EXERCICES SUR LES SERIES

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "EXERCICES SUR LES SERIES"

Transcription

1 EXERCICES SUR LES SERIES SERIES NUMERIQUES Calculer la somme des séries dot le terme gééral u est doé ci-dessous a) u = l +2) +) 2 ) b) u = d) u = l+x 2 ) < x < ) e) u = +)+2)+3) ) c) u = 3 2) )3+4) ) 2 Etudier la ature des séries dot le terme gééral u est doé ci-dessous comparaiso à ue série géométrique) a) u = b) u = ch2) ch3) c) u = 2 + ) 2 d) u = th+a) th a R) e) u = 3+ ) ) f) u = x R) +x2 3 Etudier la ature des séries dot le terme gééral u est doé ci-dessous comparaiso à ue série de Riema) a) u = cos b) u = + c) u = 2/ d) u = e cos/) e cos2/) e) u = x l x > ) f) u = 2 a a > ) 4 Etudier la ature des séries dot le terme gééral u est doé ci-dessous règles de Cauchy et de d Alembert) a) u =! a a > ) b) u =! e) u = c) u = a a a > ) d) u = a+ ) a > ) a +a)+a 2 ) +a ) a > ) f) u = + x ) 2 si 2 x R) g) u = ) 5 Etudier la ature des séries dot le terme gééral u est doé ci-dessous comparaiso à ue série de Bertrad) a) u = e /2 ) l b) u = l! c) u = a a > )

2 6 Etudier la ature des séries dot le terme gééral u est doé ci-dessous a)!) 2 2)! b)!) c) d) l) e) l) l f) l 2 ++) g) 2 +δ) δ < /2) h) i) a + a 2 + a > ) j) 2 k) +)+2) l) e e +a a > ) 7 Etudier la ature de la série dot le terme gééral u est doé par u = f a+ ) +f a ) 2fa) où f est ue foctio de classe C 2 au voisiage de a 8 Détermier l esemble des triplets abc) de R 3 pour lesquels la série de terme gééral soit covergete u = a+b c 9 Détermier l esemble des couples ab) de R 2 pour lesquels la série de terme gééral soit covergete u = 2 +a 2 +b Etudier la covergece et la covergece absolue des séries dot le terme gééral u est doé ci-dessous critères de Leibiz et d Abel) a) u = ) arcta b) u = si + a ) ) π a R) c) u = ) a a ) + ) d) u = cosa+b) α α > et a 2kπ k Z)) e) u = ) +2si f) u = ) 2 + ) g) u = l 2 + cos ) h) u = si2 2 +

3 Soit λ et µ deux réels O pose u = λ 3/2 ) 3/2 )+µ /2 ) /2 ) /2 a) Quelle est la ature de la série de terme gééral u? b) E déduire qu il existe trois réels a b c tels que k = a 3/2 +b /2 +c+ ) k= 2 Soit deux séries positives covergetes de terme gééraux u et v Quelle est la ature de la série dot le terme gééral w est doé ci-dessous? a) w = u v b) w = u c) w = u v d) w = u 2 3 O pose e = k! a) Motrer que pour tout etier > o a k! < e < k! +! ) b) E déduire que e est irratioel Si e = a/q appliquer la formule ) avec = q) 4 O pose u = si!πe) a) Quelle est la parité du ombre etier A =! k!? b) A l aide de la formule ) de l exercice précédat établir que!πe = πa + π ) + +O 2 c) E déduire que la série de terme gééral u est semi-covergete 5 Motrer que la série de terme gééral est covergete u = x) dx 3

4 6 Soit P et Q deux polyômes de C[X] de degré p et q respectivemet avec Q o idetiquemet ul Si est pas racie de Q o pose Motrer que u = P) Q) a) la série de terme gééral u coverge si et seulemet si q p+2 b) la série de terme gééral ) u coverge si et seulemet si q p+ 7 Motrer que la série de terme gééral = ) 3+ coverge et que ) 3+ = dx +x 3 8 Soit α Etudier la ature de la série de terme gééral u = ) a + ) + 9 Costruire deux séries de termes géeraux u et v l ue covergete l autre divergete telles que u v 2 Démotrer la règle de Cauchy : soit u o suppose que lim + u = l alors si l < la série de terme gééral u coverge Que se passe-t-il si l > ou si l = +? 2 Etudier la covergece de la série dot le terme gééral est défii par ) 2 p ) 2 p u 2p = et u 2p+ = par la régle de Cauchy et par la règle de l Alembert 22 Soit u > O pose v = u et w = u +u +u 2 a) Motrer que les séries de terme gééraux u et v sot de même ature 4

5 b) Comparer la covergece des séries de termes gééraux u et w 23 Soit le polyôme de degré k a) Calculer b) E déduire que P k X) = XX ) X k )) = 24 Détermier u etier tel que σ k = = P k )! ! k= k > 5 = 9e 25 Motrer par le critère de Cauchy que la série de terme gééral cosl diverge difficile) SERIES DE FONCTIONS 26 Etudier la covergece simple uiforme et ormale des séries de foctios u défiies sur [ ] dot le terme gééral est doé ci-dessous a) u x) = +x 2 b) u x) = ) arctax) +x c) u x) = ) x+ d) u x) = x x) e) u x) = ) x x) f) u x) = arctax) 2 27 Lorsque a > et x o pose f x) = x a e x a) Calculer la somme de la série de terme gééral f x) b) Motrer que l o a covergece ormale si a > c) Motrer que l o a pas covergece uiforme si a d) Motrer que l o a covergece uiforme sur tout itervalle [s + [ où s > 5

6 28 Soit u la foctio défiie sur [ + [ par u x) = 2 x+ 3 Motrer que la série de foctios de terme gééral u coverge uiformémet sur [ + [ vers ue foctio f idéfiimet dérivable 29 Pour x o pose f x) = ) six+) x+ Motrer que la série de terme gééral f coverge uiformémet sur [ + [ 3 Pour tout x réel o pose u x) = 2 2 xe 2 x 2 a) Motrer que la série de terme gééral v x) = u x) u + x) coverge et calculer la somme Sx) = v x) = b) Soit a > Motrer que la série de terme gééral coverge et calculer sa somme a c) Calculer St) dt a w = v t)dt d) E déduire que la série de terme gééral u u + e coverge pas uiformémet sur [ a] 6

7 Corrigé a) O utilise le procédé télescopique e écrivat Si l o pose pour o a Alors N u = = u = l + l + +2 v = l + u = v v + N v v + ) = v v N+ = et puisque la suite v ) admet comme limite o obtiet u = v = l 2 = l2 = b) O commece par décomposer la fractio ratioelle e élémets simples O a Alors fx) = x+)x+2)x+3) = a x+ + b x+2 + c x+3 a = lim x x+)fx) = 2 b = lim x+2)fx) = c = lim x+3)fx) = x 2 x 3 2 doc u = 2x+) x+2 + 2x+3) Pour calculer la somme o peut utiliser deux méthodes Première méthode : le procédé télescopique O peut écrire u = 2 + ) ) +3 et doc si l o pose pour o a v = 2 + ) +2 u = v v + et puisque la suite v ) coverge vers o obtiet u = v = 4 = 7

8 Deuxième méthode : calcul des sommes partielles O a N u = 2 = N = N = N = +3 E posat = das la première somme du membre de droite et = + das la troisième o obtiet N u = 2 = N = N = N+ = +2 où ecore puisque les idices et sot muets N u = 2 = N = N +2 = N+ = +2 O obtiet alors N u = + N = = + 2 N 2 + = N = ) N +2 ) +2 + N +2 + N +3 ) La somme se simplifie et il reste N u = 2 = + ) ) + N +2 2 N +2 + ) N +3 et lorsque N ted vers l ifii o trouve u = 2 = + ) 2 2 = 4 c) O peut écrire et o a ue série géométrique doc u = 9 ) u = 9 =2 =2 ) 3 2 = 9 7 = d) Si l o calcule les premières sommes partielles o obtiet ) 3 = S = l+x) = l x2 x 8 = 63 4

9 S = l+x)+l+x 2 ) = l[+x)+x 2 )] = l+x+x 2 +x 3 ) = l x4 x S 3 = S 2 +l+x 4 ) = l x4 )+x 4 ) x Il semble que l o obtiee la formule = l x8 x ce que l o démotre par récurrece S = l x2+ x Si la propriété est vraie à l odre alors S + = S +l+x 2+ ) = l x2+ ce qui doe la propriété à l ordre + : x +l+x2+ x2+ )+x 2+ ) x2 2+ ) = l = l x x S + = l x2+2 x Alors comme < x < la suite x 2+ ) coverge vers et l o a lim S = l + x = l x) e) O décompose la fractio e élémets simples ce qui doe et doc si l o pose pour o a 3 3+)3+4) = v = 3+ u = v v + et puisque la suite v ) coverge vers o obtiet u = v = = 2 a) O obtiet facilemet u équivalet 4 u = ) 3 5 ) 3 5 Or la série de terme gééral 3/5) est ue série géométrique positive de raiso 3/5 < Elle coverge doc Il e résulte que la série de terme gééral u coverge aussi 9

10 b) O écrit u = e2 +e 2 e2 +e 4 e 3 = +e 3 e 3 +e 6 ) e Or la série de terme gééral /e) est ue série géométrique positive de raiso /e < Elle coverge doc Il e résulte que la série de terme gééral u coverge aussi c) O écrit u = ) + 2 ) Mais + ) [ = exp l + )] et e utilisat le développemet limité e de l+u) o obtiet + ) [ ))] = exp + = e + ) e doc u e ) 2 Or la série de terme gééral /2) est ue série géométrique positive de raiso /2 < Elle coverge doc Il e résulte que la série de terme gééral u coverge aussi d) Si a = o a u = et la série coverge Supposos doc a E sachat que thx = ex e x e x +e x = e2x e 2x + o obtiet d où l o tire u = e2+2a e 2+2a + e2 e 2 + u = 2e 2+2a 2e 2 e 2+2a +)e 2 +) O e déduit l équivalet u 2e2 e 2a ) e 2+2a e 2 = 2 e 2a ) e 2 = 2 e 2a ) ) e 2 Or la série de terme gééral /e 2 ) est ue série géométrique positive de raiso /e 2 < Elle coverge doc Il e résulte que la série de terme gééral u coverge aussi e) O a u = 3+ ) ) 2 = ) 2 Or la série de terme gééral /2) est ue série géométrique de raiso /2 < Elle coverge doc Il e résulte que la série de terme gééral u coverge aussi

