Correction TD de probabilités
|
|
- Marie-Noëlle Prudhomme
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Correction TD de probabilités Exercice 1 On lance deux fois une pièce considérée comme bien équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un face? On décrit l univers des possibles Ω associé à cette expérience aléatoire. Ω,,,,,,, Trois évènements élémentaires remplissent la condition : obtenir au moins un face. On peut induire sur cet univers la tribu PΩ en considérant que l'on est dans une situation d'équiprobabilité. En effet la pièce étant bien équilibrée, on peut considérer qu'il y a équiprobabilité des sorties de pile ou face à chaque lancer et indépendance de deux lancers successifs. Chaque résultat pour deux lancers aura donc une probabilité égale à et donc l'évènement : obtenir au moins un face a une probabilité égale à 3/4 Exercice 2 Dans une assemblée de personnes, quelle est la probabilité qu'aucune des personnes n'ait le même jour anniversaire on exclura le cas où certaines personnes sont nées le 29 février et l'on considèrera donc que l'année à 365 jours Si l'on considère l'ensemble des personnes et l'ensemble des jours de l'année, on peut associer à chaque élément de son jour anniversaire. Ω est donc l'ensemble des -uplets de jours de l'année correspondant aux anniversaires des personnes d'un groupe. C'est donc aussi l'ensemble des applications de l'ensemble dans l'ensemble. Il y a 365ⁿ applications possibles de ce type, donc Ω365ⁿ Chacun de ces -uplets a a priori la même probabilité que tous les autres. On induit donc une mesure de probabilité uniforme. Les applications de dans qui remplissent la condition de l'énoncé, à savoir qu'aucune des personnes n'ait le même jour anniversaire sont des injections de dans. Il y en a La probabilité de l'évènement est donc 365 Remarquons que l'évènement contraire a une probabilité égale à 1 Cet évènement correspond au fait qu'au moins deux personnes parmi les qui ont le même jour d'aniversaire. Pour 50 personnes, on aura
2 Il y a 97% de chances que parmi 50 personnes au hasard, deux d'entre elles aient le même jour d'anniversaire. Exercice 3 On rencontre un individu inconnu dans un train. Il propose jouer à pile ou face et il gagne. Quelle est la probabilité que ce soit un tricheur? On suppose que si le joueur triche, il gagne à tous les coups. On considère en outre que la probabilité de gagner sans tricher est de 1/2. Appelons l'évènement : l'individu est un tricheur. On pose. 1. On veut calculer enfin : Cette probabilité dépend bien entendu de la proportion de tricheurs dans la population. Si l on considère qu il y a 10% de tricheurs, on pose que 0,1. On obtient alors : 0,2 1, ,18 Exercice 4 Une urne contient deux pièces : une biaisée et une non biaisée. La probabilité d'obtenir face lorsqu on lance la pièce biaisée est. On tire au hasard une pièce de l'urne équiprobabilité et on la lance. On obtient face. Quelle est la probabilité que la pièce choisie soit la pièce biaisée? Appelons l évènement : «on tire la pièce biaisée» et l évènement : «on obtient face». On cherche. Or 1/2. Et et 1/2. donc On en déduit :
3 Exercice 5 Un fumeur décide de ne plus fumer. S'il ne fume pas le jour, il ne fumera pas le jour 1 avec la probabilité 2/3. S'il fume le jour, il ne fumera pas le jour 1 avec la probabilité 1/2. Quelle est la probabilité qu'il ne fume pas le jour? Appelons l évènement : le fumeur fume le jour. La famille, est un système complet d'événements ; on écrit D après le théorème des probabilités totales, on a : On pose. donc : La suite est arithmético-géométrique. On peut penser que le fumeur ayant décider de s arrêter de fumer, le premier jour il ne fumera pas et donc que 1. On résout l équation On trouve 3/5. Soit 3/5. On vérifie simplement que est une suite géométrique de raison 1/6. Donc Et donc Exercice 6 Une urne contient boules numérotées de 1 à 2. 1 On tire successivement et sans remise les boules. a Sachant que la boule numéro 1 est sortie au premier tirage, quelle est la probabilité que la boule numéro 2 sorte au deuxième tirage. Puisque l on tire successivement et sans remise les boules, le résultat de cette expérience est une liste ordonnée sans répétition des boules, c est-à-dire un rangement de ces boules. Ω est donc l ensemble de ces -uplets. Il contient! éléments dont on peut considérer qu ils sont équiprobables. ppelle l événement : «la boule 1 est sortie au -ième tirage» et l événement : «la boule 2 est sortie au -ième tirage»
