Analyse Factorielle Multiple

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1 Analyse Factorielle Multiple Julie Josse Laboratoire de mathématique appliquées Agrocampus Ouest Rennes 1 / 40

2 Analyse Factorielle Multiple 1 Données - problématique 2 Une ACP globale 3 Etude des groupes 4 Nuages partiels 5 Analyses séparées 6 Compléments 7 Conclusion - pour aller plus loin 2 / 40

3 Grou varia quan or qu Groups Tableaux of multiples variables (MFA) Objectives: - study the link between the sets of variables genomique -: balance ADN, protéines the influence of each group of variables analyse sensorielle - give the : sensorielles, classical graphs physico-chimiques but also specific graphs: groups of variables - partial representation Examples avec des variables continues et/ou qualitatives : questionnaires : santé des étudiants (consommations de produits, conditions psychologiques, sommeil, signalétique) Examples: - Genomic: DNA, protein - Sensory analysis: sensorial, physico-chemical economie : indicateurs économiques chaque année 3 / 40

4 Données vins - Experts 10 individus (lignes) : vins blancs du Val de Loire 30 variables (colonnes) : 27 variables quantitatives : descripteurs sensoriels 2 variables quantitatives : appréciation de l'odeur et générale 1 variable qualitative : label (Vouvray - Sauvignon) O.fruity O.passion O.citrus Sweetness S Michaud Sauvignon S Renaudie Sauvignon S Trotignon Sauvignon S Buisse Domaine Sauvignon S Buisse Cristal Sauvignon V Aub Silex Vouvray V Aub Marigny Vouvray V Font Domaine Vouvray V Font Brûlés Vouvray V Font Coteaux Vouvray Acidity Bitterness Astringency Aroma.intensity Aroma.persistency Visual.intensity Odor.preferene Overall.preference Label 4 / 40

5 Données vins wine 1 wine 2 wine 10 Expert (27) Consu mer (15) Continuous variables Student (15) Preference (60) Categorical Label (1) Comment est-ce que les vins sont décrits? Est-ce que les vins sont décrits de la même façon par les diérents panels? Y-a t'il des spécicités par panel? 5 / 40

6 Objectifs Equilibrer l'inuence de chaque groupe (prendre en compte la structure des données) Etudier les ressemblances entre individus et les liaisons entre variables Etudier globalement les ressemblances et les diérences entre groupes (voir les spécicités de chaque groupe) Etudier les ressemblances et les diérences entre groupes du point de vue individuel Comparer les typologies issues des analyses séparées 6 / 40

7 Equilibrer l'inuence des groupes de variables L'AFM est une ACP pondérée : calculer λ j 1 pour chaque groupe de variables réaliser l'acp globale sur le tableau pondéré : X 1 ; λ 1 1 X 2 ;...; λ 2 1 X J Même idée que pour l'acp standardisée : les variables sont pondérées dans le calcul des distances entre les individus i et i λ J 1 i i 8 variables highly correlated 2 var 7 / 40

8 Equilibrer l'inuence des groupes de variables Expert Consommateur Etudiant λ λ λ Même poids pour toutes les variables d'un même groupe : la structure du groupe est préservée Pour chaque groupe, la variance de la principale dimension de variabilité (première valeur propre) est égale à 1 Aucun groupe ne peut générer à lui seul la première dimension Un groupe multidimensionnel contribue à plus de dimensions qu'un groupe uni-dimensionnel 8 / 40

9 Equilibrer l'inuence des groupes de variables Le coeur de l'afm est une ACP pondérée Mêmes représentations qu'en ACP Etudier les ressemblances entre individus du point de vue de l'ensemble des variables Etudier les relations entre variables Décrire les indidus à partir des variables Mêmes sorties (coordonnées, cosinus, contributions) Ajouter des individus et variables (quantitatives et qualitatives) en supplémentaire 9 / 40

10 Représentation des individus Dim 2 (24.42 %) Sauvignon Vouvray S Trotignon S Renaudie S Michaud Sauvignon S Buisse Domaine V Aub Silex S Buisse Cristal Vouvray Dim 1 (42.52 %) V Aub Marigny V Font Domaine V Font Brûlés V Font Coteaux Les deux labels sont bien séparés Les Vouvray sont plus diérents du point de vue sensoriel Plusieurs groupes de vins, / 40

