BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2016

Transcription

1 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES FILIÈRE MP BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 6 Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Veret, Valece

2 Itroductio L épreuve orale de mathématiques des CCP, filière MP, se déroule de la maière suivate : - 5m de préparatio sur table - 5m de passage à l oral Chaque sujet proposé est costitué de deux exercices : - u exercice sur 8 poits issu de la baque publique accessible sur le site - u exercice sur poits Les deux exercices proposés portet sur des domaies différets Ce documet cotiet les exercices de la baque pour la sessio 5 : - 58 exercices d aalyse (exercice à exercice 58) - 37 exercices d algèbre (exercice 59 à exercice 94) - 8 exercices de probabilités (exercice 95 à exercice ) L équipe des examiateurs de l oral de mathématiques des CCP, filière MP Cotact : Valérie BELLECAVE, coordoatrice des oraux de mathématiques des CCP, filière MP vbellecave@gmailcom Lie Vous trouverez le documet pdf regroupat les éocés de ces exercices aisi que leur corrigé sur le site de la MP de Valece, à la page Exercices Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Veret, Valece

3 BANQUE ANALYSE Exercice a O cosidère deux suites umériques ( u ) et ( v ) telles que ( v ) est o ulle à partir d'u certai rag et u v Prouver que u et v sot de même sige à partir d'u certai rag b Détermier le sige, au voisiage de l'ifii, de u = sh si Exercice 3x + 7 O pose f ( x) = ( x + ) a Décomposer f e élémets simples b E déduire que f est développable e série etière sur u itervalle de la forme ] r, r[ ( r > ) Détermier ce développemet e série etière de f et préciser so domaie de validité c Soit ax ue série etière de rayo de covergece R > et de somme g( x ) Exprimer pour tout etier p le ( p coefficiet a p e foctio de g ) () E déduire le développemet limité de f à l'ordre 3 au voisiage de Exercice 3 O pose g( x ) = e x et h( x) = + x a Calculer, pour tout etier k, les dérivées d'ordre k des foctios g et h sur leur esemble de défiitio x e b O pose f ( x) = E utilisat la formule de Leibiz, cocerat la dérivée -ième d'u produit de foctios, + x ( détermier, pour tout etier aturel et tout réel x, la valeur de f ) ( x ) c Démotrer, das le cas gééral, la formule de Leibiz utilisée à la questio précédete Exercice 4 a Éocer le théorème des accroissemets fiis b Soit f : [ a, b] R et x ] a, b[ O suppose f cotiue sur [ a, b ] et dérivable sur [ a, b ] sauf peut-être e x Démotrer que si f admet ue limite e x, alors f est dérivable e x et f ( x ) = lim f ( x) x x c Prouver que l'implicatio (f dérivable e x ) ( f possède ue limite e x ) est fausse (idicatio : o pourra cosidérer la foctio défiie par f ( x) = x si si x et f () = ) x Exercice 5 O cosidère la série de terme gééral u = (l ) α où et α R a Cas α : e utilisat ue mioratio simple de u, démotrer que la série diverge 3 Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Veret, Valece

4 b Cas α > : e utilisat la foctio f ( x) = x(l x) α, étudier la série ( e ( + ) ) e c Étudier la série de terme gééral u = ( l( + ) ) Exercice 6 Soit ( u ) ue suite de réels strictemet positifs, et a u réel élémet de [,[ u a Démotrer que si + a u, alors la série u coverge (idicatio : majorer, pour assez grad, terme gééral d'ue série géométrique)! b Quelle est la ature de la série? u par le Exercice 7 a Soiet ( u ) et ( v ) deux suites de réels positifs O suppose que ( v ) est o ulle à partir d'u certai rag, et que u v Motrer que les séries u et v sot de même ature (i ) si b Étudier la série, i désigat le complexe de carré égal à 3 ( + ) l Exercice 8 a Soit ( u ) ue suite de réels positive, décroissate, et de limite ulle Démotrer que la série ( ) u est covergete, et doer ue majoratio de la valeur absolue de so reste d'ordre (idicatio : o pourra raisoer sur les suites des sommes partielles d'ordres pairs et impairs) x e b O pose, pour tout etier o ul et tout réel x : f ( x) = ( ) Étudier la covergece simple sur R de la série de foctios f, puis sa covergece uiforme sur + R Exercice 9 a Soit X u esemble, ( g ) ue suite de foctios de X das C, et g ue foctio de X das C Doer la défiitio de la covergece uiforme sur X de la suite de foctios ( g ) vers g + x b O pose f ( x) = e cos( x) + + Étudier la covergece simple de la suite de foctios ( f ) La covergece est-elle uiforme sur R, sur [ a, + [ ( a > ), sur ],+ [? Exercice O pose x x e + xe f ( x) = ( x + ) + x 4 Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Veret, Valece

5 a Démotrer que la suite ( f ) coverge uiformémet sur [,] b Détermier lim f ( t)dt Exercice a Soit X u esemble, et ( f ) ue suite de foctios de X das C covergeat simplemet sur X vers ue certaie foctio f O suppose l'existece d'ue suite ( x ) d'élémets de X telle que la suite ( f ( x ) f ( x )) e tede pas vers Prouver que la covergece de ( f ) vers f 'est pas uiforme si( x) b Pour tout x de R, o pose f ( x) = Étudier la covergece simple de la suite ( f ), sa covergece + x uiforme sur ] a, + [ ( a > ) puis sur ], + [ Exercice a Soit ( f ) ue suite de foctios de [ a, b ] das R covergeat uiformémet vers ue foctio f O suppose que les f sot cotiues e x [ a, b] Prouver que f est cotiue e x b O pose x [,], g ( x) = x La suite ( g ) est-elle uiformémet covergete sur [,]? Exercice 3 a Soit X u esemble, et ( g ) ue suite de foctios de X das C covergeat uiformémet vers ue certaie foctio g O suppose que chaque foctio g est borée Prouver que g est borée b Pour tout etier o ul, o défiit ue foctio f sur R par f ( x ) = x si x et f ( x ) = sio Étudier la covergece simple et la covergece uiforme de la suite ( f ) x Exercice 4 a Soit ( f ) ue suite de foctios umériques cotiues sur u segmet [ a, b ] de R Démotrer que si ( f ) b b coverge uiformémet sur [ a, b ] vers f, alors la suite ( f ( t)d t) coverge vers f ( t)dt a a b Justifier commet ce résultat peut être utilisé das le cas des séries de foctios + + c Démotrer que ( x )dx = = = Exercice 5 a Soit f ue série de foctios défiies sur u esemble X à valeurs das C Rappeler les défiitios de la covergece ormale et de la covergece uiforme de la série de foctios f b Prouver que la covergece ormale etraie la covergece uiforme 5 Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Veret, Valece

