AMELIORATION DE LA METHODE NEYER D ESTIMATION DE FIABILITE DES SYSTEMES MONO-COUP UTILISEE EN PYROTECHNIE

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1 AMELIORATION DE LA METHODE NEYER D ESTIMATION DE FIABILITE DES SYSTEMES MONO-COUP UTILISEE EN PYROTECHNIE IMPROVEMENTS TO THE NEYER METHOD OF ESTIMATING RELIABILITY OF ONE-SHOT SYSTEMS USED IN PYROTECHNICS Chrstophe Etcheverry, Mare Poulgny, Sébasten Bosse, André Cabarbaye*, Centre Natonal d Etus Spatales (CNES) * CAB INNOVATION 18, avenue Edouard Beln Toulouse 3, rue la Coqulle Toulouse Résumé Cette communcaton présente s améloratons apportées à la métho Neyer d estmaton fablté s systèmes monocoup (one shot) utlsée notamment en pyrotechne. Elle préconse l utlsaton d un outl d optmsaton globale pour s affranchr s optma multples du détermnant la matrce Fsher et l absence smplfcaton dans les calculs. Elle propose également remplacer sa phase d ntalsaton par la mse en œuvre d une technque bayésenne consstant à transformer la connassance a pror en essas fctfs au moyen ux boucles d optmsaton mbrquées. Désgnée sous le nom métho "Caboum" et supportée par un outl (Gencab), cette métho orgnale planfcaton optmale et d explotaton s essas peutêtre généralsée à la plupart s plans d expérences, dont les essas accélérés fablté ou dégradaton, pour caractérser les courbes réponse. Son effcacté a été démontrée par smulaton. Summary Ths paper presents mprovements of the Neyer method of relablty estmaton of one-shot systems especally used n pyrotechncs. It recommends the use of a global optmzaton tool to overcome multple optma of the termnant of the Fsher matrx and the absence of smplfcaton n the calculatons. It also proposes to replace the ntalzaton phase by mplementng a Bayesan technque of transformng a pror knowledge n fctonal tests usng two nested optmzaton loops. Desgnated unr the name "Caboum" and supported by a tool (Gencab), ths orgnal method of optmal plannng and operaton tests can be generalzed to most of the sgn of experments, ncludng accelerated relablty or gradaton testng, to characterze the response curves. Its effectveness has been monstrated by smulaton. Mots clés Neyer, Mono-coup, One-shot, Essas, Optmal sgn, D-optmale, Caboum Introducton Dfférents types d essas (One Shot, Bruceton, Probt, Neyer) peuvent être ms en œuvre pour estmer la probablté succès ou d échec d un système monocoup, dont le fonctonnement est lmté à une seule utlsaton et dépend d un paramètre fonctonnel. Ans, le fonctonnement d une csalle pyrotechnque dépend la masse poudre utlsée pour couper un câble ou celu l ntateur du courant d actvaton. Le but s essas est caractérser cette lo fablté en fasant l hypothèse que la dstrbuton s seuls fonctonnement sut une lo normale ou log normale en foncton la valeur du paramètre fonctonnel. La métho Neyer dffère s autres méthos par l emplo tratements statstques après chaque essa pour défnr les condtons du suvant manère optmale, afn d amélorer la précson du modèle fablté à partr d un même nombre d essas composants ou dmnuer le nombre pèces détrutes au cours d une campagne d essas. Elle est fondée sur la D-optmalté qu consste à maxmser le détermnant la matrce Fsher (nverse la matrce varance covarance) afn mnmser la varance s estmateurs et d augmenter ans la précson s résultats obtenus à l ssue s nouveaux essas. Cherchant à approfondr cette métho pour ses besons propres, le CNES a mené une acton R&T avec la socété Cab Innovaton qu a débouché sur certanes améloratons la métho. Métho Neyer La métho Neyer [1] est fondée sur la métho du maxmum vrasemblance pour estmer les paramètres la lo fablté, à partr s résultats s essas déjà réalsés, et sur la métho D-optmale pour défnr les condtons l essa suvant. Par alleurs, elle met en œuvre une stratége d ntalsaton qu lu est propre avant d employer ces ux technques d optmsaton. 1 Explotaton s résultats par la métho du maxmum vrasemblance La lo fablté recherchée est une lo normale ou log normale en foncton la valeur du paramètre fonctonnel (fgure 1).

