NFP136- Cours 6 ALGORITHMES GLOUTONS
|
|
- Tiphaine Rochefort
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 NFP36- Cours 6 ALGORITHMES GLOUTONS PLAN Problèmes d'optimisation Algorithmes gloutons Arbre couvrant minimal Choix d'activités Codage de Huffman Matroïdes
2 6. PROBLEMES D OPTIMISATION 2
3 un problème plusieurs solutions une solution une valeur problème d'optimisation: recherche d'une solution de valeur optimale (min ou max) algorithme de résolution: reconnaissance d'une solution évaluation d'une solution sélection d'une des meilleures solutions 3
4 problèmes d'optimisation faciles difficiles EXEMPLES E) chemin min A 3 B 5 3 C E 2 G problème facile (v=9;abecg) 2 D 6 F
5 E2) sac-à-dos (en nombres entiers) problème "assez" difficile aliments A B C poids unitaire 6 3 hg valeur nutritive unitaire 0 6 poids max des aliments: 7 2 solutions optimales:.a + 2.B +.C v = 0 (p=7).b v = 0 (p=6) 5
6 E3) voyageur de commerce problème difficile ici, 2 solutions optimales A 2 2 B E 2 3 D 5 3 C ACBDEA et ACEBDA v = 2 nombre de solutions: 2 (n-!)
7 problème de petite taille énumération possible problème de grande taille énumération impossible optimisation discrète optimisation continue 7
8 problèmes faciles algorithme de complexité polynomiale (cf cours 2) problèmes "difficiles" - tous les algorithmes connus sont de complexité exponentielle - problèmes dits NP-complets ou NPdifficiles cours VARI:problèmes "faciles" 8
9 6.2 ALGORITHMES GLOUTONS 9
10 choix glouton = choix localement optimal optimum local optimum global fonction concave (ou convexe) optimum local = x x 2 x 3 optimum global (et local) continu entier x et x 3 : optima locaux x 2 optimum global 0
11 algorithme glouton: pas toujours optimal EXEMPLE un algo glouton pour le PVC: - trier les arêtes (coûts croissants) - sélectionner dans l'ordre les arêtes non "parasites" A 2 B 2 D 2 3 E 5 3 C ([A,E],[B,D],[A,B], [A,D],[B,E],[A,C], [E,D],[C,E],[C,D]) (opt=2 [A,B,D,C,E,A] valeur 3 [ACEBDA])
12 algorithme glouton: à chaque étape choix le plus intéressant à cet instant facile à concevoir difficile de vérifier l'optimalité efficace (faible complexité) 2
13 6. 3 ARBRE COUVRANT MINIMAL 3
14 6.3. LE PROBLÈME relier des objets avec une longueur totale minimale des liens graphe valué associé: - sommets = objets - arête = lien possible - poids d'une arête = longueur du lien
15 EXEMPLE A solution optimale: sans cycle et connexe ARBRE par tous les sommets COUVRANT de longueur totale min MINIMAL B D E 5 5 F 5 G 5
16 6.3.2 ALGORITHME DE KRUSKAL rappel: arbre m = n- arêtes entrée: G = (X,U,P) n sommets, m arêtes sortie: A arbre couvrant min de G 6
17 procedure kruskal (in G: graphe; out A: arbre): entier k=0; {arêtes} V= ; début trier les arêtes de G par ordre de poids croissant ; tant que k < n- faire fait ; parcourir la liste triée ; sélectionner la première arête, w, qui ne forme pas de cycle avec les précédentes ; k = k+ ; V = V U {w} ; A = graphe (X,V) ; fin 7
18 EXEMPLE liste triée: - a 2 b g 3 c h 3 2 i f d 3 e STOP n = 9 stop après 8 sélections P(A) = ( ) =
19 implémentation peu facile (sera faite en exercices dirigés) complexité O(m logm) (TRI) 9
20 6.3.3 PREUVE DE L OPTIMALITE G=(X,U) le graphe A=(X,V) l'arbre couvrant obtenu par Kruskal p(u) : poids de l'arête u 20
21 propriété soit w U -V, w=[x,y] et c w : chaîne de x à y dans A; alors, p(w) max u cw p(u) x w cw y Car s il existait une arête a de c w de poids plus fort que p(w), w aurait été sélectionnée avant a 2
22 A': arbre optimal de poids p(a') montrons que p(a) = p(a') soit u A'-A x x x a x b u x x x x x C C 2 x x x a x b x x v x x x u V'-V v c u A'=(X,V') A=(X,V) relie C et C 2 dans A' relie C et C 2 dans A 22
23 propriété p(u) p(v) et A' minimal p(v) p(u) p(u) = p(v) soit A"=A'+{v}-{u}: p(a")=p(a') A"optimal et v A" soit u' A"-A,... (idem... A''')... fin: A'' '' = A et p(a'' '') = p(a') = p(a) Fin preuve 23
24 6. CHOIX D ACTIVITES 2
