Calcul élémentaire des probabilités

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1 Myriam Maumy-Bertrand 1 et Thomas Delzant 1 1 IRMA, Université Louis Pasteur Strasbourg, France Licence 1ère Année 27 novembre 2006

2 Sommaire La loi normale. 1 La loi normale.

3 La loi normale, ou loi gaussienne, appelée aussi loi de Laplace-Gauss. Définition On dit qu une variable aléatoire X suit la loi normale N (0; 1) si : Remarque P [a < X b] = b a exp ( x 2 ) dx. 2 2π Cette formule ne sert pas à grand chose, il vaut mieux utiliser les tables de la loi normale ou les machines à calculer.

4 Théorème Si Z N (0; 1) alors E [Z ] = 0 et Var [Z ] = 1. On dit que Z suit une loi normale centrée-réduite.

5 Autres lois normales On dit que X suit une loi normale de moyenne µ et d écart-type σ et l on note X N (µ; σ 2 ) si Z = X µ σ suit une loi N (0; 1). Proposition Sous cette hypothèse, on a E [X] = µ et Var [X] = σ 2.

6 Binomiale et normale. Historiquement, le premier résultat est qu une loi binomiale ressemble à une loi normale ou gaussienne. Ce résultat est dû à de Moivre 1750 et à Laplace Binomiale centrée-réduite On sait que la loi binomiale B(n; p) est d espérance np et d écart-type np(1 p). Soit X une loi binomiale B(n; p). Alors X np np(1 p) est d espérance 0 et d écart-type 1.

7 Approximation par une loi normale Dans la pratique, on remplace toujours la loi binomiale par la loi normale de même espérance et de même écart-type si les deux conditions suivantes sont vérifiées : 1 n 30 2 np 8.

8 Queues de distribution. Propriété Soit Z N (0; 1). P [ Z 3] = 0, 002 P [ Z 2] = 0, 04 Application à une loi normale générale En pratique, il y a «très peu de chance»que Z = et encore moins que Z = X µ σ 3. X µ σ 2,

9 Fonction de répartiton Définition La fonction de répartition d une variable aléatoire Z qui suit une loi normale centrée-réduite, notée Π(z) ou encore Φ(z) (cela dépend des ouvrages) se définit par : Π(z) = Φ(z) = P [Z z], où Z suit une loi N (0; 1) et z est un réel.

10 Propriétés 1 Si z > 0 alors, on a P [Z z] = 1 P [Z > z] = 1 P [Z z] ou encore ce qui s écrit : Π( z) = 1 Π(z). 2 Soient a et b deux réels tels que 0 < a < b. Alors, on a P [a < Z b] = Π(b) Π(a).

11 Exemple 1. Le bénéfice annuel d une compagnie suit une loi normale de moyenne e et d écart-type e. Le PDG déclare qu il est sûr d avoir un bénéfice positif. Question Quelle vaut la probabilité que «le PDG se trompe»?

12 Exemple 2. La loi normale. Une usine produit du fil. On désigne par X la variable aléatoire qui à toute bobine associe la longueur du fil de la bobine. On admet que X suit une loi normale de moyenne 50 et d écart-type 0,2.

13 Questions 1 Calculer la probabilité que la longueur du fil : a. soit inférieure à 50,19 m, b. soit supérieure à 50,16 m, c. soit comprise entre 50,16 et 50,19 m. 2 On va utiliser une table de dépassement de l écart. Si α est une probabilité, cette table donne le nombre x(α) tel que P [ X > x] = α. Sous les hypothèses du dessus, trouver un nombre réel a tel que P [50 a < X 50 + a] = 0, 14.

14 Exemples 3 et 4. Questions Soit X une loi normale N (0; 1). Calculer P [X 0, 54] ; P [X 0, 38] ; P [X > 0, 8] ; P [ 1 < X 0, 2]. Questions Une entreprise produit des bouteilles d eau de 0,75 litre. Une bouteille est considérée comme «acceptable»si elle contient entre 74,5 et 75,5 cl d eau. soit X la variable aléatoire qui décrit le contenu d une bouteille. On suppose que X suit une loi N (75; 0, 3). Quelle est la probabilité qu une bouteille soit «acceptable»?

15 Exercice 1. Utilisation d une machine à café comme détecteur de fausses pièces. Énoncé La banque de France fabrique des pièces de 1 euro. Le poids d une pièce authentique prise au hasard suit une loi normale d espérance µ = 6, 49 g avec un écart-type σ = 0, 015 g.

16 Questions 1 Une machine à café accepte les pièces de 1 euro dont le poids est compris entre 6, 455 g et 6, 525 g. Quelle est la probabilité qu une pièce authentique soit acceptée? 2 Un faux monnayeur fabrique des fausses pièces dont le poids suit une loi normale d espérance µ = 6, 56 g et d écart-type σ = 0, 02 g. Quelle est la probabilité qu une fausse pièce soit acceptée? 3 On observe que 4 % des pièces sont refusées par la machine. Quelle est la proportion de fausses pièces en circulation?

17 Exercice 2. Détermination d une moyenne et d un écart-type à partir d une expérience. Énoncé On sait qu une variable aléatoire X suit une loi normale N (µ; σ 2 ) mais on ne connait ni µ ni σ 2. Par exemple, µ désigne la quantité de goudron dans une cigarette. On ne connait pas de moyens de mesurer directement X, mais on dispose de deux tests : l un est positif si X 35, 6, l autre si X 30, 3. On fait un grand nombre d observations (disons 1000) et on remarque que P [X 35, 6] = 0, 985 P [X 30, 3] = 0, 19. Questions Calculer µ et σ 2.

18 Exercice 3. Peut-on prévoir l absentéisme? Énoncé Une entreprise emploie 100 salariés. Pour chacun, la probabilité d être absent un jour donné est de 5/100.

19 Questions 1 Quelle est la loi qui, pour un salarié donne le nombre de jours d absence durant un mois de 20 jours de travail? Quelle est son espérance? Quelle est sa variance? 2 Quelle est la loi qui décrit le nombre total de jours d absence pour l ensemble des salariés durant un mois de 20 jours? Quelle est son espérance? Quelle est sa variance? Par quelle loi est-il raisonnable de l approcher? 3 Quelle est la probabilité que le nombre total de jours d absentéisme soit supérieur à 125 au cours de ce mois?

20 Exercice 4. La Gauloise des Jeux Énoncé La probabilité de gagner au jeu "le milliardaire" de la société "Gauloise des Jeux " est évaluée à ; pour jouer, chaque joueur doit acheter un ticket à 1 euro. Un gain rapporte euros.

21 Questions 1 Dans une ville, 10 3 personnes jouent toutes les semaines pendant deux ans (soit 100 fois) à ce jeu en misant 1 euro. 1 Quelle est la loi qui décrit le nombre total de gagnants? 2 Par quelle loi est-il légitime de l approcher? 3 Quelle est l espérance mathématique du gain total pour la société "Gauloise des Jeux " sur cette ville? 2 Sur l ensemble de la France personnes jouent toutes les semaines pendant deux ans (soit 100 fois). 1 On repose les mêmes questions. 2 Quelle est la probabilité que le nombre de gagnants sur 2 ans excède 300?

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