Familles sommables. Marc SAGE. 18 novembre Familles positives Dé nitions... 6

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1 Famlles sommables Marc AGE 8 ovembre 24 Table des matères Famlles postves 2. Dé tos utes exhaustves Théroème de Fub, verso fable Théorème de Fub, verso forte Famlles sommables das u Baach 6 2. Dé tos Théorème de Fub Cas des séres réelles sem-covergetes Quelques applcatos 9 3. Expoetelle das ue algèbre de Baach Foctos aalytques Aalytcté et sommablté rodut de foctos aalytques Logarthme d ue focto aalytque Composée d ue focto aalytque par ue applcato léare Résumé Etat doée ue famlle e de réels (x ) 2I, o sat faclemet dé r la somme 2I x de cette famlle, comformémet à otre tuto, e ajoutat les x u par u das mporte quel ordre. Qu e est-l des famlles es? Les séres ous motret les problèmes lés o seulemet à la covergece mas auss à l ordre de sommato (cas des séres sem-covergetes). Les famlles sommables proposet u cadre agréable pour s a rachr de ces cotrates.

2 Famlles postves O e cosdère das cette parte que des famlles ( ) k2d réelles postves à valeurs das R + dexées par u esemble D (comme domae). E pratque, D sera la plupart du temps N ou N, d où le chox de la varable k pour parcourr D. Le chox de la termologe domae (au leu d esemble tout smplemet) sera just é e temps voulu. O pourra être ameé, pour des rasos de commodté, à cosdérer R + = R + [ fg dot o rappelle les proprétés basques : 8a 2 R; a < (c est-à-dre = max R + ), + a = a + = ; et + =.. Dé tos Dé to. O dt qu ue famlle de réels postfs ( ) k2d est sommable s 9M > ; 8A das D; 2A x < M: O dé t la somme de la famlle ( ) k2d (sommable ou o) par : = sup k2d 2A où le supremum court sur tous les sous-esembles s A de D = D. Observer que la somme k2d est e s et seulemet s la famlle est sommable et vaut das le cas cotrare. Noter égalemet la cohérece das le cas d ue famlle e. O a de plus la proprété évdete : 8D D; : k2d k2d x O se restredra par la sute au cas où le domae d dexato D est au plus déombrable. Outre le fat qu e pratque o a toujours a are à des famlles au plus déombrables (dexées typquemet par N ou N 2 ), ue des rasos est le lemme suvat : Lemme (L). ( ) k2d est sommable, alors fk 2 D ; 6= g (appelé support de la famlle) est au plus déombrable. ot M u majorat de la somme k2d. L esemble D p := fk 2 D ; cardal Mp : M =p #D p. k2d k2d p La réuo p= Dp est doc déombrable ; or elle cotet le support, CQFD. > =pg est alors de.2 utes exhaustves Motros à préset que, pour obter la somme d ue famlle, o peut sommer les élémets du domae u par u, et ce das mporte quel ordre. Cela fat l objet du procha théorème. Dé to. O appelle sute exhaustve de D toute sute crossate (A ) de sous-esembles s de D dot la réuo vaut D. O dra alors que (A ) épuse D, et o otera (A ) D. Remarquer qu alors D est au plus déombrable, et que récproquemet tout esemble au plus déombrable D admet u sute exhaustve : s D = 2N fag, predre la sute (fa; :::; a kg) k2n. Lemme (L2). 2