11 f) Si x > o a u ) x 2 Or la série de terme gééral /x 2 ) est ue série géométrique positive de raiso /x 2 < Elle coverge doc Il e résulte que la série de terme gééral u coverge aussi Si x < la suite u ) coverge vers et si x = elle coverge vers /2 Das les deux cas la limite de la suite u ) est pas ulle et la série de terme gééral u diverge 3 a) E utilisat le développemet limité de cosu e o obtiet u = )) = ) Or /2 2 est le terme gééral d ue série de Riema positive covergete Il e résulte que la série de terme gééral u coverge aussi b) O peut écrire ) + / u = = + / = exp ) l + )) E utilisat le développemet limité de l+u) e o obtiet u = exp ))) + = exp )) Alors e utilisat le développemet limité de e u e o e déduit u = )) Or / 2 est le terme gééral d ue série de Riema égative covergete Il e résulte que la série de terme gééral u coverge aussi c) O écrit u = exp 2l ) Mais la suite l/) coverge vers doc la suite exp 2l ) ) coverge vers Alors u Or / est le terme gééral d ue série de Riema positive divergete Il e résulte que la série de terme gééral u diverge aussi d) E utilisat le développemet limité de cosu e o obtiet u = exp )) exp )) 2

12 O met e e facteur ce qui doe u = e exp )) 2 exp 4 ))) et e utilisat le développemet limité e de e u o trouve [ u = e )) ))] )) = e e 2 2 Or 3e/2 2 ) est le terme gééral d ue série de Riema positive covergete Il e résulte que la série de terme gééral u coverge aussi e) O a u = e llx = lx = lx La série de terme gééral u est ue série de Riema Elle coverge si et seulemet si lx > c est-à-dire x < /e f) Lorsque a la suite u ) e coverge pas vers et la série de terme gééral u diverge Lorsque < a < la suite 2 u ) = 4 a ) coverge vers produit d ue expoetielle et d ue puissace) doc à partir d u certai rag o a 2 u c est-à-dire u 2 et puisque la série de terme gééral / 2 est ue série de Riema covergete il e résulte que la série de terme gééral u coverge égalemet 4 Das cet exercice toutes les séries sot positives à partir d u certai rag a) O a u + = +)! a u a +! = + a La suite u + /u ) admet + comme limite doc il résulte de la règle de d Alembert que la série de terme gééral u ) diverge b) O a u + = +)! ) u +) +! = = + + ) Par u calcul stadart o obtiet que la suite u + /u ) coverge vers e < doc il résulte de la règle de d Alembert que la série de terme gééral u ) coverge c) O a u + = a+ a ) a u +) a a = a + 2

13 La suite u + /u ) coverge vers a doc il résulte de la règle de d Alembert que la série de terme gééral u ) coverge si a < et diverge si a > Il reste à étudier le cas a = Das ce cas u = et l o obtiet la série harmoique qui diverge doc d) O a u = a+ et la suite u ) coverge vers a doc il résulte de la règle de Cauchy que la série de terme gééral u ) coverge si a < et diverge si a > Il reste à étudier le cas a = Das ce cas u = + ) et la suite u coverge vers e doc la série de terme gééral u diverge e) O a u + u = a + +a) +a ) +a) +a + ) a = Si < a < la suite u + u ) coverge vers a Si a = la suite u + u ) coverge vers /2 Si a > la suite u + u ) coverge vers a +a + ) Das tous les cas la limite est strictemet plus petite que doc il résulte de la règle de d Alembert que la série de terme gééral u ) coverge f) O a u = + x ) et la suite u ) coverge vers e x doc il résulte de la règle de Cauchy que la série de terme gééral u ) coverge si e x < c est-à-dire si x > et diverge si e x > c est-à-dire si x < Il reste à étudier le cas x = Das ce cas u = et la suite u e coverge pas vers doc la série de terme gééral u diverge g) O a u = si2 et la suite u ) coverge vers < doc il résulte de la règle de Cauchy que la série de terme gééral u ) coverge 5 a) E utilisat le développemet limité de e u e o a immédiatemet [ u = + ))] l) /2 2 l) /2 3

14 Or 2 est le terme gééral d ue série de Bertrad égative covergete Il e résulte l) /2 que la série de terme gééral u coverge aussi b) O a si 2 soc! = ) = l! l et fialemet u l > Or est le terme gééral d ue série de Bertrad divergete Il e résulte que la série de l terme gééral u diverge aussi c) O a u = exp a l) La suite a l) coverge vers doc o peut utiliser le développemet de e u e u = + a l+ a l)) a l = a l) La série de terme gééral a est ue série de Bertrad qui coverge si a > et qui l) diverge si < a < Lorsque a = elle diverge égalemet La série de terme gééral u possède les mêmes propriétés 6 Remarquos que toutes les séries de cet exercice sot positives a) Formos u + /u O a et e simplifiat O e déduit que u + = +)!)2 u 2+2)! 2)!!) 2 = +)!! ) 2 2)! 2+2)! u + u = +) 2 2+2)2+) = u + lim = + u 4 < La série de terme gééral u coverge doc d après la règle de d Alembert b) Formos u + /u O a u + u = +)!)2 2 +)2 2 2!) 2 = +)!! ) )2 et e simplifiat u + u = +)

15 O e déduit que u + lim = < + u La série de terme gééral u coverge doc d après la règle de d Alembert c) O a u Comme la série de terme gééral / diverge la série de terme gééral u diverge égalemet d) Formos u + /u O a doc u + u = l) ) l l+)) + = l+) l+) u + u et il résulte du théorème d ecadremet que l+) u + lim = < + u La série de terme gééral u coverge doc d après la règle de d Alembert e) O a l) l = e lll = ll Comme ll ted vers + o a à partir d u certai rag ll 2 doc u 2 Comme la série de terme gééral / 2 coverge il e résulte que la série de terme gééral u coverge égalemet f) O a l 2 ++) = 2l+l + + ) 2 et l 2 l + ++) + ) = + 2 2l 2l Comme cette expressio coverge vers o e déduit que Mais o a quel que soit x > u 2l lx x 5

16 doc 2l 2 et comme la série de terme gééral /2) diverge il e est de même de celle de terme gééral /2l) puis de celle de terme gééral u g) Formos u + /u O a u + u = +)2 +δ) + +δ) 2 = + ) 2 +δ Cette expressio coverge vers /+δ) O a alors les trois cas suivats : si /2 < δ < o a/2 < δ+ < doc/+δ) > et la série de terme gééral u diverge si < δ < /2 o a δ + > doc /+δ) < et la série de terme gééral u coverge si δ = o a u = 2 Le terme gééral e ted pas vers zéro et la série de terme gééral u diverge h) Si l o coaît les sommes = +) 2 o obtiet immédiatemet et la série de terme gééral u diverge et = +)2+) 6 u = Si l o e coaît pas les sommes précédates o peut utiliser les sommes de Riema E effet doc p +2 p + + p = p+ [ k= u 2 2 i) O obtiet facilemet u équivalet de u Si a > ) ] k p p+ x p dx = p+ p+ 3 3 = 3 2 u = a a 2 +a +a 2 a Or la série géométrique positive de raiso /a < coverge doc la série de terme gééral u coverge égalemet Si a = u =

17 Or la série harmoique positive de terme gééral 2/ diverge doc la série de terme gééral u diverge égalemet Si < a < u = +a + a2 Or la série harmoique positive de terme gééral / diverge doc la série de terme gééral u diverge égalemet ) j) Comme la suite 2 2 coverge vers o a à partir d u certai rag 2 2 doc 2 2 et la série de terme gééral / 2 coverge O e déduit que la série de terme gééral u coverge k) O a immédiatemet l équivalet u 3/2 Comme la série de terme gééral / 3/2 coverge o e déduit que la série de terme gééral u coverge l) O peut effectuer u développemet limité Tout d abord +a = + a doc Alors Comme O a fialemet +a = a )) + = a ) e +a = + a ) = + a a ) 2 2 e = + + ) u = a ) a 2 ) 2 ) + 2 Comme la série de terme gééral / 2 coverge o e déduit que la série de terme gééral u coverge 7

18 O aurait pu égalemet utiliser le théorème des accroissemets fiis : il existec [/ /+)] doc das [ ] tel que u = ) e c +a doc u et l o coclut avec le théorème de comparaiso a +a) e ea 2 7 E utilisat la formule de Taylor-Youg o a les développemets limités f a+ ) ) = fa)+ f a) + f a) et doc f a ) ) = fa) f a) + f a) ) u = f a) Comme la suite 2 u ) coverge vers f a) il existe N tel que N implique Alors et doc 2 u f a) 2 u + f a) u + f a) 2 Comme la série de terme gééral / 2 coverge la série de terme gééral u coverge absolumet doc coverge ) O peut dire égalemet que u = O 2 8 O suppose que a et b e sot pas uls simultaémet O a u = ac) bc a+b) Si ac ou bie a et u ac a ou bie a = doc b ) et u Das les deux b cas la série diverge Si ac = doc a ) o a u bc a2 Das ce cas la série coverge L esemble des triplets abc) pour lesquels la série coverge est doc {abc) R 3 ac = } 9 Doos les équivalets de u sous forme de tableau Le résultat déped de la positio de a et b par rapport à 2 Les équivalets sot des suites géométriques 8

19 a < 2 a = 2 a > 2 b < 2 2 a 2) b = a 2) b > 2 ) 2 2 a ) 2 b b) b Le tableau suivat doe la ature de la série de terme gééral u a < 2 a = 2 a > 2 b < 2 DV DV DV b = 2 DV DV DV b > 2 CV CV a b DV a < b CV E résumé l esemble des couples ab) pour lesquels la série coverge est {ab) R 2 b > 2 < a < b} a) O a Puisque l o a au voisiage de o e déduit que u = arcta arctau u u 2 Comme la série de Riema de terme gééral / 2 coverge il e résulte que la série de terme gééral u coverge c est-à-dire que la série de terme gééral u coverge absolumet doc 9

