Dérivée d une fonction

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Jean-Pierre Germain
il y a 7 ans
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1 Dérivée d une fonction Taux de variation moyen Considérons une bactérie dont la croissance est définie par la fonction f() t ( 1) = t+ où t représente le temps en minutes et () bactéries au temps t Initialement (t = 0), le nombre de bactéries est Après une minute (t = 1), le nombre de bactéries est f t le nombre de f (0) = (0 + 1) = 1. f (1) = (1+ 1) = 4, Pour les quatre premières minutes, on obtient : Analysons la variation du nombre de bactéries : de t = 0 à t = 1, la variation des bactéries est de 4 1 = 3 bactéries, de t = 1 à t = 3, la variation des bactéries est de 16 4 = 1 bactéries, de t = a à t = b, la variation des bactéries sera de Δ f = f( b) f( a) bactéries. (voir déf de variation + ex. p.67) 1

2 Déf: La variation de la fonction f ( x ) sur l'intervalle [a, b] est Δ f = f( b) f( a) Déf: La variation de x sur l'intervalle [a, b] est Δ x = b a Lorsqu on étudie la variation d une fonction, on s intéresse souvent au taux auquel s effectue cette variation pour un intervalle donné de la variable indépendante. C est ce qu on appelle le taux de variation moyen de la fonction (TVM). Le TVM des bactéries par rapport au temps : de t = 0 à t = 1 est de 4 1 = 3bactéries/minute 1 0 de t = 1 à t = 3 est de 16 4 = bactéries/minute Définition : Le TVM d une fonction f sur un intervalle [a, b], où a < b, est noté TVM [ ab, ] et est défini par TVM[ ab, ] Δf f( b) f( a) = = Δx b a Le TVM [ ab, ] représente la variation moyenne de la fonction f par unité de la variable x sur l'intervalle [a, b]. Géométriquement, il correspond à la pente de la droite sécante passant par ( a, f( a)) et ( b, f( b )):

3 Puisque Δ x = b a, on a b=δ x+ aet le TVM [ ab, ] est également donné par TVM Δf f( b) f( a) f( a+δx) f( a) = = = = TVM Δx b a Δx [ ab, ] [ aa, +Δx] Remarque: pour alléger l'écriture, on remplacera Δx par. On aura alors TVM [ aa, + ] Δ f f( a+ ) f( a) = = Ex. 1) Calculer l'équation de la droite sécante passant par les points (, f ()) 1 et (5, f (5)) de f( x) = x 1 3

4 Ex. ) En utilisant le contexte de la croissance d'une bactérie, où f() t ( 1) = t+ donne le nombre de bactérie après t minutes: a) Évaluer et interpréter TVM [,7] b) Évaluer TVM [, tt + ] c) Utiliser TVM [, tt + ] obtenu en b) pour calculer TVM [1,9] Taux de variation instantané Reprenons l exemple du début sur la croissance des bactéries. Serait-il possible d obtenir le taux de croissance des bactéries à un moment précis, disons à la 4 e minute? Il est possible d approcer la valeur en question en évaluant plusieurs TVM pour des intervalles plus petits autour de 4 : Il semble qu à la 4 e minute le TVM soit très près de 10 bactéries/minute Aurait-il été possible de résoudre le problème sans avoir à évaluer tous ces TVM? Oui, en utilisant la notion de limite! 4

5 Voyons comment faire : a) On considère l intervalle de temps [4, 4+] b) On trouve le TVM de la fonction sur cet intervalle, TVM [4,4 + ] = f (4 + ) f(4) c) On évalue la limite lorsque s approce de 0 lim f (4 + ) f(4) ( ) (4 + 1) (5 + ) = 0 (10 + ) (10 + ) = 10 bactéries/minutes La valeur obtenue est le taux de variation instantanée (TVI) à la 4 e minute Définition : Le TVI d une fonction f en un point x = a est noté TVI x = a et est défini par TVI x= a f ( a+ ) f( a) f( b) f( a), lorsque cette limite existe. b a b a 5

6 Géométriquement, lorsqu on calcule le TVI d une fonction f au point x on calcule la pente de la droite tangente à la courbe de f en x = a. = a, Ex. 3) Trouver l équation de la droite tangente à la courbe de x =. f( x) 1 = en x (voir Autres applications du TVI p.73) 6

7 Dérivée en un point et fonction dérivée La dérivée d une fonction en un point x fonction en x Définition : = a. = a correspond au TVI de cette La dérivée d une fonction f en un point x = a est notée f '( a ) et est définie par f f ( a+ ) f( a) '( a), lorsque cette limite existe. Remarque : lorsque f '( a ) existe, on dit que f est dérivable en x = a, et f '( a ) est égale à la pente de la tangente de la courbe de f au point ( a, f( a )) f '( a ) n'existe pas, on dit que f n'est pas dérivable en x = a. Si Ex. 4) Calculer la dérivée de f ( x) = x + en x = 7. (voir ex..10 p.76 et commenter) Afin d éviter les calculs répétitifs de dérivées en un point, nous allons définir la fonction dérivée d une fonction. Si dans la définition d une dérivée en un point f remplace a par x, on obtient f f ( x+ ) f( x) '( x). f ( a+ ) f( a) '( a) on 7

8 Définition : La fonction dérivée de la fonction f ( x ) est notée f '( x ) et est définie par : f f ( x+ ) f( x) '( x), lorsque cette limite existe. Ex. 5) Calculer la fonction dérivée de f( x) 1 = x Ex. 6) Soit f ( x) = x +. Déterminer f '( x ) Ex. 7) Calculer la fonction dérivée de f ( x) = 1 3x Ex. 8) Trouver le sommet de la parabole qui représente la fonction f ( x) = x + 4x 3en utilisant la dérivée de cette fonction. Remarque : Les notations suivantes sont également utilisées pour désigner la fonction dérivée d une fonction y = f( x) : dy d df d y',, ( y),, ( f) dx dx dx dx (voir.3. p.78) 8

9 Dérivée et continuité Téorème.1 : Si f est une fonction dérivable en x = a, alors f est continue en x = a Donc, une fonction dérivable en x = a est continue. Mais attention! L'inverse n'est pas nécessairement vrai. Voir p. 83 exemples.13 et.14. 9

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