Exercice 6 [ ] [Correction] (a) Étudier u n où u n = 1 (b) Étudier v n où v n = 1

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1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Eocés Séries umériques Nature de séries umériques Exercice [ ] [Correctio] Détermier la ature des séries dot les termes gééraux sot les suivats : a u = + b u = ch ch c u = + d u = e + Exercice 6 [ 43 ] [Correctio] a Étudier u où u = b Étudier v où v = dx +x+ +x. x dx +x+ +x. Exercice 7 [ 388 ] [Correctio] Pour a >, étudier la covergece de a = Exercice [ 353 ] [Correctio] Détermier la ature des séries dot les termes gééraux sot les suivats : a u = + Exercice 3 [ 395 ] [Correctio] Détermier la ature de la série de terme gééral b u = cos c u = l l u = + Exercice 4 [ ] [Correctio] Détermier la ature de la série de terme gééral / si est u carré u = / sio Exercice 8 [ 376 ] [Correctio] Soit u ue suite de réels strictemet positifs vérifiat u + u = α + O avec α R a Pour quelles valeurs de α la série u coverge? b Pour quelles valeurs de α la série u coverge? Exercice 9 [ 9 ] [Correctio] [Règle de Raabe-Duhamel] Soiet u N et v N deux suites de réels strictemet positifs. a O suppose qu à partir d u certai rag Motrer que u = + Ov. b O suppose que u + u v + v u + = u α + + o avec α > Exercice 5 [ 789 ] [Correctio] Nature de la série de terme gééral e + 3/ 3/ + Motrer, à l aide d ue comparaiso avec ue série de Riema, que la série u coverge. c O suppose cette fois-ci que u + = u α + + o avec α < Motrer que la série u diverge Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

2 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Eocés Exercice [ 8 ] [Correctio] a Soiet u et v deux suites réelles, λ R. O suppose : N, u, v coverge et u + = λ u + v Motrer que λ u coverge. b Nature de la série de terme gééral Exercice [ 56 ] [Correctio] Soiet u = 3! a Motrer que pour assez grad, =!e? 3 et v = 3/4 u + u v + v b E déduire que u diverge. o pourra utiliser u v Exercice [ 4 ] [Correctio] Doer la ature de la série des j. Nature de séries de sige o costat Exercice 5 [ 39 ] [Correctio] Détermier la ature de Exercice 6 [ 377 ] [Correctio] Doer la ature de la série de terme gééral si π + π u = cos π l / Exercice 7 [ 45 ] [Correctio] Détermier la ature de la série de terme gééral : u = Exercice 8 [ 35 ] [Correctio] Détermier la ature de u pour : a u = + = b u = + l+ c u = Exercice 9 [ 793 ] [Correctio] Covergece de la série de terme gééral u = si π +. l+ Exercice 3 [ 34 ] [Correctio] Détermier la ature de u pour : a u = + b u = + Exercice 4 [ 35 ] [Correctio] Détermier la ature de! c u = l + + d u = cos π + + Exercice [ 794 ] [Correctio] Nature de la série de terme gééral Exercice [ 335 ] [Correctio] Étudier la série de terme gééral u = si π + 3 sil u = Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

3 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Eocés 3 Exercice [ 336 ] [Correctio] Motrer la divergece de la série cosl Exercice 8 [ 34 ] [Correctio] Soit a ue suite de réels positifs. Comparer les assertios i la série de terme gééral a coverge ; ii la série de terme gééral a a + coverge. Exercice 3 [ 337 ] [Correctio] Quelle est la ature de la série de terme gééral e i? Exercice 4 [ 38 ] [Correctio] α désige u réel strictemet positif. Détermier la ature de la série de terme gééral / α x u = + x dx Covergece de séries à termes positifs Exercice 5 [ 3355 ] [Correctio] Soiet u N ue suite de réels positifs et v N la suite détermiée par Motrer : u coverge v = u + u + v coverge Exercice 6 [ ] [Correctio] Soiet u et v deux séries à termes strictemet positifs covergetes. Motrer que les suivates sot aussi covergetes u u v maxu, v, v et u + v Exercice 7 [ 3 ] [Correctio] Soit u ue série à termes positifs covergete. Motrer que u u + est aussi covergete Exercice 9 [ 4 ] [Correctio] Soit u ue série à termes positifs. O suppose que u l R + a Motrer que si l > alors u est divergete. b Motrer que si l < alors u est covergete. c Observer que, lorsque l =, o e peut rie coclure. Exercice 3 [ 6 ] [Correctio] Soiet u ue suite de réels positifs et u v = + u Motrer que les séries u et v sot de même ature. Exercice 3 [ 7 ] [Correctio] Soit u ue suite de réels strictemet positifs. a Pour tout N, o pose v = u + u Motrer que u et v sot de même ature. b Même questio avec u v = u + + u O pourra étudier l v das le cadre de la divergece. Exercice 3 [ 39 ] [Correctio] Soiet u et v das R + N telles que N, v = + u Motrer que si la série de terme gééral v coverge alors la série de terme gééral u diverge. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

4 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Eocés 4 Exercice 33 [ 335 ] [Correctio] Soit u ue suite de réels positifs. O cosidère la suite v défiie par v = + u Motrer que les séries u et v ot même ature et qu e cas de covergece = u = = v Exercice 34 [ 3674 ] [Correctio] Soit a ue série à termes strictemet positifs covergete. Établir la covergece de la série a /. = Exercice 35 [ 447 ] [Correctio] Soit a ue série à termes positifs covergete. Peut-o préciser la ature de la série de terme gééral u = a a... a? Exercice 36 [ 375 ] [Correctio] Soit u ue suite réelle strictemet positive et covergeat vers. O pose v = u + S avec S = Motrer que les séries u et v ot même ature. Exercice 37 [ 956 ] [Correctio] Soit u ue suite de réels strictemet positifs. O pose, pour N, v = u /S où S = u + + u Détermier la ature de v. = u Exercice 38 [ 958 ] [Correctio] Soit u ue suite réelle strictemet positive telle que la série de terme gééral u coverge. O ote le reste d ordre R = =+ Étudier la ature des séries de termes gééraux u /R et u /R. Exercice 39 [ 959 ] [Correctio] Soit u ue suite réelle strictemet positive et strictemet croissate. Nature de la série de terme gééral u + u u Exercice 4 [ 376 ] [Correctio] Soit a ue suite de réels strictemet positifs et S = = a. a O suppose que la série a coverge, doer la ature de a /S. b O suppose que la série a diverge, motrer E déduire la ature de a /S. N, a S u S S c O suppose toujours la divergece de la série a. Quelle est la ature de a /S? Exercice 4 [ 35 ] [Correctio] Soit f : [ ; + [ R de classe C strictemet positive telle que x f x f x l R x + a O suppose l > ou l = +. Motrer la divergece de la série f b O suppose l <. Motrer la covergece de la série f Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