20 coverge b) O a u = ) si aπ Si a = o a u = et la série de terme gééral u coverge absolumet) Remarquos que si l o chage a e a das l expressio de u le sige de u chage doc le comportemet de la série e chagera pas O peut se coteter d étudier le cas a > Alors u = si aπ Puisque l o a au voisiage de o e déduit que siu u u aπ Comme la série de Riema de terme gééral / diverge il e résulte que la série de terme gééral u diverge c est-à-dire que la série de terme gééral u e coverge pas absolumet Posos O a fx) = siaπx) f x) = aπcosaπx) et f x) est positive sur l itervalle [ /2a] doc la suite si aπ ) est décroissate dès que > 2a De plus elle coverge vers Alors il résulte du critère de Leibiz que la série de terme gééral u coverge Elle est doc semi-covergete c) Rappelos que le produit de la suite ) ) qui est borée par ue suite qui coverge vers zéro coverge égalemet vers zéro Si a < o a u = + ) a et puisque la suite ) a ) coverge vers la suite u ) coverge vers doc la série de terme gééral u diverge Si a > o a si 2 u = a + ) = a + ) et puisque la suite ) /) coverge vers o e déduit que u a Par comparaiso à ue série de Riema o e déduit que la série de terme gééral u coverge c est-à-dire que la série de terme gééral u coverge absolumet si et seulemet si a > 2

21 Etudios le cas où < a O écrit u = ) a + ) Comme la suite ) / a ) coverge vers o peut utiliser u développemet limité de /+u) e et o obtiet )) u = ) ) ) a a + a = ) a ) + 2a 2a Posos a v = ) a et w = ) + 2a 2a La série de terme gééral v coverge d après le critère de Leibiz Par ailleurs w 2a Or la série de terme gééral / 2a est ue série de Riema égative qui coverge si et seulemet si 2a > c est-à-dire a > /2 doc la série de terme gééral w coverge si et seulemet si a > /2 O a alors les deux cas suivats : si /2 < a la série de terme gééral u est la somme de deux séries covergetes Elle coverge mais est pas absolumet covergete : elle est semi-covergete si < a /2 la série de terme gééral u est la somme d ue série covergete et d ue série divergete : elle diverge doc d) Si l o pose w = cosa+b) et v = α o voit déjà que la suite v ) décroit et coverge vers si α > Pour calculer la somme w + +w m o cosidère w comme la partie réelle de e ia+b] et l o calcule e ia+b) +e ia+)+b) + +e iam+b) = e ia+b) +e ia + +e im )a) O recoaît la somme des termes d ue suite géométrique de raiso e ia Cette raiso est pas égale à puisque a 2kπ doc +e ia + +e im )a = eim +)a e ia d où Mais e ia+b) +e ia+)+b) + +e iam+b) = eim +)a e ia e im +)a + e im +)a = 2 2

22 doc e ia+b) +e ia+)+b) + +e iam+b) 2 e ia = M Alors puisque la valeur absolue de la partie réelle d u ombre complexe est iférieure à so module o obtiet et fialemet w + +w m e ia+b) +e ia+)+b) + +e iam+b) w + +w m M O peut doc appliquer le critère d Abel et la série de terme gééral v w coverge Etudios maiteat la covergece absolue Si α > o a e fait et la covergece est absolue u α Das le cas où < α o écrit cosa+b) α cos2 a+b) α = +cos2a+2b) 2 α Si a kπ la série de terme gééral cos2a+2b)/ α coverge et la série dot le terme gééral est le membre de droite est la somme d ue série divergete positive / α et d ue série covergete La suite des sommes partielles a pour limite + Alors il e est de même de la suite des sommes partielles de la série dot le terme gééral est le membre de gauche Si a = kπ et la série diverge égalemet cosa+b) α = cosb α E résumé si < α la série de terme gééral u est semi-covergete e) O a si 2 u = +2si = + 2si et puisque la suite 2si) est borée et que la suite /) coverge vers la suite si/) coverge aussi vers doc u et la série de terme gééral u diverge par comparaiso à la série harmoique La série de terme gééral u est doc pas absolumet covergete Partos de l égalité u = ) + 2si 22

23 Comme la suite si/) coverge vers o peut utiliser u développemet limité de /+u) e et o obtiet u = ) 2si )) 2si + = ) 2 ) si 2 ) ) si Posos v = ) et w = 2 ) si 2 ) ) si La série de terme gééral v coverge d après le critère de Leibiz Par ailleurs doc w 2 ) si 2 w 2 si et la série de terme gééral w coverge par comparaiso à la série de Riema de terme gééral 2/ 2 Il e résulte que la série de terme gééral w coverge Alors la série de terme gééral u est la somme de deux séries covergetes Elle coverge doc et c est ue série semi-covergete f) O a aussi et doc u = u = 2 ++ = ) La série de terme gééral u diverge par comparaiso à la série harmoique Mais la suite/ 2 ++) est ue suite décroissate qui coverge vers doc la séries de terme gééral u coverge d après le critère de Leibiz Il e résulte que cette série est semi-covergete g) Puisque la suite cos) est borée et que la suite / ) coverge vers la suite cos/ ) coverge vers et o peut utiliser u développemet limité de l+u) e u = cos cos2 cos 2 ) 2 + Posos v = cos et w = cos2 cos 2 ) 2 + La série de terme gééral v coverge D autre part w cos2 2 = 4 + cos2 ) 4 Or la série de terme gééral /4) diverge et la série de terme gééral cos2)/4) coverge d après d) doc la série de terme gééral w diverge Alors la série de terme gééral u diverge doc elle e coverge pas absolumet 23

24 h) O a u si doc la série de terme gééral u coverge absolumet par comparaiso à la série de Riema de terme gééral / 2 a) O peut écrire e mettat 3/2 e facteur u = [λ 3/2 ) ) 3/2 + µ ) ) ] /2 O fait u développemet limité à l ordre 3 de 3/2 u par rapport à la variable / O a ) 3/2 = et ) /2 = 2 d où e remplaçat ) 3 3/2 u = 2 λ + Si λ 2/3 o a ) ) λ+ 2 ) µ λ+ ) ) 8 µ u ) 3 2 λ et la série de terme gééral u diverge puisque le terme gééral e ted pas vers Si λ = 2/3 et µ /2 o a u µ 2 ) 4 et la série de terme gééral u diverge par comparaiso à ue série de Riema divergete Si λ = 2/3 et µ = /2 o a u 48 3/2 et la série de terme gééral u coverge par comparaiso à ue série de Riema covergete b) Das ce derier cas otos S la somme de la série et R le reste d ordre O a doc et la suite R ) coverge vers u k = S R k= 24

25 E calculat les sommes partielles o obtiet e utilisat le procédé télescopique Doc c est-à-dire u k = 2 3 3/2 + 2 /2 k= k= k= ce qui doe la formule voulue k k= k = 2 3 3/2 + 2 /2 S R ) k = 2 3 3/2 + 2 /2 S + ) 2 a) De l iégalité u 2 u v +v = u v ) 2 o déduit u v 2 u +v ) Puisque la série de terme gééral u +v coverge comme somme de deux séries covergetes o e déduit que la série de terme gééral u v coverge aussi b) E appliquat ce qui précède à v = / 2 qui est le terme gééral d ue série covergete o e déduit que la série de terme gééral u / coverge c) Puisque la série de terme gééral v coverge la suite v ) coverge vers et doc w u Il e résulte que la série de terme gééral w coverge d) Puisque la série de terme gééral u coverge la suite u ) coverge vers et doc à partir d u certai rag u Il e résulte u 2 u et la série de terme gééral w coverge 3 a) O a doc D autre part k=+ k! =! Mais si k +2 o a k > + et e k=+ k! = k=+ k! k! +)! > k=+! k! =! k=+ +) k +) k > +) +) = +) k 25

26 puisqu il y a k facteurs das ce produit doc ce que l o peut ecore écrire k=+ k=+ k! <! k! <! + k=+ k=+ +) k +) k Mais o recoaît alors la somme de la série géométrique de raiso /+) Fialemet k=+ O a doc bie obteu les iégalités +) k = +) k = + k=+ k! <! k! < e < k! +! b) Tout d abord e preat = das ) o trouve 2 < e < 3 = + et e est doc pas etier Supposos que e soit ratioel Il s écrirait e = a/q evec a > et q > etiers Alors q E multipliat ces iégalités par q! o obtiet k! < a q q < k! + q q! Mais est u ombre etier Alors q α = q! q k! < aq )! < q! k! + q q q q! k! = + k +) q < aq )! α < q < et aq )! α serait u etier de l itervalle ] [ ce qui est impossible O a doc ue cotradictio et e est irratioel 26

27 4 a) O écrit 2! A = k! = k+) )++ 2 La somme k+) ) est divisible par le produit ) qui est u ombre pair doc A a la même parité que + Il e résulte que A est pair si est impair et impair si est pair b) E multipliat les iégalités ) par π! o trouve πa <!πe < πa + π doc <!πe πa < π D autre part doc O e déduit que c) Alors u = si!πe) = si Tout d abord + = +) 2 <!πe πa < π + + π 2!πe = πa + π ) + +O 2 πa + π )) )) π + +O 2 = ) + si + +O 2 u = π si + +O 2 )) π et cette série e coverge pas doc u est pas absolumet covergete D autre part d après la formule des accroissemets fiis il existe c tel que sia+b) sia = b cosc b doc Alors Fialemet sia+b) = sia+ob) )) ) ) si + +O 2 = si +O + 2 ) ) u = ) + si +O

28 ) )) La série de terme gééral O 2 coverge absolumet D autre part la suite si est + ) décroissate et coverge vers La série alterée de terme gééral ) + si coverge + doc Il e résulte que la série de terme gééral u coverge Elle est bie semi-covergete 5 O a m u k = Mais si x m ) x) k dx = m x) k dx x) m+ x) dx = x) m+ x E effectuat le chagemet de variable u = x o a du = dx/2 x) et m u k = u) m+ )2du = 2 [u+ u)m+2 m+2 = 2 2 m+2 Comme cette suite coverge vers 2 o e déduit que la série de terme gééral u coverge et que m u = lim u k = 2 = m + ] dx 6 Cas réel Motros tout d abord les propriétés das le cas où P et Q sot das R[X] a) Si a p X p est le terme de plus haut degré de P et b q X q celui de Q o a alors P) Q) a p b q q p et il résulte du critère de Riema que cette série coverge si et seulemet si q p 2 b) Pour que la série coverge il faut déjà que le terme gééral tede vers Or P) Q) a p b q q p et cette expressio ted vers zéro si et seulemet si q > p soit q p+ doc pour que la série coverge il faut que q p+ 28

