Introduction aux Circuits Electriques

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1 Cours Cours CIRCUITS CIRCUITS Introduction aux Circuits Electriques Guillaume GATEAU N7 A GEA Partie 5 - Transformateur monophasé Rappel sur les circuits magnétiques Transformateur idéal Transformateur réel Prise en compte du flux Transformateur réel Prise en compte des fuites Transformateur réel Prise en compte des pertes CIRCUITS - Tr #

2 Notes: CIRCUITS - Tr #

3 5- Rappel sur les circuits magnétiques Dans cette partie les fuites magnétiques sont négligés ainsi que les pertes (ohmiques, hystérésis et Foucault) Soit un circuit magnétique de type tore sur lequel on bobine enroulements φ i i v e e v n n CIRCUITS - Tr #

4 5-- Loi de Faraday Loi de Lentz DEF loi de Faraday : Une variation de champs magnétique à l intérieur d un parcours fermé induit dans ce parcours une tension dont la grandeur est fonction du taux de changement du champs Autrement dit, la tension induite pour une spire s exprime par e spire = ± dφ dt Il est nécessaire d ajouter à la loi de Faraday un corollaire qui est la loi de Lentz: DEF loi de Lentz: La tension induite par la variation du champs magnétique est d une polarité telle qu elle fera circuler un courant qui produira un champs magnétique qui s opposera au champs qui produit cette tension Finalement on obtient que e = n dφ dt CIRCUITS - Tr #4

5 5-- Théorème d Ampère DEF Théorème d Ampère : Le théorème d Ampère exprime que la circulation du champs sur un contour (C) est égal à la somme des ampères/tour le long du contour Autrement dit, H. dl = ( C) n. i D autre part, l induction magnétique est donné par la relation avec B = µ.h µ = µ 0µ r µ 0 Perméabilité absolue µ r Perméabilité relative matériaux Le flux magnétique (en Weber) se calcul par φ = B. ds Or si B=cte dans la section, on a φ = BS CIRCUITS - Tr #5

6 5-- Théorème d Ampère En réunissant les deux équations, on obtient B φ dl = ni µ µ S µ S H. dl. dl =. dl = φ = Réluctance R = dl µ S Finalement Rφ = ni Force magnétomotrice avec R = l µ S CIRCUITS - Tr #6

7 5-- Analogie d Hopkinson Soit une bobine sur un tore i φ S n On peut faire l analogie avec la force Electromotrice La loi d ohms nous donne une relation D où l Analogie φ(t) u = Ri ni avec l = Fmm = Rφ = µ S l R = σ S I(t) φ F mm (t) U(t) CIRCUITS - Tr #7

8 5-- Analogie d Hopkinson (suite) Cette analogie nous permettra de simplifier l étude des circuits magnétiques (Réluctance en série ou en parallèle) F mm = ni Exemple : i n φ l fer lair Fmm φ R fer = l fer µ 0 µ S r R air = l air S µ 0 S CIRCUITS - Tr #8

9 5--4 Convention de signe On pointe arbitrairement le premier enroulement et on applique la règle du tire bouchon: Si i >0 rentre par le point, le flux φ est dans le sens de la flèche On pointe alors le second enroulement pour que i >0 rentre dans le point et on obtient le même sens de flux (flux additifs) n i φ i et i de même signe rentrant tous les deux par les points, créent des flux dans le même sens, c est-à-dire additifs. i φ Dans le cas contraire, es flux sont soustractifs. CIRCUITS - Tr #9

10 5--5 Inductance propre La bobine contenant n spires parcourus par un courant i, est responsable de l apparition d une force magnétomotrice ε = n i φ i S l n En l absence d autre F MM (ou enroulements non relié), la loi d Hopkinson devient ε n = R φ = i avec R = l µ S CIRCUITS - Tr #0

11 5--5 Inductance propre (suite) Le flux total φ total embrassé par les n spires s exprime alors par φ D ou φ total total = i n i = n φ = n R n R On nomme inductance propre ou coefficient d auto-induction le terme L φ = i total n = R CIRCUITS - Tr #

