Chapitre 4.8 L énergie, le travail et la puissance en rotation

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1 Chaptre 4.8 L énerge, le traval et la pussance en rotaton Une roue qu roule sans glsser Une roue qu roule sans glsser sur une surace de contact peret à celle-c d eectuer une translaton et une rotaton. On peut évaluer l énerge cnétque de la roue de deu açons dérentes selon la açon que l on nterprète la rotaton de la roue : Moto uncycle électrque Rotaton de la roue autour de son centre de asse et translaton du centre de asse par rapport au sol. Le centre de asse dént un ae de rotaton oble. Énerge cnétque : v translaton v et rotaton nerte de rotaton ( et énerge cnétque de rotaton rotaton de asse, car le corps tourne à une vtesse angulare. v * nerte de translaton ( et énerge cnétque de translaton translaton asse est en ouveent à vtesse v. par rapport au centre, car le centre de Rotaton de la roue autour du pont de contact au sol. Ce pont de contact dént un ae de rotaton e. Énerge cnétque : : nerte par rapport à un ae e ( kg * h L nerte de rotaton ( est aale et l y a énerge cnétque de rotaton rotaton, car le corps tourne à une vtesse angulare. l n y a pas d énerge cnétque de translaton, car le corps tourne autour d un ae e stué au pont de contact au sol. l aut agner l ae de rotaton se déplacer au rythe du centre de asse de la roue pour sans accorder à cette translaton une énerge cnétque de translaton. P.S. Dans les deu cas, le corps tourne avec la êe vtesse angulare quelque sot la poston de l ae de rotaton (vor chaptre 4. pour la déonstraton. Réérence : Marc Ségun, Physque XX Volue A Page Note de cours rédgée par : Son Véna

2 Énerge cnétque d un corps en rotaton L énerge cnétque d un corps en rotaton peut être évaluée par rapport à un ae de rotaton e ou par rapport à un ae en ouveent passant par le centre de asse du corps : ou Réérence : Marc Ségun, Physque XX Volue A Page Note de cours rédgée par : Son Véna v : Énerge cnétque du corps (J : Moent d nerte du corps par rapport à un ae de rotaton e ( kg : Moent d nerte du corps par rapport à son centre de asse ( kg : Vtesse angulare du corps (rad/s : Masse total du corps (kg v : Vtesse de translaton du centre de asse du corps (/s En d autres ots, on peut vsualsé l epresson de l énerge cnétque grâce au schéa cdessous : Preuve : ae centre asse * h ae rotaton e v = v h + * * ae rotaton e ae centre asse Consdérons un corps de oent d nerte tournant sur lu-êe par rapport à un ae e quelconque à une vtesse angulare. Utlsons le théorèe des aes parallèles pour esurer l énerge cnétque par rapport à un ae de rotaton passant par le centre de asse stué à une dstance h de l ae précédent : h (Théorèe aes parallèles : h h h (Dstrbuton (Réécrture v (Vtesse centre de asse : v h

3 Stuaton : L énerge cnétque d une tge qu tourne autour de son etrété. Une tge hoogène de asse et de longueur L est ée à une de ses etrétés à une charnère oble (vor schéa c-contre. Elle tourne avec une vtesse angulare constante ω. On désre déterner son énerge cnétque. L Évaluons l énerge cnétque du corps à l ade de l epresson suvante : Énerge cnétque de rotaton : L 3 (vor table d nerte L Alors : L (Replacer 3 6 ML Évaluons l énerge cnétque du corps à l ade de l epresson suvante : (Calcul Énerge cnétque d un corps : v L L r (vor table d nerte v L L / * L v Alors : v 4 6 L L 8 L L ML (Replacer teres (Calculs (Calculs Réérence : Marc Ségun, Physque XX Volue A Page 3 Note de cours rédgée par : Son Véna

4 Stuaton : L énerge cnétque d un cylndre qu roule. À la stuaton 3 de la secton 4.7, on voulat connaître l accélératon angulare d un cylndre (R = 0 c, = kg, = 0,4 kg qu roule sans glsser vers le bas d un plan nclné à 50 o par rapport à l horontale (schéas c-dessous : on a trouvé α = 5 rad/s. On désre calculer l énerge cnétque acquse par le cylndre lorsqu l roule à partr du repos sur une dstance de,6 esurée le long du plan nclné. ae Vue en perspectve ae,6 50 Nous pouvons évaluer l accélératon de translaton du centre de asse a grâce à l accélératon angulare : a r a 0,5 (Replacer valeurs nu. a 5 /s (Évaluer a Évaluons la vtesse de translaton du centre de asse de,6 à l ade des équatons du MUA : v v a v 0 5, v après avor parcouru une dstance (Replacer valeurs nu. v 6 (Calcul v 4 /s (Évaluer v Pusque le cylndre roule sans glsser, on peut évaluer la vtesse angulare assocée à une vtesse de translaton de 4 /s : ( v v v r CR CR 4 0,0 0 rad/s Nous pouvons évaluer l énerge cnétque du cylndre en rotaton et translaton : v 4 0,40 44 J Réérence : Marc Ségun, Physque XX Volue A Page 4 Note de cours rédgée par : Son Véna

