COMPOSITION DE MATHEMATIQUES - INFORMATIQUE
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- Adam Villeneuve
- il y a 7 ans
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1 Première L COMPOSITION DE MATHEMATIQUES - INFORMATIQUE Mai 2007 Durée de l épreuve : 1 h 30 Le candidat doit traiter les 2 exercices La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des justifications entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. L usage de la calculatrice est autorisé. Le sujet comporte 4 pages, y compris celle-ci. 1
2 Exercice 1 : Fréquences cardiaques (12 points) On a étudié les fréquences cardiaques d un groupe de 60 sportifs amateurs hommes et femmes (appelé groupe I), pratiquant leur sport de 2 à 4 fois par semaine. La fréquence cardiaque est le nombre de pulsations du cœur par minute. Pour chacun de ces sportifs du groupe I, on mesure la fréquence cardiaque au repos (FCR) c'est-àdire la fréquence cardiaque la plus faible rencontrée chez cette personne, mesurée après plusieurs essais après une longue période de calme et de repos. Les résultats de cette étude sont récapitulés dans le tableau ci-dessous où les fréquences cardiaques au repos (FCR) des 60 sportifs du groupe I sont classées par ordre croissant. 1) a) Déterminer la médiane ainsi que les premier et troisième quartiles de la série des FCR. b) Construire sur l axe D 1 de l annexe un diagramme en boîte pour cette série. 2) a) Compléter le tableau de l annexe et tracer, sur la copie, une représentation graphique de la série des FCR des 60 sportifs du groupe I. b) Calculer la moyenne x de cette série. 3) a) On suppose que les FCR des sportifs du groupe I sont des données gaussiennes dont l écart type σ est égal à 4,06. Déterminer l intervalle [52-2σ ;52 + 2σ ]. Comment nomme-t-on cet intervalle? b) Calculer le pourcentage de sportifs dont la FCR est située dans cet intervalle. Etait-il possible de prévoir ce résultat? Expliquer. 4) On souhaite comparer les FCR des sportifs du groupe I aux FCR d un groupe de 60 personnes pratiquant peu d activité physique (appelé groupe II). L étude des FCR des personnes du groupe II a donné les résultats suivants : Moyenne : 59,8 Ecart-type : 6,23 Médiane : 60 Premier quartile : 57 Troisième quartile 63 Valeur minimale : 45 Valeur maximale : 70 a) Sur l axe D 2 de l annexe, tracer un diagramme en boîte pour les FCR des personnes du groupe II. b) Quelle incidence semble avoir la pratique régulière d activités sportives sur la FCR d un individu? Age FCR Age FCR
3 Exercice 2 : Datation par le Carbonne 14 (8 points) La technique de «datation par le Carbone 14» permet, en mesurant la radioactivité naturelle de certains échantillons, d en donner l âge. Par exemple, les peintures des grottes de Lascaux en France ont pu être datées à ans avant Jésus-Christ. Cette technique repose sur deux principes : Tout organisme présente, de son vivant, la même radioactivité que le gaz carbonique atmosphérique. Nous l appellerons radioactivité normale. On suppose cette radioactivité constante. A sa mort, sa radioactivité est divisée par 2 tous les ans environ. Cette durée de ans est appelée une demi-vie. La radioactivité d un échantillon sera exprimée en pourcentage de la radioactivité normale. On définit ainsi le taux de radioactivité de cet échantillon. Par exemple un morceau de bois fraîchement coupé à un taux de radioactivité de 100%. Ce même morceau de bois, ans après aura un taux de radioactivité de 50%. Nous utilisons une feuille de calcul d un tableur pour obtenir d autres taux : A B C D E F G H I J 1 Age de l échantillon (en demi-vies) Age de l échantillon (en années) Taux de radioactivité (en %) 1) Compléter le tableau sur la feuille annexe. Les résultats seront arrondis au dixième. 2) En déduire une formule de calcul qui pourrait être saisie dans la cellule C3. Cette formule devra pouvoir être recopiée vers la droite jusqu à la cellule J3. 3) Représenter la suite des taux de radioactivité en fonction de l âge de l échantillon en années. On prendra comme unités : 1 cm pour ans en abscisse et 1 cm pour 10% en ordonnée. 4) A l aide de la courbe constituée des segments de droite joignant les points successifs, déterminer graphiquement, à ans près, l âge d un site archéologique, sachant que le taux de radioactivité d un échantillon représentatif de ce site est de 20%. Barème : Ex 1 : 12 points( ) Ex 2 : 8 points ( ) 3
4 Annexes NOM : Prénom : Exercice 1 Axe D Axe D FCR Nombre d individus Exercice 2 A B C D E F G H I J 1 Age de l échantillon (en demi-vies) Age de l échantillon (en années) Taux de radioactivité (en %) 4
5 CORRECTION Exercice 1 : Fréquences cardiaques (10 points) 1. a. Pour un effectif de 60 : Le premier quartile est la valeur de rang 15 : Q1 = 50 La médiane est la moyenne des valeurs de rangs 30 et 31 : Med = 52 Le troisième quartile est la valeur de rang 45 : Q3 = 54 b. Voir graphique 2. a. FCR Nombre d individus On peut représenter les FCR du groupe 1 par un diagramme en barres : FCR du groupe FCR ou par un histogramme :
6 CORRECTION 2. b. La moyenne de la série vaut : 3120 / 60 = 52 pulsations par minute. Remarque : l utilisation d une calculatrice (voir page 90) s impose. 3. a. L intervalle donné est appelé la plage de normalité à 95%. µ 2 σ ; µ + 2σ = 43,88 ; 60,12 Annexe : On obtient : [ ] [ ] b. Il y a trois individus hors de cet intervalle, donc dans cet intervalle : 57 sur 60 soit 19 sur 20 ou 95% Ce résultat était prévisible car il est commun à toutes les données gaussiennes. Axe D Axe D a. Diagrammes b. Tous les paramètres ainsi que les diagrammes montrent que la pratique régulière d activités sportives semble faire baisser la FCR. Exercice 2 : Datation par le Carbonne 14 (8 points) 1. Age de l'échantillon (en demi-vies) Age de l'échantillon (en années) Taux de radioactivité(en %) ,0 50,0 25,0 12,5 6,3 3,1 1,6 0,8 0,4 2.En C3 on a la formule «=B3/2» 3. 6
7 CORRECTION taux 120,0 100,0 80,0 60,0 40,0 20,0 0,0 Taux de radioactivité(en %) années 1. D après le graphique l âge A du site est environ A l aide d une interpolation linéaire : A = donc A = =
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