2 ? m σ Paramètre Fgure 1. Densté probablté fonctonnement Les paramètres m et σ cette lo peuvent être estmés en maxmsant la vrasemblance la séquence s N essas préalablement réalsés dont l expresson {1} correspond à une lo bnomale dont la probablté est la foncton répartton la lo normale. N Y 1 Y L( m, σ ) = Π F( X ) (1 F( X ) {1} = 1 La vrasemblance est alors égale au produt s probabltés s résultats s essas réalsés, avec Y = 1 s l essa est un succès (étole verte la fgure 1) et Y = 0 s l essa est un échec (rond rouge la fgure 1), et la foncton répartton la lo normale a pour expresson la formule {2}. F( X [( X m) / σ ] X 1 ² ) * exp( ) = 2 * π 2 du {2} Cet ajustement ne peut être ms en œuvre qu en cas recouvrement entre échecs et succès. En effet, l écart-type σ converge vers zéro tant qu un échec n a pas été obtenu pour une valeur du paramètre fonctonnel supéreure à celle ayant préalablement condut à un succès, ou nversement qu un succès ne résulte pas d une valeur nféreure à celle ayant préalablement condut à un échec. Cette condton recouvrement (overlap) à respecter pour pouvor utlser la métho du maxmum vrasemblance est la rason pour laquelle la métho Neyer ntègre une phase d ntalsaton. 2 Planfcaton optmale s essas par la métho D-optmale Dans les plans d expérences (sgn of experments), la planfcaton optmale (optmal sgns) consste à élaborer s plans expérmentaux qu sont optmaux par rapport à un crtère statstque. Ce domane la statstque a été créé par le statstcen danos Krstne Smth [2] [3]. Parm les crtères statstques envsagés [4], le plus employé est la D-optmalté qu consste à maxmser le détermnant la matrce Fsher (nverse la matrce varance covarance) afn mnmser la varance s estmateurs et d augmenter ans la précson s résultats obtenus à l ssue s prochans essas. Ans, les futurs essas sont choss manère à conforter l estmaton courante étable à partr s essas déjà réalsés. A partr l expresson la vrasemblance {1}, la matrce Fsher peut se calculer au moyen la formule {3} par double dérvaton du logarthme la vrasemblance pus calcul l espérance {3}. F = =-E {3} ( 00 = ) 2 ( )(1 ( )) 11 = ( ) 2 ( )2 ( )(1 ( )) 10 = 01 = ( ) 2 ( ) = ( )(1 ( )) {4} Les termes la matrce et son détermnant {4} sont alors calculés à partr s valeurs d essas x déjà réalsés et celles s essas à planfer qu consttuent autant d nconnues à estmer en maxmsant le détermnant la matrce Fsher. La métho Neyer est séquentelle et ne cherche à planfer que l essa suvant au moyen d une optmsaton à une seule nconnue en néglgeant les termes I 01 et I 10 s covarances dans les calculs. 3 Stratége d ntalsaton propre à la métho Neyer La métho Neyer requert l utlsateur une connassance a pror la foncton recherchée portant sur un encadrement la moyenne (µ mn µ a pror µ max) et sur l écart type (σ a pror). Décrte par un loggramme dans sa présentaton [1], sa phase d ntalsaton peut se synthétser la manère suvante. - Dans le cas d échecs successfs, le nveau du prochan essa est donné par la formule {5}. X n+1 = max [ (X n + µ max)/2, X n + (X n - X 1), X n + 2 σ a pror ] {5}