4 On cherche. card card L ensemble est constitué des listes dont le premier élément est le 1. Pour construire une telle liste, on doit placer les 1 boules restantes sur les 1 places restantes. Il y a 1! façons de le faire. Donc card 1!. De la même façon, l ensemble est constitué des listes commençant par 1 et 2. Il reste à placer les 2 boules restantes sur les 2 places restantes. Il y a 2! façons de le faire. donc card 2!. Et donc 2! 1! 1 1 b Sachant que la boule numéro 1 n'est pas sortie au premier tirage, quelle est la probabilité que la boule numéro 2 sorte au deuxième tirage. On cherche. : card card Ω donc card card cardω, donc card!1!1!1 Une autre façon de trouver ce cardinal est la suivante : pour construire un -uplet tel que la première boule ne soit pas la boule 1, on effectue une opération à deux étapes : la première consiste à choisir pour la première place l une des 1 boules qui ne sont pas la boule 1. Il y a 1 façons de le faire. La deuxième consiste à ranger les 1 boules restantes après ce choix sur les 1 places restantes : il y a 1! façons de le faire. donc card11! L ensemble correspond aux listes dans lesquelles la première boule n est pas la boule 1 et la deuxième boule est la boule 2. Pour la première boule, on doit donc exclure les boules 1 et 2. Il y a donc 2 choix possibles. On place ensuite la boule 2. Il reste à placer les 2 boules restantes sur les 2 places restantes. Il y a 2! façons de le faire. donc : card 22! Une autre façon de trouver ce résultat est la suivante. On peut écrire L ensemble est constitué des listes pour lesquelles la boule 2 est en deuxième place. On doit donc ranger les 1 boules restantes sur les 1 places restantes. Il y a 1! façons de le faire. Donc card 1! donc donc card card card 1!2! 2!2
5 22! 2 11! 1 2 On tire simultanément boules 2 a Sachant que la boule numéro 1 a été tirée, quelle est la probabilité que la boule numéro 2 ait aussi été tirée. L univers des possibles est constitué par l ensemble des parties à éléments que l on peut constituer avec les boules. Il y en a. Appelons un tirage contenant la boule 1 et un tirage contenant la boule 2. Il y a 1 tirages contenant la boule 1 et 2 tirages contenant les deux boules 1 et Donc card 1 et card donc : 2 2 card card b Sachant que la boule numéro 1 n'a pas été tirée, quelle est la probabilité que la boule numéro 2 l'ait été. On cherche. card card Or est constitué des sous ensembles à éléments ne contenant pas la boule 1. Il a donc fallu choisir les boules parmi les 1 restantes. donc : card 1. est constitué par les sous ensembles à éléments ne contenant pas la boule 1 mais contenant la boule 2. Il a donc fallu choisir 1 boules parmi les 2 disponibles, donc card 2 1. donc Exercice 7 On dispose de trois urnes contenant des boules indiscernables au toucher. U₁ contient : 2 rouges, 3 blanches, 5 vertes U₂ contient : 4 rouges, 5 blanches, 0 verte. U₃ contient : 0 rouge, 3 blanches, 6 vertes. On tire une boule dans U₁ et on la place dans U₂; puis on tire une boule dans U₂ et on la place dans U₃; puis on tire une boule dans U₃ et on la place dans U₁. On désigne pour 1,2 ou 3
6 :"on obtient une boule rouge au -ième tirage " :"on obtient une boule blanche au -ième tirage" :"on obtient une boule verte au -ième tirage". Calculer la probabilité de l'évènement : "la composition de l'urne U₁ n'a pas varié". Indication : vérifier que ₁₃₁₃₁₃ La composition de l urne n a pas varié Si l on tire une boule d une couleur donnée dans l urne, on doit tirer une boule de la même couleur dans l urne pour voir le même nombre de boules de chaque couleur à la fin du processus. donc ₁₃₁₃₁₃ ₁₃ donc ₁₃ donc enfin ₁₃ donc Donc Exercice 8 Une urne contient au départ une boule blanche et une boule noire. On effectue une suite de tirages dans cette urne suivant divers protocoles. On désigne par l'évènement : "on obtient une boule blanche au -ième tirage" et par l'évènement : "on obtient une boule noire au -ième tirage". 1 Première expérience * si la boule tirée est blanche, on la remet dans l'urne. * si la boule tirée est noire, on la remet dans l'urne et l'on ajoute une boule blanche dans l'urne.
