COURS. Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l angle droit est appelé hypoténuse.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "COURS. Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l angle droit est appelé hypoténuse."

Transcription

1 EC 4A : ELEMENTS DE MATHEMATIQUES THEOREMES DE PYTHAGORE ET DE THALES COURS Objectifs du chapitre : Déterminer des longueurs dans un triangle en utilisant le théorème de Pythagore ou de Thalès. Démontrer que deux droites ne sont pas perpendiculaires en utilisant la conséquence du théorème de Pythagore Démontrer que deux droites sont perpendiculaires en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore Démontrer que deux droites ne sont pas parallèles en utilisant la conséquence du théorème de Thalès Démontrer que deux droites sont parallèles en utilisant la réciproque du théorème de Thalès Partager un segment en plusieurs segments de même longueur sans utiliser la règle graduée. 1. Vocabulaire Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l angle droit est appelé hypoténuse. hypoténuse Côtés de l angle droit Théorèmes de Pythagore et de Thalès : cours 1 8

2 2. Théorème de Pythagore, sa conséquence, sa réciproque Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l angle droit. (hypoténuse) 2 = (côté 1) 2 + (côté 2) 2 Côté 2 hypoténuse Enoncé de type 1 : ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3cm et AC = 4cm. Calculer BC. Côté 1 ABC est rectangle en A, donc, d après le théorème de Pythagore, on a : BC² = AB² + AC² BC² = 3² + 4² BC² = BC² = 25 BC = 25 BC = 5 cm Enoncé de type 2 : ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 24cm et BC = 25cm. Calculer AC. ABC est rectangle en A, donc, d après le théorème de Pythagore, on a : BC² = AB² + AC² 25² = 24² + AC² 625 = AC² AC² = AC² = 49 AC = AC = 7 cm Théorèmes de Pythagore et de Thalès : cours 2 8

3 Conséquence du théorème de Pythagore : Si un triangle ABC ayant pour plus grand côté BC est tel que BC² AB² + AC², alors le triangle ABC n est pas rectangle. Enoncé : ABC est un triangle avec AB = 5cm, AC = 6cm et BC = 8cm. Montrer que ce triangle n est pas rectangle. Dans le triangle ABC, BC est le plus grand côté. On calcule séparément : BC 2 = 8² = 64 AB² + AC² = 5² + 6² = = 61 On constate que BC² AB² + AC², donc d après la conséquence du théorème de Pythagore, on en conclut que le triangle ABC n est pas rectangle. Réciproque du théorème de Pythagore : Si un triangle ABC est tel que AB 2 + AC 2 = BC 2, alors le triangle est rectangle en A. Enoncé : IJK est un triangle avec IJ = 5cm, JK = 12cm et IK = 13cm. Montrer que ce triangle est rectangle. Dans le triangle IJK, KI est le plus grand côté. On calcule séparément : KI 2 = 13² = 169 IJ² + JK² = 5² + 12² = = 169 On constate que KI² = IJ² + JK², donc, d après la réciproque du théorème de Pythagore, on en conclut que le triangle IJK est rectangle en J. Théorèmes de Pythagore et de Thalès : cours 3 8

4 3. Théorème de Thalès, sa conséquence, sa réciproque Théorème de Thalès Si les droites (BM) et (CN) se coupent en A et si (BC) // (MN), alors Enoncé de type 1 : Sur la figure ci-dessous, OA = 15 cm, OM = 6 cm, MN = 5 cm, les droites (AB) et (MN) sont parallèles. Déterminer AB. Les droites et se coupent en et //, donc d après le, on a :. (On choisit l égalité :) (car on connaît, et et on cherche ) (On remplace les longueurs par les données :) Donc On conclut : Théorèmes de Pythagore et de Thalès : cours 4 8

5 Enoncé de type 2 : Sur la figure ci-dessous, AD = 2cm, BD = 1,2cm, DC = 1,8cm. Sachant que les droites (AB) et (CE) sont parallèles, calculer DE. Les droites et se coupent en et //, donc d après le, on a :. (On choisit l égalité :) (car on connaît, et et on cherche ) (On remplace les longueurs par les données :) Donc On conclut : Théorèmes de Pythagore et de Thalès : cours 5 8

6 La conséquence du théorème de Thalès Soient deux droites (BM) et (CN) sécantes en A Si AM AB AN AC, alors les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles. Enoncé : Sur la figure ci-dessous, AB = 3cm, AM = 9cm, AN = 7cm et AC = 2cm. Démontrer que les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. Les droites et se coupent en. Calculons séparément : = = On remarque que.... On en conclut, d après. que les droites.. et sont.. Théorèmes de Pythagore et de Thalès : cours 6 8

7 Réciproque du théorème de Thalès Soient deux droites (BM) et (CN) sécantes en A. Si AM AB = AN AC ordre, et si les points A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. Enoncé : Sur la figure ci-dessous, AN = 2cm, AM = 3cm, AB = 9cm et AC = 6cm. Démontrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Les droites et se coupent en. Calculons séparément : = = On remarque que.... De plus les points,., et,.,. sont alignés dans le même ordre, on en conclut, d après que les droites.. et sont. Théorèmes de Pythagore et de Thalès : cours 7 8

8 Application du théorème de Thalès : partager un segment en 3 segments égaux sans utiliser la règle graduée : Théorèmes de Pythagore et de Thalès : cours 8 8

COMMENT DEMONTRER QUE DEUX DROITES SONT PARALLELES?