3 (A ) épuse D et s A est u sous-esemble de D, alors 9N > ; A A pour > N. A = fa ; :::; a pg, chaque a N = max '(). est das D = 2N A, doc das u A '(), et l su t de predre Cela just e le terme de sute exhaustve : la sute "épuse" le domae D e recouvrat tout sous-domae à partr d u certa rag. Théorème (T). ( ) est ue famlle sur D (sommable ou o) et s (A ) épuse D, alors : = lm. k2d Cosdéros pour cela la sute s =, crossate car les A crosset (et car les sot postfs ). la famlle est pas sommable, (s ) est pas borée ; e e et, e cosdérat par l absurde u de ses majorats M, o peut trouver u sous-esemble A de D tel que k2a > M, et d après le lemme L2 A est das les A à patr d u certa rag N, d où s N = k2a N k2a > M, absurde par dé to de M. O e tre lm s = =. Das le cas où les sot sommables, (s ) est borée par = k2d, doc coverge vers u réel l. l <, posos " = l > ; par dé to de = k2d, o peut trouver u sous-esemble A de D tel que k2a > " = l, et comme das le premer cas A est das les A à partr d u certa rag N, d où s N k2a > l, absurde. O e tre lm s = l = = k2d. O a motré meux que prévu : s o somme les élémets du domae D e rajoutat u ombre d élémets à chaque étape, alors o obtet la somme de la famlle. Il revet au même de dre qu état doée ue partto du domae D e sous-domaes s, o peut obter la somme sur le domae D tout eter e ajoutat das mporte quel orde les sommes sur les sous-domaes cosdérés. O peut se demader d ue part s le théorème T admet ue récproque (cf. proposto suvate), d autre part s l reste valable s les sous-domaes parttoat D e sot plus supposés s (cf. théorème de Fub au paragraphe suvat). Récproque (R). ot ( ) ue famlle sur D. o trouve ue sute exaustve (A ) D telle que lm sot, alors les ( ) sot sommables et k2d = lm. o trouve ue sute exaustve (A ) sommables. D telle que lm =, alors les ( ) e sot pas Démostrato : cosdéros das le premer cas A u sous-esemble de D. D après le lemme L2, A est das les A à partr d u certa rag N, d où k2a k2a N lm qu est dépedat de A, d où la sommablté voulue, et o applque le ses drect pour obter l égalté des sommes. Das le deuxème cas, s les ( ) étaet sommables, o aurat u majorat M de k2a dépedat du sous-esemble A de D chos ; or lm =, doc à partr d u certa rag > M, ce qu est mpossble Remarquer que les deux cas evsagés das la récproque sot les seuls possbles, cec à cause de la crossace de 2A k. 2N assos mateat à la gééralsato du théorème T: 3

4 .3 Théroème de Fub, verso fable Ue autre faço de sommer ue famlle e cosste à regrouper les élémets du domae par paquets, de sommer sur chaque paquet, pus d ajouter les sommes obteues. Cela reste valable pour les famlles sommables e gééral (o écessaremet es), quel que sot le regroupemet par paquets chos. Lemme (L3). ot D u esemble au plus déombrable. `2I D est ue partto de D ce qu, rappelos-le, mpose D 6= ;, alors I est au plus déombrable. E e et, sot ' l applcato qu à u élémet x de D assoce l dce tel que x 2 D ( exste et est uque car les D parttoet D). ' va de D das I, et est surjectve. ot e e et das I ; par dé to D est o vde, doc cotet u x 2 D, et o a alors claremet '(x) =. As, pusque les domaes D que l o mapule sot toujours déombrables, les parttos de D cosdérées le serot égalemet. Théorème fable de Fub (T2) : ot ( ) ue famlle sommable sur D et de D e sous-domaes ( I est doc au plus déombrable). O a alors : =. k2d 2I k2d `2I D ue partto ot M u majorat de k2d. Tout d abord, ( ) est sommable sur D pour tout ; e e et, D D, doc k2d k2d qu est par hypothèse. Les ombres k2d sot par coséquet des réels postfs, et o peut doc parler k2d. de leur somme 2I Motros esute que les paquets k2d sot sommables sur I. ot J sous-esemble de I et, pour chaque, (A ) 2N ue sute exaustve de D (possble car les D sot au plus déombrables). O a alors, e applquat le théorème T, et car J est : = lm 2J k2d 2J (l esemble de sommato est clus das D : = lm A 2J 2J = lm k2 A 2J D D = D). 2J 2I M Calculos e la somme des paquets. ot (J p) I (toujours possble car I est au plus déombrable) : ar alleurs, à p xé, 2I 2J p A k2d = lm 2N p 2J p = lm lm p croît vers = lm lm p k2d 2J p = lm lm p 2J p A = A = D, 2N 2J p 2J p 2N 2J p doc épuse D. O e dédut (e applquat le théorème T) : 2J p lm lm = lm = p k2 p k2 D k2d état doé que 2J p D p2n épuse D. A 2Jp 2Jp k2 A 2Jp. 4