25 6.. LE PROBLÈME A = {a,a 2,..,a n } activités a i [d i,f i [ d i début, f i fin de a i a i et a j compatibles si d i f j ou d j f i problème: choisir le plus grand nombre d'activités compatibles 25
26 6..2 ALGORITHME CHOIX_ACTIVITÉ choix glouton : maximiser le temps restant après l'activité choisie Algorithme choix_activité (in A: liste initiale d'activités; out A*: liste d'activités choisies): début trier et numéroter les a i dans l'ordre croissant des f i ; f f 2 f n A* = {a } ; j = ; pour i = à n faire j représente la dernière activité sélectionnée si d i f j alors A* = A*U{a i } ; j = i ; finsi; fait ; fin 26
27 complexité: O(nlogn)+O(n) tri boucle O(nlogn) EXEMPLE d i date de début de l'activité a i f i date de fin de l'activité a i activités triées selon les f i i di fi
28 temps 8 8
29 Soit B solution optimale B A* card B card A* B ordonné selon les f i : a k,a k2,..,a kn avec f k f k2... f kn si a k a, soit B'= B-{a k }+{a } - f f k f k2... f kn B' admissible - card B' = card B B' optimal sinon B'= B 6..3 OPTIMALITE Conclusion : il existe une solution optimale commençant par un choix glouton 29
30 problème restant = problème initial avec A' = {a i A t.q. d i f } choix glouton suivant de B': a 2... fin: B'' '' = A* et card B'' '' = card B = card A* Fin preuve 30
31 6. 5 CODAGE DE HUFFMAN 3
32 compression de données gain de place de 20 à 90% C = {caractères} c i C chaîne binaire unique EXEMPLE C = alphabet d-0 f-0 m dfd = 000 MAIS mf = 000 (= dfd!)
33 codage préfixe : aucun mot de code n'est préfixe d'un autre mot décodage facile EXEMPLE caractère a b c d e f code face face concevoir le codage et décoder efficacement 33
34 arbre associé A (binaire et complet) a 000 b c d e f décodage: f c e a 3
35 arbre associé A (binaire et complet) a 000 b c d e f décodage: f ace autre possibilité 0 A 0 a 0 0 c b d e 0 face = f 35
36 choix d'un arbre tableau des fréquences d'apparition des caractères dans le fichier (c f(c)) h A (c): hauteur de la branche c = nombre de bits pour c nombre de bits requis pour encoder un fichier selon l'arbre A B(A) =! c"c f(c) h A (c) 36
37 EXEMPLE a b c d e f fréq code A' code A'' code H B(A') = 300 ( )*3 B(A")= 328 (5*+3*+2*3+6*2+9*2+5*2) B(H) = 22 (5*+3*3+2*3+6*3+9*+5*)
38 code de Huffman caractères fréquents mots courts nombre de feuilles = card(c) feuille c C "val"= f(c) "val" d'un = somme des nœud interne "val" des 2 fils 38
39 Algorithme HUFFMAN (in C: liste triée de caractères; in f: fréquence des caractères; out A: arbre de Huffman): Utilise la procédure construire(a,z,x,y) quiajoute à A un nœud z ayant pour fils gauche x et pour fils droit y liste_ordonnée L ; entier n; début n = card(c) ; L = C; tri de L selon les f(c) croissants; pour i = à n- faire x := L.min(); L.supprimer_min(); y := L.min(); L.supprimer_min(); f(z) = f(x) + f(y); construire (z,x,y); L.insérer (z); fin fait ; complexité: O(nlogn) 39
40 Un arbre d'exemple avec la phrase "this is an example of a huffman tree" wikipédia 0
41 6. 5 MATROIDES complément facultatif du cours
42 6.5. DÉFINITION E = {e,e 2,..,e n } I P(E) matroïde: couple M = (E,I) t.q. F I et F' F F' I S E, [F I et F' I et F, F' sous-ensembles maximaux de S] card F = card F I famille de sous-ensembles «indépendants» I et i, {e i } I 2
43 Contre-exemple: E= ensemble des sommets d un graphe I = ensemble des ensembles stables a b S=Ensemble Stable=sous-ensemble de sommets du graphe tel que deux sommets de S ne sont pas voisins. Tout ensemble inclus dans S est donc stable. S est maximal si l ajout d un sommet quelconque le rend non stable. c d e {a,c,e}, {a,d} et {b} Sont des stables maximaux qui n ont pas le même cardinal. 3
44 EXEMPLE graphe G=(X G,E G ) M G matroïde graphique M G = (E G,I G ) I G = {F E G t.q. G'=(X G,F) sans cycle} sous-ensembles maximaux = arbres couvrants même cardinal: n- arêtes
45 6.5.2 MATROIDES PONDERES M = (E,I,w) e E w e = poids de e F E w(f) =! w e e"f = poids de F problème: trouver F I t.q. w(f) minimal (ou maximal) 5