6 c La série z est-elle uiformémet covergete sur le disque fermé de cetre et de rayo R >?! Exercice 6 O cosidère la série de foctios somme sera otée S a Prouver que S est défiie et dérivable sur [,] b Calculer S () u où x N *, x [,], u ( x) = l( + ) x E cas de covergece, sa Exercice 7 a Soit A ue partie de C et ( f ) ue suite de foctios de A das C Prouver l'implicatio : la série de foctios f coverge uiformémet la suite de foctios ( f ) coverge uiformémet vers b O pose, pour N * et x, ( ) e f x = x x Prouver que f + coverge simplemet sur R Cette covergece est-elle uiforme? Exercice 8 x O pose, pour N * et x R, u ( x) = ( ) a Étudier le domaie D de covergece simple de la série de foctios u b Étudier la covergece ormale, puis la covergece uiforme de cette série de foctios sur D c La somme S de cette série de foctios est-elle cotiue sur D? Exercice 9 a Prouver que pour tout etier, la foctio t t l t est itégrable sur ],] et calculer I = t l t dt b E utilisat le développemet e série etière de l'expoetielle, prouver que la foctio est itégrable sur ],] et que t e l t dt + = =! Exercice a Doer la défiitio du rayo de covergece d'ue série etière complexe az ( ) b Détermier le rayo de covergece des séries etières (!) + z, z et cos z ( )! 6 Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Veret, Valece

7 Exercice a Doer la défiitio du rayo de covergece d'ue série etière complexe az b Soit ( a ) ue suite borée telle que la série a diverge Détermier le rayo de covergece de ( ) c Détermier le rayo de covergece de la série etière ( ) l( + ) z az Exercice a Que peut-o dire du rayo de covergece de la somme de deux séries etières? Le démotrer b Développer e série etière, e précisat le rayo de covergece, la foctio f : x l( + x) + l( x) c La série obteue coverge-t-elle pour x =? 4 x =? x =? Exercice 3 a+ a Soit ( a ) ue suite complexe telle que la suite ( ) admet ue limite a Prouver que les séries etières a x et ( + ) a+ x ot le même rayo de covergece (oté R) + b Démotrer que la foctio S : x ax est de classe C sur ] R, R[ = Exercice 4 x a Détermier le rayo de covergece de la série etière ; o ote S( x ) sa somme ( )! b Développer e série etière la foctio x ch x et préciser le rayo de covergece c Détermier S( x ) d O cosidère la foctio f défiie sur R par : f () =, f ( x) = ch x si x >, f ( x) = cos x si x < Démotrer que f est de classe C sur R Exercice 5 a Motrer que pour tout etier, la foctio t t + t + t e est itégrable sur + b O pose u = d e t t Détermier lim u + t + t + R Exercice 6 a Pour tout etier o ul, o pose + dt I = ( + t ) Justifier l'existece de I 7 Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Veret, Valece

8 b Étudier la mootoie de la suite ( I ) et détermier sa limite c Étudier la covergece de la série ( ) I Exercice 7 Pour tout etier o ul, o pose f x e ( x) = et u = + f x ( t )d t f sur [,] a Étudier la covergece simple de la suite de foctios ( ) b Soit a ],[ La suite ( ) c Trouver la limite de la suite ( u ) f coverge-t-elle uiformémet sur [ a,]? sur [,]? Exercice 8 Les deux questios sot idépedates t e a La foctio t est-elle itégrable sur ], + [? t 4 l t * b Soit a u réel strictemet positif La foctio t est-elle itégrable sur R +? a + t Exercice 9 O pose : x ], + [, t ], + [ : f ( x, t) e t t x = a Démotrer que x ], + [, la foctio t f ( x, t) est itégrable sur ], + [ + b O pose Γ ( x) = f ( x, t)dt Démotrer que x ], + [, Γ ( x + ) = xγ ( x) c Prouver que Γ est de classe C sur ], + [ et exprimer Γ ( x) sous forme d'ue itégrale Exercice 3 a Éocer le théorème de dérivatio sous le sige itégrale + t b Démotrer que la foctio f : x e cos( tx)dt est de classe C sur R c Trouver ue équatio différetielle liéaire du premier ordre dot f est solutio, puis itégrer cette équatio différetielle Exercice 3 4 a Détermier ue primitive de x cos x b Résoudre sur R l'équatio différetielle 3 + = e utilisat la méthode de variatio des costates y y cos x 8 Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Veret, Valece