7 a Déterminer PB₁,PN₁,PB₂,PN₂,PB₃,PN₃. aussi donc donc Ce qui donne : Ce qui donne b Déterminer PB₁B₂,PN₁N₂
8 c Déterminer plus généralement ₁₂... et ₁₂.... Si chacun des événements est réalisé, l urne reste inchangée lors des tirages. donc : Si chacun des événements est réalisé, on ajoute une boule blanche à chacun des 1 tirages précédant le dernier. Avant d effondrer le tirage numéro, l urne contient boules blanches et une boule noire. donc : ! 2 Deuxième expérience * Si la boule tirée est blanche, on la remet dans l'urne et l'on ajoute deux blanches * Si la boule tirée est noire, on la remet dans l'urne et l'on ajoute une noire. a Déterminer PB₁,PN₁,PB₂,PN₂,PB₃,PN₃. bien sûr : également
9 b Déterminer ₁₂,₁₂ c Déterminer plus généralement ₁₂... et ₁₂.... Raisonnons par récurrence. On pose donc On cherche donc la probabilité d obtenir une boule blanche au 1-ième tirage sachant que l on a obtenu des boules blanches à chacun des tirages précédents. donc ajouté à chaque fois deux nouvelles boules blanches, c est-à-dire 2 boules blanches. A l issu des tirages l urne contient 21 boules blanches et une boule noire. donc Soit, on a : donc pour tout entier Donc Il s agit de dominos multiplicatifs. donc En effet d autre part Et ! 222 2! ! !
10 Donc Et donc Et donc enfin ! 2! 2! 2! 2! 2! 2! 2! 2! 2! 2! 2! 2! 1 22!2! Comme pour le cas des boules blanches, on pose donc On cherche donc la probabilité d obtenir une boule noire au 1-ième tirage sachant que l on a obtenu des boules noires à chacun des tirages précédents. donc ajouté à chaque fois une nouvelle boule noire, c est-à-dire boules noires. A l issu des tirages l urne contient 1 boules noires et une boule blanche. donc 1 2 Soit, on a : 1 2 donc pour tout entier Donc donc Et donc d Déterminer et. 1 2! 2 1!
11 Donc de même : Donc Exercice 9 Une urne contient des boules blanches, noires et rouges, dans les proportions respectives :,, telles que 01,01,01. On effectue une suite de tirages successifs avec remise dans cette urne. Déterminer les probabilités des évènements suivants : 1 : "les premiers tirages ne sont pas rouges" On peut décrire l évènement sous la forme suivante : Par indépendance mutuelle, on a 1 2 : "une boule rouge apparaît pour la première fois au -ième tirage" 1 ura de la même façon : Par indépendance, on aura 1
12 3 : "une boule rouge apparaît pour la première fois au -ième tirage et une boule blanche apparaît pour la première fois au -ième tirage" 1,1 par indépendance 1
I. Cas de l équiprobabilité
I. Cas de l équiprobabilité Enoncé : On lance deux dés. L un est noir et l autre est blanc. Calculer les probabilités suivantes : A «Obtenir exactement un as» «Obtenir au moins un as» C «Obtenir au plus
Plus en détailDistribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris. Chapitre 2 Le calcul des probabilités
Chapitre 2 Le calcul des probabilités Equiprobabilité et Distribution Uniforme Deux événements A et B sont dits équiprobables si P(A) = P(B) Si il y a équiprobabilité sur Ω, cad si tous les événements
Plus en détailIndépendance Probabilité conditionnelle. Chapitre 3 Événements indépendants et Probabilités conditionnelles
Chapitre 3 Événements indépendants et Probabilités conditionnelles Indépendance Indépendance Probabilité conditionnelle Definition Deux événements A et B sont dits indépendants si P(A B) = P(A).P(B) Attention
Plus en détailProbabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie...
1 Probabilité Table des matières 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables........................... 2 1.2 Définitions................................. 2 1.3 Loi équirépartie..............................
Plus en détail9 5 2 5 Espaces probabilisés
BCPST2 9 5 2 5 Espaces probabilisés I Mise en place du cadre A) Tribu Soit Ω un ensemble. On dit qu'un sous ensemble T de P(Ω) est une tribu si et seulement si : Ω T. T est stable par complémentaire, c'est-à-dire
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailExercices sur le chapitre «Probabilités»
Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Probabilités» Exercice 1 (Modélisation d un dé non cubique) On considère un parallélépipède rectangle de
Plus en détailProbabilités. C. Charignon. I Cours 3
Probabilités C. Charignon Table des matières I Cours 3 1 Dénombrements 3 1.1 Cardinal.................................................. 3 1.1.1 Définition............................................. 3
Plus en détailCoefficients binomiaux
Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant
Plus en détailProbabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2
Probabilités Table des matières I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 s................................................... 2 I.2 Propriétés...................................................