5 Récproque (R2). ot ( ) ue famlle sur D. o peut trouver ue partto `2I D de D telle que les paquets k2d soet s et sommables sur I, alors ( ) est sommable sur D et =. k2d 2I k2d ot A u sous-esemble de D, et M u majorat de 2I k2d. O a : A = A \ D = A \ ` D = ` A \ D = ` A \ D où J est u sous-esemble de I (A est ), doc : 2I 2I 2J = M k2a 2J k2a\d 2J k2d qu est dépedat de A, doc les ( ) sot sommables, et o applque le ses drect pour obter l égalté des sommes. O éted à préset le théorème T2 au cas des famlles quelcoques, o écéssaremet sommables..4 Théorème de Fub, verso forte O cosdère désormas des famlles (toujours au plus déombrables) à valeurs postves das R +, e coservat les mêmes dé tos de la sommablté et de la somme d ue famlle. Fub se gééralse à de telles famlles. Lemme (L4). ( ) k2d est ue famlle d élémet de R + qu cotet, alors k2d =. ot k 2 D tel que = ; pusque fk g est u sous-esemble de D, o a k2d k2fk g =. Théorème de Fub (T3) ot ( ) ue famlle quelcoque (o écessaremet sommable) d élémets de R + sur D et ue partto de D. O a alors : =. k2d 2I k2d `2I D les ( ) sot sommables, ls sot écessaremet tous s d après le lemme L4, doc T2 s applque. Das le cas cotrare, o a k2d =. 9 2 I; k2d =, o a d après le lemme L4 2I k2d = = k2d. o, tous les sot s ; sot alors (J ) I, et cosdéros la sute crossate de réels x 2J k2d k. elle état borée, elle covergerat vers u réel l et les 2N paquets k2d seraet sommables e vertu de la récproque R, a fortor les ( ) seraet sommables d après la récproque R2, absurde. Doc elle dverge vers, d où (e applquat T) = lm = =. 2I k2d k2d k2d 2J Ue premère applcato pratque du théorème de Fub est de pouvor tervertr des sges de sommato. 5

