Progression 5ème. Thème Titre du chapitre Connaissances Capacités Commentaires Socle Ressources

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1 N chapitre 1 5 Durée Thème Titre du chapitre Connaissances Capacités Commentaires Socle Ressources heure s Proportionnalité calcul calculs (1) Valeur approchée Troncature Arrondi Critères de divisibilité Divison par 10 ;100 ;1000,etc Longueurs, masses, durées, périmètre Enchaînement d opérations Ordre de grandeur Propriété de linéarité. Tableau de proportionnalité. Passage à l unité ou «règle de trois». Construction de s et inégalité triangulaire. Longueurs, masses, durées *Enchaînement d opérations. - Compléter un tableau de nombres représentant une relation de proportionnalité, en particulier déterminer une quatrième proportionnelle. - Reconnaître si un tableau complet de nombres est ou non un tableau de proportionnalité. - Connaître et utiliser l inégalité triangulaire. - Construire un connaissant : la longueur d un côté et les deux angles qui lui sont adjacents, les longueurs de deux côtés et l angle compris entre ces deux côtés, les longueurs des trois côtés. Sur papier uni, reproduire un angle au compas. Maîtriser l utilisation du rapporteur. - Calculer le périmètre d une figure. - Calculer des durées, des horaires. - Effectuer une succession d opérations donnée sous diverses formes (par calcul mental, à la main ou instrumenté), uniquement sur des exemples numériques. - Écrire une expression correspondant à une succession donnée d opérations. Conjecture des priorités à l aide de la calculatrice. «Dans chaque cas où la construction est possible, les élèves sont invités à remarquer que lorsqu un côté est tracé, on peut construire plusieurs s, deux à deux symétriques par rapport à ce côté, à sa médiatrice et à son milieu. L inégalité triangulaire est mise en évidence à cette occasion et son énoncé est admis. Le cas de l égalité AB + BC = AC est reconnu comme caractéristique de l appartenance du point B au segment [AC].» «Les questions posées à propos de résultats obtenus à l aide de calculatrices peuvent offrir une occasion de dégager les priorités opératoires habituelles.» Le passage à l unité (et donc la règle de trois) devient un exigible. De même pour l utilisation d un rapport de linéarité ou d un coefficient de proportionnalité exprimé sous forme d un quotient. On choisira des nombres qui évitent des difficultés techniques. En particulier les quotients de nombres décimaux ne sont pas exigibles. Dans le cas pratique ou les élèves ne parviennent pas à faire la construction justifier éventuellement que cette construction est impossible. La partie construction de s relative aux angles devient un exigible. La maîtrise de l usage du rapporteur devient exigible. La capacité visée dans le socle commun concerne uniquement un calcul isolé. Pour construire la capacité "savoir quand et comment utiliser les opérations élémentaires pour résoudre un problème", la succession d opérations, si elle est nécessaire, se fait étape par étape., p. à 9 voir Ermel CM «Entre parenthèses» p

2 6 calculs Médiatrices d un Enchaînement d opérations : Résoudre un problème concret Médiatrice d un segment. [Reprise du programme de 6 ième ] Cercle circonscrit à un *Enchaînement d opérations Connaître et utiliser la définition de la médiatrice ainsi que la caractérisation de ses points par la propriété d équidistance. Utiliser différentes méthodes pour tracer la médiatrice d un segment. Construire le cercle circonscrit à un «Le rôle de la médiatrice comme axe de d un segment est mis en évidence» «La construction du cercle circonscrit doit être justifiée» 8 Symétrie centrale (1) Rappels sur la axiale Symétrie centrale - Construire le symétrique d un point, d un segment, d une droite, d un cercle. - Construire le symétrique d une demidroite. - Construire ou compléter à l aide des instruments usuels la figure symétrique d une figure donnée. «Les propriétés invariantes dans une centrale sont ainsi progressivement dégagées et comparées avec