5 Nous pouvons égaleent vérer l énerge cnétque du cylndre par conservaton de l énerge : Condtons ntales Condtons nales Schéa,6sn 50,6 y 0 y 0 0 rad/s y (,6 ae,6 v 0 v 4 /s 0 50 On peut évaluer quelques teres d énerges : ( kg, 0,4 kg J v 4 0,4 U 44 J gy 9,8,6 g U 0 gy 9,8 0 g U g U g (résultat précédent W et 0 Le pont de contact change toujours et la orce de rotteent statque n a pas le teps d être applquée sur un déplaceent s, car la roue roule sans glsser. Ans, le rotteent ne produt pas de traval etéreur ( W W nc 0. Le rotteent statque ne at que transorer l énerge cnétque de translaton en énerge cnétque de rotaton. ae n Mg Vércaton qu l y a bel et ben conservaton de l énerge : E E W nc U g U g W J 44 J Réérence : Marc Ségun, Physque XX Volue A Page 5 Note de cours rédgée par : Son Véna

6 Traval en rotaton Le traval W est le processus de transoraton de l énerge causé par l applcaton d un oent de orce sur un objet eectuant une rotaton. Seule la coposante du oent de orce qu est perpendculare au plan de rotaton eectue un traval. Voc l epresson scalare du traval en rotaton : W W : Traval eectué par le oent de orce (J Preuve : : Moent de orce perpendculare au plan de rotaton ( N : Rotaton eectuée par le corps ( rad Consdérons un corps qu subt une orce F parallèle à un déplaceent s le long d une trajectore crculare de rayon r ce qu génère un traval W. Réécrvons l epresson du traval en oncton du oent de orce assocé à la orce F et à la rotaton du corps par rapport à l ae de rotaton : W F s F s cos0 r W (Force F parallèle au déplaceent s W F (Replacer s Fr W (Relaton lnéare-angulare : r et r rf W (Réécrture, regrouper rf rf sn90 W (Angle entre et est de 90 o W (Moent de orce selon l ae : r F sn Pussance en rotaton Lorsqu une orce applque un oent de orce parallèleent à l ae de rotaton d un corps tournant à une vtesse angulare, celle-c génère une pussance égale à l epresson suvante : P P : Pussance généré par le oent de orce (W : Moent de orce perpendculare au plan de rotaton ( N : Vtesse de rotaton du corps ( rad y y F F s Réérence : Marc Ségun, Physque XX Volue A Page 6 Note de cours rédgée par : Son Véna

7 Preuve : À partr du traval en rotaton W, évaluons la pussance en rotaton P en eectuant une varaton dans le teps du traval : dw d W dt dt Eercce d P (Dénton de la pussance : P dw / dt dt d P (Suppose constant durant dt nntésal dt P 4.8. L énerge d une sphère qu descend un plan nclné. Une sphère plene de 5 c de rayon dont la asse est égale à 5 kg est ntaleent au repos en haut d un plan de 0 de longueur nclné à 0 o par rapport à l horontale. Elle roule sans glsser jusqu en bas du plan. (a Calcule son énerge cnétque totale lorsqu elle arrve en bas du plan. (b Quelle est l énerge cnétque de rotaton lorsqu elle arrve en bas du plan? (c Coben de tours sur elle-êe a-t-elle at en descendant le plan? Soluton 4.8. L énerge d une sphère qu descend un plan nclné. Moent d nerte d une sphère plen par rapport à son centre de asse : MR 5 5 0, 5 Avec la conservaton de l énerge : 0 3,4 y 0sn v 0 0 y 0 v?? a Énerge cnétque totale en bas du plan nclné E E Wnc U U Wnc 5 Réérence : Marc Ségun, Physque XX Volue A Page 7 Note de cours rédgée par : Son Véna 0,045 kg U ( 0, U 0, W 0 gy 59,8 3,4 67,58 J nc

8 b Énerge cnétque de rotaton rotaton translaton v ( v r r r r 46,3 r 67,58 0, ,5 rad/s Avec la vtesse angulare, on peut évaluer l énerge cnétque de rotaton : rotaton rotaton 0,045 46, 3 rotaton c Nobre de tours eectués durant la descente : r r 66,6 Ce qu nous donne le nobre de tours suvant : 47,88 0 0,5 rad tour N 66,6 rad N 0,6 tours π rad J Réérence : Marc Ségun, Physque XX Volue A Page 8 Note de cours rédgée par : Son Véna

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