29 Supposos maiteat cette coditio satisfaite Calculos la dérivée de la foctio f défiie par O a fx) = Px) Qx) f x) = Qx)P x) Px)Q x) Qx) 2 Le umérateur est u polyôme Si ce est pas le polyôme il est équivalet à so terme de plus haut degré et doc de sige costat pour x assez grad Il e résulte que f est mootoe sur u itervalle [a + [ et doc que la suite u ) est mootoe à partir d u certai rag Le critère des séries alterées motre que la série de terme gééral u ) coverge Si le umérateur de la fractio est le polyome zéro c est que f est costate doc que Px) = λqx) Mais comme q p + o e peut avoir q = p ce qui implique que λ = doc P = et alors la série est ulle et coverge égalemet La coditio q p+ est doc suffisate pour avoir la covergece Cas complexe Si l o suppose maiteat les polyômes à coefficiets complexes o peut écrire P = P +ip 2 et Q = Q +iq 2 avec P P 2 Q Q 2 das R[X] U des polyômes P et P 2 au mois est de degré p et u des polyômes Q et Q 2 au mois est de degré q Alors et e redat le déomiateur réel P Q = P +ip 2 Q +iq 2 P Q = P +ip 2 )Q iq 2 ) Q 2 = P Q +P 2 Q 2 +Q2 2 Q 2 +i P 2Q P Q 2 +Q2 2 Q 2 +Q2 2 U au mois des polyômes Q et Q 2 est de degré q Alors le degré du déomiateur C = Q 2 +Q2 2 vaut au plus 2q mais les termes de plus haut degré de Q 2 et Q2 2 état positifs le degré de C vaut exactemet 2q Les polyômes P Q + P 2 Q 2 et P 2 Q P Q 2 sot de degré p + q au plus et u des deux au mois est exactemet de degré p + q sio la fractio P/Q serait de degré plus petit que p+q) 2q = p q ce qui est faux Cela sigifie que u au mois des polyômes A = P Q +P 2 Q 2 et B = P 2 Q P Q 2 est de degré p+q et l autre de degré au plusp+q O peut alors appliquer les résultats obteus das le cas réel a) si q p+2 alors 2q p+q+2 doc les séries de termes gééraux A) C) toutes les deux Alors la série de terme gééral u coverge et B) C) coverget 29

30 Si q < p+2 alors 2q < p+q +2 doc ue des deux séries de termes gééraux A) C) diverge Alors la série de terme gééral u diverge et B) C) b) si q p+ alors 2q p+q+ doc les séries de termes gééraux ) A) C) coverget toutes les deux Alors la série de terme gééral ) u coverge et )B) C) Si q < p+ alors 2q < p+q + doc ue des deux séries de termes gééraux ) A) C) et ) B) C) diverge Alors la série de terme gééral ) u diverge 7 O peut appliquer le critère des séries alterées puisque la suite /3 + )) décroit et ted vers La série coverge doc E utilisat la somme des termes d ue suite géométrique o obtiet doc e itégrat +x 3 = ) k x 3k + ) x 3 +x 3 dx +x 3 = ) k 3k + + ) x 3 +x 3 dx E appliquat la première formule de la moyee il existe c das [ ] tel que x 3 +x 3 dx = +c 3 x 3 dx = +c Il résulte du théorème d ecadremet que la suite de terme gééral pour limite Alors et x 3 lim + ) dx = +x3 x 3 dx coverge et a +x3 c est-à-dire lim + ) k k+ = dx +x 3 ) k k+ = dx +x 3 3

31 8 O étudie différets cas Si α < alors u = + ) + α et cette expressio ted vers Le terme gééral de la série e ted pas vers zéro et la série diverge Si α > o a cette fois u = α + )+ La série coverge absolumet si et seulemet si α > α α Si < α E utilisat le développemet limité e zéro o a d où α + )+ α u = +u+ u) = α )+ ) + α + α [ )] u = ) α + + 2α 2α O a doc u = v +w où v = ) α et w = ) + 2α 2α La série de terme gééral v est alterée et coverge doc )) Par ailleurs w 2α et d après le critère de Riema la série de terme gééral w coverge si et seulemet si 2α > Alors il e sera de même de la série de terme gééral u E résumé o a la situatio suivate : covergece absolue si α > semi-covergece si α > /2 divergece si α /2 9 Il suffit de predre u = ) + et v = ) Alors et comme v ted vers o a u v u = v +v 2 = v +v ) 3

32 La série de terme gééral v est alterée et coverge La série de terme gééral u est somme d ue série alterée et d ue série divergete doc diverge 2 Supposos que u tede vers l [ [ Si l o choisit ε < l il existe N tel que N implique u l < ε doc u < l+ε) et fialemet u < l+ε) Mais l+ε < La série de terme gééral l+ε) est doc ue série géométrique covergete Il e résulte que la série de terme gééral u coverge égalemet Supposos que u tede vers l > évetuellemet ifiie) ou tede vers + Alors u à partir d u certai rag doc u à partir d u certai rag et la suite u ) e peut coverger vers La série diverge doc 2 O a aisi que 2p+ u 2p+ = 2p u 2p = 2 3 ) 2 p/2p+) 2 /2p+) p = exp[ 3 2p+ l l2 ] 2p+ Les suites 2p u 2p ) et 2p+ u 2p+ ) des termes de rag pair et de rag impair extraites de la suite 2 u ) coverget doc toutes les deux vers 3 Alors la suite u ) coverge aussi vers 2 3 < Il résulte de la règle de Cauchy que la série de terme gééral u coverge Par cotre u 2p+ u 2p = 2 et u 2p u 2p = 3 Les suites des termes de rag pair et de rag impair extraites de la suite u + /u ) ot des limites différetes Elle a doc pas de limite et o e peut utiliser la règle de d Alembert 22 a) Les séries sot positives O peut doc appliquer le théorème sur les équivalets Si la série de terme gééral u coverge alors la suite u ) coverge vers zéro et +u ) vers doc v u Les séries sot de même ature doc la série de terme gééral v coverge Iversemet si la série de terme gééral v coverge la suite v ) coverge vers zéro Mais o obtiet u = v v et il e résulte que u v Les séries sot de même ature doc la série de terme gééral u coverge 32

33 b) O a w u doc si la série de terme gééral u coverge il e est de même de la série de terme gééral w Mais la réciproque est fausse Remarquos que si u ted vers l ifii o a w u Il suffit de predre u = 2 pour que la série de terme gééral w coverge mais pas celle de terme gééral u 23 a) O costate que P k )! = si k k)! si k doc σ k = =k k)! =! = e b) Le polyôme PX) = X 3 +X 2 +X + est de degré 3 Les polyômes P P P 2 P 3 sot de degrés disticts et costituet ue base de R 3 [X] O peut doc décomposer P das cette base : = PX) = αxx )X 2)+βXX )+γx +δ Le coefficiet du terme de degré 3 vaut α = Par ailleurs O e déduit δ = γ = 3 et β = 4 doc P) = = δ P) = 4 = γ +δ P2) = 5 = 2β +2γ +δ PX) = P +3P +4P 2 +P 3 Alors ! = σ +3σ +4σ 2 +σ 3 = 9e 24 Puisque la foctio x / x est décroissate sur [ + [ o a k+ k dx x k doc e sommat k= k+ k dx x k= k 33

34 Mais doc Si l o veut avoir il suffit que soit k= k+ k dx x = ) k= dx x = 2 + ) k= k > 5 k 2 + ) > 5 + > 5 et doc La valeur = 5) 2 coviet doc > 5) 2 25 Soit k u etier aturel fixé Comme e π/2 3 o a égalemet e 2kπ+π/2 e 2kπ = e 2kπ e π/2 ) e π/2 3 doc Ee 2kπ+π/2 ) Ee 2kπ ) ) e 2kπ+π/2 e 2kπ 2 Alors si l o pose r = Ee 2kπ ) o a r et il existe u etier p 2 tel que r+p = Ee 2kπ+π/2 ) O a doc et r e 2kπ < r + < r +p e 2kπ+π/2 < r +p+ lr 2kπ < lr +) < lr +p) 2kπ + π 2 < lr +p+) O e déduit que si s est u etier compris etre r+ et r+p le ombre cosls est positif O va miorer la somme r+p cosls σ k = s Posos s=r+ si j = t j = lr +j) 2kπ si j p π/2 si j = p+ 34

35 O a doc t = < t < < t p t p+ = π 2 Soit j p Puisque la foctio cosius est décroissate sur [ π/2] o a Mais o vérifie que t j+ t j cosxdx t j+ t j )cost j t j+ t j lr +j +) lr +j) E effet il y a égalité si j p et par ailleurs t t = lr +) 2kπ lr +) lr et t p+ t p = π 2 +2kπ lr +p) lr +p+) lr +p) O peut alors utiliser le théorème des accroissemets fiis pour la foctio logarithme Il existe c j das [r +j r +j +] tel que lr +j +) lr +j) = c j et doc Fialemet o e déduit lr +j +) lr +j) r +j t j+ t j cosxdx cost j r +j Alors e sommat ces iégalités pour j variat de à p p j= t j t j+ cosxdx p j= cost j r +j Le membre de gauche vaut Le membre de droite s écrit p j= cost j r +j = p r + j= π/2 cosxdx = coslr +j) 2kπ) r +j = r + p j= coslr +j) r +j o e déduit doc p j= coslr +j) r+j r 35