9 Exercice 3 Soit l'équatio différetielle x( x ) y + 3xy + y = a Trouver les solutios de cette équatio différetielle développables e série etière sur ] r, r[ avec r > b Détermier la somme des séries etières obteues c Est-ce que toutes les solutios de x( x ) y + 3xy + y = sur ],[ sot les restrictios d'ue foctio développable e série etière sur ],[? Exercice 33 O pose f ( x, y) = xy x + y a Prouver que f est cotiue sur si ( x, y) (,), et f (,) = R b Prouver que f admet des dérivées partielles e tout poit de c f est-elle de classe C sur R? R Exercice 34 Soit A ue partie o vide d'u espace vectoriel ormé E a Rappeler la défiitio d'u poit adhéret à A, e termes de voisiages ou de boules b Démotrer que : x A x est limite d'ue suite covergete de poits de A c Démotrer que si A est u sous-espace vectoriel de E, alors A e est u aussi d Démotrer que si A est covexe, alors A l'est aussi Exercice 35 E et F désiget deux espaces vectoriels ormés a Soit f ue applicatio de E das F et a u poit de E Prouver que les deux propriétés suivates sot équivaletes : i f est cotiue e a ii Pour toute suite ( x ) de poits de E covergeat vers a, la suite ( f ( x )) coverge vers f ( a ) b Soit A ue partie dese de E, et f et g deux foctios cotiues sur E telles que f ( x) = g( x) pour tout x de A Prouver que f = g Exercice 36 Soiet E et F deux R-espaces vectoriels ormés a Soit u ue applicatio liéaire de E das F Prouver l'équivalece des trois propriétés suivates : i u est cotiue sur E ii u est cotiue e E iii k R / x E, u( x) F k x E b O muit l'espace E des foctios umériques cotiues sur [,] de la orme défiie par o evisage l'applicatio u de E das R défiie par u( f ) = f ( t)dt Démotrer que u est liéaire et cotiue ( f ) = sup f ( t), et t [,] 9 Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Veret, Valece

10 Exercice 37 Soit E l'espace des foctios umériques cotiues sur [,] O pose, pour f das E : ( f ) = sup f ( t) et t [,] ( f ) = f ( t) dt a Prouver que et défiisset deux ormes sur E b Expliciter ue costate k telle que ( f ) k ( f ) pour tout f de E c Démotrer que tout ouvert pour la orme est ouvert pour la orme d Démotrer que et e sot pas équivaletes Exercice 38 O ote R [ X ] l'espace vectoriel des polyômes réels k a Pour P E, P = ak X, o ote N( P) = ak et k = k= Motrer que l'o défiit aisi deux ormes sur R [ X ] N ( P) = max ak k =,, b Démotrer que tout ouvert pour la orme N est ouvert pour la orme N c Démotrer que les ormes N et N e sot pas équivaletes d O fixe u etier k et l'o ote N,k et N,k les restrictios de N et de N au sous-espace R k[ X ] des polyômes de degré iférieur ou égal à k Les ormes N,k et N,k sot-elles équivaletes? Exercice 39 O ote l l'esemble des suites ( x ) de réels telles que la série x coverge + a Prouver que pour x = ( x ) et y = ( y ) das l, la série x y coverge O pose alors ( x, y) = x y = b Démotrer que l est u sous-espace vectoriel de l'espace des suites de réels, et que (, ) défiit u produit sca- laire sur l c O muit l de ce produit scalaire et de la orme euclidiee associée Pour p N et x = ( x ) das l, o pose ϕ ( x) = xp Prouver que l'applicatio ϕ aisi défiie est liéaire cotiue d O cosidère le sous-esemble F des suites réelles presque ulles (c'est-à-dire ulles à partir d'u certai rag) Détermier F, puis comparer F et ( F ) Exercice 4 Soit A ue algèbre ormée de dimesio fiie dot la orme vérifie u v u v pour tous u et v de A O ote e l'élémet uité de A a Soit u A tel que u < Prouver que la série + ( e u) = u = u b Prouver, pour tout u de A, la covergece de la série! u coverge Prouver que ( e u) est iversible et que Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Veret, Valece

11 Exercice 4 Éocer quatre théorèmes différets ou méthodes permettat de prouver qu'ue partie d'u espace vectoriel ormé est fermée et, pour chacu d'eux, doer u exemple cocret d'utilisatio das R Les théorèmes utilisés peuvet être éocés oralemet à travers les exemples choisis Remarques : O utilisera au mois ue fois des suites ; o pourra utiliser ue fois au plus le passage au complémetaire ; e pas utiliser le fait que R et l'esemble vide sot des parties à la fois ouvertes et fermées Exercice 4 O cosidère les deux équatios différetielles suivates : ( H ) : xy 3y = ; ( E) : xy 3y = x a Résoudre ( H ) sur b Résoudre ( E ) sur * R + * R + c L'équatio ( E ) admet-elle des solutios sur + R? Exercice 43 Soit x R O défiit ue suite ( u ) par u = x et N, u+ = arcta( u ) a Démotrer que la suite ( u ) est mootoe, et détermier sa mootoie e foctio du sige de x b Motrer que ( u ) coverge et détermier sa limite c Détermier toutes les foctios cotiues h de R das R telles que x R, h( x) = h(arcta x) Exercice 44 Soiet A et B deux parties d'u espace vectoriel ormé E a Rappeler la défiitio de l'adhérece d'ue partie de E b Prouver que A B A B c Motrer que A B = A B (Remarque : ue répose sas les suites est aussi acceptée) d Motrer que A B A B, et que cette iclusio peut être stricte (o predra E =R) Exercice 45 Soit E u espace vectoriel ormé, et A ue partie o vide de E a Rappeler la défiitio séquetielle de l'adhérece de A b Prouver que si A est covexe, alors A est covexe O pose, pour tout x de E, d A( x) = if x a a A c Prouver que d A( x) = x A d O suppose que A est fermée et que x, y E, t [,], da( tx + ( t) y) tda( x) + ( t) da( y) Prouver que A est covexe Exercice 46 O cosidère la série de terme gééral u = cos( π + + ) π π a Prouver qu'au voisiage de +, o a + + = π + + α +O ( ) où α est u réel que l'o détermiera Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Veret, Valece

