Les ensembles. Représentation graphique : On peut représenter les ensembles par le diagramme de Venn ou le diagramme de Caroll : b b

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1 Les ensembles 1 Définitions et notations 1.1 Notation d ensemble, ensembles des nombres nsembles xiome : Un ensemble est un groupement d objets, on notera un ensemble. Un objet a est dans se note a. Un objet a n est pas dans se note a /. L expression a / étant la négation de a. Deux ensembles sont égaux si et seulement s ils ont les mêmes éléments. Quand un ensemble possède des éléments x ayant la une propriété P (x) alors on peut définir un ensemble tel que = {x ; P (x)} se lit l ensemble des x dans tels que x vérifie P (x). = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} ; = {x ; x est impair } = {1; 3; 5}. On dit alors que est un sous-ensemble (ou partie) de, ou est inclus dans, on note alors soit x, x Deux ensembles et sont égaux si et seulement si ( ) et ( ) : = ( ) ( ) L ensemble vide est un ensemble de qui n a aucun élément. Il est en effet inclus dans, il suffit de considérer l ensemble à aucun élément {x ; x x}. insi le vide est un sous-ensemble de tout ensemble. On le note = {} Représentation graphique : On peut représenter les ensembles par le diagramme de Venn ou le diagramme de Caroll : Diagramme de Venn Diagramme de Caroll b b a a ; a ; b / S.Mirbel page 1 / 11

2 1.1.2 Cardinal Soit un ensemble ayant un nombre fini d éléments. On appelle cardinal de, noté, le nombre d éléments de. = 0 ; {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} = nsembles des nombres N = {0; 1; 2; 3; 4;...} est l ensemble des entiers naturels Z = {...; 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4;...} est l ensemble des entiers relatifs D = { a b ; (a Z) (b Z, b = 10n, n N)} est l ensemble des nombres décimaux. Q = { a b ; (a Z) (b Z, b 0)} est l ensemble des nombres rationnels. R est l ensemble des nombres réels, c est à dire tous les nombres des ensembles précédents, les radicaux, les nombres comme π, e... Remarque : N Z D Q R Les sous-ensembles classiques de R R = {x R; x 0} Les intervalles de R : [a; b] = {x R; a x b} ] ; b] = {x R; x b} ]a; b[= {x R; a < x < b} ] ; b[= {x R; x < b} ]a; b] = {x R; a < x b} [a; + [= {x R; a x} [a; b[= {x R; a x < b} ]a; + [= {x R; a < x} ] ; + [= R ; ] ; 0] = R ; [0; + [= R Parties d un ensemble L ensemble des parties de est noté P(). Soit un ensemble qui possède un élément : = {a}. P({a}) = {{a}; }. Pour un éléments de on compte 2 parties de. Soit un ensemble qui possède deux éléments : = {a; b}. P({a; b}) = {{a; b}; {a}; {b}; }. Pour deux éléments de on compte 4 parties de. Pour trois éléments de on compte 8 parties de. Soit un ensemble qui possède trois éléments : = {a; b; c}. P({a; b; c}) = {{a; b; c}; {a; b}; {a; c}; {b; c}; {a}; {b}; {c}; }. Pour trois éléments de on compte 8 parties de. Théorème : Soit un ensemble qui contient n éléments. Dans l ensemble, il y a 2 n parties. P() = 2 Démonstration : par récurrence Soit la proposition P (x) : si est une partie contenant n éléments alors le nombre de partie de est 2 n. Initialisation : On vérifie que la proposition P (0) est vraie : =, ne contient qu une seule partie et 2 0 = 1. La proposition P (0) est vraie. Hérédité : Pour un rang fixé n, on suppose la propriété P (n) (attention, on ne dit pas que la propriété P (n) est vraie pour tout nombre n). Montrons que P (n) P (n + 1) : P (n) : si est une partie contenant n éléments alors le nombre de partie de est 2 n. S.Mirbel page 2 / 11