36 Mais doc p j= coslr +j) r +j = σ k r+p s=r+ cosls s Ee 2kπ ) = σ k Lorsque k ted vers l ifii le membre de droite ted vers Alors à partir d u certai rag K il est supérieur à /2 et doc si k K o r+p j=r+ cosls s 2 Soit maiteat u etier N Comme Ee 2kπ ) ted vers l ifii il existe u etier k K tel que r = Ee 2kπ ) N et das ce cas r+p s=r+ cosls s 2 La coditio de Cauchy est pas satisfaite et la série de terme gééral lcos diverge 26 a) O a u ) = / qui est le terme gééral d ue série divergete La série de terme gééral u e coverge pas simplemet doc elle e coverge i uiformémet i ormalemet b) Posos O a doc fx) = arctax +x u x) = ) fx) Pour x = o a u x) = et la série de terme gééral u ) coverge Pour x o va utiliser le critère de Leibiz Tout d abord u x) π 2x ce qui motre que la suite u ) coverge vers et aussi que la série de terme gééral u e coverge pas absolumet Il reste à motrer que pour x fixé la suite u x) ) est mootoe à partir d u certai rag Cela reviet à étudier les variatios de la foctio f sur [ + [ O a tout d abord et si l o ote f x) = +x) 2 ) +x +x 2 arctax gx) = +x +x 2 arctax les foctios g et f ot le même sige E dérivat g o trouve g x) = +x2 ) +x)2x) +x 2 ) 2 x+x2 = 2 +x2 +x 2 ) 2 < 36

37 O e déduit que g est décroissate sur [ + [ Puisque g) = et lim gx) = π x + 2 la foctio g s aule ue fois et ue seule pour ue valeur α et elle est positive sur [ α] et égative sur [α + [ Il e est de même de f Alors f est croissate sur [ α] et décroissate sur [α + [ Si x est fixé et si > α/x la suite fx)) est alors décroissate et il résulte du critère de Leibiz que la série de terme gééral u x) coverge E résumé la série de terme gééral u coverge simplemet sur [ ] Efi o costate que u /) = arcta = π 2 8 et doc la suite u /)) e coverge pas vers Il e résulte que la suite u ) e coverge pas uiformémet vers sur [ ] O e coclut que la série de terme gééral u e coverge pas uiformémet Elle e coverge doc pas o plus ormalemet c) O a tout d abord u ) et la série de terme gééral u ) diverge doc la série de terme gééral u e coverge pas absolumet Par cotre puisque quel que soit x das [ ] la suite /x + )) décroit et coverge vers le critère de Leibiz motre que la série de terme gééral u coverge simplemet Etudios la covergece uiforme Pour ue série alterée o a R x) u + x) = et doc puisque la foctio u + est décroissate R x) u + ) = +)x+ + + Il e résulte que la suite R ) coverge uiformémet vers doc que la série de terme gééral u coverge uiformémet sur [ ] Par cotre u = u ) = et doc la série de terme gééral u diverge La série de terme gééral u e coverge pas ormalemet d) La série de terme gééral u coverge simplemet et o peut calculer la somme S Si x = o a u x) = doc Sx) = Si x [ [ o obtiet Sx) = x) x = = 37

38 O costate que la somme S est pas cotiue alors que les foctios u étaiet cotiues La covergece e peut doc être i uiforme i ormale e) D après d) la covergece de la série de terme gééral u est absolue O calcule sa somme Pour tout x [ [ o a Sx) = x) x) = x +x = ce qui reste vrai si x = car alors u x) = O a Alors Posos E dérivat R x) = k=+ ) k x k x) = ) + x + x +x R x) = x+ x +2 +x x + x +2 g x) = x + x +2 = x + x) g x) = +)x +2)x + = x +) +2)x) Le maximum de g est obteu pour x = + et l o a +2 O e déduit doc que g x ) = x R x) +2 ce qui motre que la série de terme gééral u coverge uiformémet Par cotre elle e coverge pas ormalemet d après le d) f) O a u x) π 2 2 doc la série de terme gééral u coverge ormalemet Il e résulte qu elle coverge aussi uiformémet absolumet et simplemet sur [ ] 27 a) Si x = o a f x) = et la série de terme gééral f ) a ue somme f) qui est ulle Supposos x > Alors o a ue série géométrique de raiso e x < et sa somme fx) vaut fx) = xa e x b) O calcule f x) = axa e x x a e x = a x)x a e x 38

39 La foctio f a u maximum pour x = a/ et f = f a/) = aa e a a La série de terme gééral f coverge si et seulemet si a > par comparaiso à ue série de Riema doc la série de terme gééral u coverge ormalemet si et seulemet si a > c) Si < a < et si x > o a et puisque o e déduit que e fx) = lim x x e x xa x = e x fx) x a Alors fx) e ted pas vers f) lorsque x ted vers Puisque les foctios f sot cotiues et que f e l est pas la covergece est pas uiforme d) Soit a/s Alors la foctio f est décroissate sur [s + [ et doc sup f x) = f s) = s a e s x s et comme la série umérique de terme gééral f s) coverge il e résulte que la série de terme gééral f coverge ormalemet doc uiformémet sur [s + [ 28 Calculos la dérivée d ordre k de u O obtiet facilemet par récurrece que u k) x) = 2 ) k k! x+) k+ La foctio qui à x associe /x+) k est décoissate sur [ + [ et atteit so maximum e doc u k) = k! k+3 Alors toutes ces séries coverget ormalemet doc uiformémet et il e résulte que la somme de la série de terme gééral u est ue foctio idéfiimet dérivable sur [ + [ 29 O écrit f x) = six++π) x+ et o utilise le critère d Abel de covergece uiforme Posos O a v x) = x+ et w x) = six++π)) v = 39

40 et la suite v ) coverge uiformémet vers Par ailleurs Alors doc m k= m e x+k+π))i = e x++π))i m k= e x+k+π))i = em +)+π)i e +π)i m six+k+π))i) m e x+k+π))i k= e k+π)i x++π))i em +)+π)i = e e +π)i k= 2 e +π)i 2 e +π)i = M Les sommes sot borées par u ombre M qui e déped i de i de m i de x Il résulte alors du critère d Abel que la série de terme gééral u coverge ormalemet sur [ + [ 3 a) D après le procédé télescopique S = v k x) = u x) u + x) k= et la suite u + x)) coverge vers e distiguat les cas x = et x > ) doc la série de terme gééral u coverge simplemet et Sx) = u x) b) Puisque u est la dérivée de la foctio qui à x associe e 2 x 2 o a Alors w = a a et d après le procédé télescopique u t)dt = [e 2 x 2] a = a 2 e 2 a u t)dt u + t)dt = e 2 a 2 e +)2 a 2 w k = e a2 e +)2 a 2 doc lorsque ted vers l ifii cette somme a ue limite qui vaut k= w k = e a2 k= 4

41 c) O a d) O costate que a St)dt = a a u x)dx = = u x)dx = e a2 a u x)dx La covergece de la série de terme gééral u e peut doc être uiforme 4

EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES

EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES 1 Etudier la mootoie des suites a ) 0 défiies par : a) a = b) a = + 1) + ) + ) c) a =! d) a = α + 1) α réel positif) Soit a, la suite de terme gééral a = 3 + 1 3 + Trouver

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable. k n) X k (1 X) n k.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable. k n) X k (1 X) n k. Exo7 Suites et séries de foctios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable

Plus en détail

Chapitre Rappels sur les suites

Chapitre Rappels sur les suites Chapitre Séries umériques. Rappels sur les suites Défiitio.. (i) Ue suite (a ) N de réels (ou de complexes) est covergete vers ue limite a si pour tout ε > 0, il existe 0 N tel que pour tout 0, o a a a

Plus en détail

Université Denis Diderot (Paris VII) MP 3. Quelques exercices corrigés Suites et séries numériques

Université Denis Diderot (Paris VII) MP 3. Quelques exercices corrigés Suites et séries numériques Uiversité Deis Diderot (Paris VII) 006-007 MP 3 Quelques exercices corrigés Suites et séries umériques Das les pages qui suivet ous proposos la correctios de quelques exercices de la feuille sur les suites

Plus en détail

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse UNIVERSITÉ MOHAMMED V - AGDAL Faculté des Scieces Départemet de Mathématiques Filière Scieces de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Aalyse (S4) Cours d Aalyse Séries umériques Suites et Série

Plus en détail

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013 Master Métiers de l Eseigemet, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 202/203 ANALYSE 2 Fiche de Mathématiques 4 - Séries umériques Soit E u espace vectoriel sur le corps K = R ou C Pour toute famille fiie

Plus en détail

Corrigé du problème: autour de la fonction zeta alternée de Riemann

Corrigé du problème: autour de la fonction zeta alternée de Riemann Corrigé du problème: autour de la foctio zeta alterée de Riema I Gééralités Pour x >, la suite décroît vers, doc la série coverge par le critère spécial des séries alterées Pour x, e ted pas vers, ce qui

Plus en détail

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008 Sup Galilée - Maths pour l Igéieur Corrigé du Partiel du 9 Novembre 008 Étude d ue suite récurrete Soit u 0 ]0, [ O cosidère la suite (u ) défiie par u + u 3 u ) Justifier que la suite u est borée O motre

Plus en détail

Convergence de suites réelles

Convergence de suites réelles DOMAINE : No olympique AUTEUR : Nicolas SÉGARRA NIVEAU : Itermédiaire STAGE : Motpellier 2014 CONTENU : Cours et exercices Covergece de suites réelles I) Rappels et otios de base. Défiitio 1. Ue suite

Plus en détail

Révisions d analyse (corrigé des indispensables).

Révisions d analyse (corrigé des indispensables). Révisios d aalyse (corrigé des idispesables). Limites des foctios de variable réelle à valeurs das ou.. a. La foctio f est le produit d e foctio borée sur ( a si ) et d e foctio qui ted vers 0 e 0 ( a

Plus en détail

Etude asymptotique de suites de solutions d une équation

Etude asymptotique de suites de solutions d une équation [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mai 206 Eocés Etude asymptotique de suites de solutios d ue équatio Exercice [ 02289 ] [Correctio] Soit u etier aturel et E l équatio x + l x = d icoue x R +.

Plus en détail

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES 1

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 SESSION 2005 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES PREMIER EXERCICE a. T (x + y dxdy = = ( y= (x + y dy y= x dx = ((x + 2 ( x2 + x2 2 dx = T (x + y dxdy = 4 3. [xy +

Plus en détail

Séries à termes positifs

Séries à termes positifs Séries à termes positifs Das toute la suite N désigera les etiers aturels positifs 0,,,..., Z tous les etiers aturels...,,, 0,,, 3,... et Q les ombres ratioels. Efi R désigera les réels, et C les complexes.