12 b E déduire la covergece de la série u c Cette covergece est-elle absolue? Exercice 47 Pour chacue des séries etières de la variable réelle suivates, détermier so rayo de covergece et sa somme sur l'itervalle ouvert de covergece x a 3 b ax avec a = 4 et a = Exercice 48 E =C ([,], R ) désige l'espace des foctios cotiues sur [,] à valeurs das R Soit f u élémet de E tel que : N, t f ( t)dt = a Éocer le théorème de Weierstrass d'approximatio par des foctios polyomiales b Soit ( P ) ue suite de polyômes covergeat uiformémet vers f sur [,] Prouver que la suite ( P f ) coverge uiformémet vers f c Démotrer que f ( t)dt = lim P ( t) f ( t)dt d E déduire que f est la foctio ulle, et calculer P ( t) f ( t)d t Exercice 49 + Soit a ue série de complexes supposée absolumet covergete O pose M = a = a Éocer le théorème d'itégratio terme à terme d'ue série de foctios sur u itervalle I quelcoque a O pose, pour tout etier et tout réel positif t : t t f ( t) = e! b Justifier que la suite ( a ) est borée, et que la série de foctios f + coverge simplemet sur R + c Prouver que ( ) + t f t est cotiue sur R = t d Justifier que pour tout etier, la foctio g : t t e est itégrable sur E dé- + duire la covergece et la valeur de f ( t ) dt + + a e Prouver que t + t e dt = a! = = + R et calculer + g ( t )d t Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Veret, Valece

13 Exercice 5 O cosidère la foctio + e t F : x dt x + t * a Prouver que F est défiie et cotiue sur R + b Prouver que x xf( x) admet ue limite e + et la détermier c Doer u équivalet de F( x ) au voisiage de + Exercice 5 ( )! a Motrer que la série 4 (!) est covergete ( + ) O se propose de calculer la somme de cette série b Doer le développemet e série etière de t (o exprimera les coefficiets avec des factorielles) et t préciser so rayo de covergece c E déduire le développemet e série etière de arcsi x + ( )! d Calculer 4 = (!) ( + ) Exercice 5 Soit α R O cosidère l'applicatio f défiie sur R par a Prouver que x, y R, x + y xy ( x + y ) 4 y si ( x, y) (,) f ( x, y) = x + y xy α si ( x, y) = (,) b Quel est le domaie de défiitio de f? Détermier α pour que f soit cotiue sur c Das cette questio, o suppose que α = f f Justifier l'existece de et de sur R { (,)} et les calculer x y f f Justifier l'existece de (,) et de (,) et doer leurs valeurs x y d f est-elle de classe C sur R? R Exercice 53 O cosidère, pour tout etier o ul, la foctio f défiie sur R par x f ( x) = x a Prouver que la série de foctios f coverge simplemet sur R Sa somme est désormais otée f ( x ) b Soiet a et b deux réels vérifiat < a < b La série de foctios f coverge-t-elle ormalemet sur [ a, b ]? sur [ a, + [? sur [, + [? c Prouver que f est cotiue sur * R d Détermier la limite de f e + 3 Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Veret, Valece

14 Exercice 54 Soit E l'esemble des suites réelles covergeat vers a Prouver que E est u sous-espace vectoriel de l'espace des suites réelles O pose, pour u = ( u ) E, u = sup u N b Prouver que est ue orme sur E u c Prouver que pour tout u de E, la série coverge O ote f ( u ) la somme de cette série + d Prouver que l'applicatio u f ( u) est cotiue sur E Exercice 55 Soit a u ombre complexe O ote E l'esemble des suites ( u ) de complexes telles que :, u+ = au+ + 4(ia ) u a Prouver que E est u sous-espace vectoriel de l'espace des suites complexes Doer, e la justifiat, la dimesio de E b O cosidère das cette questio la suite de E telle que u = u = Exprimer, pour tout etier, la valeur de u e foctio de (idicatio : discuter suivat les valeurs de a) Exercice 56 O cosidère la foctio H défiie sur ], + [ par a Motrer que H est de classe x dt H ( x) = l t x C sur ], + [ et calculer sa dérivée b Motrer que la foctio u défiie sur ], + [ par c E utilisat cette foctio u, détermier la limite de H e + u( x) = l x x possède ue limite fiie e Exercice 57 a Soit f ue foctio de (,) R das R Doer, avec des quatificateurs, la défiitio de la cotiuité de f au poit b Doer la défiitio de "f est différetiable e (,) " O cosidère la foctio défiie par c Prouver que f est cotiue sur d Prouver que f est de classe x y f ( x, y) = xy x y + R C sur R si ( x, y) (,), f (,) = Exercice 58 a Soiet E et F deux espaces vectoriels ormés de dimesio fiie, f ue applicatio de E das F et a u élémet de E Doer la défiitio de "f est différetiable e a" 4 Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Veret, Valece

15 Soit ( e,, e ) ue base de E O pose, pour x = xiei E, x = max x i De même, pour ( x, y) E E, o i= i= pose ( x, y) = max( x, y ) O rappelle que les applicatios aisi défiies défiisset des ormes sur E et sur E E Soit B : E E R ue forme biliéaire b Prouver l'existece d'ue costate réelle C telle que ( x, y) E E, B( x, y) C x y c Motrer que B est différetiable sur E E et doer sa différetielle e u poit ( u, v ) de E E 5 Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Veret, Valece