5 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Eocés 5 Critère spécial Exercice 4 [ 38 ] [Correctio] a Justifier l existece, pour N de b Motrer que R = R + R + = =+ =+ c Détermier u équivalet de R. d Doer la ature de la série de terme gééral R. Exercice 43 [ 36 ] [Correctio] Motrer que est u réel égatif. = 8! Exercice 44 [ 37 ] [Correctio] O rappelle la covergece de l itégrale de Dirichlet E observat détermier le sige de I. Exercice 45 [ 43 ] [Correctio] O pose s = I = I = = + si t t π + si t π + t + et u = l e s = a Éocer le théorème des séries spéciales alterées, e faire la preuve. b Prouver que les suites s et u coverget. c Étudier la ature de u. Étude de séries à termes positifs Exercice 46 [ 5 ] [Correctio] Soit u N ue suite décroissate réelle. O suppose que la série u coverge. a O pose S = = u. Détermier la limite de S S. b E déduire u c Coclure que u Exercice 47 [ 333 ] [Correctio] Soiet u ue suite décroissate de réels positifs et α u réel positif. O suppose la covergece de la série α u Motrer α+ u Exercice 48 [ 957 ] [Correctio] Soit u ue suite réelle strictemet positive, décroissate, de limite ulle. O suppose que la suite de terme gééral u u = est borée. Motrer que la série de terme gééral u coverge. Séries dot le terme gééral est défii par récurrece Exercice 49 [ 97 ] [Correctio] Soit u la suite défiie par u [ ; π] et pour tout N, u + = cos u Motrer que u et détermier la ature de la série de terme gééral u. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

6 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Eocés 6 Exercice 5 [ 98 ] [Correctio] Soit u la suite défiie par u > et pour tout N, u + = + u Motrer que u coverge vers u réel l. Quelle est la ature de la série de terme gééral u l? Exercice 5 [ 337 ] [Correctio] a Détermier la limite de la suite défiie par u et N, u + = e u b Détermier la limite de la suite défiie par v = u + Exercice 55 [ 44 ] [Correctio] Soit a ue suite défiie par a R + et pour N, a Étudier la covergece de la suite a. a + = e a b Détermier la ature de la série de terme gééral a. c Détermier la ature de la série de terme gééral a. d Détermier la ature de la série de terme gééral a à l aide de la série a+ l Exercice 56 [ ] [Correctio] Soit u la suite défiie par u ] ; [ et pour tout N, a u + = u u c Doer la ature de la série u et celle de la série u Exercice 5 [ 3 ] [Correctio] La suite a est défiie par a ] ; π/[ et N, a + = sia a Existece et évetuellemet calcul de = u et b Nature de la série de terme gééral u? = l u Quelle est la ature de la série de terme gééral a? Exercice 53 [ 99 ] [Correctio] Soiet u ] ; π/[ et u + = si u pour tout N. a Motrer que u +. b Exploiter u + u pour motrer que u 3 coverge. c Exploiter l u + l u pour motrer que u diverge. Exercice 54 [ 96 ] [Correctio] Soit u ue suite réelle telle que u > et pour tout >, u = l + u Étudier la suite u puis la série de terme gééral u. Exercice 57 [ 95 ] [Correctio] Soit u la suite défiie par u [ ; ] et N, u + = u u a Quelle est la ature de la série de terme gééral u? b Même questio lorsque u est défiie par la récurrece u + = u u +α avec α >. Exercice 58 [ ] [Correctio] Soiet a ue suite positive et u la suite défiie par u > et pour tout N u + = u + a u Motrer que la suite u est covergete si, et seulemet si, la série de terme gééral a est covergete. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

7 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Eocés 7 Exercice 59 [ 96 ] [Correctio] Soit u R N telle que u ] ; ] et que, pour u certai β > et pour tout N, u β + = si uβ Étudier la ature de la série de terme gééral u. Exercice 6 [ 433 ] [Correctio] Soit α > et u la suite défiie par : u > et, u + = u + α u a Coditio écessaire et suffisate sur α pour que u coverge. b Equivalet de u das le cas où u diverge. c Equivalet de u l das le cas où u coverge vers l. Comparaiso séries itégrales Exercice 6 [ 77 ] [Correctio] À l aide d ue comparaiso avec ue itégrale, doer la ature de la série l Exercice 6 [ 64 ] [Correctio] Détermier la ature de la série de terme gééral u = l + + l Exercice 63 [ 664 ] [Correctio] Soit a ] ; [. Détermier la ature de la série a. Exercice 64 [ 63 ] [Correctio] Détermier la ature de la série de terme gééral u = =+ Exercice 65 [ 66 ] [Correctio] Pour α >, o pose S N = = α et R N = Étudier, selo α, la ature de la série R S. =N+ Exercice 66 [ 67 ] [Correctio] Soit u ue série divergete de réels strictemet positifs. O ote S = = u. Motrer, à l aide d ue comparaiso itégrale que pour tout α >, il y a covergece de la série Exercice 67 [ 68 ] [Correctio] Pour α > o pose u S α ζα = = α Détermier la limite de α ζα quad α ted vers + Exercice 68 [ 6 ] [Correctio] E exploitat ue comparaiso avec des itégrales, établir : a = 3 b l! l c = l ll Exercice 69 [ 69 ] [Correctio] E exploitat ue comparaiso série-itégrale, détermier Exercice 7 [ 43 ] [Correctio] Soit a >, b > et pour N, Trouver lim A = lim a + = a + a a + b, B = = B A e foctio de e. α a + b / = Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

8 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Eocés 8 Exercice 7 [ 434 ] [Correctio] Soit, pour x R, a Nature la série de terme gééral u = f x = cosx/3 x /3 + f x dx f b Nature de la série de terme gééral f. idice : o pourra motrer que si /3 admet pas de limite quad + c Nature de la série de terme gééral si /3 /3 Exercice 7 [ 8 ] [Correctio] sil x O pose f x = x pour tout x et u = f t f pour tout etier. a Motrer que f est itégrable sur [ ; + [. b Motrer que la série de terme gééral u est absolumet covergete. c Motrer que la suite cosl diverge. d E déduire la ature de la série de terme gééral f. Exercice 73 [ 3449 ] [Correctio] Soit f : [ ; + [ C ue foctio de classe C telle que f est itégrable sur [ ; + [. a Motrer que la série umérique f coverge si, et seulemet si, la suite f t coverge. b Applicatio : Étudier la covergece de Exercice 74 [ 345 ] [Correctio] Pour N, soit = si f : x ] ; + [ = x Soit a >. Motrer qu il existe u uique réel, oté x tel que f x = a. Détermier u équivalet de x quad +. Exercice 75 [ 386 ] [Correctio] Étudier lim + e = Exercice 76 [ 469 ] [Correctio] Soit f : [ ; + [ R cotiue, positive et croissate. Établir que les objets suivats ot même ature + f e t, f e et f Comportemet asymptotique de sommes Exercice 77 [ 3 ] [Correctio] Motrer la covergece de puis la majoratio du reste =+ Exercice 78 [ 59 ] [Correctio] Soit α <. Détermier u équivalet de Exercice 79 [ 6 ] [Correctio] Soit α >. Doer u équivalet simple à R N = =!!.! = α =N+ α Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