11 Représentation des variables Dim 2 (24.42 %) Expert Consumer O.Intensity.before.shaking_S Student Attack.intensity Expression O.Intensity.before.shaking Freshness Acidity O.passion O.Intensity.after.shaking O.Intensity.before.shaking_C O.Intensity.after.shaking_S O.plante_C O.Intensity.after.shaking_C O.passion_S O.passion_CO.flower A.persistency Astringency_S O.citrus Bitterness Balance_S A.intensity Astringency_CBitterness_C O.plante Smoothness Acidity_S Acidity_C A.intensity_C O.fruity A.alcohol_C O.mushroom_S Bitterness_S O.Typicity_S A.intensity_S O.vanilla Typical_S O.wooded O.mushroom_C A.alcohol_S Balance_C Typical_C O.alcohol Astringency O.Typicity_C Visual.intensity Grade Sweetness_C Surface.feeling Sweetness_S O.candied.fruit O.mushroom Sweetness Oxidation Typicity O.alcohol_C O.plante_S O.alcohol_S Dim 1 (42.52 %) 11 / 40

12 Représentation des variables Dim 2 (24.42 %) Expert Consumer Student O.passion O.passion_S O.passion_C Sweetness_C Sweetness_S Sweetness Acidity Acidity_S Acidity_C Dim 1 (42.52 %) 12 / 40

13 Etudes des groupes Comparaison synthétique des groupes Est-ce que la position relative des individus est similaire d'un groupe à l'autre? Est-ce que les nuages partiels sont similaires? 13 / 40

14 Mesures de similarité entre groupes X j(i Kj ) et X m (I Km) ne sont pas directement comparables W j(i I ) = X j X j et W m(i I ) = X m X m sont comparables Matrice de produits scalaires = position relative des individus Covariance entre deux groupes : < W j, W m >= cov 2 (x.k, x.l ) k Kj l K m Corrélation entre deux groupes : RV (K j, K m ) = < W j, W m > W j W m 0 RV 1 RV = 0 : toutes les variables sont orthogonales RV = 1 : les deux nuages de points sont homothétiques 14 / 40

15 Mesures de similarité entre groupes Le coecient RV : corrélation entre matrices Le coecient L g : L g (K j, K m ) = cov 2 k Kj l K m x.k, λ k 1 x.l λ l 1 Le coecient L g pour un groupe : un indice de dimensionalité L g (K j, K j ) = Kj Kj k=1 (λj k )2 k=2 = 1 + (λj k )2 (λ j 1 )2 (λ j 1 )2 15 / 40

16 Mesures de similarité entre groupes > res.mfa$group$lg Expert Consumer Student Preference Label MFA Expert Consumer Student Preference Label MFA > res.mfa$group$rv Expert Consumer Student Preference Label MFA Expert Consumer Student Preference Label MFA Les Experts donnent une description plus riches (L g supérieur) Les groupes Student et Expert sont liés (RV = 0.85) 16 / 40

17 Première composante de l'afm La première composante principale de l'afm maximise : J cov 2 x J.k, v 1 = L g (K j, v 1 ) j=1 k K j λ j 1 j=1 Inerties des K j projectées sur v 1 17 / 40

18 Représentation des groupes Le groupe j a une coordonnée (L g (v 1, K j ), L g (v 2, K j )) 2 groupes sont proches quand ils induisent la Expert même structure Dim 2 (24.42 %) Label Preference Student Consumer Première dimension commune à tous les groupes Deuxième dimension due au groupe Expert Les préférences sont liées Dim 1 (42.52 %) aux descriptions sensorielles 0 L g (v 1, K j ) = 1 cov 2 (x λ j.k, v 1 ) 1 1 k K j }{{} λ j 1 18 / 40

19 Autre exemple de représentation des groupes 50 vins mousseux (dont 26 champagnes) décrits par 25 amateurs et 7 oenologues Les données individuelles sont juxtaposées en ligne : tableau produits juges-descripteurs 1 juge = 1 groupe Les amateurs et les oenologues sont ils mélangés? 19 / 40

