L apprentissage et la mise en œuvre des faits arithmétiques

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1 L apprentissage et la mise en œuvre des faits arithmétiques Pr. Michel Fayol Université Blaise Pascal & CNRS Collège de France Mars 2008

2 Trois types de connaissances arithmétiques Ashcraft, 1992, Delazer, 2000, Geary, 1994 Connaissances conceptuelles relatives aux opérations et principes; Connaissances procédurales : e.g., algorithmes de calcul, comptage, routines; généralisables; Connaissances déclaratives : e.g. faits arithmétiques; instances ou chunks associant des opérandes et des résultats; récupération directe en mémoire;

3 Connaissances procédurales ou déclaratives Anderson, 1983, 1993, 1995 Connaissances déclaratives : 2 x 7 = 14; = 8; encodent des connaissances spécifiques; stockées dans un réseau et retrouvées par diffusion de l activation allant des opérandes vers le ou les associés; étayé par plusieurs résultats : amorçage, effet de distance, effet de parité, effets d interférence; Connaissances procédurales:

4 Connaissances procédurales ou déclaratives Anderson, 1983, 1993, 1995 Connaissances déclaratives : 2 x 7 = 14; = 8; encodent des connaissances spécifiques; stockées dans un réseau et retrouvées par diffusion de l activation allant des opérandes vers le ou les associés; étayé par plusieurs résultats : amorçage, effet de distance, effet de parité, effets d interférence; Connaissances procédurales: sous forme de paires condition(s) -> action(s); quatre propriétés: modulaires, abstraites (i.e. générales), dirigées par but, asymétrie entre condition(s) et action(s); pas de sensibilité aux interférences;

5 Opérations et connaissances Quatre opérations : Multiplication : connaissance déclaratives, faits arithmétiques (3 x 6 = 18); mais aussi procédures diverses; Additions : connaissances déclaratives, faits arithmétiques (3 + 4 = 7); connaissance procédurale : comptage ( ); Soustractions : connaissance procédurale (7-4 soit soit 7 6 5); connaissance déclarative? Divisions: connaissance procédurale s appuyant sur les connaissances déclaratives de la multiplication;

6 Opérations et connaissances Quatre opérations : Dissociations entre multiplications, additions et soustractions: indépendance des opérations? Dissociations entre connaissances déclaratives et connaissance procédurale? Résultats expérimentaux chez l adulte; Apprentissage?

7 Apprentissage Ashcraft, 1992; Geary, 1994 Conception dominante: Initialement (5 ans à 8 ans?) : addition et soustraction; dominante procédurale: le comptage (Groen & Parkman, 1972); toutefois quelques récupérations (Siegler & Shrager, 1984); Adultes : récupération dominante mais non exclusive (70% pour additions; 80% pour multiplications; LeFevre et al., 1996a, 1996b); problèmes de pratique (Geary et al., 1997) Transition vers CE2 (3rd grade)? Changement de dominante? Pourquoi? Comment?

8 Trois questions Etayer la plausibilité d une transition procédural - déclaratif chez l enfant (Barrouillet & Fayol, 1998); Montrer que l addition conserve toujours un caractère procédural, même si la récupération l emporte (Roussel, Fayol & Barrouillet, 2001); Rechercher une explication plausible à l absence de récupération systématique chez les enfants et les adultes (Thevenot, Fayol, & Barrouillet, 2001, 2004; Thevenot, Fanget, & Fayol, 2007);

9 Une transition procéduraldéclaratif? Le paradigme alpharithmétique L automaticité comme récupération Logan & Klapp, 1991; Barrouillet & Fayol, 1998

10 Alpharithmétique Klapp & Logan, 1991 Faits Lettre Ajout Réponse 1 B 2, 3, 4 D, E, F N 2, 3, 4 P, Q, R 2 H 2, 3, 4 J, K, L T 2, 3, 4 V, W, X

11 Alpharithmétique Logan & al Session 1 Session TR pour les Sessions 1 et 12 en fonction du chiffre à ajouter (réponses exactes) aux items lettres.

12 Alpharithmétique Klapp & Logan, Lettres Chiffres TR en fonction de l ajout (2, 3, 4) et de la nature (lettre vs chiffre) de l item.

13 Alpharithmétique Klapp & Logan, 1991 Niveau d entraînement Novices Enoncé des mois 33,5% Contrôle 14% Automatique 16,4% 5,4% Surentraînés 6,3% 1,5% Pourcentages d erreurs aux vérifications.