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k SÉRIES NUMÉRIQUES K désige le corps R ou C. Gééralités. Défiitios Défiitio. Série Soit (u ) 0 ue suite umérique (i.e. à valeurs das K). O appelle série de terme gééral u la suite (S ) 0 où 0, S = u k Cette

Plus en détail

DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN

DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN Das ce qui suit, o utilisera des argumets élémetaires et o e suppose aucue coaissace des foctios exp et l Ce qui suit sert à les défiir comme

Plus en détail

TD n o 1 : suites numériques

TD n o 1 : suites numériques MAT232 : séries et itégrales gééralisées Uiversité Joseph Fourier 23-24 Greoble TD o : suites umériques Rappel importat : il existe u cours de L e lige, ititulé M@ths e Lge, à l adresse : http://ljk.imag.fr/membres/berard.ycart/mel/

Plus en détail

Questions de cours. tend vers 0, alors que la série harmonique 1. v n = ln n La série u n est convergente, et la série [ ( )]

Questions de cours. tend vers 0, alors que la série harmonique 1. v n = ln n La série u n est convergente, et la série [ ( )] PC - DS N 6 - U corrigé Questios de cours QC..a L assertio a. est fausse. Par exemple, la suite + ted vers 0, alors que la série harmoique + est divergete. QC..b L assertio b. est vraie. Supposos que la

Plus en détail

MVA101 - Analyse et calcul matriciel T. Horsin

MVA101 - Analyse et calcul matriciel T. Horsin MVA101 - Aalyse et calcul matriciel 2012 2013 T. Horsi (thierry.horsi@cam.fr) Attetio: Ce documet est ue base de travail qui peut coteir des coquilles. Les zoes e bleus sot, de loi, hors programme, et

Plus en détail

SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 1

SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 1 SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE. Exercice. Ue suite de réels positifs qui coverge vers 0 est décroissate à partir d u certai rag. C est faux. Pour costruire u cotre-exemple, o pourrait cosidérer

Plus en détail

Feuille d Exercices : Suites, suite!

Feuille d Exercices : Suites, suite! ECS 1 Dupuy de Lôme Semaie du 6 décembre 004 Feuille d Exercices : Suites, suite! Exercice 1 : Pour tout etier, o défiit u = 1. Motrez que u est mootoe.. Motrez que v est géométrique. k= 3. E déduire l

Plus en détail

SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes

SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes UE7 - MA5 : Aalyse SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes I. Gééralités Défiitio Etat doée ue suite (u ) de ombres réels ou complexes, o appelle série de terme gééral u la suite (S ) défiie par : () S

Plus en détail

Exercice 2 (Séries de fonctions - 7 points)

Exercice 2 (Séries de fonctions - 7 points) INSA Toulouse, STPI, IMACS 2 mercredi 18 décembre 212 Correctio exame d'aalyse I (coquilles probables) Exercice 1 (Séries etières - 5 poits) Calculer le rayo de covergece et le domaie de covergece simple

Plus en détail

Analyse 5 SUITES REELLES

Analyse 5 SUITES REELLES Aalyse chap 5 /6. GENERALITES SR LES SITES. Défiitios Défiitio : e suite est ue foctio, défiie sur ue partie D de. O ote () =, o lit «idice». O dit que est le terme gééral de la suite, ou terme de rag.

Plus en détail

S n = u u n. S = u k. k=0

S n = u u n. S = u k. k=0 Chapitre 3 Séries umériques 3. Défiitios et exemples 3.. Défiitios Défiitio 3.. Soit (u ) ue suite réelle. O lui associe (S ) ue ouvelle suite défiie par S = u 0 + + u. O appelle série de terme gééral

Plus en détail

SESSION Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques B PSI. Exercice I

SESSION Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques B PSI. Exercice I SESSION 9 Cocours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE E3A Epreuve de Mathématiques B PSI Exercice I ) rga) 3 < 4 et doc A / GL 4 R) Par suite, est valeur propre de A ) Soit U Puisque la somme des coefficiets

Plus en détail

1 Séries numériques. 1.1 Généralités. Dans toute cette section, si cela n est pas précisé, E désignera l espace R m, m 1, et la norme euclidienne.

1 Séries numériques. 1.1 Généralités. Dans toute cette section, si cela n est pas précisé, E désignera l espace R m, m 1, et la norme euclidienne. 1 Séries umériques Das toute cette sectio, si cela est pas précisé, E désigera l espace R m, m 1, et la orme euclidiee. 1.1 Gééralités Défiitio 1.1. Soit (x ) N ue suite de E et pour chaque N, o défiit

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] (a) Étudier u n où u n = 1 (b) Étudier v n où v n = 1

Exercice 6 [ ] [Correction] (a) Étudier u n où u n = 1 (b) Étudier v n où v n = 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Eocés Séries umériques Nature de séries umériques Exercice [ ] [Correctio] Détermier la ature des séries dot les termes gééraux sot les suivats : a

Plus en détail

SÉRIES DE FONCTIONS SUITES ET PC*2. 13 octobre octobre octobre 2004

SÉRIES DE FONCTIONS SUITES ET PC*2. 13 octobre octobre octobre 2004 3 octobre 2004 Exemple 2. O se doe a I et q C(I, K). L équatio différetielle liéaire : y (x) q(x) y(x) = 0 avec les coditios y(a) = α, y (a) = β SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS PC*2 3 octobre 2004 Admet

Plus en détail

TD 2 : Suites numériques réelles

TD 2 : Suites numériques réelles Uiversité Paris-Est Mare-la-Vallée Licece L Maths/Ifo d semestre 0/0 Aalyse TD : Suites umériques réelles Exercice Cours) Motrer que si ue suite réelle u ) N coverge, alors toute sous-suite de u ) coverge

Plus en détail

1 Séries numériques COURS L2, SUITES, SÉRIES, INTÉGRALES IMPROPRES =?

1 Séries numériques COURS L2, SUITES, SÉRIES, INTÉGRALES IMPROPRES =? COURS L2, 200-20. SUITES, SÉRIES, INTÉGRALES IMPROPRES Séries umériques. série géométrique et série téléscopique + 2 + 4 + 8 + 6 +? Figure. quelle est la logueur? Soit q > 0 (das l exemple ci-dessus q

Plus en détail

L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM

L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES. UHA MULHOUSE L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM Chapitre 2 Séries etières Cotets. Gééralités sur les séries etières 2.. Défiitio

Plus en détail

Chapitre 1. Les suites numériques Principe de récurrence Limite d une suite

Chapitre 1. Les suites numériques Principe de récurrence Limite d une suite Eseigemet spécifique Chapitre 1. Les suites umériques Pricipe de récurrece Limite d ue suite I. Rappels sur les suites umériques 1. géérale Ue suite umérique est ue foctio défiie de N vers R, elle peut

Plus en détail

Correction de la question de cours 1

Correction de la question de cours 1 Math I Aalyse Exame du 9 décembre 2007 Durée 2 heures Aucu documet est autorisé. Les calculatrices, téléphoes portables et autres appareils électroiques sot iterdits. Il est iutile de recopier les éocés.

Plus en détail

Limites de suites et de fonctions

Limites de suites et de fonctions TermS Limites de suites et de foctios I ] Suites ) Défiitio : Ue suite réelle est ue foctio de! das!, défiie à partir d'u certai rag 0. Notatio : u = lire "u idice " = terme d'idice, ou de rag = terme

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) une suite décroissante de réels telle que

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) une suite décroissante de réels telle que [http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 7 août 07 Eocés Calcul asymptotique Comparaiso de suites umériques Eercice [ 08 ] [Correctio] Trouver u équivalet simple au suites u suivates et doer leur limite :

Plus en détail

SUITES et SERIES DE FONCTIONS

SUITES et SERIES DE FONCTIONS UE7 - MA5 : Aalyse SUITES et SERIES DE FONCTIONS I Suites de foctios à valeurs das È ou  Etat doé u esemble E, ue suite de foctios umériques défiies sur E est la doée, pour tout etier, d'ue applicatio

Plus en détail

Correction du TD 3 : Séries numériques

Correction du TD 3 : Séries numériques Mme Marceli - Lycée Clemeceau Séries umériques Correctio du TD : Séries umériques Exercice A chaque fois, puisqu'o demade la covergece et la valeur, o reviet à la somme partielle : esuite, soit o recoaît

Plus en détail

Développement en série de Fourier

Développement en série de Fourier [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le septembre 6 Eocés Développemet e série de Fourier Exercice [ 95 ] [Correctio] Soit f ue foctio cotiue périodique. O suppose que la série de Fourier de f coverge

Plus en détail

Corrigé feuille d exercices 4

Corrigé feuille d exercices 4 UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE Aée 008/009 MIME LM5-Suites et Itégrales Groupes Corrigé feuille d exercices Suites Covergece de suites Exercice Ue suite u N est pas croissate, si o N, u + u est vérifiée

Plus en détail

1 + t = t. a 6 n ln 1 + a. Suite a : On utilise une relation de Chasles (même terme mais sur des ensembles d indices distincts) ! 1 # 1. 1 k.

1 + t = t. a 6 n ln 1 + a. Suite a : On utilise une relation de Chasles (même terme mais sur des ensembles d indices distincts) ! 1 # 1. 1 k. PHEC Correctio feuille d exercices 00-006 correctio de l exercice t. 8t R + ; + t 6 l( + t) 6 t : Pour cela, o itroduit les foctios f : t 7 l( + t) t et g : t 7 t l( + t) + t dé ies sur [0; +[ et o étudie

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 mai 07 Eocés Calcul de ites Exercice [ 054 ] [Correctio] Détermier la ite, si celle-ci existe, des suites u suivates : a u = 3 3 + b u = + + + c u = + + d u =

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Valeurs absolues. Partie etière. Iégalités Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très

Plus en détail

Exercices - Les nombres réels : corrigé. Valeur absolue - Partie entière

Exercices - Les nombres réels : corrigé. Valeur absolue - Partie entière Exercices - Les ombres réels : corrigé Exercice 1 - Ordre et R - L1/Math Sup - 1. Supposos que a 0 et posos ε = a /2 > 0. Alors o a a < ε = a /2, soit e simplifiat par a qui est positif, 1 < 1/2. Ceci

Plus en détail

n² n b) Quel est le nombre de termes de la somme définissant u n? Quel est le plus petit de ces termes? Quel est le plus grand?

n² n b) Quel est le nombre de termes de la somme définissant u n? Quel est le plus petit de ces termes? Quel est le plus grand? Exercice : Détermier la limite de chaque suite (u ). a) u = si π b) u = () c) u = + d) 0,5 + cos(π) Exercice 2 : la costate d Apéry Pour tout etier, u = 3 + + 2 3 +. + 3 ) Doer u miorat de cette suite.