COMMENT DEMONTRER QUE DEUX DROITES SONT PARALLELES? 1 COMMENT DEMONTRER QUE DEUX DROITES SONT PARALLELES? 1) En utilisant les propriétés vues en 6 ème Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles entre elles On sait que

Plus en détail

DEMONTRER. 1) Démontrer qu un point est le milieu d un segment. 2) Démontrer que deux droites sont parallèles

DEMONTRER. 1) Démontrer qu un point est le milieu d un segment. 2) Démontrer que deux droites sont parallèles DEMONTRER 1) Démontrer qu un point est le milieu d un segment 2) Démontrer que deux droites sont parallèles 3) Démontrer que deux droites sont perpendiculaires 4) Démontrer qu un triangle est rectangle

Plus en détail

SOMMAIRE. Fiche 2 : Démontrer que deux droites sont perpendiculaires. Fiche 6 : Démontrer qu un quadrilatère est un parallélogramme

SOMMAIRE. Fiche 2 : Démontrer que deux droites sont perpendiculaires. Fiche 6 : Démontrer qu un quadrilatère est un parallélogramme SOMMAIRE Fiche 1 : Démontrer que deux droites sont parallèles Fiche 2 : Démontrer que deux droites sont perpendiculaires Fiche 3 : Démontrer qu un triangle est équilatéral Fiche 4 : Démontrer qu un triangle

Plus en détail

S13. Autour des théorèmes de PYTHAGORE et THALES

S13. Autour des théorèmes de PYTHAGORE et THALES CRPE S1. Autour des théorèmes de PYTHAGORE et THALES Mise en route A. Dans chaque exercice, une configuration à reconnaître une propriété à connaitre une démonstration à rédiger 1. ARC est un triangle

Plus en détail

THEOREMES DE GEOMETRIE

THEOREMES DE GEOMETRIE THEOREMES DE GEOMETRIE DROITES REMARQUABLES D'UN TRIANGLE Hauteurs : On appelle hauteur d'un triangle une droite qui passe par un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au coté opposé à ce sommet.

Plus en détail

1. Tracer un triangle ABC et placer le point M milieu de [AB]. Soit le point N symétrique

1. Tracer un triangle ABC et placer le point M milieu de [AB]. Soit le point N symétrique 4 ème D DS4 triangles : milieux, parallèles sujet 1 2009-2010 Agrandissement - réduction NOM : Prénom : Note : 20 Objectif Acquis En cours Non Acquis d acquisition Connaître et utiliser les théorèmes relatifs

Plus en détail

3 ème BREVET : théorème de Thalès

3 ème BREVET : théorème de Thalès Exercice 1 1 Tracer en triangle ABC rectangle en A tel que : AB = 5 cm et AC = 3 cm. Placer le point D sur [AB] tel que BD = 4 cm. Tracer la perpendiculaire à (AB) passant par D, elle coupe [BC] en E.

Plus en détail

FG² = EF² + EG² 7² = 2² + EG² 49 = 4 + EG² EF = 2, FG = 7, EG =? EG² = 49 4 = 45 EG = = 3 EG 6,7

FG² = EF² + EG² 7² = 2² + EG² 49 = 4 + EG² EF = 2, FG = 7, EG =? EG² = 49 4 = 45 EG = = 3 EG 6,7 EC 4A : ELEMENTS DE MATHEMATIQUES THEOREMES DE PYTHAGORE ET DE THALES EXERCICES CORRECTION EXERCICE N 1 : Figure 1 : ABC est rectangle en A, donc, BC² = AB² + AC² BC² = 5² + 7² BC² = 25 + 49 AB = 5, AC

Plus en détail

Angle et parallèles. Si 2 droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Angle et parallèles. Si 2 droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Angle et parallèles Si 2 droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Si 2 droites sont perpendiculaires, toute parallèle à l une est perpendiculaire à l autre.

Plus en détail

Fiches de géométrie. Pour démontrer que deux droites sont parallèles. Pour démontrer...

Fiches de géométrie. Pour démontrer que deux droites sont parallèles. Pour démontrer... 3 Pr démontrer... Fiches de géométrie Niveau 3ème...que deux droites sont parallèles... Fiche...que deux droites sont perpendiculaires... Fiche 2...que deux longueurs sont égales... Fiche 3...que deux

Plus en détail

PROPRIETES, THEOREME DE GEOMETRIE

PROPRIETES, THEOREME DE GEOMETRIE PROPRIETES, THEOREME DE GEOMETRIE Droites Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. (6ème) Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième,

Plus en détail

Correction Interrogation de Mathématiques

Correction Interrogation de Mathématiques Correction Interrogation de Mathématiques A Exercice 1 : En utilisant les informations portées sur le dessin, calculer les longueurs CD et E. 5,4 On donnera l arrondi à 0,1 cm près. (Les mesures sont exprimées

Plus en détail

Mercredi 28 janvier Collège La Charme

Mercredi 28 janvier Collège La Charme BREVET BLANC ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Mercredi 28 janvier 2009 Collège La Charme Durée : 2 heures L emploi des calculatrices est autorisé En plus des point prévus pour chacune des trois parties de l épreuve,

Plus en détail

Théorème de Pythagore Exercice 1 : Le triangle DEF est rectangle en F, DF = 36 mm, DE = 85 mm, calculer EF.

