matrices à coefficients réels : A =, B = 4 C =, D = 0, E = Si elles ont un sens, calculer les matrices AB, BA, CD, DC, AE, CE Exercice extrait partiel

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Vincent Boucheny (a.k.a. Mankalas) Option SCIA Promo 00 Ce document reprend les prises de notes eectuées durant le cours de Patrick Siarry et n'est en aucun cas destiné à être diusé à l'extérieur du cadre

Plus en détail

Fonctions homogènes, concaves et convexes

Fonctions homogènes, concaves et convexes Fonctions homogènes, concaves et convexes Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 16 mars 2014 Fonctions homogènes Définition Soit f : (R +) n R. Soit r R. On dit que f est homogène de degré r si

Plus en détail

Optimisation dans les réseaux

Optimisation dans les réseaux Optimisation dans les réseaux Recherche Opérationnelle GC-SIE Le problème de transbordement Énoncé sous contraintes Transbordement ichel Bierlaire Lagrangien Dualité Fonction duale Transbordement ichel

Plus en détail

1. Déterminant d une matrice carrée

1. Déterminant d une matrice carrée Déterminants 2-1 Sommaire 1. Déterminant d une matrice carrée 1 1.1. Déterminant d une matrice carrée A.. 1 1.2. Interprétation en dimensions 2 et 3... 2 1.3. Propriétés élémentaires.......... 2 1.4. Déterminant

Plus en détail

Programmation Linéaire

Programmation Linéaire Moez Kilani Notes de Cours Programmation Linéaire 3ème année Finance Institut Supérieur de Gestion de Sousse ISG Table des matières 1 Formulation 5 1.1 Un problème de production................................

Plus en détail

CH XII : Systèmes linéaires

CH XII : Systèmes linéaires CH XII : Systèmes linéaires I Généralités sur les systèmes linéaires Définition Soient n et p deux entiers naturels non nuls On appelle système linéaire de n équations à p inconnues x 1,, x p tout système

Plus en détail

Méthodes de géométrie dans l espace

Méthodes de géométrie dans l espace Déterminer une équation cartésienne de plan L équation cartésienne d un plan est du type ax + by + cz + d 0 avec (a ;b ;c) les coordonnées d un vecteur normal du plan. On procède en deux étapes : D abord

Plus en détail

La notion de dualité

La notion de dualité La notion de dualité Dual d un PL sous forme standard Un programme linéaire est caractérisé par le tableau simplexe [ ] A b. c Par définition, le problème dual est obtenu en transposant ce tableau. [ A

Plus en détail

RELAXATION LAGRANGIENNE

RELAXATION LAGRANGIENNE Chapitre 4 RELAXATION LAGRANGIENNE 4.1 Introduction La relaxation lagrangienne est une manipulation classique en optimisation sous contraintes. Bien qu intimement liée à la convexité, elle est couramment

Plus en détail

Méthodes itératives pour la résolution d un système

Méthodes itératives pour la résolution d un système Table des matières Méthodes itératives pour la résolution d un système linéaire 3 1 Construction d une méthode itérative 3 Convergence 34 3 Détermination théorique du paramètre de relaxation optimal 37

Plus en détail

Multiplicateurs de Lagrange

Multiplicateurs de Lagrange Analyse numérique et optimisation TD5 27/05/204 A. Ern et A. de Bouard Groupes 5 & 2 Multiplicateurs de Lagrange Exercice : optimisation quadratique sous contraintes affines On pose V = R n et on considère

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

Corrigé du bac 2016 : Mathématiques Obligatoire Série S Métropole

Corrigé du bac 2016 : Mathématiques Obligatoire Série S Métropole Corrigé du bac 2016 : Mathématiques Obligatoire Série S Métropole BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 2016 MATHEMATIQUES Série S ÉPREUVE DU LUNDI 20 JUIN 2016 Enseignement Obligatoire Coefficient : 7 Durée de

