Perturbations extrêmes sur la dérive de mortalité anticipée Application à un régime de rentes

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1 Perurbaions exrêmes sur la dérive de moralié anicipée Applicaion à un régime de renes Frédéric Planche Marc Juillard Ψ Pierre-E. Thérond α ISFA Laboraoire SAF β Universié de Lyon - Universié Claude Bernard Lyon WINTER & Associés γ Résumé L objecif de ce ravail es de proposer un modèle réalise e opéraionnel pour mesurer le risque sysémaique associé à la consrucion de ables de moralié prospecives. Une applicaion du modèle à l évaluaion de l engagemen d un engagemen de reraie es proposée. Le modèle présené es consrui sur la base d un modèle de Lee-Carer. Les ables prospecives sochasiques son obenues en modélisan l inceriude aachée au paramère de endance du modèle. MOTS-CLEFS : Tables prospecives, exrapolaion, lissage, renes viagères, moralié sochasique. Absrac The aim of his paper is o propose a realisic and operaional model o quanify he sysemaic risk of moraliy included in an engagemen of reiremen. The model presened is buil on he basis of model of Lee-Carer. The sochasic prospecive ables hus buil make i possible o projec he evoluion of he random moraliy raes in he fuure and o quanify he sysemaic risk of moraliy. KEYWORDS: Prospecive ables, exrapolaion, adjusmen, life annuiies, sochasic moraliy. Mars 2008 version.0 Frédéric Planche es doceur en sciences de gesion, Professeur associé à l ISFA e acuaire associé chez WINTER & Associés. Conac : fplanche@winer-associes.fr Ψ Marc Juillard es acuaire chez WINTER & Associés. Conac : mjuillard@winerassocies.fr α Pierre Thérond es doceur en sciences de gesion, chargé de cours à l ISFA e acuaire chez WINTER & Associés. Conac : pherond@winer-associes.fr β Insiu de Science Financière e d Assurances (ISFA) - 50 avenue Tony Garnier Lyon Cedex 07 France. γ WINTER & Associés avenue de la Grande Armée Paris e 8 avenue Félix Faure Lyon France.

2 . Inroducion Lors de la consrucion d une able de moralié prospecive par la méhode de Lee & Carer (992) ou l un de ses dérivés (cf. Planche & Thérond (2006)), on es condui à esimer la endance fuure au ravers de la modélisaion du coefficien ( k, M ). Cee modélisaion me en général en évidence une endance linéaire. Deux risques son aachés à cee modélisaion. On consae ou d abord que si la forme de la endance es robuse, noammen relaivemen au choix de la période d observaion, son niveau ne l es pas comme l illusre la Figure qui reprend la endance esimée à parir de différenes périodes d observaion sur les données naionales françaises. Figure - Tendances esimées dans Lee-Carer en foncion de la période d observaion [ ] [ ] [ ] [ ] La prise en compe de ce risque es abordée dans Planche [2007]. Quand bien même la endance serai correcemen posiionnée, les flucuaions auour de cee endance, e noammen les chocs à la baisse, fon porer aux engagemens d assurance en cas de vie à long erme (esseniellemen les renes viagères en cours de service ou différées) un risque sysémaique qu il convien de quanifier. En effe, qu il s agisse du piloage d un régime de renes ou uniquemen de l évaluaion de son engagemens, ce poin es pariculièremen imporan. Dans le proje Solvabilié 2, les ess d impacs quaniaifs effecués par les assureurs en vue de calibrer la fuure formule sandard d évaluaion de l exigence de fonds propres inègren le risque de longévié au ravers d un choc à la baisse sur les aux de moralié de la able bes esimae. Dans une approche de ype modèle inerne, il faudra, en oue rigueur, modéliser les chocs sur les niveaux de moralié fuurs d auan plus que ceux-ci son généralemen sysémaiques e ne se muualisen pas par l effe aille du porefeuille. Cee observaion condui à rechercher une modélisaion de la endance qui, ou en respecan l allure générale linéaire, prenne en compe des chocs dissymériques imporans els qu on peu les observer sur les données -2-