6 Cosdéros e e et ue famlle (x p;q) sommable sur N 2. E partoat N 2 e N 2 = ` ` (p; q) = ` D p2n q2n 2I (o a posé I = N et D = ` (; q)), ce qu revet, das u repère avec p e abscsse et q e ordoée, à q2n vor le domae N 2 comme u réuo de drotes vertcales, o obtet : x p;q = x p;q = (p;q)2n 2 2I (p;q)2d p2n q2n x p;q, d où par symétre : p2n q2n x p;q = q2n p2n x p;q. Isstos à préset sur le terme de domae utlsé pour D. Il est e e et mportat de vor l esemble sur lequel o somme, a de vsualser d évetuelles parttos. Il est as beaucoup plus clar de dre "o parttoe N 2 selo ses drotes de petes, d où p;q xp;q = k p+q=k xp;q" plutôt que de passer par des méadres formelles comme "sot la partto au plus déombrable N = `k2n f(p; q) 2 N2 / p+q = kg ; o peut applquer le théorème de Fub, d où (p;q)2n x 2 p;q = k2n (p;q)2 `k2n xp;q". f(p;q)2n2 =p+q=kg C est pour ces rasos que l auteur préfère le terme domae au terme esemble, a de fare mplctemet appel à otre vsualsato de l esemble coceré. Ue autre applcato de ce théorème est de pouvor calculer la somme d ue famlle postve sas savor au préalable s elle est sommable ou o (c est-à-dre sas vér er les codtos d applcatos du théorème de Fub verso fable). ar exemple, pour la famlle postve p;q = 2 pq(p + q) = 2 p= pq(p+q) p+q= p;q, o a : pq(p + q) = 2 p + p = 2 2 p= p( p) p= 2 p = 2 H 2 2 où H désge la sére harmoque. Or H = O(l ), doc H = O( l ) = O( ) et la somme trouvée 2 2 3=2 coverge. O peut doc e dédure que la famlle est sommable (so sa somme, qu o vet de calculer, vaudrat ) de somme 2 2 H 2. pq(p+q) p;q 2 Famlles sommables das u Baach O se place désormas das u espace vectorel ormé E complet (c est-à-dre où toute sute de Cauchy coverge). O cherche à quelles codtos sur la famlle ( ) k2d o peut dé r sa somme et s l o peut retrouver des théorèmes aalogues au cas des famlles postves. Comme das les autres paragraphes, o supposera le domae D au plus déombrable. 2. Dé tos Dé to. O dt qu ue famlle ( ) k2d de E est sommable s la famlle (k k) k2d est sommable. O e pas dé r la somme à l ade de sup comme das le cas postf, faute de relato d ordre. Cepedat, le théorème T ous doe ue dé to e termes de lmtes ; c est celle-là que ous predros. Dé to - roposto. ot ( ) k2d ue famlle sommable et (A ) D. La lmte lm exste et e déped pas de la sute exaustve chose ; o l appelle somme de la famlle ( ) k2d et o la ote k2d. 6

7 a : ot s = ; motros que (s ) est de Cauchy. E e et, soet et p des eters postfs ; o ks +p s k = +p = +p A k k = k k k k. +p A +p Or la sute = k k coverge car les sot sommables, doc est de Cauchy, doc (s ) auss. O e dédut l exstece de l = lm. Motros à préset que la lmte e déped pas de la sute exhaustve chose. ot (A ) D, s = k2a x k et l = lm k2a. O costrut par récurrece (à l ade du lemme L2) des extratrces (sutes de N das N strctemet crossates) ' et telles que A '() A () A '(2) A (2) A '(3) A (3)::: O a alors 8 2 N, kl lk l s () + s () s '() + s'() l. Les premer et trosème termes tedet vers. Quat au secod : s () s '() = = k2a k2a () '() k2a () A '() k k k k k2a '(+) A '() l ted auss vers. D où l égalté des lmtes. k2a () A '() = '(+) '(), O se gardera d utlser toute forme de récproque das le cas gééral. Cosdérer par exemple la famlle (( ) ) 2N as que la sute exhaustve A = f; :::; 2g : o a lm ( ) k = lm 2 k= ( )k = lm =, et pourtat la famlle est pas sommable. U des térêts de la dé to de la somme d ue famlle sommable à l ade de lmtes est de pouvor retrouver le théorème de Fub verso fable écessaremet, car la somme d ue famlle quelcoque est e gééral pas dé e. E e et, la démostrato de T2 reposat essetellemet sur T, o peut s attedre à retrouver u aalogue de T2 e suvat exactemet la même démarche. 2.2 Théorème de Fub Lemme (L5). ot ( ) ue famlle sommable sur D. Alors : k k. k2d k2d O se ramème à ue somme e (pour pouvor applquer l égalté tragulare) e cosdérat (A ) D : = lm = lm k2d lm k k = k k. k2d Théorème de Fub (T4). 7

