Seconde Supposons que x,y sont des nombres et vérifient la conjonction des égalités de S alors

Transcription

1 Seconde x + 2y = 5 { y = 4x + 1 Signé RD 5-2(4x+1) = 3x + 2y 2y = 3x 5-8x-2 = 3x 11x = 3 x = 3/11 9/11 + 2y = 5 2y = (55-9) / 22 = 23/11 Résoudre 7x + y = 93 S { 95x y = 5 Supposons que x,y sont des nombres et vérifient la conjonction des égalités de S alors 93+(-5) = (-7x+y)+(95x-y) = 88x 88x=88 x=1-7+y= 93 y=100 Soit f la fonction carré, ie pour tout nombre x : f(x)=x² Prouver que f est strictement décroissante sur ] -, 0 [ Soient x,y des nombres strictement négatifs. On doit prouver que si x<y alors f(x)>f(y) f(x) f(y) = x² - y² = (x-y)(x+y) = un nombre négatif non nul fois un nombre négatif non nul = un nombre positif non nul Donc f(x) >f(y) CQFD x y = 2 Résoudre { 14x + 16y = 2 Déterminant = 30 donc unique solution Déductions de l hypothèse que (x,y) est une solution

2 30 = = 16(x-y) + (14x+16y) = CLG 30x 3x + Zy = 60 + Z Résoudre { 10y x = Z 20 Déterminant = 30+Z non nul donc unique solution Supposons (x,y) couple de nombres solution du système. 4Z = 60+Z + 3(Z-20) = 3x+Zy + 3(10y - x) = CLG (30+Z)y 4Z = (30+Z)y y = 4Z / (30+Z) x = 10y -Z + 20 = 40Z/(30+Z) Z + 20 Soit f une fonction telle que pour tout nombre x : f(x) = ax²+x+b. De plus f(5)=10 et f(10)=11. Trouver f(0) signé AR : 10 = f(5) = 25a +5+b 11 = f(10) = 100a +10+ b -b = 25a b = -25a = -25a = 100a a + 5 = 75a a = = 4 a = -4/75 b = -25 ( -4/75 ) + 5 b = 19/3 f (0) = -4/75 fois 0² /3 = 19/3 On suppose que u v = 78 et u+v = 19. Peut-on en déduire des nombres a,b,c tels qu on est sûr que a u² + b u + c = 0? Remarque : bravo AR qui propose a :=b :=c :=0 Rajoutons «tels que [ax²+bx+c=0 ;inconnue x] n a pas tous les nombres comme solutions» Les hypothèses entrainent que v = 19 u. Donc que u(19-u)= 78 donc que u(19-u)+(-78)=0 donc que (-1)u² + 19u + (-78) = 0

3 DST ES3 Z:=rang de 1ère lettre de votre nom de famille 1/ Dans un petit repère que vous dessinerez, tracer les droites d'équations suivantes: [y=2x+1-5/10]; ; [3y = (5/10) - x]; ;[x= - 5/30]; ; [y+x=5/5]; ;[y=5/20]; 2/ On suppose que f est une fonction définie et dérivable sur [4,10[ et f(7)=1 et f(8) = -3. Peut-on en déduire qu'il existe un nombre a dans [5,9] tel que f ' (a) < 38? Sinon, pour tout x dans l intervalle f (x)>0, et la fonction est strictement croissante, ce qui contredit que f(7) f(8) 3/ Tracer une droite dont la pente est (Z+15)/20. Témoignez de votre cheminement pour ce faire. 8/ Soit d la droite d'équation [x+y=z/5]. Dessiner un petit repère dans lequel vous placerez d ainsi que la courbe d'une fonction dérivable f dont d est une tangente en (1,f(1)). Préciser les valeurs de f(1) et f '(1)? f(1) est tel que 1+f(1) = Z/5 f (1) est la pente de d, c'est-à-dire (-1) 4/ 30% de la population est composée d'hommes. 70% des femmes nagent et 50% des hommes nagent. Aucun homme ne skie et 80% des nageurs (hommes ou femmes) skient. Parmi les gens qui ne nagent pas, le skieurs occupent 50%. Quelle est la proportion des gens pratiquant le ski dans la population totale? 5/ (Z+30)% des gens font du ski. De plus la tendance à skier est indépendante du sexe. 40% des gens sont des femmes et 30% des femmes skient. Quelle est la proportion des skieurs parmi les hommes? 6/ On suppose que Z=10 et a=z+1 et b=z-1. Calculer le nombre Z / a +b (sans l'arrondir) 7/ Simplifier (sans arrondir) le nombre x+50 x+100 8/ Donner les pentes des droites suivantes (5 secondes par droite)