16 BANQUE ALGÈBRE Exercice 59 Soit E l'espace vectoriel des polyômes à coefficiets das K ( K = R ouc ) de degré iférieur ou égal à N * Soit f l'edomorphisme de E défii par f ( P) = P P a Prouver que f est bijectif de deux maières : e utilisat ue matrice de f, puis sas matrice ( ) b Soit Q E Trouver P tel que f ( P) = Q (idicatio : si P E, que vaut P +?) c f est-il diagoalisable? Exercice 6 Soit la matrice A = 4 et f l'edomorphisme de M ( R) défii par f ( M ) = AM a Détermier ue base de ker f b f est-il surjectif? c Détermier ue base de Im f d A-t-o M ( R ) = ker f Im f? Exercice 6 Pour A = [ a i, j ] M ( C), o pose A = sup ai, j i, j a Prouver que est ue orme sur M ( C ) b Prouver que pour toutes matrices A et B de M ( C ), o a AB A B, puis que pour tout etier p, o a p p p A A p c Démotrer que pour tout A de M ( C ), la série A est absolumet covergete Est-elle covergete? p! Exercice 6 Soit E u espace vectoriel sur R ou C, et f u edomorphismes de E tel que a Prouver que f est bijectif et exprimer f e foctio de f f f Id E = b Démotrer que E = ker( f + IdE ) ker( f IdE ) : i e utilisat le lemme des oyaux ; ii sas lemme des oyaux c O suppose das cette questio que E est de dimesio fiie Prouver alors que Im( f + IdE ) = ker( f IdE ) Exercice 63 Soit u etier plus grad que, et A la matrice de M ( R ) suivate : 6 Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Veret, Valece

17 A = a O ote D le détermiat de la matrice A Prouver que pour tout, o a D+ = D+ D b Calculer D c Prouver que la matrice A est diagoalisable e est-il valeur propre? Exercice 64 Soit f u edomorphisme d'u espace de dimesio fiie E a Prouver que E = Im f ker f Im f = Im f b Prouver que Im f = Im f ker f = ker f c Prouver que Im f = Im f E = Im f ker f Exercice 65 Soit u u edomorphisme d'u K-espace vectoriel E a Prouver que P, Q K[ X ], ( PQ)( u) = P( u) Q( u) b Prouver que P, Q K[ X ], P( u) Q( u) = Q( u) P( u) c Prouver que (P est u polyôme aulateur de u) (PQ est u polyôme aulateur de u) d Soit A = Détermier le polyôme caractéristique de A et e déduire que le polyôme 4 3 P = X + X + X 4X est u polyôme aulateur de A Exercice 66 O fixe u etier p, et l'o cosidère la relatio d'équivalece défiie sur Z par xry k Z, x y = kp O ote Z / pz l'esemble des classes d'équivalece pour cette relatio R a Quelle est la classe d'équivalece de? Quelle est celle de p? b Doer soigeusemet la défiitio de l'additio et de la multiplicatio de Z / pz ; o justifiera que ces défiitios sot cohéretes c O admet que Z / pz mui de ces opératios est u aeau Motrer que est premier Z / pz est u corps si et seulemet si p Exercice 67 a c Soit la matrice M = b c où a, b et c sot des réels b a M est-elle diagoalisable das M 3 ( R)? M est-elle diagoalisable das M 3 ( C )? 7 Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Veret, Valece

18 Exercice 68 Soit la matrice A = a Démotrer que A est diagoalisable de quatre maières différetes : i sas calcul ; ii e calculat directemet det( λi3 A) et e détermiat les sous-espaces propres ; iii e utilisat le rag de A ; iv e calculat A b O suppose que A est la matrice d'u edomorphisme u d'u espace euclidie E das ue base orthoormée Expliciter ue base orthoormée de E das laquelle la matrice de u est diagoale Exercice 69 a O cosidère la matrice A = a où a est u réel a a Détermier le rag de A b Pour quelles valeurs de a la matrice A est-elle diagoalisable? Exercice 7 O cosidère la matrice de M 3 ( C) : A = a Détermier les valeurs propres et les vecteurs propres de A A est-elle diagoalisable? b Soiet a, b, c trois complexes et B = ai3 + ba + ca Déduire de la questio a les élémets propres de B Exercice 7 Soit p la projectio vectorielle de 3 R sur le pla P d'équatio x + y + z = parallèlemet à la droite D d'équatio y z x = = 3 3 a Vérifier que R = P D 3 b Soit u = ( x, y, z) R Détermier p( u ) et doer la matrice de p das la base caoique de c Détermier ue base de 3 R das laquelle la matrice de p est diagoale 3 R Exercice 7 Soit f u edomorphisme d'u espace vectoriel E de dimesio O suppose qu'il existe ue base ( e,, e ) de E et u vecteur v tels que f ( e ) = f ( e ) = = f ( e ) = v a Doer le rag de f b f est-il diagoalisable? (discuter suivat le vecteur v) 8 Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Veret, Valece

19 Exercice 73 Soit A = 4 a Détermier les valeurs propres et les vecteurs propres de A 3 b Quelles sot les matrices qui commutet avec la matrice commutet avec A est vect ( I, A )? E déduire que l'esemble des matrices qui Exercice 74 O cosidère la matrice A = a Justifier sas calcul que A est diagoalisable b Détermier les valeurs propres de A puis ue base de vecteurs propres associés x = x + z c O cosidère le système différetiel y = y où x, y et z désiget trois foctios dérivables de la variable t z = x + z E utilisat la questio a et e le justifiat, résoudre ce système différetiel Exercice 75 4 O cosidère la matrice A = 3 a Démotrer que A 'est pas diagoalisable b O ote f l'edomorphisme de R caoiquemet associé à A Trouver ue base ( v, v ) de a b matrice de f est de la forme c ; o explicitera les réels a, b et c x = x 4y c E déduire la résolutio du système différetiel y = x + 3y R das laquelle la Exercice 76 Soit E u R-espace vectoriel mui d'u produit scalaire oté (, ) Pour x das E, o ote x = ( x, x) pose a Éocer et prouver l'iégalité de Cauchy-Schwarz Étudier le cas d'égalité b Soit E l'esemble des foctios umériques cotiues sur [ a, b ] telles que x [ a, b], f ( x) > Pour f das E, o b b P( f ) = f ( t)dt dt f ( t) a a Détermier if P( f ) f E Exercice 77 Soit E u espace euclidie a Soit A u sous-espace vectoriel de E Prouver que ( A ) = A b Soiet F et G deux sous-espaces vectoriels de E Prouver que ( F + G) = F G et que ( F G) = F + G 9 Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Veret, Valece