les propriétés invariantes dans une axiale.» Il s agit de savoir effectuer des tracés à l aide des instrument s usuels (règle, équerre, compas, rapporteur) de l image d une figure par centrale. L élève peut utiliser la méthode de son choix). Ermel : séances S1 à S5, voire S calcul calcul littéral Expressions littérales Centres et axes de Pourcentages Proportionnalité : Pourcentage Symétrie centrale () : le parallélogramme. Parallélogrammes - Utiliser une expression littérale. - Produire une expression littérale. Construire ou compléter la symétrique d une figure donnée ou de figures possédant un axe ou un centre de... Mettre en œuvre la proportionnalité dans les cas suivants : - comparer des proportions, - utiliser un pourcentage, - *calculer un pourcentage - Connaître et utiliser une définition et les propriétés (relatives aux côtés, aux diagonales et aux angles) du parallélogramme. - Construire, sur papier uni, un parallélogramme donné en utilisant ses propriétés. Il s agit de faire accepter de nouveaux statuts de la lettre dans une expression + faire comprendre que le symbole «=» n est pas seulement employé pour annoncer un résultat + faire découvrir qu utiliser les lettres permet de traduire économiquement des programmes de calcul, des énoncés de formules, pour une utilisation facilitée.... à l aide des instruments géométriques au choix. «L utilisation d une écriture fractionnaire pour exprimer une proportion est à relier à la notion de quotient» «Le travail entrepris sur la centrale permet de justifier des propriétés caractéristiques du parallélogramme que les élèves doivent connaître.» Appliquer un taux devient exigible. Calculer un taux ne le deviendra qu en ıème. La comparaison des proportions se limitera à des cas simples sans exigence de procédure experte. - Voir fichier PDF «l accès au littéral et à l algébrique : un enjeu du collège» p.1 - Voir «Les débuts de l algèbre au collège» p. et suite, p.9 à 11 5 ème», p.518 à 50 Ermel : séances S à S9 6 --

3 1 1 Fractions sens de l écriture fractionnaire Représentation et traitement de Nombres positifs en écriture fractionnaire : Sens de l écriture fractionnaire. Nombres entiers et décimaux positifs : Division par un décimal. Multiples et diviseurs, divisibilité. Effectifs, *Fréquences, Classes. Tableau de, représentations graphiques de. - Utiliser l écriture fractionnaire comme expression d une proportion, d une fréquence. - Utiliser sur des exemples numériques des égalités du type ac bc = a b. - Ramener une division dont le diviseur est décimal à une division dont le diviseur est entier. - Reconnaître, dans des cas simples, si un nombre entier positif est multiple ou diviseur d un autre nombre entier positif. - Calculer des effectifs -*Calculer des fréquences - Regrouper des en classes d égale amplitude. - Lire et interpréter des informations à partir d un tableau ou d une représentation graphique (diagrammes divers, histogramme) - Présenter des sous la forme d un tableau, les représenter sous la forme d un diagramme ou d un histogramme (dans ce cas les classes sont toujours de même amplitude). «L égalité ac bc = a b est à justifier à l aide d un exemple générique.» «Ce travail est à conduire en relation avec les égalités d écritures fractionnaires. Il se conçoit essentiellement dans le cadre de la résolution de problème.» «Les élèves sont entraînés à lire, interpréter et représenter des en utilisant un vocabulaire adéquat dans des contextes qui leur sont familiers. * Les écritures /10, /5, 0, et 0% sont utilisées pour désigner une fréquence : elles permettent d insister sur les diverses représentations d un même nombre.» «L utilisation d une écriture fractionnaire pour exprimer une fréquence est à relier à la notion de quotient» Il convient de valoriser des procédures personnelles reposant sur la vision fraction ( ; deux tiers). Reconnaître dans des cas simples que deux écritures fractionnaires différentes sont celles d un même nombre. Multiplier un entier ou un décimal par un quotient de deux nombres