8 ot ( ) ue famlle sommable sur D et `2I D ue partto de D. O a alors : =. k2d 2I k2d O repred pas à pas la démostrato de T2. ot M u majorat de k2d kk. Tout d abord, ( ) est sommable sur D pour tout ; e e et, D D, doc k2d k k k2d kk qu est par hypothèse. Motros esute que les paquets k2d sot sommables sur I. ot J sous-esemble de I, et pour chaque, (A ) 2N ue sute exaustve de D (possble car les D sot au plus déombrables). O a alors (e applquat L5 et T) : car 2J A 2J k2d k k = lm 2J k2d 2J D D = D pour tout. 2J 2I k k = lm 2J k k = lm k2 A 2J k k M Calculos e la somme des paquets. ot (J p) I (toujours possble car I est au plus déombrable) : 2I car = lm lm p k2d 2J p 2J p A 2N 2J p D et = lm lm p 2J p D p2n 2J p D. = lm lm p k2 A 2Jp = lm p k2 2Jp = D k2d Ecore ue fos, Fub admet pas de récproque das u Baach quelcoque. O peut (ecore) cosdérer la famlle (( ) ) 2N et la partto N = ` f2; 2 + g ; les paquets sot tous uls, doc la somme = des paquets exste, et pourtat la famlle est pas sommable. O peut même trouver ue autre partto où les paquets sot sommables, de somme d érete que la premère : N = fg ` f2 ; 2g. = our motrer à quel pot la récproque de Fub est fausse, motros e complémet qu état doée ue sére réelle sem-covergete, o peut réagecer ses termes de faço à la fare coverger vers mporte quo. 2.3 Cas des séres réelles sem-covergetes O rappelle qu ue sére (à valeurs das u Baach) est ue sute du type = 2N x, gééralemet otée = x ou ( x) qu elle est dte covergete s lm = x exste (o ote alors la lmte = x ou x ), dvergete so, et sem-covergete s ( x ) coverge et ( jx j) dverge (par exemple ( ). ) roposto. ot ( x ) ue sére réelle sem-covergete et a u réel. Il exste alors ue permutato ' de N telle que x '() = a. Démostrato : Notos + l esemble des x postfs, et l esemble des x égatfs. Tout d abord, + et sot s. o, s l u des deux est, les x sot tous postfs (ou tous égatfs) à partr d u certa rag, et doc x exste s et seulemet s jx j exste, absurde par sem-covergece des x. O otera alors + = x () ; x (2) ; ::: ( pour postf) où et sot des extractrces. = x () ; x (2) ; ::: ( pour égatf) 8