46 algorithme glouton_min (in M = (E,I,w): matroïde; out F: élément de I): début F = ; trier et numéroter les éléments de E par ordre de poids croissant; pour i = à n faire si FU{e i } I alors F = FU{e i } ; fin fait ; finsi 6
47 théorème M matroïde pondéré : l'algorithme glouton donne toujours l'optimum complexité si test en O(f(n)) O(nlogn) + O(nf(n)) tri boucle pour (dépend de f(n)) 7
La NP-complétude. Johanne Cohen. PRISM/CNRS, Versailles, France.
La NP-complétude Johanne Cohen PRISM/CNRS, Versailles, France. Références 1. Algorithm Design, Jon Kleinberg, Eva Tardos, Addison-Wesley, 2006. 2. Computers and Intractability : A Guide to the Theory of
Plus en détailExemples de problèmes et d applications. INF6953 Exemples de problèmes 1
Exemples de problèmes et d applications INF6953 Exemples de problèmes Sommaire Quelques domaines d application Quelques problèmes réels Allocation de fréquences dans les réseaux radio-mobiles Affectation
Plus en détailCapacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34
Capacité d un canal Second Théorème de Shannon Théorie de l information 1/34 Plan du cours 1. Canaux discrets sans mémoire, exemples ; 2. Capacité ; 3. Canaux symétriques ; 4. Codage de canal ; 5. Second
Plus en détailAlgorithmes de recherche
Algorithmes de recherche 1 Résolution de problèmes par recherche On représente un problème par un espace d'états (arbre/graphe). Chaque état est une conguration possible du problème. Résoudre le problème
Plus en détailALGORITHMIQUE II NOTION DE COMPLEXITE. SMI AlgoII
ALGORITHMIQUE II NOTION DE COMPLEXITE 1 2 Comment choisir entre différents algorithmes pour résoudre un même problème? Plusieurs critères de choix : Exactitude Simplicité Efficacité (but de ce chapitre)
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailChapitre 5 : Flot maximal dans un graphe
Graphes et RO TELECOM Nancy A Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre I. Définitions 1 Graphe Graphe valué 3 Représentation d un graphe (matrice d incidence, matrice d
Plus en détailOrdonnancement. N: nains de jardin. X: peinture extérieure. E: électricité T: toit. M: murs. F: fondations CHAPTER 1
CHAPTER 1 Ordonnancement 1.1. Étude de cas Ordonnancement de tâches avec contraintes de précédences 1.1.1. Exemple : construction d'une maison. Exercice. On veut construire une maison, ce qui consiste
Plus en détailExercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT
Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT Ces exercices portent sur les items 2, 3 et 5 du programme d informatique des classes préparatoires,
Plus en détailPlus courts chemins, programmation dynamique
1 Plus courts chemins, programmation dynamique 1. Plus courts chemins à partir d un sommet 2. Plus courts chemins entre tous les sommets 3. Semi-anneau 4. Programmation dynamique 5. Applications à la bio-informatique
Plus en détailDistribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris. Chapitre 2 Le calcul des probabilités
Chapitre 2 Le calcul des probabilités Equiprobabilité et Distribution Uniforme Deux événements A et B sont dits équiprobables si P(A) = P(B) Si il y a équiprobabilité sur Ω, cad si tous les événements
Plus en détailCommunications collectives et ordonnancement en régime permanent pour plates-formes hétérogènes
Loris MARCHAL Laboratoire de l Informatique du Parallélisme Équipe Graal Communications collectives et ordonnancement en régime permanent pour plates-formes hétérogènes Thèse réalisée sous la direction
Plus en détailTravaux pratiques. Compression en codage de Huffman. 1.3. Organisation d un projet de programmation
Université de Savoie Module ETRS711 Travaux pratiques Compression en codage de Huffman 1. Organisation du projet 1.1. Objectifs Le but de ce projet est d'écrire un programme permettant de compresser des