9 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Eocés 9 Exercice 8 [ 89 ] [Correctio] O pose S = a Doer u équivalet simple de S. b Motrer que Exercice 8 [ 9 ] [Correctio] O pose = + S = l + C + o + S = = + a Motrer que S coverge vers ue costate C. b Établir que S = C + + o Exercice 8 [ 37 ] [Correctio] Former u développemet asymptotique à deux termes de Exercice 83 [ 379 ] [Correctio] =+ a Sous réserve d existece, détermier pour α b Sous réserve d existece, détermier lim + =+ lim + =+ si α Exercice 84 [ 9 ] [Correctio] O pose u = = 3 3 a Motrer qu il existe des costates α et β telles que E déduire u équivalet de u. b Détermier la ature de u. Exercice 85 [ 388 ] [Correctio] Détermier l u = α l + β + o lim + Exercice 86 [ 9 ] [Correctio] Détermier u équivalet simple de : 3 / a + = + b + = + Exercice 87 [ 36 ] [Correctio] Pour N, o pose Pour p N, o pose = H = = p = mi { N H p} Détermier u équivalet de p quad p + Exercice 88 [ 35 ] [Correctio] Soit j N. O ote Φ j le plus petit etier p N vérifiat p = j Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

10 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Eocés a Justifier la défiitio de Φ j. b Démotrer que Φ j c Démotrer Φ j+ Φ j +. j + e. j + Exercice 89 [ 95 ] [Correctio] Soit u ue suite d élémets de R +. O pose v = u = O suppose que v ted vers a R +. Étudier la covergece de w. Exercice 9 [ 46 ] [Correctio] O pose a Motrer la covergece de la série O pose b Établir γ = + u et w = u H = = + l = u = [ + l ] H = l + γ + ε avec ε qu o exprimera à l aide du reste d ue série covergete. c E déduire H = l + γ o Nature de séries dépedat d u paramètre Exercice 9 [ 8 ] [Correctio] Étudier e foctio de α R la ature de α l Exercice 9 [ 6 ] [Correctio] Détermier la ature de la série de terme gééral u = l α Exercice 93 [ 65 ] [Correctio] Détermier la ature de la série de terme gééral u = α avec α R Même questio avec la série de terme gééral u. Exercice 94 [ 795 ] [Correctio] Soit α R. O pose, pour N Nature de la série de terme gééral u? Exercice 95 [ 79 ] [Correctio] Nature de la série de terme gééral où α est réel. u = = α α = l Exercice 96 [ 8 ] [Correctio] Détermier e foctio du paramètre α R la ature des séries de termes gééraux : Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

11 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Eocés a u = e α b u = l α c u = exp l α Exercice [ 87 ] [Correctio] Soit α >. Préciser la ature de la série u avec Exercice 97 [ 83 ] [Correctio] Soiet a, b R. Détermier la ature de la série l + a l + + b l + Calculer la somme lorsqu il y a covergece. Exercice 98 [ 84 ] [Correctio] Soiet a, b R. Détermier la ature de la série + a + + b + Calculer la somme lorsqu il y a covergece. Exercice 99 [ 85 ] [Correctio] Détermier ue coditio écessaire et suffisate sur les réels a, b, c pour qu il y ait covergece de la suite de terme gééral a + b + c 3 + a 4 + b 5 + c 6 + Exercice [ 86 ] [Correctio] Soit λ u réel. Étudier la ature des séries de terme gééral u = Exercice [ 88 ] [Correctio] Détermier e foctio de α R +, la ature de λ + λ, v = λ + λ, w = + λ α + u = α + Exercice 3 [ 55 ] [Correctio] Étudier la ature de la série de terme gééral u = l + si pour α >. Exercice 4 [ 79 ] [Correctio] Nature de la série de terme gééral u = l + où a >. Exercice 5 [ 79 ] [Correctio] Nature de la série de terme gééral + u = l + a où a R. Exercice 6 [ 43 ] [Correctio] O ote u = π/4 ta t. a Détermier la limite de u. b Trouver ue relatio de récurrece etre u et u +. c Doer la ature de la série de terme gééral u. d Discuter suivat α R, la ature de la série de terme gééral u / α. a α Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

12 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Eocés Exercice 7 [ 798 ] [Correctio] Soiet α R et f C [ ; ], R telle que f. Étudier la covergece de la série de terme gééral u = / α f t Exercice 8 [ 799 ] [Correctio] Soiet α > et u ue suite de réels strictemet positifs vérifiat u / = α + o α La série de terme gééral u coverge-t-elle? Exercice 9 [ 8 ] [Correctio] Soiet a, α R + R et, pour N : u = a = / α a Pour quels couples a, α la suite u est-elle covergete? Das la suite, o suppose que tel est le cas, o ote l = lim u et o pose, si N, v = u l b Nature des séries de termes gééraux v et v. Exercice [ 349 ] [Correctio] Soiet p N et α >. Détermier la ature des séries de termes gééraux Exercice [ 374 ] [Correctio] a E posat x = ta t, motrer α + p + p v = et w = p p π/ α + a si t = π + a b Doer e foctio de α > la ature de la série c Même questio pour d Doer la ature de l itégrale Exercice [ 43 ] [Correctio] O pose u = p= π +π π + + π α si t + t α si t + t α si t p + α et v = p= p p + α a Détermier la ature de la série de terme gééral u selo α. b Détermier la ature de la série de terme gééral v selo α. Exercice 3 [ 34 ] [Correctio] O ote a le ombre de chiffres das l écriture décimale de l etier. Pour quelles valeurs de x R y a-t-il covergece de la série Calcul de somme x a 3? Exercice 4 [ 49 ] [Correctio] Existece et valeur de + = sachat + + = Exercice 5 [ 48 ] [Correctio] Nature puis somme de la série = π Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