3 - Dans le cas succès successfs, le nveau du prochan essa est donné par la formule {6}. X n+1 = mn [ (X n + µ mn)/2, X n - (X 1 X n), X n - 2 σ a pror ] {6} - Quand les résultats sont dfférents et que la condton {8} n est pas encore satsfate, le nveau du prochan essa est donné par la formule {7}. X n+1 = (X Echec max + X Succès mn) / 2 {7} - Dès que la condton {8} est satsfate, le nveau du prochan essa résulte la métho D-optmale et la valeur l écart type a pror est dmnué 20 % après chaque essa {9}. X Succès mn - X Echec max σ a pror {8} σ a pror = 0,8 σ a pror {9} - La phase d ntalsaton se termne quand la condton recouvrement (overlap) est satsfate {10} et que la métho du maxmum vrasemblance peut être enfn mse en œuvre. X Echec max > X Succès mn {10} Améloraton la Métho Neyer Le détermnant la matrce Fsher présente pluseurs optma. Auss, l emplo d une technque d optmsaton globale apparat-l judceux pour ne pas rsquer d arrêter la recherche au premer optmum local trouvé. De plus, la métho Neyer fat une approxmaton dans le calcul du détermnant la matrce Fsher (covarance néglgée) qu peut être évtée. Enfn, la stratége d ntalsaton la métho Neyer semble pouvor être avantageusement remplacée par un tratement bayésen. Par alleurs, la métho D-optmale peut présenter s problèmes convergence qu mértent d être explctés. 1 Utlsaton d un outl d optmsaton globale Un outl d optmsaton globale (Gencab), fondé sur s Algorthmes Génétques couplés à un algorthme smplexe (Nelr- Mead) pour accélérer la convergence [7][8], supporte dorénavant la métho Neyer sans approxmaton. Celu-c effectue les tratements successfs sur une feulle Excel comme le montre l exemple la fgure 4. Cet exemple porte sur la même séquence d essas que celle présentée dans l artcle Neyer [1][6]. Les résultats fnaux se révèlent relatvement proches (µ = 5,51 et σ = 1,09 au leu µ = 5,44 et σ = 1,09). On remarque cependant que la valeur l essa 15 est légèrement dfférente celle Neyer (6,42 au leu 6,37), ce qu peut s explquer par le fat que Neyer néglge la valeur s covarances dans le calcul du détermnant la matrce Fsher comme l l ndque dans son artcle. Cette approxmaton condut à ux solutons symétrques équvalentes (à même probablté d échec ou succès) lors la maxmsaton du détermnant, ce qu se manfeste par une valeur très dfférente pour l essa 20 condusant c à un échec et non pas au succès. La courbe réelle du détermnant la matrce Fsher, présentée en fgure 3, montre un premer maxmum à 3949 pour la valeur 4,0993 et un second nféreur au premer à 3876 pour la valeur 6,8809. On constate, par alleurs, que la connassance a pror n est pas bonne dans cet exemple (µ a pror = 1 = (0,6+1,4)/2 et σ a pror = 0,1 au leu µ = 5,51 et σ = 1,09). A l ssue d une estmaton par la métho du maxmum vrasemblance, l outl d optmsaton calcule s ntervalles confance asymptotques par la métho Wald [9] pour les dfférents paramètres, ou s fonctons ces paramètres tels que s quantles (fgure 2). Intervalles confance Taux confance 60% Mn Max Moyenne 5, , ,53563 Métho Wald Sgma 1, , ,12061 Matrce Fsher 62,056 7,7424-4,837 71,6414 Matrce varance covarance 0, ,0017 0, ,01384 Quantle 90% Mn Max Valeur 6, , ,9541 Quadratque (métho Delta) 6,8632 6,97175 Pre cas Fgure 2. Intervalles confances Fgure 3. Courbe à 2 maxma

