Une méthode d estimation adaptative de deux dimensions fractales de réseaux de talwegs de ravines

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1 Une méthode d estimation adaptative de deux dimensions fractales de réseaux de talwegs de ravines Travail joint avec J.S. Bailly, B. Kaiser, C. Puech et N. Thommeret Jean-Marc Bardet SAMM, Université Paris 1 (Panthéon-Sorbonne), France 4 juin 2012, MASHS 2012 Paris

2 Outline Introduction 1 Introduction 2 Dimension de Hausdorff Dimension de Kolmogorov (ou de Minkowski-Bouligand) 3 Dimension de comptage de boîtes Dimension de corrélation Un problème commun: le choix de l intervalle de fractalité 4 Cadre de l estimation de dimk (A) Cadre de l estimation de dimc (A) Résultats numériques

3 Plan Introduction 1 Introduction 2 Dimension de Hausdorff Dimension de Kolmogorov (ou de Minkowski-Bouligand) 3 Dimension de comptage de boîtes Dimension de corrélation Un problème commun: le choix de l intervalle de fractalité 4 Cadre de l estimation de dimk (A) Cadre de l estimation de dimc (A) Résultats numériques

4 Fractales... Figure: Deux célèbres exemples de fractales

5 Fractales... Figure: Autre vision d une fractale 1 f.b;m. (H=0.3) 0.35 f.b.m. (H=0.9) = Fractale = dimension non entière

6 Un exemple géographique Figure: Réseau du Moulin extrait à partir d un MNT à 1 m (bassins expérimentaux de Draix, système de coordonnées Lambert 3)

7 Quelques noms associés à la notion de fractale Georg Cantor ( ) Gaston Julia ( ), puis Adrien Douady ( ),... Benoit Mandelbrot ( )

8 Objectifs de l exposé Problèmes: plusieurs dimensions fractales + difficultés de calcul! Objectifs: 1 Présenter des dimensions fractales théoriques et empiriques 2 Mettre en place une méthode adaptative de calcul des dimensions empiriques 3 Mesurer la robustesse de l estimation 4 Appliquer sur des fractales simulées et sur des réseaux de talwegs de ravines

9 Plan Introduction Dimension de Hausdorff Dimension de Kolmogorov (ou de Minkowski-Bouligand) 1 Introduction 2 Dimension de Hausdorff Dimension de Kolmogorov (ou de Minkowski-Bouligand) 3 Dimension de comptage de boîtes Dimension de corrélation Un problème commun: le choix de l intervalle de fractalité 4 Cadre de l estimation de dimk (A) Cadre de l estimation de dimc (A) Résultats numériques

10 Définition de la dimension de Hausdorff Dimension de Hausdorff Dimension de Kolmogorov (ou de Minkowski-Bouligand) Soit A un ensemble de points. Definition Pour r > 0, et σ = (σ n ) n N un recouvrement dénombrable de A tel que sup n N diam(σ n ) r, pour tout α 0, on appelle définit: m α (A) = lim mr α (A) avec mr α (A) = inf r 0 σ La dimension de Hausdorff de A, dim H (A), vérifie: diam(σ n ) α. dim H (A) = sup{α R tel que m α r (A) > 0} = inf{α R tel que m α r (A) = 0} n

11 Quelques propriétés Dimension de Hausdorff Dimension de Kolmogorov (ou de Minkowski-Bouligand) Propriété dim(a) est un réel positif qui existe pour tout ensemble A A fini = dim(a) = 0 Pour une C 1 -sous-variété F de R n de dimension m n, alors dim H (F ) = m Détermination théorique de dim(a) uniquement possible dans des cas simples (invariance par changement d échelle, voir Falconer, 1990)

12 Définition et propriétés Dimension de Hausdorff Dimension de Kolmogorov (ou de Minkowski-Bouligand) Soit N(r, A) le nombre minimum de boules fermées de rayon r nécessaire pour recouvrir A (on pourrait aussi considérer des pavés de longueur r). Alors: Definition La dimension de Kolmogorov de A, dim K (A) est définie par: dim K (A) = lim r 0 log[n(r, A)] log(1/r) (si cette limite existe). Proposition cette limite n existe pas toujours = limite supérieure et inférieure. pour tout F R n, dim H (F ) diminf K (F ) limsup K (F ).