20 Points partiels Comparaison des groupes au travers des individus Est-ce qu'il y a des individus très particuliers pour un certain groupe de variables? 20 / 40

21 Projection des points partiels Data i G1 G2 G3 xxxxxxxx xxxxx xxxxxxxx xxxxx xxxxxxxx xxxxx xxxxxxxx xxxxx xxxxxxxx xxxxx xxxxxxxx xxxxx xxxxxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx MFA individuals configuration i R K = R Kj Projection of group 1 xxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx i 1 xxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx 000 xxxxx 000 xxxxx i xxxxx xxxxx 000 xxxxx 000 xxxxx Projection of group xxxxx Projection of group 3 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx Partial point 1 Partial point 2 Mean point Partial point 3 i xxxxx xxxxx xxxxx 21 / 40

22 Points partiels opinion attitude individuals F 2 What you think individual i behavioral conflict What you do F 1 22 / 40

23 Points partiels Tutorial participants What you expected for the tutorial What you have learned during the tutorial F 2 What you expected for the tutorial What you have learned during the tutorial What you expected for the tutorial What you have learned during the tutorial F 1 23 / 40

24 Points partiels Tutorial participants What you expected for the tutorial What you have learned during the tutorial F 2 What you expected for the tutorial What you have learned during the tutorial What you expected for the tutorial Happy learner Disappointed learner What you have learned during the tutorial F 1 23 / 40

25 Reprsentation des points partiels Expert Consumer Student Dim 2 (24.42 %) S Trotignon S Renaudie S Michaud Sauvignon S Buisse Cristal V Aub Marigny V Font Coteaux S Buisse Domaine Vouvray V Font Domaine V Font Brûlés V Aub Silex Dim 1 (42.52 %) Un individu est au barycentre de ses points partiels Un individu est d'autant plus "homogène" que sont "étoile" est petite 24 / 40

26 Optimalité Tous les nuages de points doivent être bien représentés Maximiser l'inertie projetée globale Les J points representant le même individus doivent être proche les un des autres Minimiser l'inertie projetée intra Huygens theorem: inertie totale = inertie inter + inertia intra I J (F i q) 2 = j I J (F iq ) 2 + I J (F i j q F iq ) 2 i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1 Maximiser l'inertie inter : réaliser une ACP globale sur le tableau de données concaténé 25 / 40

27 Ratio d'inertie I J (F i q) 2 = j I J (F iq ) 2 + I J (F i j q F iq ) 2 i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1 inertie totale = inertie inter individus + inertia intra individu > res.mfa$inertia.ratio Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4 Dim Sur la première dimension, les coordonnées des points partiels sont proches (0.93 proche de 1) L'inertie intra mesure la ressemblance entre les nuages partiels dimension par dimension L'inertie intra peut être décomposée par individus 26 / 40

28 Analyse procrustéenne / AFM Les relations de transitions s'appliquent toujours pour les points partiels La représentation superposée peut être interprétée dans un cadre unique 27 / 40

29 Analyses séparées Comparison des typologies obtenues pour chaque groupe dans un espace commun Comparaison des ACP séparées 28 / 40

30 Représentation des composantes principales Est-ce que les analyses séparées donnent les mêmes résultats que ceux de l'afm? 1 q Q PCA 1 q Q 1 i I 29 / 40

31 Représentation des composantes principales Dim 2 (24.42 %) Expert Dim2.Student Consumer Student Dim2.Consumer Dim2.Expert Preference Label Dim1.Label Dim1.Consumer Dim1.Student Dim1.Expert Dim1.Preference Dim2.Preference Les deux premières dimensions de chaque groupe sont bien projetées Les étudiants ont les mêmes dimensions que l'afm Dim 1 (42.52 %) Les composantes principales des analyses séparées sont projetées en supplémentaires 30 / 40

32 Représentation des variables supplémentaires Dim 2 (24.42 %) Dim 1 (42.52 %) Les préférences sont liées aux descriptions sensorielles Le vin préféré est le Vouvray Aubussière Silex 31 / 40