3 hisoriques. Nous proposons ici une elle approche e l appliquons à la mesure du risque sysémaique poré par un régime de renes viagères. En praique, l hypohèse de moralié déerminise es donc remplacée par une hypohèse de moralié sochasique, l inceriude sur la able raduisan la volailié associée aux déviaions par rappor à la endance de référence. Il s avère que ce risque es poeniellemen non négligeable, e doi dès lors êre pris en compe dans le cadre des normes compables IFRS ainsi que dans le conexe des règles prudenielles Solvabilié 2. Le présen aricle complèe les analyses présenées dans Planche e al. (2006) e Planche e Juillard (2007), auquel le leceur pourra se référer pour les déails méhodologiques des modèles de base. Ce ravail s aricule en deux paries. Dans la première, le modèle de endance es spécifié puis esimé sur des données naionales françaises. Dans la seconde, sur les bases de ce modèle, l analyse du risque d un régime de renes viagères en cours de service es proposée. 2. Le modèle de moralié 2.. Présenaion Le modèle reenu pour consruire les ables prospecives es un modèle sochasique adapé du modèle de Lee e Carer (992). On rappelle que la modélisaion proposée pour le aux insanané de moralié dans Lee-Carer es la suivane : ln μ x =α x +β x k +ε x, avec les noaions usuelles (x indice l âge e la généraion) e en supposan les variables aléaoires ε x indépendanes e ideniquemen disribuées e que l on dispose d un hisorique m M. La quesion de l ajusemen des paramères du modèle n es pas abordée ici. Le leceur inéressé pourra se reporer aux nombreuses références sur le suje ciées dans Planche e Thérond (2006). Une fois ajusée la surface de moralié sur les données passées, il rese à k pour exrapoler les aux fuurs ; pour cela, on uilise la modéliser la série ( ) modélisaion la plus simple que l on puisse imaginer, une régression linéaire en supposan une endance affine : avec ( γ ) un brui blanc. k = a+ b+γ, * Touefois, alors que dans les approches usuelles, ce brui es supposé gaussien ou suivre un processus ARIMA, on le suppose ici décri par un modèle condiionnel, qui disingue rois plages parmi les résidus de l ajusemen des ( ) k empiriques : la proporion p des résidus les plus peis, la proporion p + des résidus les plus grands ; e les ( p p ) + résidus cenraux, faibles en valeur absolu

4 Compe enu du faible nombre de données disponibles (une cinquanaine d observaions) e du fai que l on s inéresse ici aux grandes variaions par rappor à la endance (les faibles écars éan sans incidence praique), on fixe + arbirairemen p = p+ = 0, 429. De plus, on suppose que l écar posiif γ par rappor à la valeur endancielle sui une loi de Pareo de paramère ( m +, α + ) e + l écar γ es disribué selon une loi Pareo de paramère ( m, α ). On reien la paramérisaion suivane de la loi de Pareo : S m, α ( x) x = m α, x m. Le découpage en rois plages de aille équivalene proposé ici es esseniellemen jusifié par le fai que l on s inéresse aux déviaions imporanes par rappor à la endance. Ces déviaions ne doiven pas êre sensiblemen impacées par le choix du débu de la plage. Le choix de disribuions de Pareo es dans la même logique, l idée éan de rechercher un modèle compaible avec les observaions généran une par imporane de risque sysémaique. L esimaion des paramères du modèle es effecuée en deux emps. On calcule ou d abord des esimaeurs â e ˆb qui permeen de consruire la surface projeée de référence en uilisan simplemen k * ˆ ˆ = a+ b via un ajusemen de moindres carrés ordinaires. Afin de simplifier l écriure des formules à venir, on pose τ = m + e T = M m +, ce qui condui aux expressions : T + τkτ k aˆ = T 2, 2 T e ˆ T + b = k aˆ, 2 avec k = kτ = k. T T Cee première éape d esimaion n es donc pas effecuée dans un conexe probabilise, mais via un simple crière de moindres carrés. Dans un second emps, on esime les paramères des déviaions m +, m, α e α + par la méhode du maximum de vraisemblance : + { () i + } { } m ˆ = min γ ; i n p, mˆ =max γ() i ; i n p. Il s agi donc de l écar enre la valeur empirique e la valeur endancielle ajusée par les moindres carrés. -4-

5 ( ) où () i α ˆ = + [ n p ] n+ +, α ˆ = γi ln m ˆ i= + n γ es la saisique d ordre associée à ( ) [ n p ], γi ln mˆ i= La qualié de l ajusemen es évaluée en effecuan des ess de Khi-2 sur les disribuions condiionnelles des déviaions posiives (resp. négaives) Applicaion numérique La able prospecive uilisée dans cee éude es celle uilisée dans Planche e al. (2006) ; elle es consruie à parir des ables du momen fournies par l INED 2 dans Mesle e Vallin (2002) e condui à la surface de moralié Lee- Carer représenée sur la Figure 2. γ. Figure 2 - Surface de moralié ajusée par Lee-Carer i Les paramères du modèle sochasique son résumés dans le ableau suivan. Résidus négaifs Résidus Posiifs p- 42,9 % p+ 42,9 % M-,4385 M+,3878 α-,3 α+,05 3. Applicaion à un régime de renes viagères 3.. Le porefeuille Dans la suie, nous uiliserons pour les applicaions numériques un porefeuille consiué de 374 reniers de sexe féminin âgés en moyenne de 63,8 ans à la fin de l exercice. La rene annuelle moyenne s élève à 5,5 k. Avec un aux d escompe des provisions de 2,5 %, la provision mahémaique 2. Ces ables son disponibles sur : hp:// -5-