4 Métho D-optmale / Système mono coup INIT Bayésen Moyenne Sgma X m 5,512 Mn 0,6 Moyenne 6,814 s 1,097 Max 1,4 Sgma Sgma 0,1 Vrasemblance 3,2441E-05 Détermnant 5538 Matrce Fsher C Valeur Ecart-type Résultat Echec Succès Vrasemblance x I 00 I 11 I 10 = I 01 D Moyenne Sgma X , , E-04 0,005-0, ,2 0,1 0 1,2 0, ,2 0,002 0,024-0,006 1E ,4 0,1 0 1,4 0, ,4 0,005 0,073-0,019 3E ,8 0,1 0 1,8 0, ,8 0,021 0,254-0,073 2E ,6 0,1 0 2,6 0, ,6 0,166 1,279-0,459 0, ,2 0,1 1 4,2 0, ,2 2,02 3,931-2,676 0, ,4 0,1 0 3,4 0, ,4 2,882 7,128-4,337 1, ,8 0,1 0 3,8 0, ,8 4,543 11,17-6,928 2, , , ,857 15,57-10,12 4, ,1 0,1 0 4,1 0, ,1 9,685 20,26-13,76 6, ,2779 0, ,278 0, ,278 13,31 24,84-17,83 12,53 4,2963 0,189 4, ,5162 0, ,516 0, ,516 17,99 28,7-22,08 28,57 4, ,78 4, ,5537 0, ,554 0, ,554 24,86 28,71-21,82 237,6 4, ,5 5, ,2452 0, ,245 0, ,245 32,11 29,13-23,58 379,5 5, ,967 5, ,4233 0, ,423 0, ,423 38,26 33,38-18, ,105 0,84 6, ,132 1, ,132 0, ,132 45,79 35,79-14, , ,417 6, ,5576 1, ,558 0, ,558 48,1 43,8-9, , ,287 7, ,264 1, ,264 0, ,264 51,66 52,9-4, , ,199 7, ,0531 1, ,053 0, ,053 56,4 62,26 2, , ,133 7, ,0993 1, ,099 0, ,099 62,06 71,64-4, , ,097 4, ,8136 6,814 68,6 80,86 2, ,814 Fgure 4. Reprse la séquence d essas l artcle Neyer 2 Convergence s estmatons par la métho D-optmale Les graphques la fgure 5 montrent la convergence s estmatons par la métho D-optmale au cours 50 essas smulés à partr d une lo normale moyenne 5 et d écart-type 2. Le graphque gauche la fgure 5 est représentatf d une campagne d essas déale. Fgure 5. Convergence s paramètres Après chaque essa, la métho D-optmale fat évoluer les paramètres la manère suvante - en cas d échec pour une valeur nféreure à la moyenne courante, l estmaton la moyenne augmente légèrement et celle l écart-type dmnue légèrement, - en cas d échec pour une valeur supéreure à la moyenne courante, l estmaton la moyenne augmente plus fortement et celle l écart-type augmente très fortement, - en cas succès pour une valeur supéreure à la moyenne courante, l estmaton la moyenne dmnue légèrement et celle l écart-type dmnue légèrement, - en cas succès pour une valeur nféreure à la moyenne courante, l estmaton la moyenne dmnue plus fortement et celle l écart-type augmente très fortement, - l ampltu s évolutons décrot avec le nombre d essas déjà réalsés. Ce fonctonnement explque l écart précson entre les estmatons s paramètres, celle la moyenne étant généralement melleure que celle l écart-type à la fn s essas. Il explque également ux problèmes convergence pouvant être rencontrés durant les essas

5 - S l estmaton courante l écart-type est très nféreure à sa valeur réelle, l évoluton s ux estmateurs sera très lente comme le montre le graphque central la fgure 5. - S l estmaton courante l écart-type est très supéreure à sa valeur réelle, les ux estmateurs peuvent présenter s blocages comme le montre le graphque drot la fgure 5. Auss, dfférentes stratéges d optmsaton peuvent être mses en œuvre pour tenter paller ces ux dffcultés, telles que - encadrer l estmaton l écart-type par s bornes défnes à partr la connassance a pror, - lmter les fortes varatons d estmaton