Les ensembles de solutions des systèmes linéaires Algèbre linéaire I MATH 1057 F

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1 Les ensembles de solutions des systèmes linéaires Algèbre linéaire I MATH 157 F Julien Dompierre Département de mathématiques et d informatique Université Laurentienne Sudbury, 16 janvier 211

2 Les systèmes linéaires homogènes (p. 5) Définition Un système d équations linéaires est dit homogène s il s écrit sous la forme Ax =, où A est une matrice de taille m n et est le vecteur nul de IR m. Exemple 1 : x 1 + 1x 2 = 2x 1 + 2x 2 = Ce système d équations se met sous la forme Ax = avec [ ] 1 1 A = 2 2

3 Les systèmes linéaires homogènes (p. 5) Exemple 1 : Calculons [ ] A = Le vecteur nul, = [ [ ][ ] = [.. ], est une solution du système homogène. Un système d équations linéaires homogène admet toujours au moins une solution, à savoir x = (le vecteur nul de IR n ). Définition Cette solution nulle est habituellement appelée la solution triviale. On appelle solution non triviale une solution non nulle d un système d équations linéaires homogène. ]

4 Les systèmes linéaires homogènes (p. 5) Exemple 1 : L équation a-t-elle des solutions non triviales? [ ] [ ] C est un système compatible avec une variable libre (x 2 ). Il y a une infinité de solutions. Donc, il existe des solutions non triviales.

5 Théorème d existence et d unicité (p. 24) Théorème (rappel) Un système linéaire est compatible si et seulement si la colonne de droite de la matrice augmentée n est pas une colonne pivot, c est-à-dire si et seulement si une forme échelonnée de la matrice augmentée n a pas de ligne de la forme [ b ] avec b non nul. Dans le cas d un système linéaire compatible, l ensemble des solutions se compose d une solution unique s il n y a pas de variables libres, ou se compose d une infinité de solutions dès qu il y a au moins une variable libre. Corollaire L équation matricielle homogène Ax = admet une solution non triviale si et seulement si l équation a au moins une variable libre.

6 Les systèmes linéaires homogènes (p. 5) Exemple 2 : Déterminer l ensemble des solutions du système linéaire homogène suivant. 2x 1 + 4x 2 6x 3 = 4x 1 + 8x 2 1x 3 = Solution : Il y a au moins une variable libre (pourquoi?). Donc il existe des solutions non triviales. [ ] [ ] [ ] [ ] 1 2 1

7 Les systèmes linéaires homogènes (p. 5) Exemple 2 (suite) : x = On pose v = 2 1 x 1 x 2 x 3 x 1 = 2x 2 est libre x 2 x 3 = 2x 2 = x 2 = x L ensemble des solutions du système est l ensemble des multiples scalaires de v, L{v} i.e. tous les vecteurs tv, où t est un nombre réel. Géométriquement, c est une droite passant par l origine.

8 Équations paramétriques (p. 52) Définition L équation x = tv, avec le paramètre t dans IR, est une équation vectorielle paramétrique d une droite passant par. L équation x = su + tv, avec les paramètres s et t dans IR, est une équation vectorielle paramétrique d un plan passant par.

9 Les systèmes linéaires non homogènes (p. 52) Ax = b, avec b Exemple 3 : 2x 1 + 4x 2 6x 3 = 4x 1 + 8x 2 1x 3 = 4 [ ] [ ] x 1 x = x 2 = = + x 2 On pose p = x x 2 x 2 2 et v = L ensemble des solutions du système est l ensemble des vecteurs p + tv, où t est un nombre réel.

10 Équations paramétriques (p. 53) Définition L équation x = p + tv, avec le paramètre t dans IR, est une équation vectorielle paramétrique d une droite passant par p et parallèle à v. L équation x = p + su + tv, avec les paramètres s et t dans IR, est une équation vectorielle paramétrique d un plan passant par p et parallèle au plan généré par les vecteurs u et v.

11 Récapitulation des exemples 2 et 3 Exemple 2 : Système homogène Ax =. 2 x = t 1 = tv x = tv est l équation paramétrique d une ligne passant par l origine et parallèle à v. Exemple 3 : Système non homogène Ax = b. x = t 2 1 = p + tv x = p + tv est l équation paramétrique d une ligne passant par le point p et parallèle à v.

12 Récapitulation des exemples 2 et 3 Fig 5. Les ensembles de solutions de Ax = et de Ax = b. Ils sont parallèles.

13 Solution générale = solution particulière + solution homogène (p. 53) Théorème On suppose que l équation Ax = b est compatible pour un certain vecteur b donné et que p en est une solution. Alors l ensemble des solutions de Ax = b est l ensemble de tous les vecteurs de la forme w = p + v h, où v h est une solution quelconque de l équation homogène Ax =. En d autres mots, si Ax = b admet une solution, alors l ensemble des solutions s obtient en translatant l ensemble des solutions de Ax = d un vecteur p, où p est une solution particulière quelconque de Ax = b.

14 Algorithme pour trouver l ensemble des solutions (p. 54) 1. Réduire la matrice augmentée à la forme échelonnée réduite. 2. Si la colonne de droite de la matrice augmentée réduite est une colonne pivot, alors 2.1 Le système n a pas de solution 2.2 Stop 3. Sinon (il y a une ou plusieurs solutions) 3.1 Si il n y a pas de variable libre, alors La solution est unique Stop 3.2 Sinon (il y a plusieurs solutions) Exprimer chaque variable de base en fonction des variables libres Écrire une solution particulière x sous la forme d un vecteur dont les éléments dépendent des variables libres Décomposer x en une combinaison linéaire de vecteurs en se servant des variables libres comme paramètres Stop

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