Plus en détailCalcul de développements de Puiseux et application au calcul du groupe de monodromie d'une courbe algébrique plane
Calcul de développements de Puiseux et application au calcul du groupe de monodromie d'une courbe algébrique plane Poteaux Adrien XLIM-DMI, UMR-CNRS 6172 Université de Limoges Soutenance de thèse 15 octobre
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailProjet d informatique M1BI : Compression et décompression de texte. 1 Généralités sur la compression/décompression de texte
Projet d informatique M1BI : Compression et décompression de texte Le but de ce projet est de coder un programme réalisant de la compression et décompression de texte. On se proposera de coder deux algorithmes
Plus en détailNouvelles propositions pour la résolution exacte du sac à dos multi-objectif unidimensionnel en variables binaires
Nouvelles propositions pour la résolution exacte du sac à dos multi-objectif unidimensionnel en variables binaires Julien Jorge julien.jorge@univ-nantes.fr Laboratoire d Informatique de Nantes Atlantique,
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailCours de Master Recherche
Cours de Master Recherche Spécialité CODE : Résolution de problèmes combinatoires Christine Solnon LIRIS, UMR 5205 CNRS / Université Lyon 1 2007 Rappel du plan du cours 16 heures de cours 1 - Introduction
Plus en détailTransmission d informations sur le réseau électrique
Transmission d informations sur le réseau électrique Introduction Remarques Toutes les questions en italique devront être préparées par écrit avant la séance du TP. Les préparations seront ramassées en
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailOPTIMISATION À UNE VARIABLE
OPTIMISATION À UNE VARIABLE Sommaire 1. Optimum locaux d'une fonction... 1 1.1. Maximum local... 1 1.2. Minimum local... 1 1.3. Points stationnaires et points critiques... 2 1.4. Recherche d'un optimum
Plus en détailIntroduction à la théorie des graphes. Solutions des exercices
CAHIERS DE LA CRM Introduction à la théorie des graphes Solutions des exercices Didier Müller CAHIER N O 6 COMMISSION ROMANDE DE MATHÉMATIQUE 1 Graphes non orientés Exercice 1 On obtient le graphe biparti
Plus en détailCompression Compression par dictionnaires
Compression Compression par dictionnaires E. Jeandel Emmanuel.Jeandel at lif.univ-mrs.fr E. Jeandel, Lif CompressionCompression par dictionnaires 1/25 Compression par dictionnaire Principe : Avoir une
Plus en détailComplexité. Licence Informatique - Semestre 2 - Algorithmique et Programmation
Complexité Objectifs des calculs de complexité : - pouvoir prévoir le temps d'exécution d'un algorithme - pouvoir comparer deux algorithmes réalisant le même traitement Exemples : - si on lance le calcul
Plus en détailProgrammation Par Contraintes
Programmation Par Contraintes Cours 2 - Arc-Consistance et autres amusettes David Savourey CNRS, École Polytechnique Séance 2 inspiré des cours de Philippe Baptiste, Ruslan Sadykov et de la thèse d Hadrien
Plus en détailAlgorithmes d'apprentissage
Algorithmes d'apprentissage 1 Agents qui apprennent à partir d'exemples La problématique : prise de décision automatisée à partir d'un ensemble d'exemples Diagnostic médical Réponse à une demande de prêt
Plus en détailCodage d information. Codage d information : -Définition-
Introduction Plan Systèmes de numération et Représentation des nombres Systèmes de numération Système de numération décimale Représentation dans une base b Représentation binaire, Octale et Hexadécimale
Plus en détailchapitre 4 Nombres de Catalan
chapitre 4 Nombres de Catalan I Dénitions Dénition 1 La suite de Catalan (C n ) n est la suite dénie par C 0 = 1 et, pour tout n N, C n+1 = C k C n k. Exemple 2 On trouve rapidement C 0 = 1, C 1 = 1, C
Plus en détail3. SPÉCIFICATIONS DU LOGICIEL. de l'expression des besoins à la conception. Spécifications fonctionnelles Analyse fonctionnelle et méthodes