9 Deuxèmemet, l faut remarquer que x() = et x () =. E e et, supposos par l absurde que = x () sot. Alors = = jxj = = x() + = x() = + = x(), doc = x() =. Mas alors la sére ( x) e peut coverger, car les termes égatfs l emportet sur les termes postfs : e désgat u majorat M de la somme x (), le terme () = x est majoré par M + = x () qu dverge vers. Doc =, et de même =. O peut mateat costrure la permutato ' voulue, e procèdat de la faço suvate : e partat d u terme quelcoque x (supposos x a), o lu ajoute des termes x () postfs jusqu à ce que la somme devee > a (o s arrête précsémet dès que la somme devet > a), pus o ajoute des termes x () égatfs jusqu à ce que la somme redevee < a (o s arrête dès que la somme devet < a), pus as de sute. Cec est possble : vu que x () =, o peut toujours trouver assez de termes postfs pour passer d u valeur féreure à a à ue valeur strctemet supéreure et vce versa pour les termes égatfs (état doé que x () = ). Il covet toutefos d ajouter les termes postfs et égatfs das u ordre be précs. Rageos pour cela les x selo leur ordre aturel d dexato doé par la sére ( x ) ; das cet ordre, des traches de termes postfs pus égatfs se succèdet alteratvemet, mettos : z } { (x ; x 2; x 3; :::) = ( x () ; x (2) ; :::; x (p ); x () ; x (2) ; :::; x ( ) ; {z } z } { x (p ); x (p +); :::; x (p2 ); x ( ); x ( +); :::; x (2 ) ; :::) {z } où (p k ) et ( k ) sot des extractrces (p pour postf et pour égatf). O rajoute alors les termes postfs et égatfs das l ordre sus-décrt. Motros alors que x '() = a comme voulu. ot " >. usque la sére ( x ) coverge, les x sot plus petts qu " à partr d u certa rag N ; e preat u k tel que (p k ) > N, l est clar que tous les termes ajoutés au-delà des k èm es traches postves et égatves (compredre les x (l) et x (l) pour l > k) sot plus petts qu ", et doc qu à partr d u certa rag m (assez grad pour que tous les termes des k premères traches postves et égatves aet été utlsés) les termes x '() ajoutés sot tous plus petts qu ". Mas pusqu o chage le sge des termes ajoutés dès que celu de = x '() a chage, la d érece = x '() a est pour m au plus égale à ". Cec coclut la preuve. O remarquera que la seule subtlté das la preuve du théorème de Fub comme das beaucoup de démostratos de sommablté de famlles à valeurs das u Baach quelcoque cosste à remplacer les vecteurs par leurs ormes, de faço à se placer das le cas postfs où l o dspose de tous les getls théorèmes et de leurs récproques ; e partculer la somme de la famlle postve est toujours dé e, et o peut doc travaller avec (e pratque, c est surtout T3 qu sert). C est ce qu l covet de fare das 99.99% des cas. 3 Quelques applcatos O présete c quelques outls mathématques où terveet de faço plus ou mos drecte des problèmes de sommablté. La méthode pour les trater a déjà été évoquée c-dessus : o passe das les réels postfs e preat les ormes, pus o travalle sur les sommes postves e Fubsat à souhat et sas scruples. Le lecteur est vté à chercher les démostratos e guse d exercce. 3. Expoetelle das ue algèbre de Baach Rappelo qu ue algèbre de Baach (sur K = R ou C) est ue K-algèbre commutatve A mue d ue orme vér at kxyk kxk kyk pour tout (x; y) das A 2 (ue telle orme sous-multplcatve est appelée orme d algèbre) telle que l espace vetorel ormé (A; kk) sot complet. ar exemple, M (R) (complet e tat que R-espace vectorel de dmeso e) est ue algèbre de Baach pour toute orme subordoée. 9

10 Dé to. O appelle expoetelle de a 2 A l élémet a. exp a = e a := our motrer so exstece, l su t de prouver la sommablté de la famlle a démotrer que la famlle est sommable. Or, cela est trval pusque a kak = e kak <. a, ce qu revet à roposto. our tout (a; b) das A 2, o a : e a+b = e a e b = e b e a. O a sous réserve que la famlle = e a e b = a p p p+q= a b = p b q sot sommable q p;q a p b q = pq p= q p a p b q p q a p b? = p = p+q= a p b q p q (a + b) = e a+b. Motros doc la sommablté voulue, e suvat la méthode géérale décrte au début de cette parte : ap b q p q kak p kbk q = e kak+kbk p q p q p q e suvat le même calcul que c-dessus, l terverso état permse par Fub car o est das les réels postfs. Comme aocé, ça se déroule comme du beurre. O otera de plus que le calcul das le cas postf est calqué sur celu das le cas pas postf, ce qu doe gééralemet ue méthode fructueuse pour meer les calculs das le cas postf. À reter doc. 3.2 Foctos aalytques Rappelos qu ue focto f de C das C est dte aalytque e t s f s écrt sous forme d ue sére etère autour de t : f(t) = a (t t ) := lm a (t t ) jj avec les otatos mult-dces usuelles : 8 = ( ; :::; ) 2 N >< jj = + ::: + 2 N t = (t ; :::; t ) 2 C >: t = t :::t 2 C O predra par la sute t =, et doc pour ktk assez pett (o e cosdère das ce paragraphe que des ormes es), o a f(t) = a t..