Plus en détailProbabilités Loi binomiale Exercices corrigés
Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : épreuve de Bernoulli Exercice 2 : loi de Bernoulli de paramètre
Plus en détailP1 : Corrigés des exercices
P1 : Corrigés des exercices I Exercices du I I.2.a. Poker : Ω est ( l ensemble ) des parties à 5 éléments de l ensemble E des 52 cartes. Cardinal : 5 I.2.b. Bridge : Ω est ( l ensemble ) des parties à
Plus en détailNOTIONS DE PROBABILITÉS
NOTIONS DE PROBABILITÉS Sommaire 1. Expérience aléatoire... 1 2. Espace échantillonnal... 2 3. Événement... 2 4. Calcul des probabilités... 3 4.1. Ensemble fondamental... 3 4.2. Calcul de la probabilité...
Plus en détailCALCUL DES PROBABILITES
CALCUL DES PROBABILITES Exemple On lance une pièce de monnaie une fois. Ensemble des événements élémentaires: E = pile, face. La chance pour obtenir pile vaut 50 %, pour obtenir face vaut aussi 50 %. Les
Plus en détailExercices de dénombrement
Exercices de dénombrement Exercice En turbo Pascal, un entier relatif (type integer) est codé sur 6 bits. Cela signifie que l'on réserve 6 cases mémoires contenant des "0" ou des "" pour écrire un entier.
Plus en détailGEA II Introduction aux probabilités Poly. de révision. Lionel Darondeau
GEA II Introduction aux probabilités Poly. de révision Lionel Darondeau Table des matières Énoncés 4 Corrigés 10 TD 1. Analyse combinatoire 11 TD 2. Probabilités élémentaires 16 TD 3. Probabilités conditionnelles
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Plus en détailFluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités
Fluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités C H A P I T R E 3 JE DOIS SAVOIR Calculer une fréquence JE VAIS ÊTRE C APABLE DE Expérimenter la prise d échantillons aléatoires de taille
Plus en détailProbabilités conditionnelles Loi binomiale
Exercices 23 juillet 2014 Probabilités conditionnelles Loi binomiale Équiprobabilité et variable aléatoire Exercice 1 Une urne contient 5 boules indiscernables, 3 rouges et 2 vertes. On tire au hasard
Plus en détailLes probabilités. Chapitre 18. Tester ses connaissances
Chapitre 18 Les probabilités OBJECTIFS DU CHAPITRE Calculer la probabilité d événements Tester ses connaissances 1. Expériences aléatoires Voici trois expériences : - Expérience (1) : on lance une pièce
Plus en détailCalculs de probabilités conditionelles
Calculs de probabilités conditionelles Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 20 mars 2008 1. Indépendance 1 Exemple : On lance deux pièces. Soit A l évènement la première est Pile
Plus en détailArbre de probabilité(afrique) Univers - Evénement
Arbre de probabilité(afrique) Univers - Evénement Exercice 1 Donner l univers Ω de l expérience aléatoire consistant à tirer deux boules simultanément d une urne qui en contient 10 numérotés puis à lancer
Plus en détailQu est-ce qu une probabilité?
Chapitre 1 Qu est-ce qu une probabilité? 1 Modéliser une expérience dont on ne peut prédire le résultat 1.1 Ensemble fondamental d une expérience aléatoire Une expérience aléatoire est une expérience dont
Plus en détailPROBABILITÉS CONDITIONNELLES
PROBABILITÉS CONDITIONNELLES A.FORMONS DES COUPLES Pour la fête de l école, les élèves de CE 2 ont préparé une danse qui s exécute par couples : un garçon, une fille. La maîtresse doit faire des essais
Plus en détailProbabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes
IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de
Plus en détailChaînes de Markov au lycée
Journées APMEP Metz Atelier P1-32 du dimanche 28 octobre 2012 Louis-Marie BONNEVAL Chaînes de Markov au lycée Andreï Markov (1856-1922) , série S Problème 1 Bonus et malus en assurance automobile Un contrat
Plus en détailIntroduction au Calcul des Probabilités
Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées Bât. M2, F-59655 Villeneuve d Ascq Cedex Introduction au Calcul des Probabilités Probabilités à Bac+2 et plus
Plus en détailProbabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12
Probabilités. I - Rappel : trois exemples. Exemple 1 : Dans une classe de 25 élèves, il y a 16 filles. Tous les élèves sont blonds ou bruns. Parmi les filles, 6 sont blondes. Parmi les garçons, 3 sont
Plus en détailTravaux dirigés d introduction aux Probabilités
Travaux dirigés d introduction aux Probabilités - Dénombrement - - Probabilités Élémentaires - - Variables Aléatoires Discrètes - - Variables Aléatoires Continues - 1 - Dénombrement - Exercice 1 Combien
Plus en détailExemple On lance une pièce de monnaie trois fois de suite. Calculer la probabilité d obtenir exactement deux fois pile.
