FONCTIONS USUELLES. 1 Fonctions logarithme, exponentielle et puissances. 1.1 Fonction logarithme et exponentielle

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1 FONCTIONS USUELLES Fonctions logarithme, eponentielle et puissances. Fonction logarithme et eponentielle Définition. Logarithme La fonction ln est l unique primitive de sur R + s annulant en. Proposition. Propriétés algébriques du logarithme Le logarithme transforme les produits en sommes : (, y) ( R +), ln y = ln + ln y et donc les quotients en différences : et les puissances en multiples : (, y) ( R ) +, ln = ln ln y y (, n) R + N, ln n = n ln Attention! Le produit y peut être strictement positif sans que et y le soient (ils peuvent être aussi tous deu strictement négatifs). Il ne faut donc surtout pas écrire ln y = ln +ln y si on n est pas sûr que et y sont strictement positifs. Si y est strictement positif, c est que y = y et on peut écrire sans prendre de risque ln y = ln + ln y Proposition. La fonction ln est dérivable sur R + et pour tout R +, ln () =. Définition. Eponentielle ln une bijection strictement croissante de R + sur R. On note ep sa bijection réciproque. Remarque. Le fait que ln et ep soient des bijections réciproques l une de l autre signifie que ln(ep()) = pour tout R et ep(ln()) = pour tout R +.

2 Proposition. Propriétés algébriques de l eponentielle L eponentielle transforme les sommes en produits : et donc les différences en quotients : (, y) R, ep( + y) = ep() ep(y) (, y) R, ep( y) = ep() ep(y) et les multiples en puissances : (, n) R N, e n = (e ) n Proposition.4 La fonction ep est dérivable sur R et pour tout R, ep () = ep. Variations de ln et ep ep () + ln () + ep() ln() Graphes des fonctions ln et ep 4 Graphe de ep Graphe de ln Fonctions puissances Définition. Puissances entières Si a R et n N, on pose a n = a } a {{ a }. n fois Si a R et n Z, on pose a n = a. n Si a R, on convient que a =.

3 Remarque. Ainsi, si a R, a n est défini pour tout n Z. Définition.4 Puissances quelconques Si a R + et b R, on pose a b = ep(b ln a). Une conséquence directe est que ln ( a b) = b ln a. Attention! Si a est négatif, on ne peut pas définir de puissances non entières de a. Remarque. Il est important de remarquer que les deu définitions des puissances coïncident. Autrement dit, si a R + et n Z, a n = ep(n ln a). Le nombre e On note e = ep() ou de manière équivalente on note e l unique antécédent de par ln. Pour tout R, e = ep( ln e) = ep(). C est pourquoi dorénavant, on notera e et non ep() l eponentielle d un réel. Proposition.5 Propriétés algébriques Lorsque les epressions suivantes ont un sens a+b = a b ab = ( a ) b = ( b) a (y) a = a y a a = a = a Eemple. Pour tout n Z, ( n ) = n+. Définition.5 Fonction puissance On appelle fonction puissance toute fonction du type α où α R. Proposition.6 Ensemble de définition Si α N, α est définie sur R. Si α Z, α est définie sur R. Si α R \ Z, α est définie sur R +. Remarque. Si α >, on peut prolonger par continuité la fonction α par en. Si α =, on peut prolonger par continuité la fonction α par en. Proposition.7 Parité Soit n Z. La fonction n a la parité de n. Remarque. Si α R \ Z, la fonction α n est ni paire ni impaire puisque son domaine de définition n est pas symétrique par rapport à.