Plus en détail

Exo7. Les rationnels, les réels. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur

Exo7. Les rationnels, les réels. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur Exo7 Les ratioels, les réels Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable. 2) (**) n + 2 n. 1 pn

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable. 2) (**) n + 2 n. 1 pn Exo7 Séries Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice Nature

Plus en détail

CHAPITRE II. - Séries à termes réels positifs ou nuls. III-Séries - à termes quelconques. Définition.

CHAPITRE II. - Séries à termes réels positifs ou nuls. III-Séries - à termes quelconques. Définition. CHAPITRE II Séries umériques I II - Défiitios et propriétés géérales - Séries à termes réels positifs ou uls III-Séries - à termes quelcoques I-Défiitios et propriétés géérales Défiitio. Soit (u N ue suite

Plus en détail

Corrigé de l'épreuve de maths 2 - e3a - MP

Corrigé de l'épreuve de maths 2 - e3a - MP Corrigé de l'épreuve de maths 2 - e3a - MP - 207 Partie I L'applicatio ϕ est liéaire et P R [X], ϕ(p R [X] doc ϕ iduit sur R [X] u edomorphisme 2 ϕ( = et i, ϕ(x i = X i ix i O e déduit la matrice de ϕ

Plus en détail

Cours de mathématiques P.S.I.*

Cours de mathématiques P.S.I.* Cours de mathématiques PSI* D'après les cours de M Guillaumie Heriet Queti Séries umériques Das tout le chapitre, K désige le corps R ou C, et o désige par u ue suite de K Gééralités Vocabulaire Défiitio

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours tifawtcom Exo7 Suites Exercices de Jea-Louis Rouget * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice ***IT

Plus en détail

Chapitre 4: Croissance, divergence et convergence des suites

Chapitre 4: Croissance, divergence et convergence des suites CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 43 Chapitre 4: Croissace, divergece et covergece des suites 4.1 Quelques défiitios Défiitios : Ue suite est croissate si chaque terme est supérieur ou égal à so précédet

Plus en détail

Séries entières. Plan de cours

Séries entières. Plan de cours 5 Séries etières «U mathématicie qui est pas aussi quelque peu poète e sera jamais u mathématicie complet.» Extrait d ue lettre de Karl Weierstrass à Sophie Kowalevski (883) Pla de cours I Rayo de covergece

Plus en détail

Partie I : Résultats généraux sur les matrices stochastiques - Illustrations

Partie I : Résultats généraux sur les matrices stochastiques - Illustrations 8-8- JFC p EM LYON S JF COSSUTTA Lycée Marceli BERTHELOT SAINT-MAUR jea-fracoiscossutta@waadoofr PROBLÈME Partie I : Résultats gééraux sur les matrices stochastiques - Illustratios Remarque Das la suite

Plus en détail

Produit de Cauchy de la série alternée par elle-même.

Produit de Cauchy de la série alternée par elle-même. CCP 8. Filière MP. Mathématiques. Corrigé pour serveur UPS par JL. Lamard (jea-louis.lamard@prepas.org I. Gééralités. Pour > la série défiissat F coverge absolumet, pour < elle coverge par le critère spécial

Plus en détail

P(n) : quelque soit n entier naturel : n 3 = ( n) 2. P(n 0 ) est vraie (initialisation).

P(n) : quelque soit n entier naturel : n 3 = ( n) 2. P(n 0 ) est vraie (initialisation). T ale S Chapitre. Résumé page 3.. Pricipe de récurrece. a. Exemple. 3 + 3 = + 8 = 9 = ( + ) 3 + 3 + 3 3 = + 8 + 7 = 36 = ( + + 3) O voudrait démotrer la propriété géérale : P() : quelque soit etier aturel

Plus en détail

Suites numériques. 1 Questions de cours. 3 Exercices. 2 Applications. 1. Montrer que toute suite a au plus une limite.

Suites numériques. 1 Questions de cours. 3 Exercices. 2 Applications. 1. Montrer que toute suite a au plus une limite. Suites umériques 1 Questios de cours 1. Motrer que toute suite a au plus ue limite.. Motrer que toute suite covergete est borée. 3. Motrer que toute suite extraire d ue suite tedat vers l R ted aussi vers

Plus en détail

Suites arithmétiques et géométriques

Suites arithmétiques et géométriques «I» : Suites arithmétiques 1/ Défiitio Suites arithmétiques et géométriques La suite (u ) est arithmétique de raiso r sigifie que : Pour tout etier aturel : u +1 = u + r Exemple : La suite ( ; 5 ; 8 ;

Plus en détail

Feuille 2 : Séries numériques.

Feuille 2 : Séries numériques. Feuille 2 : Séries umériques. Master Eseigemet Spécialité Maths Coseils O accordera ue importace toute particulière aux démostratios des théorèmes du cours. Certais exercices de cette feuille sot ispirés

Plus en détail

Devoir à rendre le 4 janvier 2017

Devoir à rendre le 4 janvier 2017 Uiversité Paris-Dauphie, L MIDO, groupe Aalyse (206-207) Devoir à redre le javier 207 Eercice Soit D u domaie o vide de R et f : D!R.. O souhaite démotrer la caractérisatio séquetielle de l uiforme cotiuité

Plus en détail

Fonctions réelles d une variable réelle dérivables (exclu études de fonctions)

Fonctions réelles d une variable réelle dérivables (exclu études de fonctions) Eo7 Foctios réelles d ue variable réelle dérivables (eclu études de foctios) Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fice sur wwwmats-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee ****

Plus en détail

12 Cours - Suites.nb 1/11. Suites

12 Cours - Suites.nb 1/11. Suites 12 Cours - Suites.b 1/11 Suites I) Gééralités 1) Défiitio 2) Notatio 3) Commet peut être défiie ue suite 4) Suites et ordre 5) Propriété vraie à partir d u certai rag 6) Exercice 7) Suites arithmétiques,

Plus en détail

Suites réelles ou complexes

Suites réelles ou complexes 3 Suites réelles ou complexes 3. Prérequis L esemble R des ombres réels est supposé costruit avec les propriétés suivates : c est u corps commutatif totalemet ordoé ; il cotiet l esemble Q des ombres ratioels

Plus en détail

SUITES NUMERIQUES. Archimède a défini dans les années 220 avant J.-C. deux suites permettant d'obtenir de très bonnes valeurs approchées de π.

SUITES NUMERIQUES. Archimède a défini dans les années 220 avant J.-C. deux suites permettant d'obtenir de très bonnes valeurs approchées de π. Quelques repères historiques SUITES NUMERIQUES Archimède a défii das les aées 220 avat J.-C. deux suites permettat d'obteir de très boes valeurs approchées de π. Héro d'alexadrie au premier siècle après

Plus en détail

Calculs de limites, développements limités, développements asymptotiques

Calculs de limites, développements limités, développements asymptotiques Eo7 Calculs de limites, développemets limités, développemets asymptotiques Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee ****

Plus en détail

Suites réelles. 1. Quelques rappels sur le corps des réels

Suites réelles. 1. Quelques rappels sur le corps des réels Agrégatio itere UFR MATHÉMATIQUES Suites réelles O ote N l esemble des etiers aturels et Z l esemble des etiers relatifs. Avat de parler de l esemble R des ombres réels, rappelos la défiitio de deux autres

Plus en détail

LES SUITES. u n = 1 n, pour n 1. u n = n 3

LES SUITES. u n = 1 n, pour n 1. u n = n 3 LES SUITES. Défiitio.. Défiitio Ue suite umérique est ue foctio de das, défiie à partir d'u certai rag 0. La otatio (u ) désige la suite e tat qu'objet mathématique et u désige l'image de l'etier (appelé

Plus en détail

Suites de variables aléatoires.

Suites de variables aléatoires. Uiversité Pierre et Marie Curie 200-20 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 8 Suites de variables aléatoires.. Soit Ω, F, P u espace de probabilités. Détermier pour chacue des covergeces suivates

Plus en détail

Chap2 Les suites : Raisonnement par récurrence limites de suites

Chap2 Les suites : Raisonnement par récurrence limites de suites I Rappels de première Chap2 Les suites : Raisoemet par récurrece limites de suites II Suites majorées, miorées, borées Défiitios : O dit qu ue suite ( u ) est majorée lorsqu il existe u réel M tel que

Plus en détail

Correction Exercices sur les suites. Correction. un+1 = 0,2u n +0,6 u 0 = 1

Correction Exercices sur les suites. Correction. un+1 = 0,2u n +0,6 u 0 = 1 Correctio Exercice 1 O cosidère la suite (v ) défiie par v 0 = 3 et pour tout 1, v +1 = v 2 3v +4. 1. Démotrer que la suite est croissate. v +1 v = v 2 4v +4 = (v 2) 2 0 quelque soit etier. Doc (v ) est

Plus en détail

Existence de la fonction exponentielle

Existence de la fonction exponentielle Eistece de la foctio epoetielle O cosidère les suites réelles (u ) et (v ) défiies pour tout 1 par : u () = 1+ et v () =. La démarce est alors la suivate : Démotrer que les deu suites sot adjacetes et

Plus en détail

1. Convergence des Séries Numériques

1. Convergence des Séries Numériques Séries umériques 8 - Sommaire. Covergece des Séries Numériques.. Nature d ue série umérique.......2. Séries géométriques............ 2.3. Coditio élémetaire de covergece. 2.4. Suite et série des différeces.......