11 3.2. Aalytcté et sommablté roposto. f est aalytque (e ), alors la famlle (a t ) est sommable pour t assez pett. upposos que f(t) est dé sur ue boule fermée B(; r ). Alors pour tout t das B(; r) avec r < r, e otat = jj= at, la lmte f(t) = lm exste, doc ted vers, doc le terme jj= at est boré par u M xé. O e dédut : ja t j ja j jt j ja j ktk jj ja j r jj = jj ja j r jj r r = qu est be car r < r. jj= jj ja j r jj r = r r r jj= ja j r jj r M r O utlsera par la sute la otato jfj pour désger la focto f où l o a remplacé les coe cets de f par leurs valeurs absolues,.e. s f(t) = at, jfj (t) = ja j t. O a as motré que s f est aalytque, jfj l est égalemet rodut de foctos aalytques roposto. U produt de foctos aalytques est aalytque. O rasoe par récurrece sur le ombre de foctos cosdérées ; remarquer que seul le cas = 2 écesste d être examé. oet doc f et g aalytques, mettos f(t) = at et g(t) = b t pour t pett. O a : f(t)g(t) = a t b t = a b t + a b A t += sous réserve que la famlle a b t + sot sommable. O vér e be que jj; a b t + ja j jb j t + ja j jb j ktk j+j = jj; = où ~t est le vecteur (ktk ::: ktk) jj; jj; jj; ja j ktk jj jb j ktk jj = jj; ja j ~t jb j ~t = ja j ~t jb j ~t = jfj (~t) jgj (~t) jj; ja j jb j ktk jj+jj qu est pour t das l tersecto de vosages de où jfj et jgj sot dé es. Ecore ue fos, le passage aux ormes, u Fub verso forte, et ue marche arrère das les calculs su set pour coclure quat à la sommablté voulue. O a plus précsémet motré la proposto suvate : sot f ; :::; f des foctos aalytques, mettos f = a [] t. Alors le produt f :::f est aalytque et f :::f (t) = +:::+ = a [] :::a [] t.

12 3.2.3 Logarthme d ue focto aalytque d où roposto. f est aalytque et f() =, alors l f est auss aalytque e. O écrt : jj> f(t) = + a t, jj> l f(t) = + a t A = ( ) a t A = ( ) + b ; t > > jj> jj> où b ; = +:::+ = a :::a? = jj> ( ) + b ; > t sous réserve de la sommablté de jj;> ( ( ) + b ; t jj;>. O vér e faclemet que )+ b ;t > = > > = > = > = > jb ;j ktk jj jj> jj> +:::+ = jj> +:::+ = jj> +:::+ = j j:::j ja j ~t A jj> = jfj (~t) > = l jfj (~t) qu est pour t assez pett (car alors jfj < ). a :::a ~t ja j ::: ja j ~t ja j ~t ::: ja j ~t ja j ~t ::: ja j ~t Composée d ue focto aalytque par ue applcato léare roposto. f : C C est aalytque et A est ue applcato léare sur C, alors f A est aalytque. ot f(t) = at aalytque, et A t = (A t; :::; A t) ue applcato léare, où les A sot léares de C das C (a fortor aalytques, doc o dspose des ja j). usque A est cotue (car léare), f A(t) est be dé pour t pett, et o a : car Q = f A(t) = a (A t) = (A t) est u polyôme e les t? = a = Q (A t) a b ; A t, a b ;t 2

13 d où l aalytcté de fa s l o just e l terverso, c est-à-dre s l o motre que la famlle (a b ;t ) jj; est sommable. O vér e comme d habtude e remotat les calculs, be que cela sot u peu mos drect cette fos : ja b ; t j ja j jb ;j ktk jj = ja j jb ;j ~t jj; = ja j jb ;j ~t ja j c ; ~t où c ; sot les coe cets (postfs ) du polyôme ue égalté tragulare après développemet de = Q ja j = qu est be dé pour t pett car jaj cotue e. Q = Q = (ja j t), et e remarquat que jb ;j c ; par (A t) ja j ~t = ja j jaj ~t = jfj jaj ~t 3