Théorème de Pythagore Exercice 1 : Le triangle DEF est rectangle en F, DF = 36 mm, DE = 85 mm, calculer EF. Théorème de Pythagore Exercice 1 : Le triangle D est rectangle en F, = 36 mm, DE = 85 mm, calculer. Le triangle D est rectangle en F. D'après le théorème de Pythagore : ED 85 36 75-196 599 599 77 mm Exercice

Plus en détail

FICHE REVISION GEOMETRIE EN PREVISION DU DEVOIR COMMUN DE FEVRIER

FICHE REVISION GEOMETRIE EN PREVISION DU DEVOIR COMMUN DE FEVRIER Exercice n 1 : FICHE REVISION GEOMETRIE EN PREVISION DU DEVOIR COMMUN DE FEVRIER Sur la figure ci-contre : les points K, A, F, C sont alignés ; les points G, A, E, B sont alignés ; (EF) et (BC) sont parallèles

Plus en détail

Angles : Définitions utiles. Angles : Propriétés utiles. Triangle : Droite des milieux. Triangle : Généralités

Angles : Définitions utiles. Angles : Propriétés utiles. Triangle : Droite des milieux. Triangle : Généralités Angles : Définitions utiles Angles : Propriétés utiles D1: Deux angles qui ont un sommet commun et un côté commun sont dits adjacents. Sur la figure ci contre, l angle en rouge et l angle en vert ont en

Plus en détail

1 Rappels C est quoi une propriété? Démontrer... 4

1 Rappels C est quoi une propriété? Démontrer... 4 Sommaire 1 Rappels. 2 1.1 C est quoi une propriété?...................... 2 1.2 Démontrer............................... 4 2 Théorème des milieux. 5 2.1 Propriété n 1.............................. 5 2.2

Plus en détail

Angles IJ = Exercice : (Rennes 99)

Angles IJ = Exercice : (Rennes 99) Angles Exercice : (Lyon 96) 1) Construire un triangle IJK tel que : JK 8 cm ; IJ 4,8 cm ; KI 6,4 cm. 2) Démontrer que le triangle IJK est un triangle rectangle. 3) Calculer la mesure en degrés de l'angle

Plus en détail

Triangles et parallèles

Triangles et parallèles Triangles et parallèles I) Propriétés sur les droites des milieux : a) Première propriété ( pour montrer que deux droites sont parallèles ) : Soit ABC un triangle, M le milieu de [AB] et N le milieu de

Plus en détail

I Rappels sur les symétries :

I Rappels sur les symétries : I Rappels sur les symétries : I. 1 Symétrie axiale : On note I le milieu de [ AB ]. On appelle médiatrice du segment [ AB ] la droite perpendiculaire en I à ( AB ). Propriétés : La médiatrice de [ AB ]

Plus en détail

THEOREME DE THALES. 3 e. Trois situations possibles où le théorème de Thalès peut s'appliquer : N [AC] et M [AC]

THEOREME DE THALES. 3 e. Trois situations possibles où le théorème de Thalès peut s'appliquer : N [AC] et M [AC] THEOREME DE THALES 3 e Hypothèses de départ Dans ce chapitre nous travaillerons avec les hypothèses suivantes : - (d1) et (d2) sont deux droites sécantes en un point A. - B et M sont deux points appartenant

Plus en détail

Donc O est le milieu de segment [MM ] Donc I est le milieu de [AB] Donc I est le milieu de [BC] Donc O est le milieu de [AC] et [BD]

Donc O est le milieu de segment [MM ] Donc I est le milieu de [AB] Donc I est le milieu de [BC] Donc O est le milieu de [AC] et [BD] COMMENT DEMONTRER Pour démontrer qu'un point est le milieu d'un segment On sait que I appartient au segment [AB] et IA = IB Propriété :Si un point appartient à un segment et est équidistant des extrémités

Plus en détail

Si k > 1, il s agit d un agrandissement à l échelle k. Si 0 < k < 1, il s agit d une réduction à l échelle k. Si k = 1, on parle de reproduction.

Si k > 1, il s agit d un agrandissement à l échelle k. Si 0 < k < 1, il s agit d une réduction à l échelle k. Si k = 1, on parle de reproduction. 1 THALES : THEOREME, RECIPROQUE CONTRAPOSEE I- AGRANDISSEMENT REDUCTION Définition : On appelle agrandissement ou réduction d une figure, la figure obtenue en multipliant toutes les longueurs de la figure

Plus en détail

Chapitre 4 : Triangles.

Chapitre 4 : Triangles. Chapitre 4 : Triangles. I Somme des angles d un triangle. 1 Propriété. La somme des mesures des angles d un triangle est égale à 180. Dans le triangle JKL, on a + + = 180. 2 Triangles particuliers. Triangle

Plus en détail

Correction du Brevet blanc n 1.

Correction du Brevet blanc n 1. Correction du Brevet blanc n 1. Exercice 1 : Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, quatre réponses sont proposées : une seule d entre elles est exacte. Pour chaque

Plus en détail

I. Polygones : II. Triangles : 1) Définition : Les segments [AC], [AB] et [BC] sont les trois côtés du triangle.

I. Polygones : II. Triangles : 1) Définition : Les segments [AC], [AB] et [BC] sont les trois côtés du triangle. 1 / 6 I. Polygones : Un polygone est une figure fermée dont les côtés sont des segments. II. Triangles : 1) Un triangle est un polygone à trois côtés. Les segments [AC], [AB] et [BC] sont les trois côtés

Plus en détail

4 ème C IE5 triangles : milieux, parallèles sujet NOM : Prénom : Note : ème C IE5 triangles : milieux, parallèles sujet

4 ème C IE5 triangles : milieux, parallèles sujet NOM : Prénom : Note : ème C IE5 triangles : milieux, parallèles sujet NOM : Prénom : ABC est un triangle rectangle en A. Le point I est le milieu du segment [BC]. Le point J est le milieu du segment [AB]. Démontrer que les droites (IJ) et (AB) sont perpendiculaires. Note

Plus en détail

Cours configurations du plan

Cours configurations du plan I Polygones a) Polygones particuliers triangles Propriété : La somme des angles d un triangle est égale à 180. Définition : Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Propriétés caractéristiques

Plus en détail

4) Sachant que l aire du triangle ABC est de 6 cm², calculer l aire du triangle AMN. Fiche d exercices : AGRANDISSEMENT REDUCTION

4) Sachant que l aire du triangle ABC est de 6 cm², calculer l aire du triangle AMN. Fiche d exercices : AGRANDISSEMENT REDUCTION Fiche d exercices : AGRANDISSEMENT REDUCTION Le format normal d une photo est 10 cm sur 15 cm. On propose des «agrandissements» : 13 19 ; 20 30 ; 30 45 ; 50 75. 1) L un des formats proposés n est pas correct?