13 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Eocés 3 Exercice 6 [ 47 ] [Correctio] O doe + = = π 6. Calculer après e avoir justifié l existece. Exercice 7 [ 3895 ] [Correctio] Existece et valeur de Exercice 8 [ 3633 ] [Correctio] Existece et calcul de = = + l + = Exercice 9 [ 58 ] [Correctio] E utilisat la formule de Stirlig, calculer = Exercice [ 5 ] [Correctio] Sachat + =! = e, calculer +! = l l + et =! Exercice [ 86 ] [Correctio] Nature et calcul de la somme de la série de terme gééral = Exercice [ 46 ] [Correctio] Calculer pour x ] ; [ x x x + Exercice 3 [ 3448 ] [Correctio] Existece et valeur pour m de S m = = = Exercice 4 [ 36 ] [Correctio] Calculer la somme de la série de terme gééral Exercice 5 [ 57 ] [Correctio] Pour p N, o pose u = arcta m a p = a Motrer que a p existe puis exprimer a p e foctio de a,..., a p. b E déduire que a p N. Exercice 6 [ 8 ] [Correctio] Soiet α das R, a et b das R \ N. O pose = p u = α et N, u + = a b u Étudier la ature de la série de terme gééral u et calculer évetuellemet sa somme. Exercice 7 [ 53 ] [Correctio] O pose u = x siπx dx Motrer que la série u coverge et que sa somme vaut π si t t Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

14 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Eocés 4 Exercice 8 [ 3796 ] [Correctio] Covergece et somme de la série. Covergece et somme de + Exercice 9 [ 83 ] [Correctio] Étudier lim lim m i= m j= i+ j i+ j+ t Calcul de somme par la costate d Euler Exercice 3 [ 55 ] [Correctio] Justifier et calculer Exercice 3 [ 354 ] [Correctio] Existece et calcul de Exercice 3 [ 46 ] [Correctio] Existece et calcul de = = = Exercice 33 [ 54 ] [Correctio] O rappelle l existece d ue costate γ telle qu o ait = = l + γ + o a Calculer la somme de la série de terme gééral u = /. b Même questio avec u = / si Exercice 34 [ 84 ] [Correctio] Covergece puis calcul de = [3] et u = / sio. Exercice 35 [ 964 ] [Correctio] Calculer = Exercice 36 [ 56 ] [Correctio] a Doer u développemet asymptotique à deux termes de l p u = p p= O pourra itroduire la foctio f : t l t/t. b À l aide de la costate d Euler, calculer l Exercice 37 [ 48 ] [Correctio] O pose f x = l x x a Nature des séries de termes gééraux f puis f. b Motrer la covergece de la série de terme gééral c Calculer = f = f t f Idice : O pourra s itéresser à la quatité f = = f Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

15 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Eocés 5 Calcul de somme par dérivatio ou itégratio Exercice 38 [ 5 ] [Correctio] Soit α >. Motrer Exercice 39 [ 5 ] [Correctio] Soit x ] ; [. Calculer = + α = = x x α + x dx b Trouver u équivalet simple de a λ. Exercice 44 [ 7 ] [Correctio] Pour tout N, soit a Détermier u équivalet de E déduire que u. u =!! l u + l u b E s ispirat de ce qui précède, établir que u C > o e cherchera pas expliciter la valeur de C. Exercice 4 [ 85 ] [Correctio] Calculer Exercice 4 [ 338 ] [Correctio] Calculer = = Applicatio à l étude de suites Exercice 4 [ 7 ] [Correctio] Calculer la limite de u = Exercice 43 [ 89 ] [Correctio] O pose a = a Motrer que la suite a coverge et trouver sa limite λ. Exercice 45 [ 73 ] [Correctio] Pour tout N, o pose u =!! a Détermier u équivalet de l u + l u. E déduire que u. b Motrer que u +. E déduire la ature de la série u. c O pose v = u +. E observat et e sommat les égalités + 4v + = + v calculer T = = v e foctio de et v +. E déduire la valeur de = u + Exercice 46 [ 78 ] [Correctio] Soiet < a < b et u N ue suite strictemet positive telle que pour tout N, u + u = + a + b a Motrer que u. O pourra étudier lu. + b Soiet α R et v = α u. E étudiat v, motrer qu il existe A > tel que u + A b a Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

16 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Eocés 6 c O suppose b a >. E écrivat doer la valeur de la somme + u + u = au + bu + u + u u Exercice 47 [ 8 ] [Correctio] Soit u ue suite de réels strictemet positifs telle que = + α + O =, avec α R a Pour quels β R y a-t-il covergece de la série de terme gééral b E déduire qu il existe A R + pour lequel v = l + β u + β u? u A α Exercice 48 [ 79 ] [Correctio] Pour α R \ Z, o cosidère u défiie par u = et u + = + α/ u a Pour quels β R y a-t-il covergece de la série de terme gééral + β u + v = l β? u b E déduire qu il existe A R + pour lequel u A α. Exercice 49 [ 74 ] [Correctio] Motrer que a ue limite o ulle. u =!e +/ Exercice 5 [ 77 ] [Correctio] Étudier la limite de u = Exercice 5 [ 75 ] [Correctio] Soit Motrer qu il existe λ R tel que Exercice 5 [ 7 ] [Correctio] Soit a >. P = u u = du + l + P eλ a Détermier la limite de la suite de terme gééral u = aa +... a +! b Quelle est la ature de la série de terme gééral u? Exercice 53 [ 49 ] [Correctio] O fixe x R +. Pour N, o pose u =! x = l + x a Étudier la suite de terme gééral lu + lu. E déduire que la suite u coverge et préciser sa limite. b Établir l existece de α R tel que la série de terme gééral : lu + lu α l + coverge. c Établir l existece de A R tel que u A α. d Étudier la covergece de la série de terme gééral u. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

17 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Eocés 7 Exercice 54 [ 784 ] [Correctio] Soit u ] ; π[ puis a Motrer que u ted vers. N, u + = si u / b Motrer que lim u = A pour u certai A >. c Trouver u équivalet simple de u A. Exercice 55 [ 347 ] [Correctio] Soit u ue suite complexe telle que pour tout p N, u p u. Peut-o affirmer que la suite u coverge? Exercice 56 [ 48 ] [Correctio] Former u développemet asymptotique à trois termes de la suite u défiie par Exercice 57 [ 949 ] [Correctio] Étudier la limite quad + de Exercice 58 [ 357 ] [Correctio] O ote z la suite de terme gééral Étudier u = et N, u + = + u / = it z = exp lim + z z z = lim + z = Étude théorique Exercice 59 [ 33 ] [Correctio] Motrer que la somme d ue série semi-covergete et d ue série absolumet covergete est que semi-covergete. Exercice 6 [ 96 ] [Correctio] Doer u exemple de série divergete dot le terme gééral ted vers et dot les sommes partielles sot borées. Exercice 6 [ 397 ] [Correctio] O dit que la série de terme gééral u eveloppe le réel A si, pour tout etier aturel, o a : u et A u + u + + u u + O dit qu elle eveloppe strictemet le réel A s il existe ue suite θ d élémets de ] ; [ telle que pour tout etier aturel : A u + u + + u = θ + u + a Doer u exemple de série divergete qui eveloppe A >. Doer u exemple de série covergete qui eveloppe u réel. Doer u exemple de série covergete qui eveloppe aucu réel. b Démotrer que, si la série de terme gééral u eveloppe strictemet A, alors elle est alterée. Démotrer que A est alors compris etre deux sommes partielles cosécutives. c Démotrer que, si la série de terme gééral u est alterée et que, pour tout etier N A u + u + + u est du sige de u +, alors, elle eveloppe strictemet A. d Démotrer que, si la série de terme gééral u eveloppe A et si la suite de terme gééral u est strictemet décroissate, alors, la série est alterée et ecadre strictemet A. Exercice 6 [ 37 ] [Correctio] Soit E l esemble des suites réelles u telles que u + = + u + + u a Motrer que E est u espace vectoriel de dimesio. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