PLAN CYCLE DE VIE D'UN LOGICIEL EXPRESSION DES BESOINS SPÉCIFICATIONS DU LOGICIEL CONCEPTION DU LOGICIEL LA PROGRAMMATION TESTS ET MISE AU POINT DOCUMENTATION CONCLUSION C.Crochepeyre Génie Logiciel Diapason
Plus en détailRapport de stage de première année de Master Optimisation de cache d instructions
Rapport de stage de première année de Master Optimisation de cache d instructions Benoit Boissinot Benoit.Boissinot@ens-lyon.fr Université Lyon 1 sous la direction de Fabrice Rastello Fabrice.Rastello@ens-lyon.fr
Plus en détailOptimisation Combinatoire (Méthodes approchées) II. Recherche Locale simple (Les bases)
Optimisation Combinatoire (Méthodes approchées) II. Recherche Locale simple (Les bases) Heuristique Constructive Itérativement, ajoute de nouvelles composantes à une solution partielle candidate Espace
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailObjectifs du cours d aujourd hui. Informatique II : Cours d introduction à l informatique et à la programmation objet. Complexité d un problème (2)
Objectifs du cours d aujourd hui Informatique II : Cours d introduction à l informatique et à la programmation objet Complexité des problèmes Introduire la notion de complexité d un problème Présenter
Plus en détailPROBLEMES D'ORDONNANCEMENT AVEC RESSOURCES
Leçon 11 PROBLEMES D'ORDONNANCEMENT AVEC RESSOURCES Dans cette leçon, nous retrouvons le problème d ordonnancement déjà vu mais en ajoutant la prise en compte de contraintes portant sur les ressources.
Plus en détailQuelques Algorithmes simples
Quelques Algorithmes simples Irène Guessarian ig@liafa.jussieu.fr 10 janvier 2012 Je remercie Patrick Cegielski de son aide efficace pour la programmation Java ; la section sur le codage de Huffman a été
Plus en détailUEO11 COURS/TD 1. nombres entiers et réels codés en mémoire centrale. Caractères alphabétiques et caractères spéciaux.
UEO11 COURS/TD 1 Contenu du semestre Cours et TDs sont intégrés L objectif de ce cours équivalent a 6h de cours, 10h de TD et 8h de TP est le suivant : - initiation à l algorithmique - notions de bases
Plus en détail1 Recherche en table par balayage
1 Recherche en table par balayage 1.1 Problème de la recherche en table Une table désigne une liste ou un tableau d éléments. Le problème de la recherche en table est celui de la recherche d un élément
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailBaccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points 1. Réponse d. : 1 e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailLes arbres binaires de recherche
Institut Galilée Année 2010-2011 Algorithmique et arbres L2 TD 6 Les arbres binaires de recherche Type en C des arbres binaires (également utilisé pour les ABR) : typedef struct noeud_s { struct noeud_s
Plus en détailThéorie et codage de l information
Théorie et codage de l information Les codes linéaires - Chapitre 6 - Principe Définition d un code linéaire Soient p un nombre premier et s est un entier positif. Il existe un unique corps de taille q
Plus en détail1 Définition et premières propriétés des congruences
Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon
Plus en détailQuantification Scalaire et Prédictive
Quantification Scalaire et Prédictive Marco Cagnazzo Département Traitement du Signal et des Images TELECOM ParisTech 7 Décembre 2012 M. Cagnazzo Quantification Scalaire et Prédictive 1/64 Plan Introduction
Plus en détailJeux de caracte res et encodage (par Michel Michaud 2014)
Jeux de caracte res et encodage (par Michel Michaud 2014) Les ordinateurs ne traitent que des données numériques. En fait, les codages électriques qu'ils conservent en mémoire centrale ne représentent
Plus en détailChapitre 7. Récurrences
Chapitre 7 Récurrences 333 Plan 1. Introduction 2. Applications 3. Classification des récurrences 4. Résolution de récurrences 5. Résumé et comparaisons Lectures conseillées : I MCS, chapitre 20. I Rosen,
Plus en détailPRECISION - REJET DE PERTURBATIONS T.D. G.E.I.I.
