La géométrie : d Euclide au GPS

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1 La géométrie : d Euclide au GPS Stéphane Vinatier Université de Limoges - Faculté des Sciences et Techniques - IREM Lycée Limosin, Limoges - 26 mars 2013

2 Euclide Euclide aurait vécu et écrit vers 300 avant notre ère, sans doute à Alexandrie où il aurait été à la tête d une «école», entouré de disciples.

3 Euclide et son œuvre Son ouvrage majeur, les Éléments (sans doute au moins en partie collectif), est resté un livre de référence pendant plus de 2000 ans, pour la recherche et pour l enseignement.

4 Les Éléments d Euclide Sont constitués de 13 livres : 1-6 Géométrie plane (dont le théorème de Pythagore) 7-9 Arithmétique (dont l algorithme d Euclide) 10 Nombres irrationnels ( 2...) Géométrie dans l espace (construction des 5 solides réguliers)

5 Les Éléments d Euclide Sont constitués de 13 livres : 1-6 Géométrie plane (dont le théorème de Pythagore) 7-9 Arithmétique (dont l algorithme d Euclide) 10 Nombres irrationnels ( 2...) Géométrie dans l espace (construction des 5 solides réguliers)

6 Les Éléments d Euclide Sont constitués de 13 livres : 1-6 Géométrie plane (dont le théorème de Pythagore) 7-9 Arithmétique (dont l algorithme d Euclide) 10 Nombres irrationnels ( 2...) Géométrie dans l espace (construction des 5 solides réguliers) L ouvrage rassemble une grande partie des connaissances mathématiques de l époque. Il tente de les présenter de façon rigoureuse, en donnant des définitions des objets et en déduisant les propositions à partir de postulats (propriétés admises).

7 Quelques définitions o Le point est ce qui n a aucune partie. o Une ligne est une longueur sans largeur. o Une ligne droite est une ligne également placée entre ses points, c est-à-dire c est le plus court chemin pour aller d un point à un autre.

8 Quelques définitions o Le point est ce qui n a aucune partie. o Une ligne est une longueur sans largeur. o Une ligne droite est une ligne également placée entre ses points, c est-à-dire c est le plus court chemin pour aller d un point à un autre. Ajoutons la définition suivante. o Deux lignes droites sont parallèles si elles n ont pas de point commun.

9 Les 5 postulats d Euclide 1. Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques.

10 Les 5 postulats d Euclide 1. Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques. 2. Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite.

11 Les 5 postulats d Euclide 1. Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques. 2. Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite. 3. Étant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l une de ses extrémités comme centre.

12 Les 5 postulats d Euclide 1. Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques. 2. Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite. 3. Étant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l une de ses extrémités comme centre. 4. Tous les angles droits sont congruents.

13 Les 5 postulats d Euclide 1. Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques. 2. Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite. 3. Étant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l une de ses extrémités comme centre. 4. Tous les angles droits sont congruents. 5. Si deux lignes sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d un côté est inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté.

14 Formalisation des mathématiques À partir de ces définitions et postulats, Euclide démontre «rigoureusement» toutes les propositions de la géométrie plane de l époque. Il s agit de la première formalisation connue de la géométrie, discipline déjà plus que millénaire à l époque d Euclide. Elle sera revisité, bien plus tard, par d autres grands mathématiciens. Hilbert, en 1899, montrera que la géométrie d Euclide nécessite en fait 20 postulats pour être parfaitement fondée. Entre temps...

15 Le 5 e postulat d Euclide Si deux lignes sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d un côté est inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté.

16 ...pose question Le 5 e postulat n a pas la même apparence que les précédents, il ressemble plutôt à une Proposition. Euclide prend d ailleurs soin de démontrer ses 28 premières Propositions sans l utiliser. Tous les grands mathématiciens qui suivent Euclide tentent de le déduire des 4 premiers postulats, ou de le remplacer par un postulat plus simple : Archimède (III e s. avant notre ère)... Ptolémée (II e s.)... Proclus (V e s.)... Khayyam (XI e s.)... Wallis et Saccheri (XVII e s.)... Legendre (XVIII-XIX e s.)...

17 ...pose question Le 5 e postulat n a pas la même apparence que les précédents, il ressemble plutôt à une Proposition. Euclide prend d ailleurs soin de démontrer ses 28 premières Propositions sans l utiliser. Tous les grands mathématiciens qui suivent Euclide tentent de le déduire des 4 premiers postulats, ou de le remplacer par un postulat plus simple : Archimède (III e s. avant notre ère)... Ptolémée (II e s.)... Proclus (V e s.)... Khayyam (XI e s.)... Wallis et Saccheri (XVII e s.)... Legendre (XVIII-XIX e s.)... sans succès!!

18 Le 5 e postulat version Proclus Depuis Proclus on sait que le 5 e postulat d Euclide : 5. Si deux lignes sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d un côté est inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté. est essentiellement équivalent à la forme plus connue : 5A. Par un point donné hors d une droite, on peut mener une et une seule parallèle à cette droite.