18 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Eocés 8 b Soiet a et b deux élémets de E détermiés par { { a = b = et a = b = Motrer que les deux suites a et b diverget vers +. c Calculer w = a + b a b + d O pose c = a /b lorsque l etier est supérieur ou égal à. Démotrer l existece de l = lim + c e Démotrer l existece d u uique réel r tel que lim + a + rb = Exercice 63 [ 538 ] [Correctio] Soit f de classe C sur [ ; + [ telle que f est itégrable sur [ ; + [ et telle que l itégrale + f t soit covergete. a Motrer que lim f x = et lim f x = x + x + b Étudier les séries f et f Exercice 64 [ 397 ] [Correctio] Soit e = e N ue suite décroissate à termes strictemet positifs telle que la série e coverge. O pose O itroduit s = = G = e et r = = =+ e pour N d e d {, } N O dit que la suite e est ue base discrète lorsque G est u itervalle. a Motrer que G est bie défii. Détermier so maximum et so miimum. b O suppose das cette questio que e est ue base discrète. Motrer que e r pour tout N. c O suppose que e r pour tout N. Soit t [ s ; s]. O défiit la suite t par t + e si t t t = et t + = t e sio Motrer que et coclure. t t e + r d Das cette questio, o suppose e = / pour tout N. Détermier G. Quelles suites d permettet d obteir respectivemet,, /, et /3? Pour x G, y a-t-il ue uique suite d {, } N telle que Trasformatio d Abel Exercice 65 [ 43 ] [Correctio] Pour N, o pose Σ = a Motrer que Σ est borée. x = = d e? si et S = = b E déduire que S coverge. Exercice 66 [ 35 ] [Correctio] Soit θ R o multiple de π. O pose S = = a Motrer que la suite S N est borée. = si cosθ et u = cosθ b E observat que cosθ = S S, établir que la série de terme gééral u coverge. c E exploitat l iégalité cos x cos x, établir que la série de terme gééral u diverge. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

19 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Eocés 9 Exercice 67 [ 4 ] [Correctio] Soiet a ue suite positive décroissate de limite ulle et S ue suite borée. a Motrer que la série a a + S est covergete. b E déduire que la série a S S est covergete. c Établir que pour tout x R \ πz, la série cosx est covergete. Exercice 68 [ 58 ] [Correctio] a Motrer l existece, pour θ ] ; π[, d u majorat M θ de la valeur absolue de S = cosθ b Motrer que x x x est décroissate sur [ ; + [. c E remarquat de cosθ = S S, étudier la covergece de la série de terme gééral u = = cosθ d E utilisat cosθ cos θ, étudier la covergece de u. Exercice 69 [ 4 ] [Correctio] Soit z le terme gééral d ue série complexe covergete. Établir la covergece de la série z Exercice 7 [ 3684 ] [Correctio] Soit z le terme gééral d ue série complexe covergete. Établir = z = o Exercice 7 [ 3685 ] [Correctio] Soit a ue suite complexe. O suppose que la série a diverge. Établir que pour tout α ] ; ], la série a diverge aussi. α Exercice 7 [ 8 ] [Correctio] Soit u ue suite décroissate de réels strictemet positifs. a O suppose que u coverge. Motrer que la série de terme gééral v = u u + coverge et = v = u b Réciproquemet, o suppose que la série de terme gééral u u + coverge. Motrer que la série de terme gééral u coverge si, et seulemet si, la suite u coverge vers. c Doer u exemple de suite u qui e coverge pas vers, alors que la série de terme gééral u u + coverge. Exercice 73 [ 3673 ] [Correctio] Soit u ue suite décroissate de réels de limite ulle. Motrer que les séries u et u u + ot même ature et que leurs sommes sot égales e cas de covergece. Exercice 74 [ 3879 ] [Correctio] O doe ue suite réelle a. O suppose que les séries a et a + a coverget. Motrer que la série a coverge. Théorème de Cesaro Exercice 75 [ 37 ] [Correctio] Soit u ue suite réelle covergeat vers l R. O désire établir que la suite v de terme gééral v = u + u + + u coverge aussi vers l. Soit ε >. a Justifier qu il existe N tel que pour tout N, > etraîe b Établir que pour tout etier > o a : = u l ε/ v l u l + + u l + ε Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

20 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Eocés c E déduire qu il existe N tel que pour tout N, > etraîe v l ε d Applicatio : Soit u ue suite réelle telle que u + u α. Doer u équivalet simple de u. Exercice 76 [ 38 ] [Correctio] Soit u ue suite réelle. a O suppose que u coverge vers l et o cosidère Exercice 79 [ 3 ] [Correctio] La suite u est défiie par u ] ; π/[ et a Détermier la limite de la suite u b Détermier la limite de c E déduire u équivalet de u N, u + = siu u + u Détermier lim + v. b O suppose Détermier v = u + u + + u u u u lim l Exercice 8 [ 385 ] [Correctio] Soit u ue série à termes positifs covergete. O ote et o suppose Détermier u équivalet de u. R = =+ u R u Exercice 77 [ 39 ] [Correctio] Soit u ue suite de réels strictemet positifs. O suppose u + l ] ; + [ u Motrer u l Codesatio Exercice 8 [ 796 ] [Correctio] Soit u ue suite réelle décroissate et positive. O pose v = u Détermier la ature de v e foctio de celle de u. Exercice 78 [ 39 ] [Correctio] La suite u est défiie par u > et a Détermier la limite de la suite u b Détermier la limite de c E déduire u équivalet de u N, u + = l + u u + u Exercice 8 [ 3676 ] [Correctio] [Critère de codesatio de Cauchy] a Soiet u N ue suite réelle décroissate, positive et p N tel que p. O pose Motrer que v = p u p u coverge si, et seulemet si, v coverge Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

21 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Eocés b Applicatio : Étudier la covergece des séries l et l ll Exercice 83 [ 3677 ] [Correctio] Soit u N ue suite réelle décroissate et positive. O pose v = u Motrer que u coverge si, et seulemet si, v coverge Exercice 84 [ 797 ] [Correctio] Soit u ue suite décroissate d élémets de R +, de limite. Pour, o pose v = u Y a-t-il u lie etre la covergece des séries de termes gééraux u et v? Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