sans effectuer une division. Contexte de divisions : résolution de problèmes Situations de la vie courante. Les diagrammes (semi)-circulaires deviennent exigibles sur des situations très simples. Voir Ermel séances Q1 à Q6 5 ème», p.501 à ème»,p.508, p.151 à calculs Distributivité : développer Médianes et hauteurs dans un Distributivité de la multiplication par rapport à l addition : - Sur des exemples numériques, utiliser les égalités k(a + b) = ka + kb et k(a - b) = ka - kb dans le sens du développement - * Sur des exemples littéraux, utiliser les égalités k(a + b) = ka + kb et k(a - b) = ka - kb dans le sens du développement.. Connaître et utiliser la définition d une médiane et d une hauteur d un. «On pourra partir du calcul mental : 1 x = 10 x + x ou 19 x 1 = 0 x 1 11 x 1 pour amener les formules k(a + b) = ka + kb et k(a - b) = ka kb» L intégration des lettres dans ce type d égalités est une difficulté qu il faut prendre en compte. Elle s appuie sur des situations empruntées aux cadres numérique ou géométrique.» «Ces notions sont à reliées au travail sur l aire d un (chapitre suivant). La démonstration des propriétés de concours n est pas envisageable en classe de 5 ième». «Le fait que chaque médiane d un le partage en s de même aire est justifié.» «Les élèves peuvent calculer l aire latérale d un prisme droit (chapitre 9) à partir du périmètre de leur base et de leur hauteur.» Au niveau de la 5e il convient de privilégier l exploitation de cette propriété sur des exemples numériques. Il suffit de connaître une méthode de construction. --

4 1 18 calculs Distributivité : factoriser Symétrie centrale (5) Aires Aires Parallélogramme, disque - Sur des exemples numériques, utiliser les égalités k(a + b) = ka + kb et k(a - b) = ka - kb dans le sens de la factorisation - * Sur des exemples littéraux, utiliser les égalités k(a + b) = ka + kb et k(a - b) = ka - kb dans le sens de la factorisation - Calculer l aire d un parallélogramme. - Calculer l aire d un connaissant un côté et la hauteur associée. - Calculer l aire d une surface plane ou celle d un solide, par décomposition en surfaces dont les aires sont facilement calculables. «On pourra partir du calcul mental : 1 x = 10 x + x ou 19 x 1 = 0 x 1 11 x 1 pour amener les formules k(a + b) = ka + kb et k(a - b) = ka kb» L intégration des lettres dans ce type d égalités est une difficulté qu il faut prendre en compte. Elle s appuie sur des situations empruntées aux cadres numérique ou géométrique.» «La formule de l aire du parallélogramme est déduite de celle de l aire du rectangle. La notion de hauteur ne fait pas partie du socle. Le calcul de l aire d un ne peut être envisagé que dans le cas d une décomposition donnée en s rectangles. Ermel : S1 à S Nombres relatifs Géométrie dans l espace Grandeurs et mesures Notion de nombre relatif Repérage sur une droite graduée Nombres relatifs entiers et décimaux : Notion de nombre relatif. *Ordre. Activités graphiques Repérage sur une droite graduée. solides (1) Prisme droit : Représentations - Utiliser la notion d opposé. - *Ranger des nombres relatifs courants en écriture décimale. Sur une droite graduée : - lire l abscisse d un point donné, - placer un point d abscisse donnée (exactement ou approximativement, en fonction du contexte), - déterminer la distance de deux points d abscisses. - Fabriquer un prisme droit dont la base est un ou un parallélogramme et dont les dimensions sont, en particulier à partir d un patron. - Dessiner à main levée une représentation en perspective cavalière d un prisme droit. - Reconnaître dans une représentation en perspective cavalière d un prisme droit les arêtes de même longueur, les angles droits, les arêtes, les faces parallèles ou perpendiculaires. «La notion de nombre relatif est introduite à partir d un problème qui en montre la nécessité (par exemple pour rendre la soustraction toujours possible). Une relation est faite avec la possibilité de graduer entièrement la droite, puis de repérer le plan.» «Le repérage est à relier