4 Proposition.8 Dérivabilité Si α N \ {, }, α est dérivable sur R de dérivée α α. Si α Z, α est dérivable sur R de dérivée α α. Si α R \ Z, α est dérivable sur R + de dérivée α α. Remarque. Si α >, on peut prolonger α par en et ce prolongement est dérivable en de dérivée nulle. Attention! Si l eposant est une fonction, il ne faut pas dériver n importe comment. En clair, la dérivée de f() n est pas f() f(). Méthode Dériver des fonctions de la forme f() g() L idée est de se ramener à la forme eponentielle f() g() = ep (g() ln f()). On dérive alors comme une composée. Eercice. Déterminer le domaine de dérivabilité et la dérivée de. Variations et limites : cas des puissances entières n n + n n + + n n entier pair strictement positif n n entier impair strictement positif n n + n n + n n n entier pair strictement négatif n entier impair strictement négatif Remarque. Vous m épargnerez le cas n =... Remarque. Si n est pair strictement positif, n réalise une bijection de R + sur dr +. Si n est impair strictement positif, n est une bijection de R sur R. Si n est pair strictement négatif, n réalise une bijection de R + sur dr +. Si n est impair strictement négatif, n est une bijection de R sur R. 4

5 Variations et limites : cas des puissances non entières α α + α α α n α > α < Remarque. Pour α, la fonction α réalise une bijection de R + sur R +. Sa bijection réciproque est la fonction α. Graphes : cas des puissances entières Graphe de n suivant les valeurs de n n > pair n > impair n = n = n < pair n < impair 5

6 Graphes : cas des puissances non entières Graphe de α suivant les valeurs de α α > α = < α < α = α < Racines n èmes Si n est un entier naturel impair, n est une bijection de R sur R. Sa bijection réciproque est notée n et elle est définie sur R. Si n est un entier naturel pair non nul, n induit une bijection de R + sur R +. Sa bijection réciproque est encore notée n et elle est définie sur R +. De plus, pour tout n N et tout R n +, = n. Attention! Soit n N \ {, }. La notation n n a aucun sens pour. La notation n n a de sens pour que si n est impair. Attention! Les racines n èmes notées n n ont pas grand-chose à voir avec les racines n èmes d un complee. Un nombre complee fût-il réel admet n racines n èmes complees (sauf s il est nul, bien entendu) tandis qu un nombre réel admet au plus une racine n ème dans le sens n. Des notations du style n z ou z n avec z complee non réel n ont AUCUN SENS. Remarque. Pour tout n N \ {, }, la fonction n est dérivable sur son ensemble de définition privé de.. Croissances comparées Lemme. ln lim = L idée à retenir est, qu en, l eponentielle l emporte sur la puissance, qui elle-même l emporte sur le logarithme. 6

7 Proposition.9 Croissances comparées Soit (a, b) (R +). (ln ) b lim lim a = lim a ln b = + e a = lim b b e a = Eercice. Déterminer lim. + Fonctions circulaires directes et réciproques. Fonctions circulaires directes On appelle fonctions circulaires ou trigonométriques directes les fonctions sin, cos et tan. On se reportera au chapitre Trigonométrie pour les définitions et les différentes formules. Rappel Fonctions trigonométriques La fonction sin est définie sur R, -périodique et impaire. La fonction cos est définie sur R, -périodique et paire. La fonction tan est définie sur R \ ( + Z), -périodique et impaire. Lemme. sin lim = Proposition. Dérivabilité Les fonctions cos, sin et tan sont dérivables sur leur ensemble de définition et sin = cos cos = sin tan = + tan = cos Eercice. Calculer les dérivées successives de sin et cos 7

8 Variations et limites sin () / / + sin() / / cos () + cos() tan () / / + tan() 8

9 Graphes Graphe de sin Etude sur [ ], Prolongement par symétrie d ae = Prolongement par parité Prolongement par -périodicité Graphe de cos Etude sur [ ], Prolongement par symétrie de centre (, ) Prolongement par parité Prolongement par -périodicité Graphe de tan Etude sur [ ], Prolongement par parité Prolongement par -périodicité 9