Plus en détail

Triangles rectangles et cercles

Triangles rectangles et cercles 1) Médiane d un triangle : Triangles rectangles et cercles Dans un triangle, une médiane est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet. I est le milieu de [BC], donc

Plus en détail

Triangle rectangle, cercle et médiane

Triangle rectangle, cercle et médiane Triangle rectangle, cercle et médiane A) Activités préparatoires. 1. Parallèles et milieux. Exercice n 1 : Recopier et compléter les chaînons suivants : 1 er cas : (AB) est parallèle à (CD). (MN) est parallèle

Plus en détail

Configurations du plan et trigonométrie

Configurations du plan et trigonométrie Configurations du plan et trigonométrie A) Le triangle rectangle. 1. Le théorème de Pythagore et sa réciproque. Si ABC est un triangle rectangle en A, alors Théorème réciproque : Si ABC est un triangle

Plus en détail

Réciproque du théorème de Thalès Exercices corrigés

Réciproque du théorème de Thalès Exercices corrigés Réciproque du théorème de Thalès xercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : xercices 1 et 2 : montrer le parallélisme de deux droites xercice 3 : problème de géométrie avec théorème de Pythagore

Plus en détail

I- RACINE CARRÉE D UN NOMBRE

I- RACINE CARRÉE D UN NOMBRE Fiche d activités : activité 1 (vérification des acquis de 5 ème ) I- RACINE CARRÉE D UN NOMBRE Rappel : le carré d un nombre s obtient en multipliant ce nombre par lui-même. Soit a un nombre : a² = a

Plus en détail

Dans chaque cas, dire si la droite (d) est la médiatrice du segment [AB] en justifiant la réponse.

Dans chaque cas, dire si la droite (d) est la médiatrice du segment [AB] en justifiant la réponse. sixième Corrigé DS n 6 durée 50mn Exercice 1 ( 3 points ) Dans chaque cas, dire si la droite (d) est la médiatrice du segment [AB] en justifiant la réponse. Figure 1 La droite (d) passe par les deux points

Plus en détail

TRANSLATION et VECTEURS : Composition de deux symétries centrales. 3ème_Chap.5_Translation et Vecteurs

TRANSLATION et VECTEURS : Composition de deux symétries centrales. 3ème_Chap.5_Translation et Vecteurs TRANSLATION et VECTEURS : Composition de deux symétries centrales 1 Activité «avant de démarrer» p200 LIEN ENTRE TRANSLATION ET VECTEUR 2 I VECTEURS 1. Définition Un vecteur est défini par une direction,

Plus en détail

3 ème A Contrôle : théorème de Thalès sujet 1

3 ème A Contrôle : théorème de Thalès sujet 1 3 ème A Contrôle : théorème de Thalès 2009-2010 sujet 1 Consignes : justifier les réponses en citant correctement les théorèmes utilisés. Exercice 1 (6 points) T Les points T, O, I sont alignés et les

Plus en détail

4 triangles rectangles et cercles exercices correction.doc Page 1 sur 7

4 triangles rectangles et cercles exercices correction.doc Page 1 sur 7 EXERCICE 1 SI un triangle ABC est rectangle en A ALRS ABC est inscrit dans un cercle de diamètre [BC] SI un triangle ABC est rectangle en B ALRS ABC. est inscrit dans un cercle de diamètre [AC] SI un triangle

Plus en détail

S13C. Autour des théorèmes de PYTHAGORE et THALES Corrigé

S13C. Autour des théorèmes de PYTHAGORE et THALES Corrigé CRPE Mise en route S13C. Autour des théorèmes de PYTHAGORE et THALES Corrigé A. Dans chaque exercice une configuration à reconnaître une propriété à connaitre une démonstration à rédiger 1. Si le triangle

Plus en détail

Théorème de Thalès Corrigés d exercices / Version de décembre 2012

Théorème de Thalès Corrigés d exercices / Version de décembre 2012 Corrigés d exercices / Version de décembre 0 Les exercices du livre corrigés dans ce document sont les suivants : Page 06 : N, 4, 7, 8 Page 07 : N 0, 4 Page : N 5 Page : N 53 N page 06 Le segment [ AB

Plus en détail

Parallélogrammes Particuliers

Parallélogrammes Particuliers Parallélogrammes Particuliers I) Définitions et propriétés Les parallélogrammes particuliers étudiés sont les rectangles, les carrés et les losanges. 1) Le rectangle a) Définition : Un rectangle est un

Plus en détail

1 Préambule Vocabulaire La racine carré d un nombre Qui était Pythagore... 3

1 Préambule Vocabulaire La racine carré d un nombre Qui était Pythagore... 3 Sommaire 1 Préambule. 2 1.1 Vocabulaire............................... 2 1.2 La racine carré d un nombre..................... 3 1.3 Qui était Pythagore.......................... 3 2 Théorème de Pythagore.