20 Exercice 78 Soit E u espace euclidie de produit scalaire oté (, ) Pour x das E, o ote x = ( x, x) a Soit u u edomorphisme de E tel que, pour tout x de E, u( x) ( u( x), u( y)) = ( x, y) pour tout x et tout y de E b Démotrer que l'esemble O ( E) des isométries de E, mui de la loi, est u groupe = x Prouver que u est bijectif et que c Soit u L ( E) et ( e,, e ) ue base orthoormée de E Prouver que u O ( E) ( u( e ),, u( e )) est ue base orthoormée de E Exercice 79 a Soit h ue foctio cotiue positive sur [ a, b ] Prouver que h( t)dt = h = b Soit E l'espace des foctios cotiues de [, ] b posat ( f, g) = f ( t) g( t)dt a - c Majorer te t dt grâce à l'iégalité de Cauchy-Schwarz b a a b das R Prouver que l'o défiit u produit scalaire sur E e Exercice 8 Soit E l'espace des foctios cotiues et π -périodiques de R das R π a Prouver que l'o défiit u produit scalaire sur E e posat ( f, g) = f ( t) g( t)dt π b Soit F le sous-espace vectoriel egedré par les foctios f : x cos x et g : x cos x Détermier le projeté orthogoal sur F de la foctio u : x si x Exercice 8 Pour A et B das M ( R), o pose ϕ ( A, B) = tr ( AB) O admet que l'o défiit aisi u produit scalaire sur M ( R) a b O pose par ailleurs C =, a, b b a R a Justifier que C est u sous-espace vectoriel de M ( R) b Détermier C c Détermier la projectio orthogoale de J = sur C d Calculer la distace de J à C t Exercice 8 Soit E u espace préhilbertie, et F u sous-espace vectoriel de E de dimesio fiie > O admet que pour tout x de E, il existe u élémet uique y de F tel que x y soit orthogoal à F La distace de x à F vaut alors x y Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Veret, Valece

21 a b a b Pour A = c d et A = c d das M ( R), o pose ϕ ( A, A ) = aa + bb + cc + dd a Prouver que ϕ défiit u produit scalaire sur M ( R) b Calculer la distace de la matrice A = au sous-espace vectoriel F des matrices triagulaires supérieures Exercice 83 Soiet u et v deux edomorphismes d'u espace vectoriel E a Soit λ u scalaire o ul Prouver que si λ est valeur propre de u v, alors λ est valeur propre de v u b O cosidère sur R [ X ] les edomorphismes X u : P P( t)dt et v : P P Détermier ker ( v u) et ker ( u v) Le résultat de la questio a subsiste-t-il pour λ =? c Si E est de dimesio fiie, prouver que le résultat de la questio a reste vrai pour λ = (idicatio : peser à utiliser le détermiat) Exercice 84 a Doer la défiitio d'u argumet d'u ombre complexe o ul (o e demade i l'iterprétatio géométrique, i la preuve de l'existece d'u tel ombre) b Soit N * Doer, e justifiat, les solutios das C de l'équatio z = et préciser leur ombre c E déduire, pour N *, les solutios das C de l'équatio ( z + i) = ( z i) et motrer que ce sot des ombres réels Exercice 85 a Soiet N *, P R [ X ], et a R Doer sas démostratio la décompositio de P sur la base (, X a,( X a),,( X a) ) et b Soit r N * E déduire que a est racie de P de multiplicité r si et seulemet si ( r P ) ( a) c Détermier deux réels a et b pour que soit racie double de das R [ X ] ( r ) P( a) = P ( a) = = P ( a) = 5 P = X + ax + bx et factoriser alors ce polyôme Exercice 86 Soit p u ombre premier a Soiet a, b et c trois etiers tels que a c = b c = Prouver que ( ab) c = p p b Prouver que pour tout etier k, p, p divise k! puis p divise k k p c Prouver (par récurrece) que pour tout etier, [ p] E déduire que si p e divise pas, p [ p] Exercice 87 Soiet a, a,, a + réels deux à deux disticts Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Veret, Valece

22 a Prouver que si b, b,, b sot + réels, alors il existe u uique polyôme P de degré iférieur ou égal à tel que P( ai ) = bi pour tout i de, b Expliciter ce polyôme P, que l'o otera L k, quad b k = et bi = si i k c Prouver que p,, p a k k X p = k= Exercice 88 a Soit E u K-espace vectoriel ( K = R ou C ) Soit u L ( E) et P K [ X ] Prouver que si P aule u, toute valeur propre de u est racie de P b Pour, o désige par E l'espace M ( R ) Soit A la matrice de E dot tous les termes sot égaux à, sauf ceux de la diagoale qui sot uls O pose par ailleurs, pour M E, u( M ) = M + tr( M ) A Prouver que le polyôme X X + est aulateur de u U est-il diagoalisable? (o doera deux justificatios, dot ue reposat sur la questio a) Exercice 89 iπ Soit N,, et z = e a O suppose k, k Détermier le module et u argumet de z k b O pose S = z Motrer que S = π k= ta Exercice 9 K désige le corps des réels ou des complexes Soiet a, b et c trois élémets disticts de K 3 K a Motrer que l'applicatio : [ X ] K Φ est u isomorphisme d'espaces vectoriels P ( P( a), P( b), P( c)) 3 b O ote ( e, e, e 3) la base caoique de K et Lk = Φ ( ek ) Justifier que ( L, L, L 3) est ue base de K [ X ] et exprimer les polyômes L k e foctio de a, b et c c Soit P K [ X ] Exprimer les coordoées de P sur la base ( L, L, L 3) d Applicatio : soiet les poits A(,), B(, 3), C (,) de R Détermier ue foctio polyômiale de degré dot la courbe passe par ces trois poits Exercice 9 O cosidère la matrice A = 3 M 3( R) a Motrer que A 'admet qu'ue seule valeur propre que l'o détermiera b La matrice A est-elle iversible? Est-elle diagoalisable? c Détermier, e justifiat, le polyôme miimal de A d Soit N Détermier le reste de la divisio euclidiee de X par ( X ) E déduire A Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Veret, Valece