22 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Correctios Correctios Exercice : [éocé] a u doc par comparaiso de séries à termes positifs, la série est divergete. b u e e doc par comparaiso de séries à termes positifs, la série est e covergete. c u = O doc la série est absolumet covergete. 3 d u e doc par comparaiso de séries à termes positifs, la série est divergete. Exercice : [éocé] a u = exp l + / = exp + o doc u et la série est + absolumet covergete. b u / doc par comparaiso de séries à termes positifs, la série est divergete. c u = Exercice 3 : [éocé] O a doc pour assez grad = e l l ll doc la série est absolumet covergete l l + u = / = exp [ ] l u et par comparaiso de série à termes positifs o peut affirmer que u diverge. Exercice 4 : [éocé] C est ue série à termes positifs aux sommes partielles majorées car doc la série coverge. u = = < + Exercice 5 : [éocé] O a et doc e + = O 3/ 3/ + = + O e + 3/ 3/ + = O ce qui permet de coclure à ue absolue covergece. Exercice 6 : [éocé] a L itégrale défiissat u est bie défiie car elle porte sur ue foctio sur le segmet [ ; ]. O peut aussi la compredre comme ue itégrale impropre covergete sur [ ; [ u = [;[ dx + x + + x = dx [;[ + x + + x et par sommatio géométrique dx + x + + x = [;[ x dx x+ Posos f x = x x + Sur [ ; [, la suite de foctios f coverge simplemet vers la foctio f : x x. Les foctios f et f sot cotiues par morceaux et x x + x x = = ϕx avec ϕ itégrable. Par covergece domiée u et doc la série u diverge grossièremet. x dx = Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

23 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Correctios 3 b O amorce les calculs comme au dessus pour écrire v = x dx + x + + x = x x dx x+ Par itégratio par parties impropre justifiée par deux covergeces x [ x dx = ] x+ + l x+ x + l x + dx Le terme etre crochet est ul il suffit d écrire x = h avec h, pour étudier la limite e Il reste v = l x + dx + Par développemet e série etière de la foctio u l u Posos v = = x+ dx g x = x+ La série de foctios g coverge simplemet sur [ ; [ e vertu de la décompositio e série etière précédete. Les foctios g et la foctio somme + = g : x l x + sot cotiues par morceaux. Efi, les foctios g sot itégrables sur [ ; [ et = x+ dx = + + < + O peut doc itégrer terme à terme pour écrire doc v = x + dx = + = = Or = = puis fialemet C v + La série à termes positifs v est doc covergete. = Exercice 7 : [éocé] O sait et doc a = = = l + γ + o = e l a l +γ l a+o l a eγ l a Par équivalece de séries à termes positifs a = coverge l a > ce qui fourit la coditio a < e. Exercice 8 : [éocé] a Posos v = α u. l v + l v = α l + + l α + O = O. La série l v + l v est doc absolumet covergete et par coséquet la suite lv coverge. Aisi, v e l > avec l = lim + l v puis u + e l α. Par équivalece de séries à termes positifs, u coverge si, et seulemet si, α >. b O repred ce qui précède e l approfodissat... Puisque le reste d ue série dot le terme gééral est e O / est e O /, o a puis l v = l + O u = el α + O. α+ Pour que u coverge, il est écessaire que u et doc α >. Iversemet, si α > alors la série el coverge par le critère spécial et la α série O coverge absolumet. α+ Fialemet, la série u coverge. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

24 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Correctios 4 Exercice 9 : [éocé] a Via télescopage, o obtiet pour tout N doc u = Ov. b Soit < β < α et v = β. À partir d u certai rag v + v = < u u N v N v + u + β = β + o v + u v doc u = Ov or v coverge absolumet doc u aussi. c Pour assez grad u + / + = u + / doc = O u Puisque la série / est divergete, u argumet de comparaiso de séries à termes positifs permet de coclure que u est aussi divergete. Exercice : [éocé] a Le rapport u + u ted vers doc la suite u est de sige costat à partir d u certai rag ; quitte à passer à l opposé o peut supposer u > pour assez grad. Posos w = l + λ u + l λ u O a w = λ l + + l λ + v est le terme gééral d ue série absolumet covergete. Par coséquet la suite l λ u coverge et doc λ u aussi. b Posos u =!e. O a u + u = + O E repreat l étude qui précède o peut affirmer que / u l > doc u diverge. Ce résultat peut être cofirmé par la formule de Stirlig. Exercice : [éocé] a et doc pour assez grad, u + = 3 + u 3 + = 3 v + v = + = 3 + o + / = 3 3/4 4 + o u + u v + v b La suite de terme gééral u v est positive et croissate à partir d u certai rag doc il existe α > et N N tel que pour tout N, u αv. Or v diverge doc u aussi. Exercice : [éocé] O peut écrire j j doc la série des termes j3+3 j 3+ + j + j = + O = O / 3/ j j j est absolumet covergete. Aisi, il y a covergece des sommes partielles S 3 = 3 = j Puisque, les termes j 3+ j 3+, sot de limite ulle, o a aussi covergece des sommes partielles S 3+ = 3+ = 3+ S 3+ = = j = S 3 + j = S 3+ + j j Les trois suites extraites S 3, S 3+ et S 3+ covergeat vers ue même limite, o peut affirmer que la série j est covergete. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

25 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Correctios 5 Exercice 3 : [éocé] a u / doc la série u est absolumet covergete doc covergete. b O applique le critère spécial et o coclut que u coverge. c u = + + O et o peut coclure que u coverge. d u = cos π + π + 3π 8 + O = +.3π + O 8 doc u coverge. Exercice 4 : [éocé] Il s agit d ue série alterée. l! = l et aisi l! est la moyee arithmétique de l, l,..., l et doc puis = l! l + +! + +! De plus par la croissace de la foctio x l x, et doc l = l x dx = l +! Fialemet o peut appliquer le critère spécial des séries alterées et coclure. Exercice 5 : [éocé] O a doc la série est semi-covergete. si π + π = si π = π + O 3 Exercice 6 : [éocé] O a doc puis l = 3 + O 3 4 u = cos π + π + π3 + O π u = + si 3 + O = + π + O 3 Le terme gééral u est somme d u terme défiissat ue série covergete par le critère spécial et d u terme défiissat ue série covergeat absolumet. Exercice 7 : [éocé] Par comparaiso avec ue itégrale : O a alors u = La série de terme gééral = = + = = + coverge e vertu du critère spécial. O a = + o = = + o = = = 4 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