avec des situations de la vie quotidienne, le vocabulaire n est pas un objet d apprentissage pour lui-même. Des activités dans lesquelles les élèves ont eux-mêmes à graduer une droite ou à produire un graphique sont proposées.» «Comme en classe de 6 ème, l objectif est d entretenir et d approfondir les acquis : représenter, décrire et construire des soldes de l espace, en particulier à l aide de patrons. Passer de l objet à ses représentations (et inversement) constitue encore l essentiel du travail. L observation et la manipulation d objets usuels sont des points d appui indispensables.» Repérage d un point par un quotient simple.( 1 1 ; 5 ;...) - Voir «Des mathématique s en 6 ème», p. - Doc. acc. «nombres» p. à 9 - Voir petit livre blanc «des mathématique s en 6 ème», p. --

5 1 Fractions Géométrie dans l espace Grandeurs et mesures Multiplication de fractions Nombres positifs en écriture fractionnaire : *Multiplication. solides () Prisme droit : Volumes - *Effectuer le produit de deux nombres écrits sous forme fractionnaire ou décimale, le cas d entiers étant inclus. - Calculer le volume d un parallélépipède rectangle. - Calculer le volume d un prisme droit. - Effectuer pour des volumes des changements d unités de mesure. «On travaillera les changements d unités de volume dans des situations de la vie courante.» On travaillera les changements d unités de volume dans des situations de la vie courante. Cf doc acc «calcul» p.1-1 Ermel séance Q9 5 ème», p.5 calcul Nombre relatifs Repérage dans le plan Symétrie centrale () Angles et parallèles Repérage dans le plan. Angles. [Reprise du programme de 6e] Dans le plan muni d un repère orthogonal : - lire les coor d un point donné, - placer un point de coor. Connaître et utiliser le vocabulaire : origine, coor, abscisse, ordonnée. - Sur papier uni, reproduire un angle. (compas et rapporteur) «La notion de nombre relatif est introduite à partir d un problème qui en montre la nécessité (par exemple pour rendre la soustraction toujours possible). Une relation est faite avec la possibilité de graduer entièrement la droite, puis de repérer le plan.» «Le repérage est à relier avec des situations de la vie quotidienne, le vocabulaire n est pas un objet d apprentissage pour lui-même. Des activités dans lesquelles les élèves ont eux-mêmes à graduer une droite ou à produire un graphique sont proposées.» «Pour la reproduction d un angle : usage d un gabarit ou du rapporteur.» Le repérage est à relier avec des situations de la vie quotidienne : cartes. Le vocabulaire n est pas un objet d apprentissage pour lui-même. Ermel : S10 (et S11) Caractérisation angulaire du parallélisme. - Connaître et utiliser les propriétés relatives aux angles formés par deux parallèles et une sécante et leurs réciproques. «Les travaux sur la centrale conduisent à la caractérisation angulaire du parallélisme et son utilisation.» «A cette occasion, le vocabulaire est également utilisé : angles opposés par le sommet, angles alternes-internes, angles correspondants, angles adjacents, angles complémentaires, angles adjacents. Les propriétés sont formulées et utilisées dans les sens (direct et réciproque), mais certaines réciproques peuvent être déclarées admises sans démonstration.» -5-

6 5 6 Echelles centrale() : somme des angles d un quelconque Échelle. Triangle, somme des angles d un quelconque Mettre en œuvre la proportionnalité dans les cas suivants : - *utiliser l échelle d une carte ou d un dessin, - calculer l échelle d une carte ou d un dessin. Connaître et utiliser dans une situation donnée le résultat sur la somme des angles dans un quelconque., p.11 à 11 5 ème», p.51 à Nombres relatifs Géométrie dans l espace Grandeurs et mesures Fractions Addition et soustraction de nombres relatifs solides () Addition et soustraction de fractions + Mélange des opérations. Nombres relatifs entiers et décimaux : *Addition et soustraction de nombres relatifs. Cylindres de révolution Volumes Nombres positifs en écriture fractionnaire : Addition et