23 Exercice 9 Pour A et B das M ( R ), o pose ( A, B) = tr ( t AB) a Prouver que l'o défiit aisi u produit scalaire sur M ( R ) b O ote S l'espace des matrices symétriques de M ( R ), A celui des matrices atisymétriques Motrer que M ( R) = S A, et que S = A c Soit F l'espace des matrices diagoales Détermier F Exercice 93 3 Soit E u R-espace vectoriel de dimesio fiie >, et u L ( E) vérifiat u + u + u = a Motrer que E = ker u Imu b Éocer le lemme des oyaux E déduire que Im u = ker( u + u + Id E ) c O suppose u o bijectif Détermier les valeurs propres de u Exercice 94 a Éocer le théorème de Bézout das Z b Soiet a et b deux etiers premiers etre eux Soit c N Prouver que : a divise c et b divise c ab divise c x 6 [7] c O cosidère le système (S) : d'icoue x Z Détermier ue solutio particulière x x de (S) 4 [5] d Déduire des questios précédetes toutes les solutios de (S) 3 Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Veret, Valece

24 BANQUE PROBABILITÉS Exercice 95 Ue ure cotiet deux boules blaches et huit boules oires a U joueur tire successivemet, avec remise, ciq boules das cette ure Pour chaque boule blache tirée, il gage poits, pour chaque oire tirée il perd 3 poits O ote X le ombre de boules blaches tirées, Y le ombre de poits marqués au cours de la partie Détermier la loi, l'espérace et la variace de X et de Y b Das cette questio, les tirages sot supposés être effectués sas remise Doer les lois de X et de Y Exercice 96 O admet das cet exercice que pour tout q N *, la série k x k q coverge pour tout x ],[ et sa somme k q q vaut ( x ) q+ Soiet p ],[ et r N * O dépose ue bactérie das ue eceite fermée à l'istat t = O evoie u rayo laser par secode das cette eceite, le premier rayo état evoyé à l'istat t = La bactérie a la probabilité p d'être touchée par le rayo laser Les tirs de laser sot idépedats La bactérie e meurt que quad elle a été touchée r fois par le rayo Soit X la variable aléatoire égale à la durée de vie de la bactérie a Détermier la loi de X b Prouver que X admet ue espérace et la calculer Exercice 97 Soit ( X, Y ) u couple de variable aléatoire à valeurs das j+ k ( j + k)( ) P( X = j, Y = k) = e j! k! a Détermier les lois margiales de X et de Y X et Y sot-elles idépedates? X + Y b Prouver que E( ) existe et la calculer N dot la loi est doée par Exercice 98 Ue secrétaire effectue, ue première fois, u appel téléphoique vers correspodats disticts O admet que les appels costituet expérieces idépedates et que, pour chaque appel, la probabilité d'obteir le correspodat appelé est p ],[ Soit X la variable aléatoire doat le ombre de correspodats obteus a Doer la loi de X (justifier) b La secrétaire appelle ue secode fois, das les mêmes coditios, chacu des X correspodats qu'elle 'a pas obteus lors du premier appel O ote Y la variable aléatoire doat le ombre de correspodats joits lors de ce secod appel i, Détermier, pour k N, P( Y = k X = i) i Soit ii Prouver que Z = X + Y suit ue loi biomiale dot o détermiera le paramètre (idicatio : o pourra i k utiliser, sas la prouver, l'idetité suivate : = ) k i i i k iii Détermier l'espérace et la variace de Z 4 Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Veret, Valece

25 Exercice 99 a Rappeler l'iégalité de Bieaymé-Tchebychev b Soit ( Y ) ue suite de variables aléatoires mutuellemet idépedates, de même loi et admettat u momet d'ordre O pose S = Yk Prouver que pour tout a >, P E( Y ) a S V( Y ) k= a c Exemple O effectue des tirages successifs, avec remise, d'ue boule das ue ure coteat boules rouges et 3 boules oires À partir de quel ombre de tirages peut-o garatir à plus de 95% que la proportio de boules rouges obteues restera comprise etre,35 et,45? (idicatio : cosidérer la suite ( Y ) de variables de Beroulli où Y mesure l'issue du -ième tirage) Exercice Soit λ ], + [ Ue variable aléatoire discrète X, à valeurs das N *, obéit à la loi P( X = ) = a Décomposer e élémets simples la fractio ratioelle b Calculer λ c Prouver que X admet ue espérace et la calculer d X admet-elle ue variace? X ( X + )( X + ) λ ( + )( + ) Exercice Das ue zoe désertique, u aimal erre etre trois poits d'eau A, B et C À l'istat t =, il se trouve au poit A Quad il a épuisé l'eau du puits où il se trouve, il part avec équiprobabilité rejoidre l'u des deux autres poits d'eau L'eau du puits qu'il viet de quitter se régéère alors Soit N Pour M = A, B ou C, o ote M l'évèemet "l'aimal est e M après so -ième trajet", et l'o pose m = P( M ) a Exprimer, e justifiat, a + e foctio de a, b et c Faire de même pour b + et c + b Soit la matrice A = Justifier sas calcul que A est diagoalisable Prouver que est valeur propre de A et détermier le sous-espace propre associé Détermier ue matrice iversible P et ue matrice diagoale D telles que D = P AP (le calcul de P 'est pas demadé) c Commet les résultats de la questio b peuvet-ils être utilisés pour calculer a, b et c? (le calcul effectif 'est pas demadé) Exercice Soiet N N *, p ],[ et q = p O cosidère N variables aléatoires X, X,, X sur u même espace probabilisé ( ΩA,, P), mutuellemet idépedates et de même loi géométrique de paramètre p et N * Détermier P( Xi ) et P( Xi > ) b O cosidère la variable aléatoire Y = mi Xi i N c Calculer P( Y > ) pour N * E déduire P( Y ) puis P( Y = ) d Recoaître la loi de Y E déduire l'espérace de Y a Soiet i, N 5 Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Veret, Valece