Plus en détail

Optimisation non linéaire sans contraintes

Optimisation non linéaire sans contraintes Optimisation non linéaire sans contraintes Recherche opérationnelle GC-SIE Méthodes de descente 1 Directions de descente Problème: min f : IR n IR f continûment différentiable Idée: On démarre d un point

Plus en détail

Théorie des graphes. 22 novembre 2014

Théorie des graphes. 22 novembre 2014 Théorie des graphes novembre 014 Pour un cours plus complet sur les graphes, nous renvoyons vers le polycopié de P. Bornsztein disponible à l adresse http://www.animath.fr/img/pdf/cours-graphes.pdf 1 Notion

Plus en détail

(Q) non vide et majorée, alors il existe dans R un plus petit majorant de A, appelé la borne CHAPITRE 1 R, BORNE SUPÉRIEURE ET CONSÉQUENCES

(Q) non vide et majorée, alors il existe dans R un plus petit majorant de A, appelé la borne CHAPITRE 1 R, BORNE SUPÉRIEURE ET CONSÉQUENCES CHAPITRE 1 R, BORNE SUPÉRIEURE ET CONSÉQUENCES 1.1. Propriétés de R On suppose connus N = {0, 1, 2, 3,...}, l anneau des entiers Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} et le corps des rationnels Q = { a a, b Z,

Plus en détail

Programmation Linéaire - Cours 2

Programmation Linéaire - Cours 2 Programmation Linéaire - Cours 2 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 265 Sommaire 1 2 3 Retournons dans le yaourt! Reprenons l exemple du 1er cours Forme normale

Plus en détail

IFT2505. Programmation Linéaire

IFT2505. Programmation Linéaire IFT 2505 Programmation Linéaire DIRO Université de Montréal http://www.iro.umontreal.ca/~bastin/ift2505.php Automne 2013 Forme matricielle de la méthode du simplexe Utile pour mieux comprendre, et construire

Plus en détail

Chapitre 4. Systèmes linéaires

Chapitre 4. Systèmes linéaires ECE 1 - Année 016-017 Lycée français de Vienne Mathématiques - F. Gaunard http://frederic.gaunard.com Chapitre 4. Systèmes linéaires L objectif de ce court chapitre est d introduire et de résoudre des

Plus en détail

Recherche opérationnelle. Programmation linéaire et recherche opérationnelle. Programmation linéaire. Des problèmes de RO que vous savez résoudre

Recherche opérationnelle. Programmation linéaire et recherche opérationnelle. Programmation linéaire. Des problèmes de RO que vous savez résoudre Recherche opérationnelle Programmation linéaire et recherche opérationnelle Ioan Todinca Ioan.Todinca@univ-orleans.fr tél. 0 38 41 7 93 bureau : en bas à gauche Tentative de définition Ensemble de méthodes

Plus en détail

Optimisation Discrète

Optimisation Discrète Prof F Eisenbrand EPFL - DISOPT Optimisation Discrète Adrian Bock Semestre de printemps 2011 Série 7 7 avril 2011 Exercice 1 i Considérer le programme linéaire max{c T x : Ax b} avec c R n, A R m n et

Plus en détail

Espaces de Banach. 1 Normes sur un espace vectoriel. 2 Topologie des espaces vectoriels normés. 2.1 Rappels

Espaces de Banach. 1 Normes sur un espace vectoriel. 2 Topologie des espaces vectoriels normés. 2.1 Rappels 1 Normes sur un espace vectoriel Espaces de Banach Définition 1.1. (Norme) Soit V un R-espace vectoriel (abrégé R-ev dans la suite). Une norme est une application définie sur V à valeurs dans R +, notée

Plus en détail

Une définition et des caractérisations des fonctions exponentielles à partir d une équation fonctionnelle

Une définition et des caractérisations des fonctions exponentielles à partir d une équation fonctionnelle DOCUMENT 36 Une définition et des caractérisations des fonctions exponentielles à partir d une équation fonctionnelle Une propriété importante des fonctions exponentielles est qu elles sont solutions de

Plus en détail