Plus en détail

Triangles et droites parallèles

Triangles et droites parallèles Triangles et droites parallèles I. Initiation à la démonstration 1 ) Les règles du débat mathématique En mathématiques, pour savoir si un énoncé est vrai ou faux, on utilise certaines règles : Un énoncé

Plus en détail

Exercice 1 (4 points) Dans chacun des cas suivants, calculer AB. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième.

Exercice 1 (4 points) Dans chacun des cas suivants, calculer AB. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième. 4 ème D DS3 théorème de Pythagore sujet 1 2009-2010 NOM : Prénom : Compétences Acquis En cours d acquisition Caractériser le triangle rectangle par le théorème de Pythagore et sa réciproque Calculer la

Plus en détail

Droites, cercles et quadrilatères

Droites, cercles et quadrilatères Droites, cercles et quadrilatères «Des outils pour les démonstrations» I Droites et segments 1) Droites Propriété 1 : Par deux points distincts A et B, il passe une seule droite ; on peut la noter (AB).

Plus en détail

I) Milieux et droites parallèles dans un triangle

I) Milieux et droites parallèles dans un triangle Chapitre 9 Triangles et droites parallèles I) Milieux et droites parallèles dans un triangle 1) Activités Activité 1 1) Effectuer la construction suivante : Tracer un triangle ABC ; Placer le milieu I

Plus en détail

Le point. 2. Axiome d'euclide (III ème IV ème siècle av J.C.) 3. Parties d'une droite. RAPPELS DE GÉOMÉTRIE

Le point. 2. Axiome d'euclide (III ème IV ème siècle av J.C.) 3. Parties d'une droite. RAPPELS DE GÉOMÉTRIE 1. Le point. C'est l élément élémentaire de la géométrie. Une infinité de points constitue une droite. Sur le dessin, la droite (D) passe par une infinité de points : on dit que ces points sont alignés.

Plus en détail

agrandissement > 1 rapport coefficient d agrandissement réduction 0 < k < 1 rapport coefficient de réduction et k sont inverses k = 1

agrandissement   > 1 rapport coefficient d agrandissement    réduction 0 < k < 1 rapport coefficient de réduction et k sont inverses k = 1 ET SA RECIPROQUE I Agrandissement et réduction d un triangle Sur cette figure nous avons M (AB) et N () et (MN) // (). On peut dire que le triangle AMN est un agrandissement du triangle A. Toutes les longueurs

Plus en détail

Théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore Théorème de Pythagore C H A P I T R E 6 Énigme du chapitre. Objectifs du chapitre. Tom veut rejoindre l école le plus rapidement possible. Il doit traverser une rivière de 1 mètre de large. Où faut-il

Plus en détail

3 ème BREVET THEOREME DE THALES

3 ème BREVET THEOREME DE THALES Exercice 1 1 Construire un triangle ABC tel que AB = 6 cm AC = 7,2 cm et BC = 10 cm Placer les points R, T et E tels que : R [AB] et AR = 4,5 cm T [AC] et (RT) // (BC) E [AB) et E [AB] et BE = 2 cm 1 2

Plus en détail

LES DROITES PARALLELES

LES DROITES PARALLELES LES DROITES PARALLELES D. LE FUR Lycée Pasteur, São Paulo Le théorème de Thalès Les configurations de Thalès Le triangle N B O M A Les configurations de Thalès Le triangle La figure papillon N B B O M

Plus en détail

Théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore Théorème de Pythagore A) Vocabulaire. Définition : Dans un triangle rectangle l hypoténuse est le côté opposé à l angle droit. Exemple : Si ABC est un triangle rectangle en A alors le côté [BC] est sont

Plus en détail

Propriété Les 3 hauteurs d un triangle sont concourantes. Le point de concours s appelle l orthocentre du triangle.

Propriété Les 3 hauteurs d un triangle sont concourantes. Le point de concours s appelle l orthocentre du triangle. Géométrie Espace 2 nde 1 Géométrie dans l espace I. Rappels de collège A. Formumaire 1. Hauteurs Une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Il y a donc 3 hauteurs

Plus en détail

THEOREME DE THALES et sa réciproque

THEOREME DE THALES et sa réciproque Chapitre 3 THEOREME DE THALES et sa réciproque 1 I. Théor orème de Thalès 1) Rappel Soient a, b, c et d 4 nombres tels que b 0 et d 0, Si a b = c d alors a d = b c {égalité des «produits en croix»} On

Plus en détail

DIPLÔME NATIONAL DU BREVET MÉTROPOLE - LA RÉUNION - MAYOTTE SESSION 2007

DIPLÔME NATIONAL DU BREVET MÉTROPOLE - LA RÉUNION - MAYOTTE SESSION 2007 1 sur 7 http://www.ilemaths.net/maths_3-sujet-brevet-07-07-correction.php#c... DIPLÔME NATIONAL DU BREVET MÉTROPOLE - LA RÉUNION - MAYOTTE SESSION 2007 L'emploi de la calculatrice est autorisé. La rédaction

Plus en détail

I Définition. Un quadrilatère est une figure constituée de quatre côtés. Le quadrilatère ABCD a : Quatre sommets : les points A, B, C et D.

I Définition. Un quadrilatère est une figure constituée de quatre côtés. Le quadrilatère ABCD a : Quatre sommets : les points A, B, C et D. QUADRILATERES I Définition Un quadrilatère est une figure constituée de quatre côtés. Le quadrilatère ABCD a : Quatre sommets : les points A, B, C et D. Quatre côtés : les segments [AB], [BC], [CD] et

Plus en détail

I) Activités numériques

I) Activités numériques Brevet 1994 : Bordeaux I) Activités numériques Exercice 1 : Écrire sous la forme a b (où a et b sont des entiers) le nombre : E 75 + 3 1 4 3. Calculer : 3(3 3) ; G ( 5 + )( 5 ). Exercice : Résoudre les

Plus en détail

GÉOMÉTRIE PLANE. On écrit : AB = 4cm et pas [AB] = 4cm On écrit : (AB) l (CD) et pas [AB] l [CD].