6 iniiale, s élève à 37,9 M avec la able prospecive déerminée supra. Nous noerons dans la suie de l aricle : L0 le monan des provisions mahémaiques à la dae iniiale, F % le flux de presaion (aléaoire) à payer à la dae, i le aux (discre) d escompe des provisions mahémaiques, J l ensemble des individus, x( j ) l âge en 0 de l individu j e r j le monan de sa rene annuelle Problémaique La problémaique es décrie de manière déaillée dans Planche e al. (2006). Nous reiendrons ici que l on s inéresse à la loi de du monan de l engagemen du régime : F ( i Λ= % + ) = j ] ; [( x( j) ) i r T, = = + j J ( ) qui es une variable aléaoire elle que E( Λ ) = L0, avec L = F ( + i) 0. = Lorsque la moralié fuure es supposée connue (approche die «déerminise» dans la suie), l analyse de la loi de Λ revien à mesurer les flucuaions d échanillonnage. Dans le conexe d une moralié sochasique, cee analyse nous fourni un moyen de quanifier le risque sysémaique qui vien s ajouer à ce risque de base. Nous pourrons donc mesurer ainsi le risque associé au choix de la dérive. Ace sade, on peu d ores e déjà remarquer que, même lorsque les paramères des lois de Pareo perurbarices son sricemen inférieurs à, l engagemen rese inégrable, puisque cee variable es bornée supérieuremen (par la able dans laquelle ous les individus soren à 20 ans). La méhode reenue consise à simuler les durées de survie des reniers, T j J, à calculer des réalisaions λ, K, λn de Λ puis à déerminer la ( ), x j foncion de répariion empirique de l engagemen. La provision L 0 es N approchée par λ = λ. La variance de l engagemen es esimée par N ( λ L ) 2 N n = n n 0 ; on calcule égalemen le coefficien de variaion N n= empirique : cv = N N N ( λ L ) 2 n 0 n= N qui fourni un indicaeur de la dispersion de l engagemen e dans une ceraine mesure de sa dangerosié. n= λ n, -6-

7 3.3. Résulas La disribuion empirique de l engagemen, représenée ici avec la disribuion de référence dans le cas déerminise (avec irages) es présenée sur la Figure 3. Figure 3 - Disribuion empirique de l engagemen,80%,60%,40% Sochasique Déerminise,20% Fréquence,00% 0,80% 0,60% 0,40% 0,20% 0,00% Les résulas déaillés son repris dans le Tableau. Millions Tableau - Saisiques descripives de l'engagemen Déerminise Sochasique Espérance Ecar-ype Borne inférieure de l'inervalle de confiance Borne supérieure de l'inervalle de confiance Coefficien de variaion,65 % 6,47 % Même sur un porefeuille de peie aille, l impac de la moralié sochasique sur la srucure de l engagemen es imporan. On consae deux effes : le coefficien de variaion de l engagemen es muliplié par 3 par rappor à la siuaion de non prise en compe du risque sysémaique ; l engagemen moyen diminue, du fai de l impac des chocs à la hausse sur les aux de décès. Les conséquences en ermes de gesion du risque son donc conrasées : la vision bes esimae de l engagemen es revue à la baisse, mais la présence d un risque sysémaique condui à calibrer une marge pour risque enan compe de la plus fore volailié. Au global, il n es pas cerain que le monan change noablemen, mais sa décomposiion (en erme d en erme d espérance -7-

8 e de marge pour risque) dans les logiques prudenielles (Solvabilié 2) e compable (IFRS phase 2) es revue de manière sensible. Cependan comme nous l avions monré dans Planche e al. (2006) la aille du porefeuille es un paramère imporan à prendre en compe. En effe, si le niveau absolu de risque sysémaique ne dépend pas de la aille du porefeuille, il n en va pas de même pour le risque muualisable. La par de variance expliquée par la composane sochasique de la moralié augmene donc avec la aille du porefeuille ; afin de mesurer ce effe, on consrui un porefeuille ficif en répliquan le porefeuille de base n fois. En observan que l on obien ainsi une décomposiion de l engagemen oal Λ en la somme de n variables () ( n) i.i.d. Λ, K, Λ on rouve que : ( ) 2 () ( ) Var E Var E Λ Π = n Λ Π, e () E Var ( Λ Π ) = n E Var ( Λ Π), ce qui condui, avec des noaions évidenes, à : ( ) ω n = + n ω Var E ΛΠ avec ω=. Var[ Λ] Si l on muliplie la aille du porefeuille par 30, on obien les résulas présenés sur la Figure 4. Figure 4 - Disribuion empirique de l engagemen (aille x30) 2,6% Fréquence 2,4% 2,2% 2,0%,8%,6%,4%,2%,0% 0,8% 0,6% 0,4% 0,2% 0,0% Sochasique Déerminise Millions Les résulas déaillés son repris dans le Tableau