Probabilités Définition intuitive Exemple On lance un dé. Quelle est la probabilité d obtenir un multiple de 3? Comme il y a deux multiples de 3 parmi les six issues possibles, on a chances sur 6 d obtenir
Plus en détailCours de Probabilités et de Statistique
Cours de Probabilités et de Statistique Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université Paris-Est Cours de Proba-Stat 2 L1.2 Science-Éco Chapitre Notions de théorie des ensembles 1 1.1 Ensembles
Plus en détailExo7. Probabilité conditionnelle. Exercices : Martine Quinio
Exercices : Martine Quinio Exo7 Probabilité conditionnelle Exercice 1 Dans la salle des profs 60% sont des femmes ; une femme sur trois porte des lunettes et un homme sur deux porte des lunettes : quelle
Plus en détailThéorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014. Paul Honeine Université de technologie de Troyes France
Théorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014 Paul Honeine Université de technologie de Troyes France TD-1 Rappels de calculs de probabilités Exercice 1. On dispose d un jeu de 52 cartes
Plus en détailLes devoirs en Première STMG
Les devoirs en Première STMG O. Lader Table des matières Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions....................... 2 Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions (corrigé)..................
Plus en détailExercices supplémentaires sur l introduction générale à la notion de probabilité 2009-2010
Exercices supplémentaires sur l introduction générale à la notion de probabilité 2009-2010 Exercices fortement conseillés : 6, 10 et 14 1) Un groupe d étudiants est formé de 20 étudiants de première année
Plus en détailProbabilités (méthodes et objectifs)
Probabilités (méthodes et objectifs) G. Petitjean Lycée de Toucy 10 juin 2007 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Probabilités (méthodes et objectifs) 10 juin 2007 1 / 19 1 Déterminer la loi de probabilité d
Plus en détailFeuille d exercices 2 : Espaces probabilisés
Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés Cours de Licence 2 Année 07/08 1 Espaces de probabilité Exercice 1.1 (Une inégalité). Montrer que P (A B) min(p (A), P (B)) Exercice 1.2 (Alphabet). On a un
Plus en détailCalculs de probabilités
Calculs de probabilités Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 13 mars 2008 1. Définitions et notations 1 L origine des probabilités est l analyse de jeux de hasard, tels que pile
Plus en détail1 TD1 : rappels sur les ensembles et notion de probabilité
1 TD1 : rappels sur les ensembles et notion de probabilité 1.1 Ensembles et dénombrement Exercice 1 Soit Ω = {1, 2, 3, 4}. Décrire toutes les parties de Ω, puis vérier que card(p(ω)) = 2 4. Soit k n (
Plus en détailDENOMBREMENT-COMBINATOIRE-PROBABILITES GENERALES
BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-DENOMBREMENT-COMBINATOIRE-EXERCICE DE SYNTHESE EXERCICE RECAPITULATIF (DE SYNTHESE) CORRIGE Le jeu au poker fermé DENOMBREMENT-COMBINATOIRE-PROBABILITES GENERALES On joue
Plus en détailPlan général du cours
BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-DENOMBREMENT,COMBINATOIRE PROBABILITES Plan général du cours 1. Dénombrement et combinatoire (permutations, arrangements, combinaisons). 2. Les probabilités
Plus en détailCouples de variables aléatoires discrètes
Couples de variables aléatoires discrètes ECE Lycée Carnot mai Dans ce dernier chapitre de probabilités de l'année, nous allons introduire l'étude de couples de variables aléatoires, c'est-à-dire l'étude
Plus en détailAnalyse Combinatoire
Analyse Combinatoire 1) Équipes On dispose d un groupe de cinq personnes. a) Combien d équipes de trois personnes peut-on former? b) Combien d équipes avec un chef, un sous-chef et un adjoint? c) Combien
Plus en détailDéfinitions. Numéro à préciser. (Durée : )
Numéro à préciser (Durée : ) On étudie dans ce problème l ordre lexicographique pour les mots sur un alphabet fini et plusieurs constructions des cycles de De Bruijn. Les trois parties sont largement indépendantes.
Plus en détailÉvaluations aléatoires : Comment tirer au sort?
Évaluations aléatoires : Comment tirer au sort? William Parienté Université Catholique de Louvain J-PAL Europe povertyactionlab.org Plan de la semaine 1. Pourquoi évaluer? 2. Comment mesurer l impact?