PRECISION - REJET DE PERTURBATIONS T.D. G.E.I.I.. Donner les erreurs en position, en vitesse et en accélération d un système de transfert F BO = N(p) D(p) (transfert en boucle ouverte) bouclé par retour
Plus en détailThéorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014. Paul Honeine Université de technologie de Troyes France
Théorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014 Paul Honeine Université de technologie de Troyes France TD-1 Rappels de calculs de probabilités Exercice 1. On dispose d un jeu de 52 cartes
Plus en détailEteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques :
MTH EN JEN 2013-2014 Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : Lycée Michel Montaigne : HERITEL ôme T S POLLOZE Hélène 1 S SOK Sophie 1 S Eteindre Lycée Sud Médoc : ROSIO Gauthier 2 nd PELGE
Plus en détailProgrammation linéaire
Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire
Plus en détailI- Définitions des signaux.
101011011100 010110101010 101110101101 100101010101 Du compact-disc, au DVD, en passant par l appareil photo numérique, le scanner, et télévision numérique, le numérique a fait une entrée progressive mais
Plus en détail1.1 Codage de source et test d hypothèse
Théorie de l information et codage 200/20 Cours 8février20 Enseignant: Marc Lelarge Scribe: Marc Lelarge Pour information Page webdu cours http://www.di.ens.fr/~lelarge/info.html Notations Pour des variables
Plus en détailINF 232: Langages et Automates. Travaux Dirigés. Université Joseph Fourier, Université Grenoble 1 Licence Sciences et Technologies
INF 232: Langages et Automates Travaux Dirigés Université Joseph Fourier, Université Grenoble 1 Licence Sciences et Technologies Année Académique 2013-2014 Année Académique 2013-2014 UNIVERSITÉ JOSEPH
Plus en détailProbabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2
Probabilités Table des matières I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 s................................................... 2 I.2 Propriétés...................................................
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailARBRES BINAIRES DE RECHERCHE
ARBRES BINAIRES DE RECHERCHE Table de symboles Recherche : opération fondamentale données : éléments avec clés Type abstrait d une table de symboles (symbol table) ou dictionnaire Objets : ensembles d
Plus en détailChap 4: Analyse syntaxique. Prof. M.D. RAHMANI Compilation SMI- S5 2013/14 1
Chap 4: Analyse syntaxique 1 III- L'analyse syntaxique: 1- Le rôle d'un analyseur syntaxique 2- Grammaires non contextuelles 3- Ecriture d'une grammaire 4- Les méthodes d'analyse 5- L'analyse LL(1) 6-
Plus en détailLa programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique
La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation
Plus en détailThéorèmes de Point Fixe et Applications 1
Théorèmes de Point Fixe et Applications 1 Victor Ginsburgh Université Libre de Bruxelles et CORE, Louvain-la-Neuve Janvier 1999 Published in C. Jessua, C. Labrousse et D. Vitry, eds., Dictionnaire des
Plus en détailMIS 102 Initiation à l Informatique
MIS 102 Initiation à l Informatique Responsables et cours : Cyril Gavoille Catherine Pannier Matthias Robine Marc Zeitoun Planning : 6 séances de cours 5 séances de TD (2h40) 4 séances de TP (2h40) + environ
Plus en détailThéorie des Graphes Cours 3: Forêts et Arbres II / Modélisation
IFIPS S7 - informatique Université Paris-Sud 11 1er semestre 2009/2010 Théorie des Graphes Cours 3: Forêts et Arbres II / 1 Forêts et arbres II Théorème 1.1. Les assertions suivantes sont équivalentes
Plus en détailCH.6 Propriétés des langages non contextuels
CH.6 Propriétés des langages non contetuels 6.1 Le lemme de pompage 6.2 Les propriétés de fermeture 6.3 Les problèmes de décidabilité 6.4 Les langages non contetuels déterministes utomates ch6 1 6.1 Le
Plus en détailUniversité de La Rochelle. Réseaux TD n 6
Réseaux TD n 6 Rappels : Théorème de Nyquist (ligne non bruitée) : Dmax = 2H log 2 V Théorème de Shannon (ligne bruitée) : C = H log 2 (1+ S/B) Relation entre débit binaire et rapidité de modulation :
Plus en détailBaccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013
Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 5 points Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée
Plus en détailBaccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1. Réponse c : ln(10)+2 ln ( 10e 2) = ln(10)+ln ( e 2) = ln(10)+2 2. Réponse b : n 13 0,7 n 0,01
Plus en détailCours de Recherche Opérationnelle IUT d Orsay. Nicolas M. THIÉRY. E-mail address: Nicolas.Thiery@u-psud.fr URL: http://nicolas.thiery.