3 Soit un ensemble un élément e tel que e / et = {e}. Le nombre de parties supplémentaires que nous pouvons former ce nouvel élément est le double (toutes les parties de plus toutes celles de auxquelles on a ajouté l élément e). insi le nombre de parties de est 2 2 n = 2 n+1 et on a P (n) P (n + 1). Conclusion : P (0) est vraie, un ensemble n ayant pas d élément possède 2 0 partie. Par hérédité, un ensemble ayant un élément possède 2 1 parties, soit P (1) est vraie, puis un ensemble ayant deux éléments possède 2 2 parties, soit P (2) vraie... (rappel : une proposition vraie ne peut impliquée qu une proposition vraie, l initialisation est donc très importante pour que par hérédité la proposition P (n) soit vraie pour tout entier n.) xercice-exemple : Donner les parties de = {a; b; c; d} ; en déduire les parties de F = {a; b; c; d; e}. S.Mirbel page 3 / 11

4 2 Opérations sur des ensembles 2.1 Intersection Soient un ensemble et et deux parties de. L intersection de deux parties et est l ensemble des éléments communs à et. = {x ; (x ) (x )}. Remarque : et. Diagramme de Venn Diagramme de Caroll e e e xercice-exemple : 1. = {2; 4; 16; 256} ; = {1; 2; 4; 8; 16; 32}. Donner les éléments de. 2. =] ; 3] ; = [0; + [. Donner l intervalle de. 3. Simplifier R R + 4. Simplifier Q N 5. Simplifier [ 1; 0[ [0; 10] Propriétés : Soient un ensemble et, et C trois parties de. Commutativité : = ssociativité : ( ) C = ( C) Élément neutre : = Relation avec le vide : Idem potence : utres : = = = (C ) (C ) C S.Mirbel page 4 / 11

5 2.2 Réunion Soient un ensemble et et deux parties de. La réunion de deux parties et est l ensemble des éléments qui appartiennent soit à soit à (soit à ). = {x ; (x ) (x )}. Remarque : ; ;. Diagramme de Venn Diagramme de Caroll f e e f est l ensemble grisé, e et f xercice-exemple : 1. = {2; 4; 16; 256} ; = {1; 2; 4; 8; 16; 32}. Donner les éléments de. 2. =] ; 3] ; = [0; + [. Donner l intervalle de. 3. Simplifier R R + 4. Simplifier Q N 5. Simplifier [ 1; 0[ [0; 10] Propriétés : Soient un ensemble et, et C trois parties de. Commutativité : = ssociativité : ( ) C = ( C) Élément neutre : = Relation avec l ensemble complet : Idem potence : utres : Distributivité doubles : = = = C et C ( C) = ( ) ( C) ( C) = ( ) ( C) S.Mirbel page 5 / 11

6 2.3 Complémentaire. Soient un ensemble et une partie de. Le complémentaire de est l ensemble des éléments de qui ne sont pas dans. Diagramme de Venn Ā = {x ; x / }. Diagramme de Caroll b b a a Ā Ā ; a ; b Ā xercice-exemple : 1. =] ; 3]. Donner l intervalle de Ā. 2. Dans R, donner des exemples d éléments du complémentaire de l ensemble. 3. Soit = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} et = {0; 1} et = {0; 2; 4}. Donner l ensemble ; ; Ā ; Ā. Propriétés : Soient un ensemble et, et C trois parties de. Lois de De Morgan : Ā = = Ē = Ā = et Ā = Ā = Ā et = Ā Soit un ensemble et et deux sous-ensembles non vides de. On dit que et forment une partition de si elles sont distinctes et qu elles donnent tous les éléments de : = = Soit l ensemble des entiers naturels N = {0; 1; 2; 3; 4;...}. On peut donner une partition de N en trois ensembles : les multiples de 3, soit {0; 3; 6; 9;...}, les entiers qui ont 1 comme reste par la division par 3, soit {1; 4; 7;...}, les entiers qui ont 2 comme reste par la division par 3, soit {2; 5; 8;...}. Remarque : et Ā forment une partition de. S.Mirbel page 6 / 11