Plus en détailACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #4-5
ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #4-5 ARTHUR CHARPENTIER 1 Un certain test médical révèle correctement, avec probabilité 0.85, qu une personne a le sida lorsqu elle l a vraiment et révèle incorrectement,
Plus en détailProbabilités. I - Expérience aléatoire. II - Evénements
Probabilités Voici le premier cours de probabilités de votre vie. N avez-vous jamais eut envie de comprendre les règles des grands joueurs de poker et de les battre en calculant les probabilités d avoir
Plus en détailProbabilité 2 Ω = { P, F } Lancer un sou deux fois. Ω = { PP, PF, FP, FF} Ω = { 2, 3, 4,..., as }
. Définitions préliminaires Probabilité. Définitions préliminaires La théorie des probabilités utilise un langage emprunté à la théorie des ensembles. Il sera nécessaire de définir les éléments de ce langage
Plus en détailMesure de probabilité, indépendance.
MATHEMATIQUES TD N 2 : PROBABILITES ELEMENTAIRES. R&T Saint-Malo - 2nde année - 2011/2012 Mesure de probabilité, indépendance. I. Des boules et des cartes - encore - 1. On tire simultanément 5 cartes d
Plus en détailMATHÉMATIQUES APPLIQUÉES S4 Exercices
Unité D Probabilité Exercice 1 : Chemins 1. Aline habite la maison illustrée ci-dessous. Le diagramme illustre les murs et les portes. a) Combien existe-t-il de chemins possibles entre la pièce A et la
Plus en détailObjets Combinatoires élementaires
Objets Combinatoires élementaires 0-0 Permutations Arrangements Permutations pour un multi-ensemble mots sous-ensemble à k éléments (Problème du choix) Compositions LE2I 04 1 Permutations Supposons que
Plus en détailCapacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34
Capacité d un canal Second Théorème de Shannon Théorie de l information 1/34 Plan du cours 1. Canaux discrets sans mémoire, exemples ; 2. Capacité ; 3. Canaux symétriques ; 4. Codage de canal ; 5. Second
Plus en détailAndrey Nikolaevich Kolmogorov
PROBABILITÉS La théorie des probabilités est née de l étude par les mathématiciens des jeux de hasard. D'ailleurs, le mot hasard provient du mot arabe «az-zahr» signifiant dé à jouer. On attribue au mathématicien
Plus en détail1. Déterminer l ensemble U ( univers des possibles) et l ensemble E ( événement) pour les situations suivantes.
Corrigé du Prétest 1. Déterminer l ensemble U ( univers des possibles) et l ensemble E ( événement) pour les situations suivantes. a) Obtenir un nombre inférieur à 3 lors du lancer d un dé. U= { 1, 2,
Plus en détailENS de Lyon TD 1 17-18 septembre 2012 Introduction aux probabilités. A partie finie de N
ENS de Lyon TD 7-8 septembre 0 Introduction aux probabilités Exercice Soit (u n ) n N une suite de nombres réels. On considère σ une bijection de N dans N, de sorte que (u σ(n) ) n N est un réordonnement
Plus en détailSeconde et première Exercices de révision sur les probabilités Corrigé
I_ L'univers. _ On lance simultanément deux dés indiscernables donc il n'y a pas d'ordre. Il y a répétition, les dbles. On note une issue en écrivant le plus grand chiffre puis le plus petit. 32 signifie
Plus en détailCOMBINATOIRES ET PROBABILITÉS
COMBINATOIRES ET PROBABILITÉS ème année. Analyse combinatoire.. Outils.. Principe de décomposition.. Permutations.. Arrangements..5 Combinaisons 8.. Développement du binôme 9..7 Ce qu il faut absolument
Plus en détailLa classification automatique de données quantitatives
La classification automatique de données quantitatives 1 Introduction Parmi les méthodes de statistique exploratoire multidimensionnelle, dont l objectif est d extraire d une masse de données des informations
Plus en détail4. Exercices et corrigés
4. Exercices et corrigés. N 28p.304 Dans une classe de 3 élèves, le club théâtre (T) compte 0 élèves et la chorale (C) 2 élèves. Dix-huit élèves ne participent à aucune de ces activités. On interroge au
Plus en détailEXCEL et base de données
EXCEL et base de données 1. Variables et données 2. Saisie de données: quelques règles 3. EXCEL et saisie des données 4. Exemple de tableau EXCEL 5. Éviter d éventuels problèmes 1 1.1 Variables et données
Plus en détailt 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :
Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant
Plus en détailUniversité Paris 8 Introduction aux probabilités 2014 2015 Licence Informatique Exercices Ph. Guillot. 1 Ensemble fondamental loi de probabilité
Université Paris 8 Introduction aux probabilités 2014 2015 Licence Informatique Exercices Ph. Guillot 1 Ensemble fondamental loi de probabilité Exercice 1. On dispose de deux boîtes. La première contient
Plus en détailPROBABILITÉS ET STATISTIQUES. 1. Calculs de probabilités B) 0.1 C) 0.56 3
PROBABILITÉS ET STATISTIQUES ARTHUR CHARPENTIER 1. Calculs de probabilités 1 Un système est formé de deux composants indépendants. L'un a une probabilité p de tomber en panne et l'autre 2p. Le système
Plus en détailCorrection du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014
Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)
Plus en détailLa simulation probabiliste avec Excel
La simulation probabiliste avec Ecel (2 e version) Emmanuel Grenier emmanuel.grenier@isab.fr Relu par Kathy Chapelain et Henry P. Aubert Incontournable lorsqu il s agit de gérer des phénomènes aléatoires
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailAlgorithmique avec Algobox
Algorithmique avec Algobox Fiche 2 Cette fiche est la suite directe de la première. 1. Instructions conditionnelles : 1.1. Reprise de la fiche 1 : Lecture d'un algorithme : ORDINATEUR INTERDIT : Après
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détailSérie TD 3. Exercice 4.1. Exercice 4.2 Cet algorithme est destiné à prédire l'avenir, et il doit être infaillible! Exercice 4.3. Exercice 4.