Cours de Recherche Opérationnelle IUT d Orsay Nicolas M. THIÉRY E-mail address: Nicolas.Thiery@u-psud.fr URL: http://nicolas.thiery.name/ CHAPTER 1 Introduction à l optimisation 1.1. TD: Ordonnancement
Plus en détailProbabilités. C. Charignon. I Cours 3
Probabilités C. Charignon Table des matières I Cours 3 1 Dénombrements 3 1.1 Cardinal.................................................. 3 1.1.1 Définition............................................. 3
Plus en détailAnnexe 6. Notions d ordonnancement.
Annexe 6. Notions d ordonnancement. APP3 Optimisation Combinatoire: problèmes sur-contraints et ordonnancement. Mines-Nantes, option GIPAD, 2011-2012. Sophie.Demassey@mines-nantes.fr Résumé Ce document
Plus en détailUne introduction aux codes correcteurs quantiques
Une introduction aux codes correcteurs quantiques Jean-Pierre Tillich INRIA Rocquencourt, équipe-projet SECRET 20 mars 2008 1/38 De quoi est-il question ici? Code quantique : il est possible de corriger
Plus en détailTravaux dirigés d introduction aux Probabilités
Travaux dirigés d introduction aux Probabilités - Dénombrement - - Probabilités Élémentaires - - Variables Aléatoires Discrètes - - Variables Aléatoires Continues - 1 - Dénombrement - Exercice 1 Combien
Plus en détailLa conversion de données : Convertisseur Analogique Numérique (CAN) Convertisseur Numérique Analogique (CNA)
La conversion de données : Convertisseur Analogique Numérique (CAN) Convertisseur Numérique Analogique (CNA) I. L'intérêt de la conversion de données, problèmes et définitions associés. I.1. Définitions:
Plus en détailCalculateur quantique: factorisation des entiers
Calculateur quantique: factorisation des entiers Plan Introduction Difficulté de la factorisation des entiers Cryptographie et la factorisation Exemple RSA L'informatique quantique L'algorithme quantique
Plus en détailAlgorithmique et Programmation
École Supérieure d Ingénieurs de Poitiers Gea Algorithmique et Programmation Laurent Signac ii Algorithmique et programmation Gea Table des matières Avant Propos v Structures de données Notion de pointeur..............................................
Plus en détailCours de Probabilités et de Statistique
Cours de Probabilités et de Statistique Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université Paris-Est Cours de Proba-Stat 2 L1.2 Science-Éco Chapitre Notions de théorie des ensembles 1 1.1 Ensembles
Plus en détailProblèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres
Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire
Plus en détailRappels sur les suites - Algorithme
DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................
Plus en détailCorrigé Exercice 1 : BRIDE HYDRAULIQUE AVEC HYPOTHÈSE PROBLÈME PLAN.