12 5--6 Inductance mutuelle La bobine, formée par n spires est traversée par le flux φ crée par la bobine. φ i n n Le flux total embrassé par le bobinage s exprime alors par φ n i R n n R total = n φ = n = i On nomme inductance mutuelle (ou coefficient de mutuelle induction) le rapport φ total n n = M = i R Dans ce cas simple, on aura aussi M n n = M = L L = R CIRCUITS - Tr #

13 5--7 Calcul des inductances propres et mutuelles Définition des inductances propres et mutuelles On considère un circuit magnétique comportant plusieurs enroulements. Le flux total embrassé par un enroulement, dépend du courant qui le traverse par l inductance propre et des autres courants par les inductances mutuelles. Ainsi pour enroulements, on a ϕ ϕ ϕ i i i n φ = n ϕ φ = n ϕ φ = n ϕ = = = L i M M + M i i + L i + M i + + M i M + L i i i avec et ϕ i φ i Le flux dans la branche i Le flux total embrassé par l enroulement i CIRCUITS - Tr #

14 5--7 Calcul des inductances propres et mutuelles Calcul des inductances Ces relations (TR précédent) sont vraies quels que soient les courants et en particulier pour i = 0 et i = 0 Dans ce cas, on obtient alors le circuit Electrique équivalent suivant ϕ n i R ϕ ϕ R R avec n ϕ = L i nϕ = M n ϕ = M i i Ces nouvelles expressions conduisent aux paramètres L et M à condition de connaître les flux. Ces flux sont facilement déterminés à partir des représentations électriques des circuits magnétiques qui font apparaître les forces magnétomotrice (ni) et les réluctances R. CIRCUITS - Tr #4

15 Calcul des inductances (suite) Par un calcul de type circuit, on trouve En reprenant les expressions n ϕ = On trouve finalement 5--7 Calcul des inductances propres et mutuelles L i nϕ = M n ϕ = M i i L M M ni ϕ = R + R // R R ϕ = ϕ R + R R ϕ = ϕ R + R [ R + R ] n = RR + R R + RR nn [ R ] = RR + R R + RR nn[ R ] = R R + R R + R R [ R + R ] ni = RR + R R + RR ni [ R ] = RR + R R + RR ni [ R ] = R R + R R + R R Les valeurs des mutuelles sont données ici en valeur absolue. Pour déterminer leur signe, il faut pointer les enroulements selon la procédure décrite précédemment CIRCUITS - Tr #5

16 5--7 Calcul des inductances propres et mutuelles Signe des mutuelles En tenant compte des propriétés liées au pointage, on peut déterminer le signe des mutuelles à partir de l expression générale φ = ϕ n = Li + M i + M i Si i et i rentrent (ou sortent) tous les deux par les points o i et i de même signe flux additifs termes L i et M i de même signe M >0 o i et i de signe contraire flux soustractifs termes L i et M i de signe contraire M >0 Si i rentre par un point et i sort par l autre point o i et i de même signe flux soustractifs termes L i et M i de signe contraire M <0 o i et i de signe contraire flux additifs termes L i et M i de même signe M <0 CIRCUITS - Tr #6

17 5--7 Calcul des inductances propres et mutuelles Signe des mutuelles Finalement, on peut en tirer une règle générale Si i et i rentrent (ou sortent) tous les deux par les points o Dans ce cas la mutuelle est positive Si i rentre par un point et i sort par l autre point o Dans ce cas la mutuelle est négative CIRCUITS - Tr #7

18 5--7 Calcul des inductances propres et mutuelles Pointage pour plus de enroulements Le pointage s effectue avec plusieurs symbole, en considérant les enroulement à. i i i CIRCUITS - Tr #8

