Modélisation et prévision. F. Sur - ENSMN. de transfert Exemples Définition. Identification du. Pré-blanchiment Corrélogramme croisé

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Lucienne Guérard
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1 Cours SG042 Séance 5 Séries chronologiques - Séance 5 Modélisation avec variable exogène: à fonction Frédéric Sur École des Mines de Nancy sur/enseignement/modprev/ 3 4 1/22 2/22 de la chronique CO2 (cf poly) s proie-prédateur : nombre de proies lié au nombre de prédateurs, avec effet retard pour les naissances, construction de logements neufs en fonction de prêts immobiliers accordés, dépendance avec les valeurs sur différents retards, émission de CO2 d une chaudière fonction du débit de gaz (cf poly). etc. 3/22 4/22

2 de la chronique CO2 (cf poly) Modèles à variable exogène X t : débit de gaz en entrée d une chaudière Y t : émission de CO2 Modèle identifié : Y t = B B2 X t B B B 2 ε t Modèle à fonction : (cf ARIMAX : ARIMA with exogeneous factors) avec : Y t = µ + β 0 X t + β 1 X t β k X t k + u t (Y t ) est la chronique à modéliser (X t ) est la chronique explicative (u t ) est la chronique des erreurs (ARMA) Intérêt double : modélisation. les chroniques sont supposées stationnaires. éventuellement : β i = 0 pour i < b (b est le retard), et k = + (cf AR...) 5/22 6/22 Écriture avec l opérateur de décalage Modèle à fonction : Séance 5 avec : b 0 le retard Y t = µ + Ω(B) Ω(B) = ω 0 ω 1 B ω s B s (B) = 1 δ 1 B δ r B r Θ(B) = 1 θ 1 B θ q B q Φ(B) = 1 φ 1 B φ p B p et (ε t ) bruit blanc (gaussien). : Ω(B) (B) est appelé fonction. Rappel : µ + Θ(B) est la représentation ARMA d un processus stationnaire linéaire gaussien /22 8/22

3 Stationnarisation Blanchiment de la chronique explicative Dans le, X t et Y t doivent être stationnaires... il faut éventuellement dériver au préalable X t et Y t (de la même manière) pour que le résultat soit stationnaire. X t : chronique explicative (pré-filtrage) (X t ) est un processus stationnaire ( donc ARMA). il existe des polynômes Φ 1 et Θ 1 t.q. : X t = Θ 1(B) Φ 1 (B) χ t où χ t est un bruit blanc (gaussien). On écrit χ t = Φ 1(B) Θ 1 (B) X t le filtre Φ 1(B) Θ 1 (B) a blanchi la chronique X t. 9/22 10/22 Blanchiment de la chronique explicative Le corrélogramme croisé On applique Φ 1(B) Θ 1 (B) à Y t : Y t = (µ + ) Ω(B) Υ t = Φ 1(B) Θ 1 (B) Y t = Ω(B) (B) χ t b + ε t (les polynômes symboliques commutent) Υ t = Ω(B) (B) χ t b + ε t Comment identifier Ω et? (ou la fonction Ω/ ) Outil : le corrélogramme croisé ρ(h) = Cov(χ t, Υ t+h ) Var(χt ) Var(Υ t ) avec ε t stationnaire (pas un bruit blanc comme ε t ), indépendant de χ t. (ne dépend pas de t, cf slide suivant) Remarque : ρ(h) est défini pour h Z (a priori, ρ(h) ρ( h)) 11/22 12/22

4 Identification de la fonction de corrélogramme croisé Υ t = Ω(B) (B) χ t b + ε t où (χ t ) b.b. et ( ε t ) stationnaire Inversion de : Υ t = h 0 ν h χ t h + ε t (si h < b, ν h = 0) Proposition (intérêt du corrélogramme croisé) h 0, ρ(h) = ν h σ χ σ Υ et h < 0, ρ(h) = 0 Preuve : ( Cov(χ t, Υ t+h ) = Cov χ t, ) ν h χ t+h h h 0 (χ t et ε t décorrélés) = ν h Var(χ) (χ t bruit blanc) : coef. ν h du polynôme Ω/ proportionnel au coef. ρ(h) du corrélogramme croisé. 13/22 14/22 15/22 Intérêt pratique du corrélogramme croisé Y t = Ω(B) = ν(b)x t b + Θ(B) 1 premier pic (significativement) non nul sur le corrélogramme donne le décalage b, 2 si décroissance (assez) lente du corrélogramme : on envisage un dénominateur (cf inversion de (1 λb)) si sinusoïde : dénominateur de degré 2, (toujours avec l objectif d un simple) 3 sinon le nombre (et la position) des pics non nuls donne le degré du numérateur (et les coefficients non nuls). Remarque : si le corrélogramme croisé a des pics significatifs pour des décalages h < 0, le n est (vraisemblablement) pas bien adapté. (non-causalité) : ARMA sur les résidus On cherche un du type : Y t = Ω(B) Avec l étape précédente, on connaît les degrés de Ω et (et éventuellement la position des coef. nuls), et le décalage b. Ensuite : Calcul de la fonction On revient aux séries (stationnaires) initiales : Y t = Ω(B) (B) X t b + u t Première estimation des coefficients de Ω et (évaluation par maximum de vraisemblance par exemple.) ACF / PACF des résidus u t. Modèle ARMA sur les résidus stationnaires u t Estimation de Θ et Φ ; réestimation de Ω et. 16/22

5 : identification et estimation Remarque : régression fallacieuse Y t = µ + Ω(B) 1. (pré-filtrage de X t ). 2. sur les séries préfiltrées. Permet l identification du retard et de la forme de la fonction. 3. Estimation de la fonction Ω(B)/ (B) et identification/estimation du ARMA Θ(B)/Φ(B) ε t sur les résidus u t. On a supposé les chroniques X et Y stationnaires. et si ce n est pas le cas? : soient X t et Y t intégrées d ordre 1. Alors Y t ax t b = ε t est généralement aussi intégrée d ordre 1. si estimation de a, b par régression (moindres carrés des ε t ) : les t-tests (Student) sont trop optimistes... (car ε t n est pas un b.b.g., mais une marche aléatoire, ou un ARIMA(p,1,q)) On parle de régression fallacieuse (spurious regression). Remarque : bien sûr, vérifications habituelles de rigueur (résidus ε t du final = bruit blanc gaussien, paramètres significatifs, etc). Pour contourner le problème, on régresse (1 B)Y t sur (1 B)X t... 17/22 18/22 Séance 5 Modèles à variable exogène 1 2 Modèle à variable exogène et fonction : Y t = µ + Ω(B) (B) X t b + u t Rappel : Modèle d intervention : X t = µ + αi t 0 t similaire : I t 0 t + u t = µ + Ω(B) (B) I t 0 t + u t X t 3 avec I t0 (t) déterministe / (X t ) stochastique stationnaire. 4 Donc même procédure SAS, mais pas d interprétation du corrélogramme croisé pour les s d intervention (ni de pré-blanchiment). 19/22 20/22

6 Dernières séances... : série J de Box et Jenkins 24 mai Petit cours (réponse aux questions) + TP d application long. venir à 8h30 en salle de cours. 31 mai Les s ARCH et GARCH. séance habituelle. 7 juin Test. horaires inversés par rapport au Test 1, même salle. Vérifiez sur Arche! fichiers personnels SAS autorisés. pas de canevas à préparer. Chronique d entrée X t : débit de gaz alimentant un appareil de chauffage. Chronique de sortie Y t : concentration en CO2. 21/22 22/22

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