13 Un exemple géographique célèbre Dimension de Hausdorff Dimension de Kolmogorov (ou de Minkowski-Bouligand) Figure: Calcul de la dimension de Kolmogorov de la côte de la Grande-Bretagne

14 Plan Introduction Dimension de comptage de boîtes Dimension de corrélation Un problème commun: le choix de l intervalle de fractalité 1 Introduction 2 Dimension de Hausdorff Dimension de Kolmogorov (ou de Minkowski-Bouligand) 3 Dimension de comptage de boîtes Dimension de corrélation Un problème commun: le choix de l intervalle de fractalité 4 Cadre de l estimation de dimk (A) Cadre de l estimation de dimc (A) Résultats numériques

15 Dimension de comptage de boîtes Dimension de corrélation Un problème commun: le choix de l intervalle de fractalité Définition de la dimension de comptage de boîtes A: ensemble dont on observe un nombre fini de points ou de segments (arbre) Definition Pour 0 < r 1 < r 2 < < r p, la dimension de comptage de boîtes (box-counting dimension) de A, dimk (A) est l estimateur par moindres carrés ordinaires â du modèle linéaire: log[n(r i, A)] = a log(1/r i ) + b pour i = 1,, p Remarque: si A infini et r p 0, dimk (A) dim K (A) (si existence).

16 Définition de la dimension de corrélation Dimension de comptage de boîtes Dimension de corrélation Un problème commun: le choix de l intervalle de fractalité Proposée par Grassberger et Proccacia (1983), version probabiliste (Renyi, 1970) On suppose A = {x 1,, x N }. Definition Pour 0 < r 1 < r 2 < < r p, la dimension de corrélation de A, dimc (A) est l estimateur par moindres carrés ordinaires â du modèle linéaire: où C(r, A) = log[c(r i, A)] = a log(1/r i ) + b 2 N(N 1) 1 i<j N 1 xi x j r. pour i = 1,, p Remarque: estimation de dim C (A) (si existence) où log(p(r,a) log(1/r) dim C (A) (r 0) avec P(r, A) proportion de couples de A dont interdistance r.

17 Relations entre dimensions Dimension de comptage de boîtes Dimension de corrélation Un problème commun: le choix de l intervalle de fractalité Proposition Pour A ensemble, dim H (A) dim C (A) dim K (A) (si existence). Remarque: On aura donc souvent dimc (A) dim K (A), mais pas toujours...

18 Comment calculer dimc (A) et dimk (A) Dimension de comptage de boîtes Dimension de corrélation Un problème commun: le choix de l intervalle de fractalité Problème: Comment choisir (r 1,, r p )? Comme A est est fini: Si les r i sont trop petits, dimk (A) 1 et C(r i, A) = 0 Si les r i sont trop grands, N(r i, A) 1 et C(r i, A) 1 (sautent par paliers) Objectif: Trouver la bonne zone pour (r 1,, r p ): intervalle de fractalité

19 Dimension de comptage de boîtes Dimension de corrélation Un problème commun: le choix de l intervalle de fractalité Exemple sur le réseau de talwegs pour dimk (A) Figure: Nuage de points ( log(1/r i ), log(n(r i, A)) )

20 Dimension de comptage de boîtes Dimension de corrélation Un problème commun: le choix de l intervalle de fractalité Exemple sur le réseau de talwegs pour dimc (A) Figure: Nuage de points ( log(1/r i ), log(c(r i, A)) ) LL[25:200] Lr[25:200]

21 Plan Introduction Cadre de l estimation de dimk (A) Cadre de l estimation de dimc (A) Résultats numériques 1 Introduction 2 Dimension de Hausdorff Dimension de Kolmogorov (ou de Minkowski-Bouligand) 3 Dimension de comptage de boîtes Dimension de corrélation Un problème commun: le choix de l intervalle de fractalité 4 Cadre de l estimation de dimk (A) Cadre de l estimation de dimc (A) Résultats numériques