4 Système DST : 5-2(4x+1) = 3x + 2y 2y = 3x 5-8x-2 = 3x 11x = 3 x = 3/11 9/11 + 2y = 5 2y = (55-9) / 22 = 23/11 Résoudre 3x + 2y = 5 { y = 4x + 1 7x + y = 93 S { 95x y = 5 Supposons que x,y sont des nombres et vérifient la conjonction des égalités de S alors 93+(-5) = (-7x+y)+(95x-y) = 88x 88x=88 x=1-7+y= 93 y=100 Soit f la fonction carré, ie pour tout nombre x : f(x)=x² Prouver que f est strictement décroissante sur ] -, 0 [ Soient x,y des nombres strictement négatifs. On doit prouver que si x<y alors f(x)>f(y) f(x) f(y) = x² - y² = (x-y)(x+y) = un nombre négatif non nul fois un nombre négatif non nul = un nombre positif non nul Donc f(x) >f(y) CQFD x y = 2 Résoudre { 14x + 16y = 2 Déterminant = 30 donc unique solution Déductions de l hypothèse que (x,y) est une solution 30 = = 16(x-y) + (14x+16y) = CLG 30x

5 3x + Zy = 60 + Z Résoudre { 10y x = Z 20 Déterminant = 30+Z non nul donc unique solution Supposons (x,y) couple de nombres solution du système. 4Z = 60+Z + 3(Z-20) = 3x+Zy + 3(10y - x) = CLG (30+Z)y 4Z = (30+Z)y y = 4Z / (30+Z) x = 10y -Z + 20 = 40Z/(30+Z) Z + 20 Soit f une fonction telle que pour tout nombre x : f(x) = ax²+x+b. De plus f(5)=10 et f(10)=11. Trouver f(0) Signé Amal f(5) = a 5² b = 10 25a b = a b = 11 (signé Safiya) f(0) = b b = 5-25a 100a a = 11 75a = -4 a = - 4 / 75 b = 5-25 (-4/75) f(0) = 5-25 (-4/75) = 19/3

6 DST seconde4 1/ Combien y a-t-il d éléments dans {50/(100+Z) ;1/2 ;5/(10+Z) ;7/ 2}? Il y en a 4 2/ Compléter {1; Z; 3 Z} {1; Z 3} = {. } Avec Z := 26. {1; 26; 23} {1; 23} = {1; 23; 23; 26} 4/ Soit f dont l'ensemble de définition est [-1;2[ telle que pour tout nombre x: f(x)= (x - 5)² / (x² - 5²) 4.1/ Trouver f(0) ;f(1) f(x) = (x 5)(x 5) = (x 5) pour tout x dans D f (x 5)(x+5) (x+5) donc f(0) = -1 et f(1) = -4/6 = -2/3 4.2/ Y a-t-il des antécédents de 2 par f, si oui, lesquels? Les solutions appartenant à [-1 ;2[ de l équation E :=[(x-5) / (x+5) = 2 ;inconnue x] sont les antécédents cherchés La suite est du CLG Résolvons-la : pour tout x dans Df, (x-5) / (x + 5 ) = 2 ssi x-5 = 2(x+5) ssi x-5 = 2x+10 ssi x-5-10 = 2x ssi x-15 = 2x ssi x= -15 Autre rédaction : soit x une solution de E alors (x-5) / (x+5) = 2 donc x-5=2(x+5) donc x-5 = 2x+10 donc x=-15. Par ailleurs, (-15-5) / (-15+5) = 2 f n a pas d antécédent dans [-1 ;2[