GÉOMÉTRIE PLANE. On écrit : AB = 4cm et pas [AB] = 4cm On écrit : (AB) l (CD) et pas [AB] l [CD]. GÉOMÉTRIE PLANE Langage géométrique : notations et vocabulaire. [ ] = segment [AB] = segment d extrémités A et B. AB = longueur du segment AB (ou parfois la distance de A à B). ( ) = droite (AB) = droite

Plus en détail

Seconde chap1 Géométrie plane 1/6 GEOMETRIE PLANE.

Seconde chap1 Géométrie plane 1/6 GEOMETRIE PLANE. Seconde chap Géométrie plane /6 GEOMETRIE PLNE. I. Repère et coordonnées. oordonnées. Si O, I et J sont trois points non alignés du plan, alors (O I J) est un repère du plan d origine O. Si (OI) et (OJ)

Plus en détail

Activités numériques sur 12 points. Fonction : image et antécédents. Exercice 2 Décomposition d un multiple de 4

Activités numériques sur 12 points. Fonction : image et antécédents. Exercice 2 Décomposition d un multiple de 4 Activités numériques sur 12 points Rappels : Exercice 1 Fonction : image et antécédents L image d un nombre par une fonction se lit sur l axe des ordonnées (axe vertical). Le ou les antécédents d un nombre

Plus en détail

Ce qui veut dire que la longueur de l hypoténuse élevée au carré est égale à la somme des carrés des deux autres côtés du triangle.

Ce qui veut dire que la longueur de l hypoténuse élevée au carré est égale à la somme des carrés des deux autres côtés du triangle. Triangle rectangle et théorème de Pythagore Dans ce cours sur le triangle rectangle, je ne vais pas me contenter de simplement vous définir ce qu est un triangle rectangle. D ailleurs, vous savez déjà

Plus en détail

CHAPITRE IV : GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE ET DROITES

CHAPITRE IV : GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE ET DROITES CHAPITRE IV : GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE ET DROITES Configurations du plan Le théorème de Pythagore s applique à un triangle rectangle ; le théorème de Thalès, à une figure qui comprend des droites parallèles

Plus en détail

Cours de mathématiques Classe de Quatrième

Cours de mathématiques Classe de Quatrième CHAPITRE 5 PROJECTION ET COSINUS Le calcul d'erathostène 76 Cosinus d'un angle aigu 77 Projection ; Cosinus d'un angle aigu 78 Projection et milieu 83 Exercices de démonstration 83 Utilisation du Cos 85

Plus en détail

Chapitre 14 Propriétés de Thalès

Chapitre 14 Propriétés de Thalès Chapitre 14 Propriétés de Thalès Pour les exercices 1 et 2, écrire les égalités données par le théorème de Thalès sans rédiger la justification. 1 a. Les droites (NP) et (QM) sont parallèles. b. Les droites

Plus en détail

Cosinus d un angle aigu

Cosinus d un angle aigu Cosinus d un angle aigu Chapitre G4 du livre I. Le cosinus d un angle aigu : 1.) Côté adjacent a. Définition Le côté adjacent à un angle aigu dans un triangle rectangle est le côté qui forme cet angle

Plus en détail

Exercices sur les vecteurs

Exercices sur les vecteurs Exercices sur les vecteurs Exercice 1 : Associativité de la somme de trois vecteurs. On donne trois vecteurs u, v et w. Sur les deux figures suivantes tracer la somme u + v + w de deux manières : u + v

Plus en détail

DIPLÔME NATIONAL DU BREVET BLANC n 2

DIPLÔME NATIONAL DU BREVET BLANC n 2 DIPLÔME NATIONAL DU BREVET BLANC n 2 SESSION 2013 MATHÉMATIQUES SÉRIE COLLÈGE DURÉE DE L ÉPREUVE : 2 h 00 Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1/4 à 4/4. Dès qu il vous est remis, assurez-vous qu il

Plus en détail

p(p a)(p b)(p c) où p = 1 (a + b +c)

p(p a)(p b)(p c) où p = 1 (a + b +c) ème E DS4 racines carrées 01-014 sujet 1 Eercice 1 : (4 points) Les figures ci-dessous ont toutes une aire de cm². Donner la valeur eacte de en cm, dans chacun des cas. (1) () () (4) 1 Eercice : au brevet

Plus en détail

Comment démontrer que deux droites sont parallèles

Comment démontrer que deux droites sont parallèles F1 Comment démontrer que deux droites sont parallèles P : Si deux droites sont parallèles, alors toute parallèle à l une est parallèle à l autre. P : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième,

Plus en détail

Les droites parallèles et perpendiculaires

Les droites parallèles et perpendiculaires Les droites parallèles et perpendiculaires 1. Rappels du vocabulaire Je lis Point Droite Segment Demi- droite J écris Je dessine M [AB] est (AB) est AB est Le point A appartient à la droite (d). On note

Plus en détail

x(a + b) = 2 Pythagore et Thalès

x(a + b) = 2 Pythagore et Thalès Pythagore et Thalès Exercice 1 : On a découpé 4 exemplaires de la figure 0 pour les assembler et obtenir la figure 1. La mesure de l aire de la figure 1 est celle d un carré dont le côté a pour mesure