l écart-type, - chosr alternatvement parm les 2 optma, - chosr l optmum prvlégant un résultat contrare au résultat courant, - mnmser alternatvement la varance la moyenne et celle l écart-type au leu maxmser le détermnant la matrce Fsher, etc. 3 Remplacement la phase d ntalsaton par un tratement bayésen La métho du maxmum vrasemblance ne peut être mse en œuvre qu après recouvrement entre s valeurs d essa condusant à l échec et au succès. Cette condton mpose une phase d ntalsaton dans la métho Neyer qu peut être remplacée par un tratement bayésen à partr la connassance a pror la moyenne ([µ mn + µ mn] / 2) et l écart-type, comme l ont déjà proposée H. A. Dror and D. M.Stenberg au moyen d une métho calculatore relatvement complexe [5]. Un tratement bayésen plus smple peut être également réalsé au moyen d un outl d optmsaton globale. Celu-c consste à transformer la connassance a pror en un mnmum résultats d essas vrtuels, au moyen ux boucles d optmsaton mbrquées. La premère estme les paramètres recherchés à partr résultats d essas vrtuels par la métho du maxmum vrasemblance sous le contrôle la secon qu velle à ce que la confguraton d essas conduse à une estmaton conforme à la connassance a pror tout en satsfasant la condton recouvrement (échec max > succès mn). Afn lmter le pods l a pror, la confguraton mnmale peut se lmter à 3 essas fctfs comme ndqué en fgure 6. prncpale prncpale Recherche Recherche la la confguraton confguraton d essas d essas X1, X1, X2, X2, X3 X3 Crtère Crtère µ µ µ µ a pror a pror a pror et σ σ a pror Contrante Echec max > Succès mn Contrante X Echec max > X Succès mn secondare secondare Estmaton Estmaton µ µ et et σ σ à partr partr X1 X1, X2, X3 par la métho du maxmum vrasemblance, X2, X3 par la métho du maxmum vrasemblance Fgure 6. Traducton la connassance a pror en essas vrtuels par ux boucles d optmsaton mbrquées Métho D-optmale / Système mono coup INIT Bayésen Moyenne Sgma X m 5,222 Mn Moyenne 4 3,896 s 1,072 Max Sgma 2 Sgma Vrasemblance 4,0289E-06 Détermnant 2924 Matrce Fsher C Valeur Ecart-type Résultat Echec Succès Vrasemblance x I 00 I 11 I 10 = I 01 D Moyenne Sgma X , ,04 0, E-05 3E-04-6E , ,03 0, ,03 0,697 0,862-0,775 1E , ,03 0, ,03 1,743 2,154-1,938 3E-04 4, , ,0243 0, ,024 0, ,024 2,485 4,251-0,69 10,09 4, ,367 7, ,6076 1, ,608 0, ,608 4,941 5,057-2,097 20,58 4, ,531 4, ,9489 1, ,949 0, ,949 6,163 8,229-0,128 50,7 4, ,266 6, ,0436 1, ,044 0, ,044 6,92 11,35-1,665 75,78 4, ,106 3, ,015 0, ,015 0, ,015 10,54 13,33 1, ,5 4, ,94 6, ,5187 0, ,519 0, ,519 12,43 18,1-1, , ,852 3, ,5781 0, ,578 0, ,578 17,75 18,68-0, ,5 4, ,735 5, ,3017 1, ,302 0, ,302 23,83 18,72 0, ,9 4, ,022 5, ,632 0, ,632 0, ,632 26,69 25,02-4, ,8 4, ,966 3, ,1404 0, ,14 0, ,14 32,18 29,05 0, ,3 4,9067 0,904 6, ,8577 0, ,858 0, ,858 36,39 35,86-4, , ,863 3, ,9204 1, ,92 0, ,92 43,5 38,87-0, , ,123 5, ,7234 1, ,723 0, ,723 47,7 47,11 5, , ,072 6, ,8959 3,896 52,99 55,2-0, ,8959 Fgure 7. Traducton l apror Cette métho orgnale tratement bayésen est mse en œuvre dans l exemple la fgure 7, où la connassance a pror µ = 4 et σ = 2 est remplacée par les 3 premères valeurs d essas vrtuels. Réalsée à partr ces essas, l estmaton par le