19 Notes : CIRCUITS - Tr #9

20 5- Transformateur idéal 5-- Définition et représentation Un transformateur idéal est un quadripôle dont les grandeurs d entrée et de sortie sont reliées par un simple rapport de transformation Il n y a pas de stockage ni de dissipation d énergie, on a égalité entre la puissance instantanée en entrée et en sortie Les équations fondamentales sont alors: v ( t) = i ( t) = k v ( t) k i ( t) Les symboles les plus usuels sont v i k i v v i k i v primaire secondaire primaire secondaire CIRCUITS - Tr #0

21 5-- Propriétés A/ Adaptation de tension et de courant Cette propriété découle directement du rapport k Si k>, le transformateur est élévateur de tension (et abaisseur de courant) Si k<, le transformateur est abaisseur de tension (et élévateur de tension) B/ Adaptation d impédance Le secondaire étant chargé par une impédance z, on peut déterminer facilement la valeur de cette impédance ramenée au primaire, c est-à-dire le rapport v / i. On a v = z i D où i kv z k = finalement v = L impédance secondaire vue du primaire se trouve donc multipliée par un rapport /k i z k On peut donc utiliser cette propriété pour réaliser une adaptation d impédance en vue d augmenter ou diminuer la valeur d une impédance CIRCUITS - Tr #

22 5-- Propriétés B/ Adaptation d impédance (suite) On peut également utiliser cette propriété comme outil d étude: on peut alors déplacer virtuellement l impédance secondaire en la faisant apparaître au primaire (et inversement). On parle alors d impédance secondaire ramenée au primaire que l on notera z. On obtient le schéma suivant i i k v z v On «ramène» z au primaire i k v z i v z = z k CIRCUITS - Tr #

23 5-- Propriétés C/ Isolement galvanique Les tensions v et v sont en fait des différences de potentiel entre les deux bornes d entrée ou de sortie du quadripôle. Aucune condition n est imposée aux potentiels absolus qui peuvent être à priori quelconque Le circuit primaire est donc totalement isolé du secondaire: on dit alors qu il y a "isolement galvanique" Cet isolement peut être utilisé pour raisons: Raisons de sécurité: Le primaire du transformateur étant relié au réseau domestique par exemple, le secondaire isolé n'est alors relié ni à un phase ni au neutre du réseau, garantissant ainsi la sécurité des personnes. Raisons Structurelles: impossible car CC du T V cmd T circuit puissance V cmd TR + Mise en forme T circuit puissance OK, car masse commune V cmd T V cmd T CC de T CIRCUITS - Tr #

24 5-4 Transformateur réel 5-4- Représentation du transformateur On représente le transformateur sous la forme d'un circuit ou sous la forme d'un circuit magnétique. Ces deux représentations sont équivalentes. i k i i i v v v v () représentation de type circuit () représentation magnétique Hypothèse pour l'étude: CIRCUITS - Tr #4

25 5-4- Comparaison Transformateur idéal et réel On reprend la représentation magnétique φ Les enroulements et voient le même flux puisque les fuites sont négligées. Par la loi de faraday, on obtient et d'ou Pour la relation sur les courant, on utilise le théorème d'ampère soit: CIRCUITS - Tr #5

26 5-4- Comparaison Transformateur idéal et réel On obtient finalement des relations presque identiques à celle du transformateur idéal Avec cette approximation, ce modèle est proche du transformateur idéal. CIRCUITS - Tr #6

27 5-4- Mise en place du modèle Electrique Pour obtenir ce modèle, il est nécessaire de remplacer le flux (qui est une grandeur magnétique et pas électrique!) par un équivalent Le théorème d'ampère nous a donné n i ni = Rφ que l'on peut réécrire Les deux termes obtenus s'interprètent par: CIRCUITS - Tr #7

28 5-4- Mise en place du modèle Electrique Avec ces nouvelles considérations, on obtient alors: avec Si on analyse ces équation, on retrouve les mêmes qu'un transformateur idéal pour lequel on remplace i par i n n v = i = i n v n D où finalement le schéma CIRCUITS - Tr #8