Plus en détail

Classeur de géométrie 4 ème

Classeur de géométrie 4 ème - 1 - lasseur de géométrie 4 ème Pour démontrer que. Un point est le milieu d un segment Un point est sur un cercle Un point est l image d un autre par es distances sont égales eux angles ont la même mesure

Plus en détail

ISEFC Juin 2007 Département de Mathématiques MA115. Série d exercices: Géométrie élémentaire du Plan

ISEFC Juin 2007 Département de Mathématiques MA115. Série d exercices: Géométrie élémentaire du Plan ISEFC Juin 2007 Département de Mathématiques MA115 Série d exercices: Géométrie élémentaire du Plan Exercice 1: Soient (ABC) et (ABD) deux triangles tels que C et D soient de part et d autre de la droite

Plus en détail

TRIANGLE RECTANGLE - REVISIONS. Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre l'hypoténuse ou encore:

TRIANGLE RECTANGLE - REVISIONS. Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre l'hypoténuse ou encore: TRIANGLE RECTANGLE - REVISIONS I- Cercle circonscrit à un triangle rectangle: 1) Propriété 1: Soit ABC un triangle rectangle en A. Le cercle circonscrit au triangle ABC a pour centre le point I milieu

Plus en détail

Classeur de géométrie 3 ème

Classeur de géométrie 3 ème - 1 - lasseur de géométrie 3 ème Pour démontrer que. Un point est le milieu d un segment Un point est sur un cercle Un point est l image d un autre par es distances sont égales eux angles ont la même mesure

Plus en détail

Chapitre : VECTEURS SESSION ABCD est un parallélogramme de centre O. Donner l ensemble des relations vectorielles possibles sur cette figure.

Chapitre : VECTEURS SESSION ABCD est un parallélogramme de centre O. Donner l ensemble des relations vectorielles possibles sur cette figure. SESSION 2006 Chapitre : VECTEURS 1 ABCD est un parallélogramme de centre O. Donner l ensemble des relations vectorielles possibles sur cette figure. D. Le FUR 1/ 21 2 ABCD est un parallélogramme de centre

Plus en détail

1) Trace un carré ABCD de 3 cm de côté. 2) Place E et F respectivement les milieux de [CD] et [AD]. 3) Trace les segments [EF], [BF] et [BE].

1) Trace un carré ABCD de 3 cm de côté. 2) Place E et F respectivement les milieux de [CD] et [AD]. 3) Trace les segments [EF], [BF] et [BE]. Corrigé des programmes de construction de la séance 2 du jeudi 15/09/11 1) Trace un carré ABCD de 3 cm de côté. 2) Trace la diagonale [BD]. 3) Place E et F respectivement les milieux de [AD] et [AB]. 4)

Plus en détail

6 ème COURS : droites perpendiculaires et droites parallèles.

6 ème COURS : droites perpendiculaires et droites parallèles. 1 Droites sécantes Définition : deux droites sécantes sont deux droites qui ont un seul point commun. Ce point commun est appelé point d intersection des deux droites. Les deux droites (d1) et (d2) se

Plus en détail

Géométrie et Problèmes

Géométrie et Problèmes 1. Figures planes 1.1. Triangles Géométrie et Problèmes Une figure du plan qui possède trois côtés est un triangle ; il a 3 sommets et la somme de ses trois angles internes vaut 180. Si un de ses angles

Plus en détail

Ch3 : configurations du plan - repérage d un point

Ch3 : configurations du plan - repérage d un point Ch3 : configurations du plan - repérage d un point 1. Coordonnées d un point sur un plan : repère orthonormé 1 (O,I,J et repérage d un point distance de deux points - démonstration avec le théorème de

Plus en détail

Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l un de ses côtés alors, il est rectangle.

Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l un de ses côtés alors, il est rectangle. Correction des exercices de géométrie Exercice 1 2. Nature des triangles AMB et ANB : Les triangles AMB et ANB sont inscrits dans un cercle ayant pour diamètre [AB]. Propriété (4 ème ) Si un triangle est

Plus en détail

Justifier. 2) Comment déceler des transformations dans une figure? 7-8

Justifier. 2) Comment déceler des transformations dans une figure? 7-8 Justifier 1) Comment justifier que page a) un quadrilatère est un parallélogramme, 2 b) un quadrilatère est un rectangle, 3 c) un quadrilatère est un losange, 4 d) un quadrilatère est un carré, 4 e) un

Plus en détail

LES QUADRILATERES COMMENT DEMONTRER QU UN QUADRILATERE EST...

LES QUADRILATERES COMMENT DEMONTRER QU UN QUADRILATERE EST... THEME : LES QUADRILATERES COMMENT DEMONTRER QU UN QUADRILATERE EST... SOMMAIRE : PARALLELOGRAMME? RECTANGLE? LOSANGE? CARRE? PARALLELOGRAMME? Vous disposez principalement de deux méthodes, une concernant

Plus en détail

TAGE 2 / TAGE MAGE SOUS-TEST : CALCUL

TAGE 2 / TAGE MAGE SOUS-TEST : CALCUL TAGE 2 / TAGE MAGE SOUS-TEST : CALCUL GEOMETRIE AUCUN DOCUMENT N EST AUTORISE CALCULATRICES INTERDITES Le sujet a été réalisé par l équipe pédagogique de Mes Concours Blancs et n engage en rien le concours

Plus en détail

RECTANGLE. I- Définition: Le quadrilatère ABCD a quatre angles droits. ABCD est un rectangle