26 Exercice 3 Les questios a et b sot idépedates Soit ( ΩA,, P) u espace probabilisé a Soiet X et X deux variables aléatoires défiies sur ( ΩA,, P) O suppose X et X idépedates, et qu'elles suivet toutes deux ue loi de Poisso de paramètres respectifs λ et λ Détermier la loi de X + X b Soiet X et Y deux variables aléatoires sur ( ΩA,, P), Y suivat ue loi de Poisso de paramètre λ O suppose que X ( Ω ) =N et que pour tout etier m, la loi coditioelle de X sachat ( Y = m) est ue loi biomiale de paramètre ( m, p ) Détermier la loi de X Exercice 4 O dispose de boules umérotées de à, et d'ue boîte formée de trois compartimets idetiques umérotés de à 3 O lace simultaémet les boules, qui toutes vieet se loger aléatoiremet das u compartimet O ote X la variable aléatoire qui, à chaque expériece, décompte le ombre de compartimets restés vides a Préciser les valeurs prises par X b Détermier P( X = ), puis fiir de détermier la loi de X c Calculer E( X ) d Détermier la limite de E( X ) quad ted vers + Iterpréter ce résultat Exercice 5 O dispose de dés, dot 5 sot pipés Pour chaque dé pipé, la probabilité d'obteir u 6 vaut a Éocer la formule de Bayes pour u système complet d'évèemets b O choisit u dé au hasard parmi les, o lace ce dé et o obtiet u 6 Quelle est la probabilité que ce dé soit pipé? c Soit N * O choisit au hasard u dé parmi les, et o lace fois ce dé O obtiet u 6 à chaque lacer Quelle est la probabilité p que le dé soit pipé? d Détermier la limite de p quad ted vers l'ifii, et iterpréter ce résultat Exercice 6 X et Y sot deux variables aléatoires idépedates à valeurs das N Elles suivet la même loi défiie par : k k N, P( X = k) = P( Y = k) = pq, où p ],[ et q = p O cosidère alors les variables aléatoires U = sup ( X, Y ) et V = if ( X, Y ) a Détermier la loi du couple ( U, V ) b Détermier les lois margiales de U et de V c Prouver que W = V + suit ue loi géométrique E déduire l'espérace de V c U et V sot-elles idépedates? Exercice 7 O dispose de deux ures U et U L'ure U cotiet deux boules blaches et trois boules oires L'ure U cotiet quatre boules blaches et trois boules oires O effectue des tirages successifs de la faço suivate : o choisit ue ure au hasard et o tire ue boule das l'ure choisie O ote sa couleur et o remet la boule das l'ure dot elle proviet Si la boule tirée était blache, le prochai tirage est effectué das l'ure U Das le cas cotraire, le tirage suivat se fait das l'ure U Pour tout N *, o ote p la probabilité de l'évèemet "la boule tirée au -ième tirage est blache" 6 Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Veret, Valece

27 6 4 Calculer p Prouver que N *, p+ = p +, et e déduire la valeur de p 35 7 Exercice 8 Soiet X et Y deux variables aléatoires à valeurs das N défiies sur u même espace probabilisé ( ΩA,, P) O sup- pose que la loi du couple ( X, Y ) est doée par P(( X = i) ( Y = j)) = i+ e j! a Détermier les lois de X et de Y b Prouver que + X suit ue loi géométrique et e déduire l'espérace et la variace de X c Détermier l'espérace et la variace de Y d X et Y sot-elles idépedates? e Calculer P( X = Y ) Exercice 9 Soit N * Ue ure cotiet boules blaches umérotées de à, et deux boules oires umérotées et O effectue le tirage ue à ue, sas remise, de toutes les boules de l'ure O ote X la variable aléatoire doat le rag d'apparitio de la première boule blache, et Y le rag d'apparitio de la première boule umérotée Détermier les lois de X et de Y Exercice Soit ( ΩA,, P) u espace probabilisé a Soit X ue variable aléatoire sur ( ΩA,, P) à valeurs das N O cosidère la série etière P( X = ) t, de somme G X, et l'o ote R X so rayo de covergece Prouver que RX, que G X () et GX ( ) existet, et exprimer ( k) GX ( t ) sous forme d'ue espérace Exprimer efi P( X = k) e foctio de G X () b Doer le domaie de défiitio de G X et calculer GX ( t ) quad X suit ue loi de Poisso de paramètre λ c Soiet X et Y deux variables aléatoires idépedates sur ( ΩA,, P) suivat respectivemet des lois de Poisso de paramètres λ et µ Détermier, grâce aux questios précédetes, la loi de X + Y Exercice O admet que pour tout q N *, la série ( Ω, A, P) u espace probabilisé, p ],[ k x k q coverge pour tout x ],[ et sa somme vaut q k q ( ) q x + Soit, X et Y deux variables aléatoires sur X à valeurs das N O suppose la loi du couple ( X, Y ) doée par P(( X = i) ( Y = j)) = p( p) si k, sio k a Vérifier qu'il s'agit bie d'ue loi de probabilité b Détermier la loi de Y, vérifier que + Y suit ue loi géométrique et doer l'espérace de Y c Détermier la loi de X Exercice Soit E u esemble possédat élémets O ote P ( E) l'esemble de ses parties 7 Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Veret, Valece

28 a Détermier le ombre a de couples ( A, B ) de parties de E telles que A B b Détermier le ombre b de couples ( A, B ) de parties de E telles que A B = c Détermier le ombres c de triplets ( A, B, C ) de parties de E deux à deux disjoites telles que E = A B C 8 Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Veret, Valece