19 D autres progrès Khayyam étudie le lien entre le 5 e postulat et la somme des angles d un triangle : le 5 e postulat est équivalent à ce que la somme des angles d un triangle soit égale à 180 o Saccheri tente de démontrer le 5 e postulat par l absurde, mais n aboutit à aucune contradiction. Bien au contraire, partant de l hypothèse de l angle aigu (somme des angles d un triangle inférieure à 180 o ), il obtient de nouveaux théorèmes...

20 D autres progrès Khayyam étudie le lien entre le 5 e postulat et la somme des angles d un triangle : le 5 e postulat est équivalent à ce que la somme des angles d un triangle soit égale à 180 o Saccheri tente de démontrer le 5 e postulat par l absurde, mais n aboutit à aucune contradiction. Bien au contraire, partant de l hypothèse de l angle aigu (somme des angles d un triangle inférieure à 180 o ), il obtient de nouveaux théorèmes... qu il rejette : «L hypothèse de l angle aigu est absolument fausse car cela répugne à la nature de la ligne droite.»

21 Le 5 e postulat remis en cause Gauss, «le prince des mathématiciens», reprenant les travaux de Saccheri et de son successeur Lambert, se convainc de l existence de géométries «non euclidiennes», c est-à-dire dans lesquelles le 5 e postulat n est pas vrai. Il ne publie pas ses travaux sur la question, laissant à d autres la tâche de faire connaître ces nouvelles géométries : Bolyai, Lobatchevski puis Riemann. Sans l autorité de Gauss, ce n est pas chose aisée!

22 Les géométries non euclidiennes À la moitié du XIX e s. (ou fin XIX e pour les plus incrédules...), on sait qu il existe deux nouvelles géométries en plus de la géométrie euclidienne. Elles ont en commun les 4 premiers postulats d Euclide, tandis que le 5 e prend l une des formes suivantes : 5A. Par un point donné hors d une droite, on peut mener une et une seule parallèle à cette droite. 5B. Par un point donné hors d une droite, on ne peut mener aucune parallèle à cette droite. 5C. Par un point donné hors d une droite, on peut mener une infinité de parallèles à cette droite.

23 La géométrie euclidienne C est lorsque le 5 e postulat d Euclide est utilisé : 5A. Par un point donné, on peut mener une et une seule parallèle à une droite donnée. Ceci entraîne que la somme des angles d un triangle vaut 180 o. C est la géométrie la plus intuitive, celle qui semble correspondre le mieux à notre expérience de l espace qui nous entoure, du moins à l échelle humaine...

24 La géométrie sphérique (ou elliptique) Le 5 e postulat d Euclide est remplacé par : 5B. Par un point donné, on ne peut mener aucune parallèle à une droite donnée. Ceci entraîne que la somme des angles d un triangle est supérieure à 180 o. C est la géométrie de la sphère (donc à peu de choses près de notre Terre) : les droites (ou plus courts chemins d un point à un autre) sont les grands cercles, c est-à-dire les cercles tracés sur la sphère qui ont le même centre que celle-ci.

25 Les grands cercles d une sphère se coupent tous!

26 Les grands cercles d une sphère se coupent tous! Autrement dit, il n existe pas de droites parallèles non confondues.

27 Les grands cercles d une sphère et la somme des angles des triangles est supérieure à 180 o.

28 La géométrie hyperbolique Le 5 e postulat d Euclide est remplacé par : 5C. Par un point donné, on peut mener une infinité de parallèles à une droite donnée. Ceci entraîne que la somme des angles d un triangle est inférieure à 180 o. C est la moins intuitive des géométries. Poincaré en a donné plusieurs modèles, dont le disque qui porte son nom.

29 Le disque de Poincaré décrit par Poincaré : «Supposons un monde renfermé dans un grand disque et soumis à la loi suivante : la température n est pas uniforme ; elle est maxima au centre, et elle diminue à mesure qu on s en éloigne, pour se réduire au zéro absolu quand on atteint le bord du disque. Si ce monde est limité au point de vue de notre géométrie habituelle, il paraîtra infini à ses habitants. Quand ceux-ci, en effet, veulent se rapprocher de la sphère limite, ils se refroidissent et deviennent de plus en plus petits. Les pas qu ils font sont de plus en plus petits, de sorte qu ils ne peuvent jamais atteindre le disque limite.»

30 Un monde étrange Dans ce monde, les droites sont les arcs de cercles qui coupent la frontière du disque à angle droit et les diamètres du disque.

31 Des géométries non euclidiennes au GPS À la grande surprise de Poincaré lui-même, les géométries non euclidiennes se sont révélées essentielles pour la construction par Einstein en 1905 de la théorie de la relativité restreinte, puis plus encore ensuite pour la théorie de la relativité générale. Celle-ci prévoit que la gravitation doit modifier les fréquences et les longueurs d onde des rayonnements reçus et émis à distance. En conséquence, les horloges atomiques des satellites du système de positionnement GPS (Global Positioning System) nécessitent une correction pour compenser l effet dû à la gravité terrestre, du moins si l on souhaite atteindre la meilleure précision de mesure possible.

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