14 Alpharithmétique Klapp & Logan, 1991 La pratique induit un passage de l utilisation d une procédure lente et coûteuse à la récupération en mémoire, rapide et peu coûteuse; automatisation; Néanmoins, la poursuite de la pratique entraîne une diminution du coût de récupération; Les résultats sont les mêmes que l on entraîne via une procédure ou qu on induise un apprentissage par cœur des associations;

15 Alpharithmétique Barrouillet & Fayol, 1998 Série initiale Ajouts Série attendue C LT AHT D E G KS IQ CJV CKQH -2 AIOG

16 Alpharithmétique Barrouillet & Fayol, Chiffres Lettres Pourcentages d erreurs de production en classe de Première

17 Alpharithmétique Barrouillet & Fayol, Chiffres Lettres Pourcentages d erreurs aux items chiffres et lettres en CE1 (deuxième primaire)

18 Alpharithmétique Barrouillet & Fayol, 1998 Comparaison des pourcentages d erreurs en Première (gauche) et en CE1 (droite) aux chiffres et aux lettres Chiffres Lettres Chiffres Lettres

19 Alpharithmétique: conclusions Barrouillet & Fayol, 1998 Chez les jeunes enfants (CE1), les chiffres et les lettres donnent lieu au même patron de performance : les erreurs augmentent avec le nombre de pas (+ ou - 1, 2, ) et le nombre d éléments à transformer; Chez les adultes, seules les lettres font apparaître ce patron, pas les chiffres; Les enfants traitent les additions et soustractions de manière procédurale; évolution vers la récupération liée à la pratique;

20 L amorçage par le signe L addition reste-t-elle toujours procédurale, au moins potentiellement? Roussel, Fayol & Barrouillet, 2001 Fayol et al., en préparation

21 Rappel sur l opposition procédural/déclaratif Les connaissances déclaratives sont des chunks (ou instances) qui encodent des contenus spécifiques (3, 4, 12, 7) et qui ne peuvent être activées que par ceux-ci; leur récupération est sujette aux interférences entre items car beaucoup d items sont activés par un petit nombre d éléments (i.e. les dix chiffres de 0 à 9);

22 Rappel sur l opposition procédural/déclaratif Les connaissances déclaratives sont des chunks (ou instances) qui encodent des contenus spécifiques (3, 4, 12, 7) et qui ne peuvent être activées que par ceux-ci; leur récupération est sujette aux interférences entre items car beaucoup d items sont activés par un petit nombre d éléments (i.e. les dix chiffres de 0 à 9); Les connaissances procédurales sont des règles de production générales (i.e. elles contiennent des variables), abstraites, activées par des buts, largement insensibles aux interférences; elles sont amorçables (Sohn & Carlson, 1998);

23 Hypothèse procédural/déclaratif La présentation du signe (+ vs x) avant l apparition des opérandes devrait amorcer la résolution des additions car elle repose (aussi) sur une procédure mais pas la résolution des multiplications, qui dépend des contenus spécifiques encodés;

24 Hypothèse procédural/déclaratif La présentation du signe (+ vs x) avant l apparition des opérandes devrait amorcer la résolution des additions car elle repose (aussi) sur une procédure mais pas la résolution des multiplications, qui dépend des contenus spécifiques encodés; Prédictions : TR réduits pour + (et -) mais pas pour x; Effets classiques : effet de taille plus important pour addition que pour multiplication; interférences plus importantes avec les multiplications;

25 Trois expériences Tâche de jugement (vrai vs faux) d opérations (2 x 7 = 9?); Opérations petites (2 7, 3 6, 5 3, 8 2) vs grandes (4 9, 6 8, 9 7, 8 4); Résultat proposé (2 7) : vrai (14), faux interférent (9), faux non interférent (10); Signe (+ vs x) présenté soit avant (-300, -150, -70 ms) soit en même temps (0) soit après (+150, +240, +300, +500) ms (Exp. 1 et 2); -150, 0, +150 Exp. 3;

26 Gains associés à la présentation préalable du signe Gains par rapport à la condition Oms Petites additions Grandes additions

27 Gains associés à la présentation préalable du signe Gains par rapport à la condition Oms Petites additions Grandes additions Petites multiplications Grandes multiplications

28 Amorçage par le signe: résultats Additions toujours vérifiées plus lentement que multiplications; Amorçage par le signe pour les seules additions, à -300 et -150 ms mais pas à -70 ms (temps nécessaire pour activer une procédure en MT; modèle ACT*) ; multiplications résolues par récupération directe en mémoire; additions «résolvables» par procédure; Effet de taille plus important pour additions que pour multiplications; Effet d interférence pour les multiplications, pas pour les additions;