29 5-4- Mise en place du modèle Electrique A ce modèle, on doit maintenant ajouter l'équation sur les courants en ajoutant une impédance supplémentaire en parallèle sur le primaire dans laquelle il circule un courant i m. i i k i m v v? i Pour déterminer de quelle impédance il s'agit, on reprend l'expression du courant magnétisant d'où comme on a toujours v = n dφ dt on obtient CIRCUITS - Tr #9

30 5-4- Mise en place du modèle Electrique On a ainsi obtenu le modèle électrique du transformateur qui ne comporte plus QUE des grandeurs électriques i i k i m v v i Modèle électrique du transformateur - Prise en compte du Flux - Primaire CIRCUITS - Tr #0

31 5-4- Mise en place du modèle Electrique Cette représentation semble privilégier le primaire par rapport au secondaire, alors que les courants i et i jouent un rôle symétrique dans l'expression. On peut en fait procéder de la même manière en partant du courant secondaire i. d'où avec De la même façon, on peut faire apparaître une impédance homogène à un inductance au secondaire v n R = di dt m i i i k i m v v Modèle électrique du transformateur - Prise en compte du Flux - Secondaire CIRCUITS - Tr #

32 5-4- Mise en place du modèle Electrique On remarque dans ces deux modèle que la relation entre L m et L m respecte bien la propriété qui consiste à déplacer une impédance au primaire L m = n R L m = n R Nous avons mentionner précédemment le fait que la réalisation pratique des transformateurs conduisait en général à un terme Rφ faible devant les termes n i et n i Ainsi, qu'il soit représenté au primaire ou au secondaire, le courant magnétisant ne représente qu'une faible partie du courant primaire ou secondaire CIRCUITS - Tr #

33 5-4- Choix d'utilisation d'un modèle Le choix d'un des deux modèles s'effectue en fonction des conditions d'utilisation du transformateur Alimentation en tension: Si on considère un transformateur ou on impose la tension d'entrée i i i v v z v i k i m i v z la tension primaire étant imposée, la tension secondaire l'est aussi ainsi que le courant secondaire et évidemment de courant secondaire ramenée au primaire. Seul le courant magnétisant circule au primaire. En particulier à vide (i=0) il s'identifie complètement au courant primaire CIRCUITS - Tr #

34 5-4- Choix d'utilisation d'un modèle Alimentation en courant: Si on considère un transformateur où on impose le courant d'entrée i i i v v z i i i i k v i m z le courant primaire étant imposée, il en va de même pour le courant primaire ramené au secondaire i. Cette fois, le courant magnétisant i m qui s'ajoute au courant i circule vraiment dans le secondaire. CIRCUITS - Tr #4

35 5-5 TR réel : Prise en compte des fuites 5-5- Modèle avec inductance de fuites partielles Si on considère le transformateur suivant φ i i v v représentation schématique φc représentation plus proche de la réalité (plan de coupe) CIRCUITS - Tr #5

36 5-5- Modèle avec inductances de fuites partielles Dans ces conditions, pour chaque spire on a avec ϕ ϕ c ϕ f f flux commun flux fuite partiel Pour l'ensemble des spires, le flux total embrassé est alors Les flux de fuite sont proportionnels aux courants qui les créent, donc on peut écrire l l f, f seront appelés inductance de fuites partielles CIRCUITS - Tr #6

37 5-5- Modèle avec inductances de fuites partielles On obtient alors pour les tensions on obtient le système en posant avec Le théorème d'ampère pour sa part nous donne d'où avec CIRCUITS - Tr #7

38 5-5- Modèle avec inductances de fuites partielles En rassemblant les différentes équations on obtient: v = * * v n i = n n i n v i = i + i m * = L m dim dt v v = v = v * * + l l f f di dt di dt Ces 4 premières équations correspondent au modèle avec prise en compte du flux mais dans lesquelles les tensions v et v ont été remplacées par les tension v* et v* Ces équations correspondent à une chute de tension due au passage du courant dans une inductance. Les inductance de fuite lf et lf se retrouve donc respectivement en série au primaire et au secondaire Finalement Modèle avec Prise en compte du Flux et des inductance de fuites partielles CIRCUITS - Tr #8