RECTANGLE. I- Définition: Le quadrilatère ABCD a quatre angles droits. ABCD est un rectangle RECTANGLE I- Définition: Le quadrilatère ABCD a quatre angles droits ABCD est un rectangle Un rectangle est un quadrilatère ayant quatre angles droits II- Remarque: Si ABCD un rectangle, alors (AB) est

Plus en détail

TRIANGLES Inégalité triangulaire : Th Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

TRIANGLES Inégalité triangulaire : Th Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. TRIANGLES Inégalité triangulaire : Th Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Th Trois longueurs étant données, Si la plus grande est

Plus en détail

EC 9A : ELEMENTS DE MATHEMATIQUES TRANSFORMATIONS EXERCICES

EC 9A : ELEMENTS DE MATHEMATIQUES TRANSFORMATIONS EXERCICES EC 9A : ELEMENTS DE MATHEMATIQUES TRANSFORMATIONS EXERCICES EXERCICE N 1 : Pour chacun des neuf cas ci-après, préciser s il existe une transformation qui permette de passer de la figure a à la figure b.

Plus en détail

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux

Plus en détail

Aide mémoire Géométrie 3 è m e

Aide mémoire Géométrie 3 è m e Sinus d'un angle aigu: ide mémoire Géométrie è m e Sinus: est un triangle rectangle en. le sinus de l'angle, noté sin, est le rapport sin = longueur du côté opposé de l'angle longueur de 'hypoténuse côté

Plus en détail

THEOREME DE THALES ET SA RECIPROQUE

THEOREME DE THALES ET SA RECIPROQUE THEREME E THLES ET S REIPRQUE * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * MMENT LULER L LNGUEUR UN SEGMENT Exemple : n veut calculer EF. Les droites

Plus en détail

Décrire la méthode utilisée pour trouver le nombre de rosiers nécessaires.

Décrire la méthode utilisée pour trouver le nombre de rosiers nécessaires. 3 ème A IE3 théorème de Thalès 2015-2016 S1 Utiliser la figure suivante pour démontrer que les droites (TU) et (RS) sont parallèles. Calculer ensuite RS. UT = 3,5 cm OT = 3 cm OU = 2,7 cm OR = 7,2 cm OS

Plus en détail

Géométrie plane. I - Symétries. 1 - Symétrie axiale. 2 - Symétrie centrale

Géométrie plane. I - Symétries. 1 - Symétrie axiale. 2 - Symétrie centrale Géométrie plane Ce chapitre sur la géométrie plane va récapituler toutes les notions de géométrie que vous avez apprises au collège jusqu en classe de seconde. Nous passerons entre autre par les symétries,

Plus en détail

Chapitre 4 : Droites perpendiculaires et droites parallèles

Chapitre 4 : Droites perpendiculaires et droites parallèles Chapitre 4 : Droites perpendiculaires et droites parallèles Dans ce chapitre, on utilisera la règle et l équerre. 1) Droites perpendiculaires : Rappel : Si deux droites se coupent en un point, on dit qu

Plus en détail

LA GEOMETRIE DU COLLEGE

LA GEOMETRIE DU COLLEGE L GEETRIE DU LLEGE I. Le triangle : 1 ) Triangles particuliers Un triangle isocèle a deux côtés égaux Un triangle équilatéral a tous ses côtés égaux Un triangle rectangle a un angle droit ) Droites remarquables

Plus en détail

SECTIONS AGRANDISSEMENT REDUCTION

SECTIONS AGRANDISSEMENT REDUCTION ECTION AGRANDIEMENT REDUCTION * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * A - ECTION D'UN PAVE DROIT PAR UN PLAN La section d'un pavé droit par un plan

Plus en détail

TS Bac blanc n 4 (corrigé) Avril 2016

TS Bac blanc n 4 (corrigé) Avril 2016 TS Bac blanc n (corrigé) Avril 06 Exercice (Pour les non spécialistes) Les parties sont indépendantes. Partie A ) Avec la calculatrice, PX 85 0, La probabilité qu un bocal soit mal rempli est 0,. ) Avec

Plus en détail

5 ème COURS triangles et droites remarquables. 1 Inégalité triangulaire

5 ème COURS triangles et droites remarquables. 1 Inégalité triangulaire 1 Inégalité triangulaire Quels que soient les points A, B et C on a l inégalité : AB AC + CB appelé linégalité triangulaire. A, B et C, sont trois points. On a l inégalité triangulaire : AB AC + CB Ecrire

Plus en détail

Trigonométrie. Objectifs du chapitre. Énigme du chapitre.

Trigonométrie. Objectifs du chapitre. Énigme du chapitre. Trigonométrie C H A P I T R E 6 Énigme du chapitre. Voici un plan sommairement relevé par le géomètre Thalide. 366 m 30 B 282 m Objectifs du chapitre. Connaître et utiliser les relations entre le cosinus,

Plus en détail

CLASSE DE SECONDE ACTIVITÉS MODULE

CLASSE DE SECONDE ACTIVITÉS MODULE ACTIVITÉS MODUL TRIANGLS SMBLABLS. 1. Calculs de longueurs. Méthode utilisée : On établit que les triangles sont semblables, puis on établit la proportionnalité de leurs côtés. 1.1 On considère la figure

Plus en détail

Exercice n 1 - Inspiré du brevet Métropole Septembre La figure ci-dessous représente un cône de révolution d axe (OH).

Exercice n 1 - Inspiré du brevet Métropole Septembre La figure ci-dessous représente un cône de révolution d axe (OH). Exercice n 1 - Inspiré du brevet Métropole Septembre 2009 La figure ci-dessous représente un cône de révolution d axe (OH). On donne Dessiner le triangle HOM en vraie grandeur. Dessinons la base du cône

Plus en détail