TD 6 corrigé - PFS Résolution analytique (Loi entrée-sortie statique) Page 1/1 Corrigé Exercice 1 : BRIDE HYDRAULIQUE AVEC HYPOTHÈSE PROBLÈME PLAN. Question : Réaliser le graphe de structure, puis compléter
Plus en détailRappel sur les bases de données
Rappel sur les bases de données 1) Généralités 1.1 Base de données et système de gestion de base de donnés: définitions Une base de données est un ensemble de données stockées de manière structurée permettant
Plus en détailt 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :
Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant
Plus en détailBACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES
BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la
Plus en détailCours Optimisation Partie Optimisation Combinatoire. Année scolaire 2008-2009. Gérard Verfaillie ONERA/DCSD/CD, Toulouse Gerard.Verfaillie@onera.
Cours Optimisation Partie Optimisation Combinatoire 3ième année ISAE Année scolaire 2008-2009 Gérard Verfaillie ONERA/DCSD/CD, Toulouse Gerard.Verfaillie@onera.fr Septembre 2008 Résumé Ce document couvre
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détail1 Introduction au codage
CélestineOscarDésiréAnatoleGastonEugène 1 Introduction au codage 1.1 Les ensembles L ensemble de tout les ensembles est Dieu lui-même. Kantor Ensemble des parties d un ensemble désigne l ensemble des sous-ensembles
Plus en détailGestion des Clés Publiques (PKI)
Chapitre 3 Gestion des Clés Publiques (PKI) L infrastructure de gestion de clés publiques (PKI : Public Key Infrastructure) représente l ensemble des moyens matériels et logiciels assurant la gestion des
Plus en détailAlgèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008)
Université Mohammed V Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Filière : SMI Algèbre binaire et Circuits logiques (27-28) Prof. Abdelhakim El Imrani Plan. Algèbre de Boole 2. Circuits
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailRecherche dans un tableau
Chapitre 3 Recherche dans un tableau 3.1 Introduction 3.1.1 Tranche On appelle tranche de tableau, la donnée d'un tableau t et de deux indices a et b. On note cette tranche t.(a..b). Exemple 3.1 : 3 6
Plus en détailPourquoi l apprentissage?
Pourquoi l apprentissage? Les SE sont basés sur la possibilité d extraire la connaissance d un expert sous forme de règles. Dépend fortement de la capacité à extraire et formaliser ces connaissances. Apprentissage
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailGrandes lignes ASTRÉE. Logiciels critiques. Outils de certification classiques. Inspection manuelle. Definition. Test
Grandes lignes Analyseur Statique de logiciels Temps RÉel Embarqués École Polytechnique École Normale Supérieure Mercredi 18 juillet 2005 1 Présentation d 2 Cadre théorique de l interprétation abstraite
Plus en détailExercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA
75. Un plombier connaît la disposition de trois tuyaux sous des dalles ( voir figure ci dessous ) et il lui suffit de découvrir une partie de chacun d eux pour pouvoir y poser les robinets. Il cherche
Plus en détailDocumentation Technique du programme HYDRONDE_LN
Documentation Technique du programme HYDRONDE_LN Réalisation du programme H.GUYARD Réalisation du matériel électronique C.COULAUD & B.MERCIER Le programme HYDRONDE_LN est un programme qui permet de visualiser
Plus en détailParallélisme et Répartition
Parallélisme et Répartition Master Info Françoise Baude Université de Nice Sophia-Antipolis UFR Sciences Département Informatique baude@unice.fr web du cours : deptinfo.unice.fr/~baude Septembre 2009 Chapitre
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailSDLS08 - Modes propres d'une plaque carrée calculés sur base réduite
Titre : SDLS08 - Modes propres d'une plaque carrée calculé[...] Date : 03/08/2011 Page : 1/6 SDLS08 - Modes propres d'une plaque carrée calculés sur base réduite Résumé : Ce cas test a pour objectif de
Plus en détailI. Introduction. 1. Objectifs. 2. Les options. a. Présentation du problème.
I. Introduction. 1. Objectifs. Le but de ces quelques séances est d introduire les outils mathématiques, plus précisément ceux de nature probabiliste, qui interviennent dans les modèles financiers ; nous
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailBaccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé
Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H
Plus en détailCHAPITRE IV. L axiome du choix
CHAPITRE IV L axiome du choix Résumé. L axiome du choix AC affirme qu il est légitime de construire des objets mathématiques en répétant un nombre infini de fois l opération de choisir un élément dans
Plus en détail