6 maxmum vrasemblance donne ans 4,03039 pour la moyenne et 2,049 pour l écart-type. La sute la procédure d essas est alors smlare à celle mse en œuvre dans la métho Neyer. Au terme la séquence d essas, l a pror peut être conservé ou supprmé lors l estmaton fnale s paramètres µ et σ par suppresson s tros essas fctfs, sous réserve que la condton recouvrement (overlap) reste satsfate. Afn paller une mauvase connassance a pror telle que celle l exemple proposé par Neyer, l apparat judceux réactualser la valeur s tros essas fctfs après chaque nouvel essa à partr l estmaton courante s paramètres, certes fondée sur l a pror mas également sur l ensemble s résultats s essas déjà réalsés. La métho planfcaton optmale fondée sur la D-optmalté et ce type tratement bayésen est désgnée sous le nom métho "Caboum". Evaluaton s améloratons apportées Une métho planfcaton d essas ne peut être évaluée que par une smulaton Monte-Carlo. En effet, une analyse fondée sur s essas réels ne permettrat pas prendre en compte la dversté s stuatons (valeurs s paramètres recherchés et la connassance a pror) ans que l aspect aléatore s résultats d essas, tout en nécesstant la structon massve composants relatvement onéreux dans le cas systèmes mono-coup. Auss, les dfférentes méthos planfcaton ont-elles été comparées par smulaton en cherchant à estmer les paramètres d une même lo fablté nconnue ; celle-c étant utlsée pour trer aléatorement les résultats chacun s essas. La comparason a porté sur la métho Neyer orgnale, amélorée cependant par l emplo d un outl d optmsaton globale et l absence d approxmaton dans les calculs, et la métho «Caboum» qu bénéfce d une stratége d optmsaton partculère pour lmter les rsques blocage ntfés au paragraphe 2. Une même lo fablté nconnue, caractérstques µ = 5 et σ = 2, a été recherchée au cours 60 campagnes smulées 50 essas planfés par chacune s ux méthos avec ux type connassance a pror. L une dte proche bonne qualté, sot µ a pror = 5,5 (Vmn = 5 et Vmax = 6 pour Neyer) et σ a pror = 3, l autre dte élognée qualté médocre, sot µ a pror = 1 (Vmn = 0,5 et Vmax = 1,5 pour Neyer) et σ a pror = 0,5. L erreur relatve moyenne s estmatons la moyenne et l écart type obtenues par les ux méthos après 30 à 50 essas est donnée en fgure 8. Erreur relatve la moyenne Erreur relatve l'écart type 12,00% 35,00% 10,00% 30,00% 8,00% 6,00% 4,00% 2,00% Caboum élogné Caboum proche Neyer élogné Neyer proche 25,00% 20,00% 15,00% 10,00% 5,00% Caboum élogné Caboum proche Neyer élogné Neyer proche 0,00% Nombre d'essas 0,00% Nombre d'essas Fgure 8. Erreur relatve moyenne s résultats obtenus au cours 60 séres d essas S l estmaton la moyenne est comparable dans tous les cas et relatvement bonne (8% d erreur en moyenne après 50 essas), l n en est pas même pour celle l écart-type qu est amélorée par la métho «Caboum», notamment et paradoxalement quand la connassance a pror n est pas bonne et mpose s varatons mportantes s estmateurs au cours s premers essas. Il est également à noter que la suppresson à terme s essas fctfs, qu sont recalculés après chaque essa, ne modfe que très peu les résultats obtenus. Ces premers résultats encourageants peuvent lasser espérer une réducton moyenne l ordre 10% s pèces à détrure pendant une campagne d essas (5 sur 50), d autant que s marges progresson subsstent dans la stratége d optmsaton employée. En effet, s problèmes convergence la métho D-optmale peuvent encore apparatre comme le montre la fgure 9 relatve à la vngt-uxème campagne d essas type élogné tratée par la métho Caboum. 