7 5/ Soit A(27;1) et B(20;2) des points du plan. Le point C est sur la droite (AB) et son ordonnée est 5. Quelle est son abscisse? De B à C, on avance de 3 unités en ordonnée, donc descend de 3 fois 7 unités en abscisse donc C(-1, 5) 6/ Dessiner la droite d équation [3x+ 2y =5 ]. Quelle est sa pente? Pour tous nombres x,y : 3x+2y =5 ssi y = -1.5x+2.5 donc on est face à la droite d équation [y = -1.5x+2.5] de pente -1.5 Pour la tracer, il suffit de placer les points (1,1) et (0,2.5) puis de prendre sa règle 7/ Les points (5;7) et (11;5) sont sur la courbe d'une fonction f telle que pour tout nombre x: f(x)=ax²+x+b. Peut-on déduire de cette hypothèse qui est l'image de 10 par f L hypothèse dit que 25a+5+b =7 et 121a +11 +b = 5. Le système induit a une unique solution (déterminant non nul), donc oui, on peut en déduire a,b, donc qui est f donc qui est f(10). 12/ Dessiner une courbe de fonction définie sur [-4,4] qui n est ni croissante ni décroissante sur [-3 ;4] qui atteint son maximum en -3 et son minimum en 4 - (Z/50) puis dessiner son tableau de variation.

8 14/ 10% des femmes skient. 30% des hommes skient. 19% de la population totale skie. Quel est le pourcentage des hommes dans la population totale? Les consignes affirment 0.1F + 0.3H = 0.19 Or F = 1-H donc 0.1(1-H) + 0.3H = 0.19 donc CLG H=0.17. Il y a 17% d hommes 17/ En additionnant la proportion des hommes qui skient et celle des femmes qui skient on obtient 50%. Peut-on en déduire que la moitié des gens skient? S il y a deux hommes dont 1 qui skie et 1 millaird de femmes, aucune de skiant, on n a pas que la moitié de la population skie et pourtant la somme de la proportion des skieurs chez les hommes et de celle chez les femmes est bien 50% 18/ Donner une équation de la droite parallèle à la droite d qui passe par (1,1), sachant que d est d'équation [3x+4y=5+x] [3x+4y=5+x] est la droite d [3x+4y=6+x] est une droite qui passe par (1,1) et de manière évidente, parallèle à d 20/ Où se coupent la droite d équation [10x=3] et le cercle d équation [x²+y²=2z]? On va prendre le prénom Z :=3 Le cercle est donc [x²+y² = 6] Les points d intersection avec la droite sont les points dont l abscisse est 0.3 et dont l ordonnée une solution de [ y² = 6 ;inconnue y] C est dire les deux points (0.3, ) et (0.3, )

9 28/ Donner un exemple de système d'équations affines à deux inconnues qui a au moins deux solutions. x + y = { x + y = / A(-2,7); B(-4,2);C(20,2);D(0,-3). Trouver les coordonnées du point où (AB) et (CD) se coupent. Rappel: pour tous points U,V une équation de (UV) est [(x-x U )(y V -y U ) = (x V -x U )(y-y U )] x + 8y = 14 30/ Résoudre le système { x 10y = 9 Déterminant = 1 fois (-10) 8 fois 1 = -18, il est non nul donc le système a une unique solution. Let us find it Si x+8y = 14 et x-10y = 9 alors 18y =5 donc y = 5/18 donc x-50/18 = 9 donc x= 9+50/18. Unique solution (x :=9+50/18, y :=5/18) 31/ Laquelle de ces deux fonctions (ci-contre) est un extrait de courbe de x ax² x / En notant g la fonction dont la courbe est en trait plein. Compléter la phrase suivante pour qu'elle soit vraie: <<g atteint son maximum a sur [0,1] en le nombre b>>

10 31/ Ca ne peut pas être celle en pointillés car elle ne donne pas 2 comme image à 0 31/ Remplacer a par un nombre pour qu'il soit faux que le système suivant a une unique solution: ax 7y = 4 { 3x + ay = 40 Il suffit de (et il faut!!!) choisir a de sorte que a fois a (-7) fois 3=0. Autrement dit, a² + 21 = 0, autrement dit a² = -21. On ne peut pas trouver un tel a. Aucun a ne peut marcher. 32/ Donner une équation de la droite ci-contre [ y = 2x +(-3)] 15/ Un point est infiniment fin. Quand on en trace des représentations, on fait de grosses tâches d'encre quand on les regarde au microscope. Trouver un moyen de représenter un point de manière qu'il soit vraiment infiniment fin mais qu'on le voit parfaitement bien quand-même