39 5-5- Modèle avec inductances de fuites partielles Il est également possible de déplacer l'inductance de fuites secondaire pour la ramener au primaire, on obtient alors un nouveau modèle Modèle avec Prise en compte du Flux et des inductance de fuites partielles CIRCUITS - Tr #9

40 5-5- Identification des paramètres du modèle 4 paramètres sont à identifier : Pour cela, on effectue les classiques essais à vide et en court circuit Dans la majorité des applications, les inductances de fuites sont très faibles devant l'inductance magnétisante (souvent inférieur à %) donc on utilise les règles pratiques suivante: CIRCUITS - Tr #40

41 Essai à vide 5-5- Identification des paramètres du modèle Sur un essai à vide sous tension nominale, on relève v, i et v l f f i i k i m v L m v l Au primaire, on se retrouve donc avec une association série: D'autre part, on a toujours avec l'approximation que CIRCUITS - Tr #4

42 Essai en court circuit 5-5- Identification des paramètres du modèle Sur un essai en court circuit sous tension réduite l v f i L m i i m k l f i cc On ramène l'inductance partielle secondaire et le court circuit au primaire. L'inductance de fuite se trouve alors en parallèle sur l'inductance magnétisante. d'où on nomme alors cette inductance l'inductance de fuite totale ramenée au primaire CIRCUITS - Tr #4

43 5-5- Identification des paramètres du modèle Essai en court circuit (suite) On peut évidemment ramener au secondaire cette inductance totale qui sera alors égale à On peut donc proposer un nouveau modèle pour notre transformateur avec cette fois des inductance totales et non partielles CIRCUITS - Tr #4

44 5-5- Modèle avec inductances de fuites totales Avec les essais, on obtient la valeur de De façon a pouvoir utiliser cette inductance N on apporte une modification en considérant que, pour des fonctionnement en charge "normaux", les chutes de tension dans les inductances de fuites restent faibles: v v l i i f i k k i m v L v v m l f CIRCUITS - Tr #44

45 5-5- Modèle avec inductances de fuites totales D'où le modèle avec inductance de fuites totales: Modèle avec Prise en compte du Flux et des inductance de fuites totales ramenées au primaire Modèle avec Prise en compte du Flux et des inductance de fuites totales ramenées au secondaire i i i k i m v L v v m i i i k i m v L v v m Avec ce résultat essentiel A vide, on voit l'inductance magnétisante En court circuit, on voit l'inductance de fuites totales CIRCUITS - Tr #45

46 5-6 Prise en compte des pertes Les pertes sont localisées d'un part dans les conducteurs (pertes cuivres) et d'autre part dans le circuit magnétique (pertes fer) 5-6- Pertes cuivre Elles correspondent aux résistances des enroulement sachant qu'il faut tenir compte de l'effet de peau qui réduit la section utile de cuivre. section utile de cuivre conducteur cylindrique de rayon R Pour limiter cet effet, en haute fréquence, on utilise du fil divisé nommé fil de Litz CIRCUITS - Tr #46

47 5-6- Pertes cuivre Ces résistances sont généralement faibles On obtient alors le schéma suivant l f i i k i m i l f L m On peut les rassembler dans une seule résistance (comme pour les inductance de fuites partielle) que l'on ajoutera au primaire ou au secondaire. N i i i k i m L v m v CIRCUITS - Tr #47

48 5-6- Pertes fer Ce sont les pertes par hystérésis et courants Foucault dans le matériau magnétique D'où un exemple de modèle avec prise en compte des pertes fer i i i k i m v v L v m CIRCUITS - Tr #48

49 5-7 Modèle complet du transformateur Modèle complet avec fuites totales et pertes ramenées au primaire i i i k i m L m v v Modèle complet avec fuites totales et pertes ramenées au secondaire v i i i k i m m v L CIRCUITS - Tr #49

50 Notes : CIRCUITS - Tr #50