22 Trois zones de linéarités différentes Cadre de l estimation de dimk (A) Cadre de l estimation de dimc (A) Résultats numériques Trois zones se distinguent assez nettement: Une zone linéaire avec a 1 Une zone linéaire avec a = dim K (A) Une zone linéaire avec a > 0

23 Cadre de l estimation de dimk (A) Cadre de l estimation de dimc (A) Résultats numériques Détection de ruptures dans modèles linéaires On utilise le contraste suivant: Pour t 1 < t 2 des entiers positifs: ( t 1 ( ( t 1, t 2 ) = Argmin 1<t1<t 2<p log(n(rt )) â 0 + log(r t ) ) 2 + t 2 t=t 1+1 t=1 ( log(n(rt )) b 0 b 1 log(r t ) ) 2 p ( + log(n(rt )) ĉ 0 ĉ 1 log(r t ) ) ) 2 t=t 2+1 où â 0 (resp. ( b 0, b 1 ) et (ĉ 0, ĉ 1 )) est l estimateur MCO sur {1,, t 1 } (resp. {t 1 + 1,, t 2 } et {t 2 + 1,, p})

24 Remarque théorique Cadre de l estimation de dimk (A) Cadre de l estimation de dimc (A) Résultats numériques Proposition D après Bai et Perron (1998) ou Lavielle et Moulines (2000), sous certaines hypothèses assez faibles, ( t 1, t 2 ) (t 1, t 2 ) = OP (1).

25 Une grande zone linéaire Cadre de l estimation de dimk (A) Cadre de l estimation de dimc (A) Résultats numériques On observe: Une grande zone linéaire centrale avec a = Pour r petit, la même linéarité plus bruitée Pour r grand, une rupture douce (non abrupte) dim C (A) = Difficultés pour utiliser la même détection que pour dimk (A)

26 Cadre de l estimation de dimk (A) Cadre de l estimation de dimc (A) Résultats numériques Technique de type sélection de modèles On suppose le modèle: Y t = f (t) + ε t t {1,, p} avec f (t) = at + b pour t {t1 + 1,, t 2 }. Avec C > 2, on pose le contraste pénalisé suivant: J(t 1, t 2 ) = 1 t 2 t 1 2 = ( t 1, t 2 ) = Argmin 1<t1<t 2<pJ(t 1, t 2 ) t 2 t=t 1+1 ε 2 ( C ) t 1 + t2 t 1 Remarque: En pratique, nous avons choisi C = p (on suppose t 1 = [τ 1 n] et t 2 = [τ 2 n]).

27 Cadre de l estimation de dimk (A) Cadre de l estimation de dimc (A) Résultats numériques Résultats sur le réseau de talwegs de ravines dim K (A) Intervalle de R 2 dim C (A) Intervalle de fractalité fractalité Moulin 1 m 1.70 [5.3 m, 44.3 m] [10.6 m, 32.2 m] Moulin 2 m 1.57 [8.7 m, 40.5 m] [15.3 m, 41.3 m]

28 Résultats pour des arbres simulés Cadre de l estimation de dimk (A) Cadre de l estimation de dimc (A) Résultats numériques Pour des arbres binaires bruités avec angle de 60 o et rapport 1/ 3 ± 0.03: Ordre dimc (A) IC dim C (A) dimk (A) IC dim K (A) [ ] 1.02 [ ] [ ] 1.01 [ ] [ ] 1.14 [ ] [ ] 1.33 [ ] [ ] 1.34 [ ] [ ] 1.42 [ ]

29 Cadre de l estimation de dimk (A) Cadre de l estimation de dimc (A) Résultats numériques Sur des arbres simulés: réseau de Scheidegger Figure: Nuage de points ( log(1/r i ), log(n(r i, A)) )

30 Résultats Introduction Cadre de l estimation de dimk (A) Cadre de l estimation de dimc (A) Résultats numériques Ordre dimc (A) IC dim C (A) dimk (A) IC dim K (A) [ ] 2.28 [ ] [ ] 1.68 [ ] [ ] 1.77 [ ] [ ] 1.78 [ ] [ ] 1.85 [ ]

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