10 . Fonctions circulaires réciproques Définition. La fonction sin induit une bijection strictement croissante de arcsinus sa fonction réciproque notée arcsin. [, ] sur [ ; ]. On appelle fonction La fonction cos induit une bijection strictement décroissante de [, ] sur [, ]. On appelle fonction arccosinus sa fonction réciproque notée arccos. ] La fonction tan induit une bijection strictement croissante de, [ sur R. On appelle fonction arctangente sa fonction réciproque notée arctan. Remarque. [ La fonction arcsin est donc une bijection de [, ] sur, ]. Pour [, ], arcsin est l unique réel [ de, ] dont le sinus vaut. La fonction arccos est donc une bijection de [, ] sur [, ]. Pour [, ], arccos est l unique réel de [, ] dont le cosinus vaut. ] La fonction arctan est donc une bijection de R sur, [. Pour R, arctan est l unique réel de ], [ dont la tangente vaut. Angles usuels arcsin arccos arctan Ensemble de définition et image Les fonctions arcsin et arccos sont définies sur [, ] et la fonction[ arctan est définie sur R. L image des fonctions arcsin, arccos et arctan sont respectivement, ], [, ] et ], [.

11 Variations et limites arcsin() arccos() arctan() Proposition. Parité Les fonctions arcsin et arctan sont impaires. La fonction arccos n est ni paire ni impaire. Remarque. On a néanmoins pour [, ], arccos( ) = arccos.

12 Graphes Graphe de arcsin Graphe de sin Graphe de arccos Graphe de cos Graphe de arctan Graphe de tan

13 Proposition. [, ], sin(arcsin ) = R, arcsin(sin ) = [, ] [, ], cos(arccos ) = R, arccos(cos ) = [, ] R, tan(arctan ) = ( ) R \ + Z, arctan(tan ) = ], [ Attention! arcsin sin Id, arccos cos Id et arctan tan Id. En effet, arcsin, arccos et arctan sont des bijections réciproques de restrictions de sin, cos et tan. Eemple. On a sin 5 6 = mais arcsin = car 5 [ 6 /, ]. On a cos = mais arccos = car / [, ]. On a tan 5 4 = mais arctan = car 5 ] 4 /, [. Eercice. Construire les courbes représentatives des fonctions arcsin sin, arccos cos et arctan tan. Proposition.4 [, ], sin(arccos ) = cos(arcsin ) = Eercice. Une somme d arcsinus Prouver l égalité suivante : 5 arcsin + arcsin = arcsin Eercice.4 Résoudre l équation arcsin() = arccos(). Proposition.5 Dérivabilité Les fonctions arcsin et arccos sont dérivables sur ], [ et la fonction arctan est dérivable sur R. ], [, arcsin () = ], [, arccos () = R, arctan () = + Attention! Les fonctions arcsin et arccos ne sont pas dérivables en et.

14 Proposition.6 [, ], arcsin + arccos = R, arctan + arctan = signe() Fonctions hyperboliques Définition. Fonctions hyperboliques On appelle sinus hyperbolique, cosinus hyperbolique et tangente hyperbolique les trois fonctions notées respectivement ch, sh et th telles que pour tout R : sh = e e ch = e + e th = sh ch Remarque. Les formules définissant sh et ch sont les analogues des relations d Euler permettant de définir sin et cos à partir de l eponentielle complee. La seule différence est qu ici, les eponentielles sont réelles. Formulaire de trigonométrie hyperbolique Formule fondamentale : Formules d addition : ch sh = ch(a + b) = ch a ch b + sh a sh b sh(a + b) = sh a ch b + ch a sh b th(a + b) = th a + th b + th a th b ch(a b) = ch a ch b sh a sh b sh(a b) = sh a ch b ch a sh b th(a b) = th a th b th a th b Formules de duplication ch a = ch a + sh a = ch a = sh a + sh a = sh a ch a th a = th a + th a Remarque. Seule la première formule est eplicitement au programme. On doit néanmoins être capable de retrouver les autres formules facilement. Les formules de trigonométrie hyperbolique sont évidemment très analogues au formules de trigonométrie usuelle. Il suffit en fait de se rappeler quand les signes se transforment en signe + et réciproquement. Proposition. Parité Les fonctions sh et th sont impaires et la fonction ch est paire. Proposition. Dérivabilité Les fonctions sh, ch et th sont dérivables sur R et sh = ch ch = sh th = th = ch 4

15 Eercice. Calculer les dérivées successives de sh et ch. Variations et limites sh () + sh() ch () + ch() th () + th() + 5

16 Graphes 4 Graphe de sh Graphe de ch Graphe de th