26 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Correctios 6 doc par comparaiso de série à termes positifs il y a divergece de la série de terme gééral + o = = Par sommatio d ue série covergete et d ue série divergete la série de terme gééral diverge. Exercice 8 : [éocé] a O a doc u coverge. b O a u = + O 3/ u = l + + o = l l + o l Or la série de la série de terme gééral est absolumet covergete utiliser ue l comparaiso avec ue itégrale doc u est covergete. c O a u = l + l + o l La série de terme gééral l est covergete alors que la série de terme gééral + o l l est divergete par équivalece de séries à termes positifs. O coclut que u est divergete. Exercice 9 : [éocé] + = + + O doc u = π + O est terme gééral d ue série covergete. Exercice : [éocé] E développat par la formule du biôme de Newto + 3 = = 3 puis e simplifiat les termes d idices impairs O e déduit Puisque 3 <, = / p= u = si 3 π u 3 π est terme gééral d ue série absolumet covergete. p 3 p Z p Exercice : [éocé] Puisque u, il reviet au même d étudier la ature de la série de terme gééral Or D ue part v = v = u + u + sil sil + sil sil + = O et d autre part e vertu du théorème des accroissemets fiis, il existe c compris etre l et l + tel que sil + sil cosc l + l = = O + + O e déduit que v = O / et doc la série de terme gééral v est absolumet covergete doc covergete. Exercice : [éocé] Posos S = Pour les etiers apparteat à l itervalle = cosl [e π/4+π ; e π/4+π ] Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

27 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Correctios 7 o a Posos O a cosl e π/4+π a = E e π/4+π et b = E e π/4+π S a S b = b =a + cosl b a e π/4+π Or, par ecadremet, b a e π/4+π e π/ doc S a S b e ted pas vers. Or a, b + doc la série étudiée e peut coverger. Exercice 3 : [éocé] Motros que la série étudiée est divergete. Notos S la somme partielle de rag de cette série. Nous allos costruire deux suites a et b de limite + telles que S b S a e ted pas zéros ce qui assure la divergece de la série étudiée. Soit fixé. Les idices vérifiat sot tels que Posos alors O a et doc par costructio π π 4 π + π 4 Ree i a = E π π/4 et b = E π + π/4 S b S a = b =a + e i Re b S b S a =a + Puisque la foctio t / t est décroissate, o a la comparaiso itégrale Re b S b S a =a + + = b + a + t Or b + a + = b a b + + a + π 4π π doc S b S a e ted par et l o peut coclure que la série étudiée diverge. Exercice 4 : [éocé] Quad x, o a O e déduit Par parité u = / α x + x = x x x + o x 3/ x dx / α x x dx + o 5α/ u = 3 3α/ 5 + o 5α/ 5α/ Par le critère spécial des séries alterées, la série de terme gééral / 3α/ coverge et par équivalece de séries à termes de sige costat, la série de terme gééral 5 + o 5α/ 5α/ 5 5α/ coverge si, et seulemet si, 5α/ >. O e déduit que la série de terme gééral u coverge si, et seulemet si, α > /5. Exercice 5 : [éocé] Supposos la covergece de la série u. Pour tout N v = = = u + u + = + = u u Puisque v est ue série à termes positifs dot les sommes partielles sot majorées, celle-ci coverge. Supposos la covergece de la série v. Pour tout N u = / = v v = = Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

28 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Correctios 8 Puisque u est ue série à termes positifs dot les sommes partielles sot majorées, celle-ci coverge. E substace, o observe aussi Exercice 6 : [éocé] O exploite les comparaisos obteue par ab a + b et = u = v = maxu, v u + v, u v u + v u v u = v v u + v u + v Par comparaiso de série à termes positifs o peut alors coclure. Exercice 7 : [éocé] Puisque ab a + b o a b Si l < alors, e posat α = + l/, o a l < α < et à partir d u certai rag doc u < α u α Or la série de terme gééral α est covergete car α [ ; [ et doc u est absolumet covergete. c Pour u = /, u = / et pour u = /, u = / alors que das u cas la série diverge et das l autre la série coverge. Exercice 3 : [éocé] Puisque v = u + u [ ; [ et u = v v o a u si, et seulemet si, v. Si u alors v et les deux séries diverget. Si u alors v u et doc les deux séries sot de même ature. Das les deux cas, les séries sot de même ature. u u + u + u + or u et u + coverget doc, par comparaiso de séries à termes positifs, u u + coverge. Exercice 8 : [éocé] O a immédiatemet i = ii par comparaiso de série à termes positifs sachat a a + a + a + La réciproque est fausse, il suffit pour l observe de cosidérer la suite a doée par a p = et a p+ = p 4 Exercice 3 : [éocé] a Si u coverge alors u et v u doc v coverge par équivalece de série à termes positifs. Si v coverge alors v et aisémet u doc v u et o coclut comme ci-dessus. b Si u coverge et est de somme S alors v u /S et o peut coclure. Si u diverge alors u l v = l u + + u = Si v, l v v doc v diverge car les séries sot de sige costat. Si v, v diverge grossièremet. Exercice 9 : [éocé] a Si l > alors à partir d u certai rag u et doc u. Il y a divergece grossière. Exercice 3 : [éocé] Supposos la série v covergete. O a v + doc + u + et o e déduit v u Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

29 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Correctios 9 puis u v Par comparaiso de séries à termes positifs, il y a divergece de la série u v. Or, par l iégalité de Cauchy-Schwarz u v u v u v = = O e déduit la divergece de la série u. Exercice 33 : [éocé] Par permutatio de sommes doc et doc v = = = v = = u = v = = = = = = u + = + = u Nv N = = N + N + u Supposos que la série u coverge Puisque v est ue série à termes positifs et que ses sommes partielles sot majorée car v = la série v coverge. Supposos que la série v coverge. O a v = u = u = u doc par croissace des sommes partielles d ue série à termes positifs, la suite v admet ue limite l R {+ }. Si cette limite est o ulle, la série v diverge ce qui est cotraire à l hypothèse iitiale. O e déduit v = = v doc Aisi u coverge et Exercice 34 : [éocé] Pour, o observe et doc u = = v + Nu = = u = v = v = a / a a a / maxa, a / + Par comparaiso de séries à termes positifs, o peut coclure à la covergece de a /. Exercice 35 : [éocé] La série de terme gééral u est covergete. E effet, puisque a coverge, a et doc il existe u ragn N tel que N, a E posat M = a a... a N, o peut écrire pour tout N u Ma N... a a Ma Par comparaiso de série à termes positifs, o obtiet la covergece voulue. Exercice 36 : [éocé] Puisque la suite S est croissate et doc v. O e tire v u + S v l + v = l S + S = ls + ls La série u coverge si, et seulemet si, la suite ls coverge et doc si, et seulemet si, la série télescopique l S + l S coverge. Par équivalece de série à termes positifs, cela équivaut à affirmer la covergece de la série v. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