soustraction. (fractions) - *Calculer la somme ou la différence de deux nombres relatifs. - Calculer, sur des exemples numériques, une expression dans laquelle interviennent uniquement les signes +, et éventuellement des parenthèses. - Sur des exemples numériques, écrire en utilisant correctement des parenthèses, un programme de calcul portant sur des sommes ou des différences de nombres relatifs. - Fabriquer un cylindre de révolution dont le rayon du cercle de base est donné. - Dessiner à main levée une représentation en perspective cavalière d un cylindre de révolution. - Calculer le volume d un cylindre de révolution. - Effectuer pour des volumes des changements d unités de mesure. - Additionner et soustraire deux nombres en écriture fractionnaire dans le cas où les dénominateurs sont les mêmes *et dans le cas où le dénominateur de l un est un multiple du dénominateur de l autre. «Les règles de suppression de parenthèses à l intérieur d une somme algébrique sont étudiées en classe de ème.» «Grâce à l aire du disque, les élèves peuvent calculer l aire latérale d un prisme droit ou d un cylindre de révolution à partir du périmètre de leur base et de leur hauteur.» «Une relation est établie entre les calculs de volume du prisme droit et du cylindre : dans les cas, l aire de la surface de base du solide est multipliée par sa hauteur.» Il est seulement demandé aux élèves de savoir reconnaître un cylindre, objet solide ou représentation plane de cet objet. Ils doivent savoir que la base est un disque et utiliser cette propriété en situation. Cela peut donner l occasion de valider ce qui a été fait en 6ıème : connaître et utiliser la formule donnant le périmètre d un cercle exigible en se limitant à des calculs en valeurs approchées. On travaillera les changements d unités de volume dans des situations de la vie courante. Des oralisateurs du type «trois quarts plus cinq quarts» permettent d effectuer directement ces opérations sans mobiliser le statut des nombres Voir doc acc «calcul» p.18_19 Voir doc acc p Ermel séances Q et Q8 5 ème», p

7 0 1 centrale (6) : somme des angles dans un : cas des s particuliers Triangle, somme des angles d un Propriétés des s usuels. [Reprise du programme de 6e] calcul Equations Initiation à la notion d équation - Savoir appliquer le résultat sur la somme des angles d un aux cas particuliers du équilatéral, d un rectangle, d un isocèle. - Connaître les propriétés relatives aux angles des s suivants : isocèle, équilatéral, rectangle. - *Tester si une égalité comportant un ou deux nombres indéterminés est vraie lorsqu on leur attribue des valeurs numériques. «La centrale ou la caractérisation angulaire du parallélisme qui en découle (= chapitre11) permettent de démontrer que la somme des angles d un est égale à 180.» Savoir utiliser ces propriétés pour le tracé et la reconnaissance des s. Avec un logiciel : voir petit livre blanc «des mathématique s en 6 ème», p.18 Ermel S10 S11 Symétrie centrale(5) Parallélogrammes particuliers Figures planes Figures simples ayant un centre de ou des axes de. - Construire, sur papier uni, un parallélogramme donné (et notamment dans les cas particuliers du carré, du rectangle, du losange) en utilisant ses propriétés. - Connaître et utiliser une définition et les propriétés (relatives aux côtés, aux diagonales, aux éléments de ) du carré, du rectangle, du losange. «Dans le cadre du socle commun, il est seulement attendu des élèves qu ils sachent utiliser en situation ces propriétés, notamment pour la reconnaissance d un parallélogramme, d un losange, d un rectangle ou pour leur tracé.» «Un travail de synthèse est réalisé, faisant apparaître chacune de ces figures (rectangle, losange, carré) comme un parallélogramme doté de propriétés particulières, notamment en ce qui concerne les diagonales.» Il est seulement attendu des élèves qu ils sachent utiliser en situation ces propriétés notamment pour la reconnaissance ou le tracé de ces figures. Ermel : S16 à S19 --

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