8 6 Convergence s estmateurs (Caboum élogné) Nombre d'essas Moyenne Sgma Fgure 9. Vngt-uxème campagnes d essas

7 Concluson La métho Neyer dffère s autres méthos d estmaton fablté s systèmes monocoup par l emplo tratements statstques après chaque essa (maxmum vrasemblance et D-optmalté) afn d amélorer la précson s résultats ou dmnuer le nombre pèces détrutes. Elle peut être cependant amélorée par l utlsaton d un outl d optmsaton globale qu s affrancht s optma multples et évte toute smplfcaton dans les calculs. De plus, sa phase d ntalsaton peut être avantageusement remplacée par la mse en œuvre d une technque bayésenne consstant à transformer la connassance a pror en essas fctfs au moyen ux boucles d optmsaton mbrquées. Désgnée dorénavant sous le nom «Caboum», cette métho planfcaton optmale est susceptble d amélorer les résultats d essas et dmnuer leur coût comme cela a été c démontré c par smulaton, en lassant espérer une réducton l ordre 10% s pèces à détrure pendant une campagne d essas, par rapport à la métho Neyer. Supportée par l outl d optmsaton Gencab la socété Cab Innovaton, cette métho peut être généralsée à la plupart s plans d expérences, dont les essas accélérés fablté ou dégradaton, pour caractérser les courbes réponse [10]. R é f é r e n c e s [1] Barry T. Neyer, A D-Optmalty-Based Senstvty Test, Reprnted from TECHNOMETRICS, February 1994, Vol 36, No 1, Pages http//neyersoftware.com/papers/d-optmal/d-optmal.htm [2] Optmal sgn, from the free encyclopeda Wkpeda. https//en.wkpeda.org/wk/optmal_sgn [3] Smth, Krstne (1918). "On the standard vatons of adjusted and nterpolated values of an observed polynomal functon and ts constants and the gudance they gve towards a proper choce of the dstrbuton of observatons". Bometrka [4] Guttorp, P.; Lndgren, G. (2009). "Karl Pearson and the Scandnavan school of statstcs". Internatonal Statstcal Revew [5] H. A. Dror and D. M. Stenberg (2008), "Sequental Expermental Desgns for Generalzed Lnear Mols," Journal of the Amercan Statstcal Assocaton, 103, Number 481, http// [6] A. Cabarbaye, TP N 60 - Test sensblté et fablté s systèmes pyrotechnques http// [7] A. Cabarbaye. Outl générque d optmsaton dans le domane dscret et/ou contnu éventuellement stochastque, ROADEF 03 - Avgnon, [8] A. Cabarbaye, Une plateforme open source d'optmsaton générque hautement dstrbuée, ROADEF Compègne [9] A. Cabarbaye, A. Tanguy, S. Bosse, Adjustment of complex probablstc mols and estmaton of confnce ntervals n a dscrete manner, PSAM11 & ESREL 2012, June 2012, Helsnk [10] A. Cabarbaye, M. Poulgny, C. Etcheverry, S. Bosse, Métho générque planfcaton optmale s essas fablté et dégradaton, Lambda mu 20, 11-13/10/2016, Sant Malo

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