30 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Correctios 3 Exercice 37 : [éocé] Si u coverge alors e otat S sa somme strictemet positive, v u /S et doc v coverge. Supposos désormais que u diverge et motros qu il e est de même de v. Par la décroissate de t /t, o a E sommat ces iégalités Or S S S S t S t S S S S = u S t u S = = l S l S + car S + doc par comparaiso u S diverge. Puisque u u = = v S S u v Si v alors v diverge. Si v alors v u S et à ouveau v diverge. Fialemet u et v ot la même ature. Exercice 38 : [éocé] u = R R et la décroissace de t /t, O a R R R R t t R R R = u R = l R l R doc la série à termes positifs R R t diverge car l R puisque R. Par comparaiso de séries à termes positifs, u /R diverge. u R = u R u = u R u /R Si u /R alors u /R diverge. Si u /R alors u R u R et doc u /R diverge ecore. Das tous les cas, u /R diverge. Exercice 39 : [éocé] Posos v = u + u u Si u coverge alors, e posat l sa limite, v l u + u et puisque la série à termes positifs u + u coverge, il e est de même de v. Si u diverge alors u +. Par la décroissace de t /t, u + u u u+ u t = lu + lu Puisque lu +, la série à terme positif lu + lu diverge et doc v aussi. Fialemet, la ature de la série v est celle de la suite u. Exercice 4 : [éocé] a Puisque la série a coverge, o peut itroduire sa somme l = a Les termes sommés état strictemet positifs, o a l > et S l doe alors S l. O e déduit a a S l La série a coverge, doc a /l coverge aussi et par équivalece de séries à termes positifs, o peut coclure à la covergece de la série a /S. b Comme les termes sot positifs, o a S S et doc a S = S S S S = S S La série à termes positifs a état supposée divergete, la suite S ted vers + et doc /S. La ature de la série u u état celle de la suite u, o peut affirmer la covergece de la série S S puis celle de a /S par comparaiso de séries à termes positifs. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

31 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Correctios 3 c O peut écrire a = S S = S S S S Si S /S e ted pas vers, la série étudiée diverge grossièremet. Si S /S ted vers alors et doc l S S S S a S l S l S La suite l S diverge, doc la série l S l S diverge aussi et, efi, a /S diverge par argumet de comparaiso de séries à termes positifs. Exercice 4 : [éocé] a Pour x assez grad, o a doc x f x f x f x f x x E itégrat, il existe ue costate β tel que et alors l f x l x + β f x C x avec C = eβ > Par comparaiso de séries à termes positifs, o peut affirmer la divergece de f b Soit u réel α > tel que l < α. Pour x assez grad, o a et doc x f x f x α f x f x α x E itégrat, il existe ue costate β tel que l f x α l x + β et alors f x C x α avec C = eβ > Par comparaiso de séries à termes positifs, o peut affirmer la covergece de f Exercice 4 : [éocé] a R est le reste de rag de la série qui coverge e vertu du critère spécial. b Par décalage d idice sur la deuxième somme c Puisque o a R + R + = Or par le critère spécial doc d Comme =+ la série R est covergete. + =+ + + R R + = + + R = + + =+ + =+ = + + = O R + R = + + O =+ + Exercice 43 : [éocé] À partir du rag =, o peut applique le critère spécial des séries alterées. Le reste état majorée par la valeur absolue du premier terme avec r 64 4 doc x <. x = = 8! = 4 + r Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

32 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Correctios 3 Exercice 44 : [éocé] Par découpage doc par traslatios I = I = +π = π π = si t t siπ + t π + t puis la relatio proposée. I se perçoit alors comme somme d ue série vérifiat le critère spécial des séries alterées, sa somme est doc du sige de so premier terme à savoir positif. Exercice 45 : [éocé] a Si v est ue suite alterée dot la valeur absolue décroît vers alors la série v coverge. Ce résultat s obtiet e costatat l adjacece des suites extraites de rags pairs et impairs de la suite des sommes partielles. b La suite s coverge e vertu du critère spécial éocé ci-dessus. E fait, il est «cou» que s ted vers l et doc u ted vers. c O peut écrire avec O a r = s = l r =+ r r + = + et r + r + = + =+ + + = O car par, applicatio du critère spécial à la série + +, o peut majorer le reste par la valeur absolue du premier terme qui l exprime. O e déduit r = + O O sait et doc lx = x x + O x u = e s + O e s avec Aisi, e s = e r = r + O r + = + O u = + + O La série u coverge car c est la somme d ue série vérifiat le critère spécial et d ue autre absolumet covergete. Exercice 46 : [éocé] a E otat S la somme de la série, S S b O a S S = S S =. + =+ u u De plus u car la suite u décroît et ted vers car la série coverge. Par ecadremet u puis u + + c De plus doc o a aussi + u + Exercice 47 : [éocé] Posos Par la décroissace de la suite u, o a S S = + u + u + u + et fialemet u. + + =+ S = α u α u = =+ α u = α+ u Puisque la suite S coverge, S S et o e déduit α+ u. Puisque + α+ + α+ u + α+ u α+ o a aussi + α+ u + et o peut doc coclure α+ u. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

33 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Correctios 33 Exercice 48 : [éocé] Posos v = = u u. O a v + v = u u + La suite v est croissate et majorée doc covergete. Posos l sa limite. O a u u + = v + v doc ce qui doe = u u + = = v + v u l v O e déduit u l v et doc u puis = u l. Fialemet u coverge. = v + v Exercice 49 : [éocé] La foctio x cos x x est égative sur [ ; + [ et e s aule qu e. Par coséquet, la suite u est décroissate, or elle est clairemet miorée par doc elle coverge. Sa limite aulat la précédete foctio e peut être qu être. Puisque o a u + = si u u + u Par suite u = O / et doc la série u coverge. Exercice 5 : [éocé] Par étude de poit fixe de la relatio de récurrece, la valeur l = + 5 / est la seule limite possible de la suite u qui est clairemet à termes positifs. u + l = u l + u + + l u l Exercice 5 : [éocé] a La suite étudiée est bie défiie et à termes tous positifs. O e déduit et doc par ecadremet u. u + = e u + + b Pour, o peut écrire v = e u et alors v par compositio de limites. c O e déduit u / La série u est alors divergete par équivalece de séries à termes positifs. O a aussi = + o doc u = e u = u + ou u = + O La série / coverge e vertu du critère spéciale et O/ est absolumet covergete par argumet de comparaiso. Par opératio sur les séries covergetes, la série u coverge. Exercice 5 : [éocé] La suite a est décroissate et miorée par doc covergete. E passat la relatio de récurrece à la limite, o obtiet que a ted vers. Puisque = a a + a a + a a 3 + o obtiet par le théorème de Césaro puis Fialemet a a + = a a et la série étudiée est divergete. doc u = O/ et aisi la série coverge. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

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