29 Amorçage par le signe: conclusion Tous les modèles d apprentissage prévoient que les opérations + et x sont résolues à 100% par récupération; les données empiriques ne vérifient pas cette prédiction (LeFevre et al., 1996a, 1996b); Tous les modèles (sauf Baroody, 1983) postulent que la récupération est toujours plus rapide que l emploi de la procédure; en est-on certain? Comment procédez-vous pour résoudre ? Envisageable que les additions conservent toujours une dimension procédurale et que celle-ci soit souvent (?) aussi rapide et efficace que la récupération; Généralisation à la soustraction en production (Fayol & Berger, en cours);

30 Extension à la soustraction Fayol et al., en préparation Tâche de production (enregistrement des TR avec clé vocale); Adultes; Trois opérations : Additions; Soustractions; Multiplications; Deux tailles: petites et grandes; Trois SOA : -150, 0, +150 ms

31 Résultats Gains par rapport à la condition Oms Petites Grandes Addition Soustraction Multiplication Seules l addition et la soustraction présentent un gain associé à la présentation anticipée du signe.

32 Pourquoi certains individus ne parviennent-ils pas à mémoriser les faits arithmétiques? Deux hypothèses : encodage vs récupération des associations Thevenot, Fayol, & Barrouillet, 2001 Thevenot, Fanget, & Fayol, 2007 Barrouillet, Fayol, & Lathulière, 1997

33 L hypothèse d encodage Un nouveau paradigme Thevenot, Barrouillet, & Fayol, 2001 Thevenot, Fanget, & Fayol, 2007

34 Difficulté du passage du procédural au déclaratif Tous les modèles postulent un passage systématique du traitement procédural (e.g. le comptage) à la mise en mémoire des faits (Logan, 1988; Siegler, 1996); Pourtant, de nombreux adultes ne récupèrent pas en mémoire tous les faits simples (e.g., 7 + 8) (LeFevre et al, 1996); Pourquoi? Deux hypothèses difficultés de mémorisation vs difficultés de récupération

35 Difficulté de mémorisation : passage du procédural au déclaratif La mémorisation d une association (chunk ou instance) entre deux opérandes et un résultat nécessite la présence des trois dans le même focus attentionnel (Logan, 1988; Logan et al., 1996); dépend donc des ressources d attention disponibles;

36 Difficulté du passage du procédural au déclaratif La mémorisation d une association (chunk ou instance) entre deux opérandes et un résultat nécessite la présence des trois dans le même focus attentionnel (Logan, 1988; Logan et al., 1996); dépend donc des ressources d attention disponibles; La mise en œuvre d un algorithme (e.g. le comptage) est lente et coûteuse, particulièrement chez les enfants (Siegler, 1996); en conséquence, le temps mis pour atteindre le résultat pourrait entraîner une diminution de l activation des opérandes et des traces en mémoire (Towse & Hitch, 1995); une fois l algorithme achevé, les opérandes ne seraient plus assez activés pour permettre la constitution d un chunk en mémoire;

37 Regardez

38 Regardez 65 vrai ou faux?

39 Regardez Avez-vous vu 37?

40 Regardez 43 69

41 Regardez 52 est-il entre les deux nombres?

42 Regardez Avez-vous vu 69?

43 Hypothèses La résolution d opérations par application d algorithmes dégrade les traces mémorielles des opérandes: augmentation des erreurs et des durées de reconnaissance des opérandes; La (simple) comparaison ne dégrade pas les traces: les erreurs sont plus rares et les durées de reconnaissance plus brèves;

44 Résultats Addition Soustraction Comparaison Réponses correctes Reconnaissan ces correctes A et S contre C.98 TR A et S contre C 1401 L exécution d un algorithme dégrade les traces mémorielles des opérandes et rend difficile la mémorisation des associations entre opérandes et résultats. D autant plus que l algorithme demande de temps : effet de taille.

45 Difficultés de remémoration Les effets d interférence Barrouillet, Fayol & Lathulière, 1997

46 Effet de l entraînement sur l apprentissage des multiplications. Effet d interférence Healy et al. 1995

47 Production de résultats aux multiplications simples Barrouillet, Fayol & Lathulière, 1997 Exp. 1: 20 élèves de 5ème SEGPA (13;8 ans) (Difficultés d Apprentissage = DA) et 24 élèves de 4ème (13;6 ans) (Sans Difficulté = SD); Tous doivent résoudre ne temps limité 64 multiplications m x n avec m et n entre 2 et 9; Temps limité déterminé par la durée de résolution d opérations de types 3 x 1, etc.;

48 Résultats Réussites 74% (DA) contre 92% (SD) : 85% des erreurs sont dans la Table de multiplications (mêmes proportions pour DA et SD); 68% de ces erreurs sont dans la table de l un des 2 opérandes; Qu est-ce qui prédit les erreurs?