Série TD 3 Exercice 4.1 Formulez un algorithme équivalent à l algorithme suivant : Si Tutu > Toto + 4 OU Tata = OK Alors Tutu Tutu + 1 Tutu Tutu 1 ; Exercice 4.2 Cet algorithme est destiné à prédire l'avenir,
Plus en détailLEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples.
LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. Pré-requis : Probabilités : définition, calculs et probabilités conditionnelles ; Notion de variables aléatoires, et propriétés associées : espérance,
Plus en détail2. Probabilités. 2.1. Un peu d'histoire PROBABILITÉS
PROBABILITÉS 11 2. Probabilités 2.1. Un peu d'histoire Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, 17/8/1601 - Castres, 12/1/1665) Jacques Bernoulli (Bâle, 27/12/1654 - Bâle, 16/8/1705) Pierre-Simon Laplace
Plus en détailGestion des cartes ristourne
Gestion des cartes ristourne Cela fait maintenant quelques années que le programme de gestion des cartes ristourne est utilisé par un nombre sans cesse croissant de pharmaciens. Ceci a pour conséquence
Plus en détailProbabilités. Une urne contient 3 billes vertes et 5 billes rouges toutes indiscernables au toucher.
Lycée Jean Bart PCSI Année 2013-2014 17 février 2014 Probabilités Probabilités basiques Exercice 1. Vous savez bien qu un octet est une suite de huit chiffres pris dans l ensemble {0; 1}. Par exemple 01001110
Plus en détail4 Distributions particulières de probabilités
4 Distributions particulières de probabilités 4.1 Distributions discrètes usuelles Les variables aléatoires discrètes sont réparties en catégories selon le type de leur loi. 4.1.1 Variable de Bernoulli
Plus en détailRèglement du jeu télévisé «JEUX DE NUIT»
Règlement du jeu télévisé «JEUX DE NUIT» Ce règlement est à considérer dans le cadre de l Arrêté Royal du 21 juin 2011 fixant les conditions auxquelles doivent satisfaire les jeux proposés dans le cadre
Plus en détailProgrammation Objet - Cours II
Programmation Objet - Cours II - Exercices - Page 1 Programmation Objet - Cours II Exercices Auteur : E.Thirion - Dernière mise à jour : 05/07/2015 Les exercices suivants sont en majorité des projets à
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Plus en détailProbabilités-énoncés et corrections
2012-2013 Probabilités-énoncés et corrections Exercice 1. Une entreprise décide de classer 20 personnes susceptibles d'être embauchées ; leurs CV étant très proches, le patron décide de recourir au hasard
Plus en détailLa prise en charge de votre affection de longue durée. Comment cela se passe-t-il? Quels sont les bénéfices pour vous? À quoi vous engagez-vous?
La prise en charge de votre affection de longue durée Comment cela se passe-t-il? Quels sont les bénéfices pour vous? À quoi vous engagez-vous? Sommaire Edito Votre prise en charge à 100 % Comment cela
Plus en détailTESTS D'HYPOTHESES Etude d'un exemple
TESTS D'HYPOTHESES Etude d'un exemple Un examinateur doit faire passer une épreuve type QCM à des étudiants. Ce QCM est constitué de 20 questions indépendantes. Pour chaque question, il y a trois réponses
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailPROBLEMES D'ORDONNANCEMENT AVEC RESSOURCES
Leçon 11 PROBLEMES D'ORDONNANCEMENT AVEC RESSOURCES Dans cette leçon, nous retrouvons le problème d ordonnancement déjà vu mais en ajoutant la prise en compte de contraintes portant sur les ressources.