Plus en détail

Séries Numériques. Chapitre Suites Numériques Définitions

Séries Numériques. Chapitre Suites Numériques Définitions Chapitre Séries Numériques Suites Numériques Défiitios Ue suite umérique est ue applicatio de N (ou d ue partie de N) à valeurs das R ou das C O la ote u(), ou u, et o désige la suite (c est-à-dire l applicatio)

Plus en détail

Article PanaMaths Les intégrales et la formule de Wallis

Article PanaMaths Les intégrales et la formule de Wallis Article PaaMaths Les itégrales et la formule de allis Itroductio Joh allis (Ashford 66 Oxford 73) est u mathématicie aglais. So éducatio fut d abord religieuse (il sera ordoé prêtre e 64) mais à partir

Plus en détail

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Techique Bamako I Gééralité sur les suites: - Pricipe du raisoemet par récurrece : Soit la propriété P() dépedat de l idice Si les propositios ()

Plus en détail

Chapitre 5 : Suites classiques

Chapitre 5 : Suites classiques Chapitre 5 : Suites classiques Objectifs : Révisios sur les suites arithmétiques et géométriques. Révisio du théorème de croissace comparée. Savoir exprimer e foctio de les termes d ue suite récurrete

Plus en détail

AVRIL 2013 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie A

AVRIL 2013 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie A AVRIL CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie A CORRIGE DE LA ère COMPOSITION DE MATHEMATIQUES Eercice. Calculer, e, la dérivée de : Arc ta( ) Soit f ( ) Arc ta( ), alors f ( ) Arc ta( )

Plus en détail

Exercices. Exercice 1 (Suites adjacentes) On considère les suites (u n ) n N et (v n ) n N définies par: 1 k u n = n 3, v n = u n + 1 n 1 2n 2

Exercices. Exercice 1 (Suites adjacentes) On considère les suites (u n ) n N et (v n ) n N définies par: 1 k u n = n 3, v n = u n + 1 n 1 2n 2 Exercices Exercice (Suites adjacetes) O cosidère les suites (u ) N et (v ) N défiies par: u 3, k3 k 2 + v u + 2 2 Motrer que (u ) N et (v ) N sot adjacetes. Exercice 2 Soiet les deux suites (u ) et (v

Plus en détail

TS Exercices sur les limites de suites (1)

TS Exercices sur les limites de suites (1) TS Exercices sur les limites de suites () Soit u ue suite géométrique de premier terme u 0 et de raiso q. Das chacu des cas suivats, doer la limite de la suite u. ) u0 ; q ) u 0 ; q ) 0 4 ) u0 6 ; q )

Plus en détail

230. Séries numériques. Comportement des restes ou sommes partielles. Exemples.

230. Séries numériques. Comportement des restes ou sommes partielles. Exemples. 23. Séries umériques. Comportemet des restes ou sommes partielles. Exemples. Pierre Lissy December 8, 29 Das tout ce qui suit, K désige R ou C Covergece d'ue série. Déitio et modes de covergece[3] Déitio.

Plus en détail

Partie I - Préliminaires

Partie I - Préliminaires SESSION 25 Cocours commu Cetrale MATHÉMATIQUES. FILIERE PC Partie I - Prélimiaires I.A - I.A. Soit N. Pour N, Puisque la série de terme gééral +... + + 2. coverge, il e est de même de la série de terme

Plus en détail

Séries à termes positifs

Séries à termes positifs UFR SFA, Licece 2 e aée, MATH326 Séries à termes positifs Das ce chapitre, u Ø 0, pour tout, et o étudie q u. O a S S = u Ø 0 : (S ) est croissate!. Gééralités. Propositio. Soit (u ) Ø0 ue suite de réels

Plus en détail

Exercice 8 [ ] [Correction] Soit α R. Quel est le rayon de convergence de n 1 cos(nα)

Exercice 8 [ ] [Correction] Soit α R. Quel est le rayon de convergence de n 1 cos(nα) [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 28 décembre 26 Eocés Séries etières Calcul de rayo de covergece cocret Exercice [ 97 ] [Correctio] Détermier le rayo de covergece des séries etières : Exercice 6

Plus en détail

Cours de Mathématiques Séries numériques ou vectorielles Sommaire

Cours de Mathématiques Séries numériques ou vectorielles Sommaire Sommaire Sommaire I Gééralités sur les séries......................... 2 I. Espace vectoriel des séries, Sous-espace des Séries covergetes.... 2 I.2 Critère de Cauchy. Espace des séries ormalemet covergetes....

Plus en détail

pour 1. b) si ( ) converge, alors 567 =l avec l réel,

pour 1. b) si ( ) converge, alors 567 =l avec l réel, Exercices aales corrigés : Suites Sujet atioal septembre 007 ( bac blac 008) La suite u est défiie par : = et = pour tout etier aturel a O a représeté das u repère orthoormé direct du pla doé ci-dessous,

Plus en détail

Exo7. Fractions rationnelles. 1 Fractions rationnelles. 2 Décompositions en éléments simples. Corrections de Léa Blanc-Centi.

Exo7. Fractions rationnelles. 1 Fractions rationnelles. 2 Décompositions en éléments simples. Corrections de Léa Blanc-Centi. Exo7 Fractios ratioelles Correctios de Léa Blac-Ceti. Fractios ratioelles Exercice Existe-t-il ue fractio ratioelle F telle que ( F() ) = ( + ) 3? Idicatio Correctio Vidéo [006964] Exercice Soit F = P

Plus en détail

n n ( n n ) ; u n = ( 1) n sin ;

n n ( n n ) ; u n = ( 1) n sin ; . Exercices chapitre Exercice suites arithmétiques, suites géométriques. Soit u ue suite arithmétique de raiso 2, telle que u 5 = 7. Calculer u. 2 Quelle est la somme des premiers termes d ue suite arithmétique?

Plus en détail

Séries numériques. n 3. 6) a n ) 1 + ( 1)n n. 1! + 2! n!. (n + 2)! 12) 15) n + ( 1) (ln n)n n ln n. 18) 1. ( 1) n + n α, ( ) a et.

Séries numériques. n 3. 6) a n ) 1 + ( 1)n n. 1! + 2! n!. (n + 2)! 12) 15) n + ( 1) (ln n)n n ln n. 18) 1. ( 1) n + n α, ( ) a et. Séries umériques Exercice. Étude de covergece Étudier la covergece des séries de terme gééral : + e. ch α sh α. 3 l 3 + 3 l +. 4 +. 5 arccos 3 + 3. 6 a + + a. 7 +. 8 l. 9 +. 0 3.4.6.... l + siπ/3. 4 6

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées. * * *

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées. * * * SESSION 006 EPREUVE SPECIIQUE ILIERE MP MATHEMATIQUES Durée : 4 heures Les calculatrices sot autorisées * * * NB : Le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio

Plus en détail

Correction concours général maths 2015

Correction concours général maths 2015 Correctio cocours gééral maths 2015 Problème I Petits poids 1) a) 3 = 3, 3 + 5 = 8, 3 + 5 6 = 2, 3 + 5 6 8 = 6, 3 + 5 6 8 + 2 = 4 doc poids(3,5, 6, 8,2) = 8 b) poids(1,2,3,,2015, 2015, 2014,.., 1) = 1

Plus en détail

France métropolitaine Juin 2010 Série S Exercice 1. Restitution organisée de connaissances

France métropolitaine Juin 2010 Série S Exercice 1. Restitution organisée de connaissances Frace métropolitaie Jui 200 Série S Exercice Restitutio orgaisée de coaissaces Démotrer, à l aide de la défiitio et des deux propriétés cidessous que si ( u ) et ( v ) sot deux suites adjacetes, alors

Plus en détail

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Techique Bamako I Gééralité sur les suites: - Pricipe du raisoemet par récurrece : Soit la propositio P() dépedat de l etier () la propositio est

Plus en détail

Les suites récurrentes à convergence lente

Les suites récurrentes à convergence lente Les suites récurretes à covergece lete Daiel PERRIN 0. Itroductio. Je me propose d écrire ue sorte de bila sur la covergece des suites u + = f(u ), avec f de classe C au mois, vers u poit fixe α, das le

Plus en détail

3. Développer en série entière au voisinage de 0 la fonction suivante. On précisera le rayon de convergence de la série obtenue. x ln(1 + x 2x 2 ).

3. Développer en série entière au voisinage de 0 la fonction suivante. On précisera le rayon de convergence de la série obtenue. x ln(1 + x 2x 2 ). Colle PC Semaie 3 0-03 Séries Etières Voir : http://www.mimaths.et/img/pdf/s5.pdf http://www.mimaths.et/img/pdf/sem5.pdf EXERCICE :. Doer u exemple de série etière de rayo de covergece π.. Détermier le

Plus en détail

TD10. Loi des grands nombres, théorème central limite.

TD10. Loi des grands nombres, théorème central limite. Uiversité Pierre & Marie Curie Licece de Mathématiques L3 UE LM345 Probabilités élémetaires Aée 2014 15 TD10. Loi des grads ombres, théorème cetral limite. 1. Soit (U ) 1 ue suite de variables aléatoires

Plus en détail

Problème 1 : construction de triangles. Problème 2 : autour du théorème des valeurs intermédiaires

Problème 1 : construction de triangles. Problème 2 : autour du théorème des valeurs intermédiaires Problème 1 : costructio de triagles Das u pla affie euclidie orieté, o cosidère deux poits disticts B et C et u poit M apparteat pas à la droite BC). Pour chacue des assertios suivates, détermier s il

Plus en détail

Module et argument. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1

Module et argument. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 014 Eocés 1 Module et argumet Exercice 1 [ 0030 ] [correctio] Détermier module et argumet de z = + + i Exercice 8 [ 0646 ] [correctio] Si x, y, z) R 3

Plus en détail

Séries numériques. 1 q n+1 1 q. si q 1 ; n + 1 si q = 1. q k = k=0. , posons U n = k. α. k=1

Séries numériques. 1 q n+1 1 q. si q 1 ; n + 1 si q = 1. q k = k=0. , posons U n = k. α. k=1 Séries umériques Défiitios et premières propriétés. Défiitios Défiitio (Série umérique) Soit () N ue suite complexe. Pour tout N o pose : U = ( ème somme partielle). La suite (U ) N est alors appelée la

Plus en détail

Exercices corrigés. Joseph DI VALENTIN

Exercices corrigés. Joseph DI VALENTIN Exercices corrigés Joseph DI VALENTIN Javier 3 ii iii Avat propos Cet ouvrage a pour objectif d aider les élèves de classes préparatoires Ce livre est aussi utile aux élèves des Écoles d igéieur, aux cadidats

Plus en détail

Suites numériques. Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés

Suites numériques. Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Suites umériques. 1. Mode de géératio des suites... p2 4. Le raisoemet par récurrece... p4 2. Relatio de récurrece... p3 5. Ses de variatio des suites... p6 3. Suites arithmétiques, suites géométriques...

Plus en détail