49 Résultats Réussites 74% (DA) contre 92% (SD) : 85% des erreurs sont dans la Table de multiplications (mêmes proportions pour DA et SD); 68% de ces erreurs sont dans les tables de l un des 2 opérandes; Qu est-ce qui prédit les erreurs? - La taille des résultats (produit m x n) : 43% de variance; plus le produit est grand, plus fréquentes sont les erreurs; - Le nombre de produits aboutissant au même résultat (4 x 6; 6 x 4; 3 x 8; 8 x 3) : 12 et 24 ont un taux élevé d échec (e.g. : 8 x 3 70 et 88%; 3 x 8 65 et 92%; 4 x 6 60 et 88%; 6 x 4 55 et 96%); 5% de variance; seulement les DA;

50 Résultats : corrélations Barrouillet, Fayol & Lathulière, 1997 Wheeler Campbell & Graham, 1995 Adultes.76 Wheeler (1941) 3ème primaire DA B, F, & L Les patrons de réussite sont très proches entre tous les participants, enfants et adultes.

51 Tâche de jugement Barrouillet, Fayol & Lathulière, élèves DA de 13;9 ans; 33 problèmes (e.g. 3 x 4) associés chacun à quatre résultats; doivent choisir le résultat exact en 7 sec.: Exact : 12; Non interférent (NI) : pas dans les Tables (13); Faiblement interférent (FI) : autres Tables que celles des deux opérandes (14); Très interférent (TI) : dans les Tables d un des deux interférents (9, 15, 16);

52 Résultats Epreuve de choix NI FI TI % réussite La difficulté se situe au niveau de la sélection de la bonne réponse parmi les compétiteurs.

53 En résumé La question des modes de résolution n est pas tranchée : procédure vs récupération; Les performances lors de l utilisation des faits peuvent être faibles pour au moins deux raisons: Des difficultés d encodage, liées par exemple à des ressources trop faibles en attention ou en mémoire; Des difficultés de récupération, en particulier; Des difficultés de consolidation, non étudiées jusqu alors;

54 Pour conclure A suivre La question de l apprentissage; Celle du coût de résolution et des procédures

55 Des types différents d opérations Les données de la littérature suggèrent que les opérations impliquant 0 et 1 sont résolues par des procédures (i.e., des règles); Que les doubles (e.g., 3 + 3) sont systématiquement récupérés en mémoire; Que les petites opérations (m et n < 5) sont systématiquement récupérées; Que les grandes opérations sont plus rarement récupérées et donnent lieu à l emploi de procédures diverses;

56 Comment ces types d opérations réagissent-ils à l entraînement? Deux classes de CE2 : 18 élèves entraînés ( E), 9 témoins suivant un enseignement usuel (SE); Entraînement durant 7 sessions de 6 jours chacune : 54 opérations (+, -, x) entraînées systématiquement par groupes de 9 (+, -, x) chaque jour; Pré-test (mars); post-test1 (juin); post-test2 (octobre);

57 Comment ces types d opérations réagissent-ils à l entraînement? Pré-test : Mesure de l empan de lettres en mémoire à court terme; Présentation de 30 opérations (5 avec 0; 5 avec 1; 5 doubles; 5 petites; 10 grandes); Procédures : série de lettres (= empan de chaque enfant) puis opération puis réponse puis rappel des lettres; VD : Distance à l empan (DE) = Nombre de lettres de l empan - Nombre de lettres rappelées; Plus une opération est difficile et plus la MCT est sollicitée, moins elle peut retenir d éléments secondaires (par rapport à la résolution), et donc plus la distance à l empan augmente;

58 Comment ces types d opérations réagissent-ils à l entraînement? Résultats: Réussites : TB avec 0 dès juin; excellentes (100%) avec Un; TB avec Doubles pour + et - mais environ 20% d erreurs avec x; TB avec petites (3% erreurs); Grandes : 5 à 6% d erreurs avec + et -; environ 30% avec x; DE sur les opérations réussies: La DE diminue avec l entraînement pour les opérations avec 0 et Un et avec les Doubles et les Petites; Homogénéisation des performances avec l entraînement; pas vrai dans le Groupe; Trop d erreurs avec les Grandes pour étudier les variations de DE; DE plus faible avec + qu avec - et x (ne diffèrent pas); avec Un < 0 et Doubles < Petites;

59 Recherche d indicateurs permettant de Mieux comprendre les difficultés et leurs origines : encodage, consolidation, récupération, interférence; Mieux concevoir les interventions en les adaptant aux difficultés spécifiques;

60 Merci pour votre attention