Plus en détailCryptographie et fonctions à sens unique
Cryptographie et fonctions à sens unique Pierre Rouchon Centre Automatique et Systèmes Mines ParisTech pierre.rouchon@mines-paristech.fr Octobre 2012 P.Rouchon (Mines ParisTech) Cryptographie et fonctions
Plus en détailIntroduction à la théorie des graphes. Solutions des exercices
CAHIERS DE LA CRM Introduction à la théorie des graphes Solutions des exercices Didier Müller CAHIER N O 6 COMMISSION ROMANDE DE MATHÉMATIQUE 1 Graphes non orientés Exercice 1 On obtient le graphe biparti
Plus en détailBaccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1. Réponse c : ln(10)+2 ln ( 10e 2) = ln(10)+ln ( e 2) = ln(10)+2 2. Réponse b : n 13 0,7 n 0,01
Plus en détailCODE CIVIL FRANÇAIS (ANTERIEUR A 1960)
CODE CIVIL FRANÇAIS (ANTERIEUR A 1960) ARTICLES 1874 À 1914 DU PRÊT Téléchargé sur Le premier portail consacré au droit des affaires à Madagascar TITRE DIXIEME Du prêt Art. 1874 - Il y a deux sortes de
Plus en détailS initier aux probabilités simples «Question de chance!»
«Question de chance!» 29-11 Niveau 1 Entraînement 1 Objectifs - S entraîner à activer la rapidité du balayage visuel. - Réactiver le comptage par addition jusqu à 20. - Développer le raisonnement relatif
Plus en détailFeuille TD n 1 Exercices d algorithmique éléments de correction
Master Sciences, Technologies, Santé Mention Mathématiques, spécialité Enseignement des mathématiques Algorithmique et graphes, thèmes du second degré Feuille TD n 1 Exercices d algorithmique éléments
Plus en détailLES GENERATEURS DE NOMBRES ALEATOIRES
LES GENERATEURS DE NOMBRES ALEATOIRES 1 Ce travail a deux objectifs : ====================================================================== 1. Comprendre ce que font les générateurs de nombres aléatoires
Plus en détailCORRECTION EXERCICES ALGORITHME 1
CORRECTION 1 Mr KHATORY (GIM 1 A) 1 Ecrire un algorithme permettant de résoudre une équation du second degré. Afficher les solutions! 2 2 b b 4ac ax bx c 0; solution: x 2a Solution: ALGORITHME seconddegré
Plus en détailLe chiffre est le signe, le nombre est la valeur.
Extrait de cours de maths de 6e Chapitre 1 : Les nombres et les opérations I) Chiffre et nombre 1.1 La numération décimale En mathématique, un chiffre est un signe utilisé pour l'écriture des nombres.
Plus en détailProbabilités conditionnelles
Probabilités conditionnelles Exercice Dans une usine, on utilise conjointement deux machines M et M 2 pour fabriquer des pièces cylindriques en série. Pour une période donnée, leurs probabilités de tomber
Plus en détailC est à vous qu il appartient de mettre en place des conditions optimales pour permettre la meilleure réalisation possible.
Commission Mixte Nationale UNSS - FFSB Programme 2012-2016 Réalisation du livret par Céline TOLLER 1 Ce petit mémento doit aider l élève du collège ou du lycée à arbitrer les rencontres sportives, en cours
Plus en détaildénombrement, loi binomiale
dénombrement, loi binomiale Table des matières I) Introduction au dénombrement 1 1. Problème ouvert....................................... 2 2. Jeux et dénombrements...................................
Plus en détailCarl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939)
Par Boris Gourévitch "L'univers de Pi" http://go.to/pi314 sai1042@ensai.fr Alors ça, c'est fort... Tranches de vie Autour de Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939) est transcendant!!! Carl Louis
Plus en détailChapitre 3. Les distributions à deux variables
Chapitre 3. Les distributions à deux variables Jean-François Coeurjolly http://www-ljk.imag.fr/membres/jean-francois.coeurjolly/ Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University 1 Distributions conditionnelles
Plus en détail108y= 1 où x et y sont des entiers
Polynésie Juin 202 Série S Exercice Partie A On considère l équation ( ) relatifs E :x y= où x et y sont des entiers Vérifier que le couple ( ;3 ) est solution de cette équation 2 Déterminer l ensemble
Plus en détail1.6- Génération de nombres aléatoires
1.6- Génération de nombres aléatoires 1- Le générateur aléatoire disponible en C++ 2 Création d'un générateur aléatoire uniforme sur un intervalle 3- Génération de valeurs aléatoires selon une loi normale
Plus en détail