7 3 Produit cartésien et représentations 3.1 Couples Soit et F deux ensembles, x un élément de et y un élément de F. On définit alors le couple (x; y) tels que : (x; y) = (x ; y ) (x = x ) (y = y ) 3.2 Produit cartésien le produit cartésien de deux ensembles et F noté F est l ensemble des couples (x; y) tels que x est dans et y est dans F : F = {(x; y); (x ) (y F )} Théorème : Soit et F deux ensembles finis tels que = n et F = m. Le produit cartésien F possède nm éléments. xercice-exemple : = {a; b; c} et F = {; } 1. Écrire les éléments de F, donner F 2. Écrire les éléments de, donner S.Mirbel page 7 / 11

8 3.3 Représentations : Cas de produit cartésien fini Soit et F deux ensembles finis. Le produit cartésien peut être présenté dans un tableau ou sous forme de graphique. = {a; b; c} et F = {; } Représentation graphique : a b c F (a; ) (b; ) (c; ) (a; ) (b; ) (c; ) F a b c S.Mirbel page 8 / 11

9 3.3.2 Cas de produit cartésien infini On représente chaque ensemble et F par des axes orthogonaux (représentation de Descartes) : = [ 1; 1] et F = [0; 2]. F 2 y M x S.Mirbel page 9 / 11

10 3.4 Sous-ensemble d un produit cartésien = {a; b; c} et F = {; } On a ainsi F = {(a; ); (b; ); (c; ); (a; ); (b; ); (c; )}. Soit Z le sous-ensemble de F tel que Z = {(a; ); (a; ); (b; ); (c; )}. Il est évident de les remarquer dans le tableau et dans la représentation cartésienne. On définit un représentation sagittale de Z comme ci-dessous : a b c 3.5 Relations binaires dans un produit cartésien Soit le produit cartésien F. Définition-théorème : On appelle relation R une propriété sur l ensemble des couples (x; y) de F. Si x est en relation avec y, on note alors xry (le relation est vraie pour le couple (x; y)). Une propriété définit un sous ensemble Z de F pour lequel elle est vraie (Z = {(x; y) F ; xry}), on appelle ce sous-ensemble le graphe de la relation R. Réciproquement, tout couple (x; y) d un sous-ensemble Z de F définit une relation R. Lorsque = F on dit que la relation est sur. xercice-exemple : 1. Représenter dans un repère orthogonal (ensemble cartésien de R R = R 2 ), la relation x = y sur R. 2. Soit = {0; 1} et F = {2; 4}. (a) Décrire l ensemble F. (b) On définit la relation R : x + y est pair, pour (x ) (y F ). Faire une représentation sagittale de la relation R. Donner les éléments de la relation R. S.Mirbel page 10 / 11

11 3.6 Propriétés des relations Définitions : Soit et F deux ensembles et F leur produit cartésien. Soit une relation R qui définit un sous-ensemble Z de F et un couple (x; y) de Z et z F. La relation R est réflexive si xrx. Dans l ensemble des entiers naturels, la relation est diviseur de est réflexive. La relation = est réflexive. La relation < n est pas réflexive. La relation R est symétrique si (xry) (yrx). La relation = est symétrique. La relation n est pas symétrique. La relation R est antisymétrique faible si (xry) ( (yrx) (x = y)). La relation est antisymétrique faible. La relation R est antisymétrique forte si (xry) (yrx). La relation < est antisymétrique forte. La relation R est transitive si ((xry) (yrz)) (xrz). La relation < est transitive. Une relation d ordre est une relation qui est réflexive, antisymétrique et transitive. Une relation d équivalence est une relation qui est réflexive, symétrique et transitive. xemples : est une relation d ordre. = est une relation d équivalence. S.Mirbel page 11 / 11

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