33 Par des variables quantitatives : Description des dimensions corrélation entre chaque variable et la composante principale de rang q est calculée les coecients de corrélations sont triés et les signicatifs sont donnés > dimdesc(res.pca) $Dim.1$quanti $Dim.2$quanti corr p.value corr p.value O.candied.fruit e-05 Odor.Intensity.before.shaking e-06 Grade e-04 Odor.Intensity.after.shaking e-05 Surface.feeling e-04 Attack.intensity e-03 Typicity e-03 Expression e-03 O.mushroom e-03 Aroma.persistency e-02 Visual.intensity e-03 Bitterness e Aroma.intensity e-02 O.plante e-03 O.flower e-04 O.passion e-04 Freshness e-04 Sweetness e / 40

34 Description des dimensions Par des variables qualitatives : réalise une analyse de variance avec les coordonées des individus (F.q ) expliquées par la variable qualitative un F-test par variable pour chaque categorie, un test de Student t-test > dimdesc(res.pca) Dim.1$quali R2 p.value Label e-05 Dim.1$category Estimate p.value Vouvray e-05 Sauvignon e / 40

35 Données qualitatives Un seul groupe de variables : méthode de référence = ACM Même problématique que pour les variables quantitatives : Equilibrer les groupes de variables dans une analyse globale Représentation superposée des J nuages partiels Représentation globale des groupes de variables Relations entre l'analyse globale et les analyses séparées Même démarche en remplaçant ACP par ACM Lorsque chaque groupe est réduit à une variable qualitative : AFM = ACM 34 / 40

36 Données mixtes Groupes composés de variables quantitatives et groupes composés de variables qualitatives La pondération de l'afm permet d'analyser les deux types de variables ensemble L'AFM fonctionne 'localement' comme : une ACP pour les variables quantitatives une ACM pour les variables qualitatives Lorsque chaque groupe est composé d'une seule variable, quantitative ou qualitative, AFM = Analyse Factorielle pour Données Mixtes (AFDM) 35 / 40

37 Conclusion AFM : une méthode multi-tableaux pour les variables quantitatives et qualitatives Le coeur de l'afm est une ACP pondérée Equivalence AFM-ACP ou AFM-ACM quand chaque groupe est composé d'une seule variable Sorties classiques (individus, variables) Sorties spéciques (groupes, points partiels) AFM est disponible dans de nombreux logiciels : R (FactoMineR), SPAD, Statgraphics, XLSTAT (Microsoft Excel), SAS (macro B. Gelein) 36 / 40

38 Menu déroulant de FactoMineR source(" 37 / 40

39 Mise en uvre d'une AFM 1 Denir les groupes actifs et les éléments supplémentaires 2 Réduire ou non les variables? 3 Réaliser une AFM 4 Choisir le nombre de dimensions à interpréter 5 Interprétation simultanée du graphe des individus et des variables 6 Etudes des groupes 7 Analyses partielles 8 Utilisation d'indicateurs pour enrichir l'interprétation 38 / 40

40 Pour aller plus loin AFM utilisée dans un but méthodologique : comparaison de codage (quantitative ou qualitative?) comparaison entre preprocessing (ACP standardisée et ACP non standardisée) comparaison de résultats de diérentes analyses Analyse Factorielle Multiple Hierarchique prendre en compte une hierarchie sur les variables : les variables sont structurées en groupes et en sous-groupes questionnaires avec des thèmes et des sous-thèmes beaucoup d'applications en analyse sensorielle : exemple de la comparaison entre jury et entre juges au sein des jurys Gestion des données manquantes 39 / 40

41 Bibliographie Escoer, B. & Pagès, J. (2008). Analyses Factorielles Simples et Multiples : Objectifs, Méthodes et Interprétation. Dunod, 4th edn. Husson, F., Lê, S. & Pages, J. (2009). Analyse de données aves R. Presse Universitaires de Rennes. Pagès, J. (1996). Quelques apports de l'afm à l'analyse de données sensorielles. J. int. Sci. Vigne Vin. 30, (4). Pagès, J. & Husson, F. (2001) Inter-laboratory comparison of sensory proles. Methodology and results. Food quality and preference (12) Pagès J., Bertrand, C., Ali, R., Husson, F. Lê, S. (2007). Compared sensory analysis of eight biscuits by French and Pakistani panels. Journal of Sensory Studies. (22) / 40

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