9 Tableau 2 - Saisiques descripives de l'engagemen (porefeuille riplé) Déerminise Sochasique Espérance Ecar-ype Borne inférieure de l'inervalle de confiance Borne supérieure de l'inervalle de confiance Coefficien de variaion 0,30 % 6,24 % La prise en compe de la moralié sochasique muliplie le coefficien de variaion par 20 en réinroduisan une source de risque. Dans une approche value-a-risk (VaR), on rouve que le quanile à 75 % de la disribuion de l engagemen es de 35 M dans le cas sochasique, ce qui es rès légèremen inférieur à la valeur obenue dans le cas déerminise, soi 40 M. En d aures ermes, la prise en compe du risque de dérive condui ici (en suivan une approche VaR pour le calcul de la provision) à baisser marginalemen le monan provisionné de 0,7 %. La prise en compe du risque de dérive a égalemen pour conséquence d augmener rès significaivemen l imprécision dans l évaluaion de l engagemen 3 qui, au niveau de confiance de 95 %, passe de [-0,7 % ; 0,7 %] environ à près de [-7,9 % ;,8 %]. Par ailleurs l engagemen sochasique ire sa volailié des renes qui von êre servies pendan longemps. Or, plus la durée de vie de la rene es imporane, plus le coefficien d acualisaion es imporan. En fixan le aux d acualisaion nul, on obien les résulas présenés sur la Figure 5. Figure 5 - Disribuion empirique de l engagemen (aux echnique nul) 2,2% 2,0%,8% Sochasique Déerminise,6%,4% Tire,2%,0% 0,8% 0,6% 0,4% 0,2% 0,0% Les résulas déaillés son repris dans le Tableau 3. Millions 3. L imprécision es mesurée par la longueur relaive de l inervalle de confiance à 95 %. -9-

10 Tableau 3 - Saisiques descripives de l'engagemen (acualisaion nulle) Déerminise Sochasique Espérance Ecar-ype Borne inférieure de l'inervalle de confiance Borne supérieure de l'inervalle de confiance Coefficien de variaion 0,38 % 7,42 % En prenan un aux echnique nul on augmene le coefficien de variaion de l engagemen déerminise de 27 % e le coefficien de variaion de l engagemen sochasique de 9 %. Ainsi la prise en compe de la moralié sochasique indui une plus grande sensibilié de l engagemen au aux d acualisaion. 4. Conclusion On propose ici un modèle qui inègre expliciemen dans les calculs de provision d un régime de renes viagères l inceriude dans la déerminaion de la endance à long erme lors de l ajusemen de cee endance. Si le niveau de provision n es pas sensiblemen impacé par ce changemen, la srucure de la provision change : le bes esimae es revu à la baisse e la marge pour risque à la hausse du fai de ce risque sysémaique. Ce modèle nous semble de ce fai mieux à même de rendre compe du risque poré par le régime de rene en permean une segmenaion plus perinene du monan de l engagemen enre les différenes sources de risque. -0-

11 Bibliographie Brouhns N., Denui M., Vermun J.K. (2002) «A Poisson log-bilinear regression approach o he consrucion of projeced lifeables», Insurance: Mahemaics and Economic 3, Lee R.D., Carer L. (992) «Modelling and forecasing he ime series of US moraliy», Journal of he American Saisical Associaion 87, Lee R.D. (2000) «The Lee Carer mehod of forecasing moraliy, wih various exensions and applicaions», Norh American Acuarial Journal 4, Planche F., Juillard M., Faucillon L. (2006) «Quanificaion du risque sysémaique de moralié pour un régime de renes en cours de service», Assurance e gesion des risques 75, XXX. Planche F. (2007) «Prospecive models of moraliy wih forced drif Applicaion o he longeviy risk for life annuiies», Proceedings of he h IME Congress Planche F., Thérond P.E. (2006) Modèles de durée applicaions acuarielles, Paris : Economica. Planche F., Thérond P.E. (2007) Piloage echnique d un régime de renes viagères, Paris : Economica. Sihole T., Haberman S., Verrall R.J. (2000) «An invesigaion ino parameric models for moraliy projecions, wih applicaions o immediae annuians and life office pensioners», Insurance: Mahemaics and Economics 27,