Etude de la fonction bénéfice B telle que B(x) = -9x² + 450x 4050 pour un prix des places x variant de 0 à 50 : x [0 ; 50]

Transcription

1 Fonctions du second degré - Exemple d étude d un problème. Activité. La recette R(x) d un spectacle dépend du prix x de la place suivant la relation R(x) = 450x 9x². Pour chaque spectacle, les frais fixes sont de et le bénéfice B(x) représente la différence entre la recette et les frais fixes. Exprimer le bénéfice B(x) en fonction de la recette R(x) et des frais fixes. B(x) = R(x) 4050 B(x) = 450x 9x² Ordonnons suivant les puissances décroissantes de x B(x) = -9x² + 450x 4050 La fonction B qui à x associe B(x) est une fonction du second degré. On note : B : x B(x) = -9x² + 450x 4050 Définition : Soit la variable réelle x (x ). La fonction numérique de la variable réelle x notée f telle que f(x) = ax² + b x + c est une fonction trinôme du second degré. (a, b, c sont 3 nombres réels et a non nul) Exemples de fonction du second degré : f(x) = x² (a =1; b = 0 ; c = 0) f(x) = -x² + 2x (a =-1; b = 2 ; c = 0) f(x) = -2x² + 5 (a =-2; b = 0 ; c = 5) f(x) = -9x² + 450x 4050 (a =-9; b = 450 ; c = -4050) Etude de la fonction bénéfice B telle que B(x) = -9x² + 450x 4050 pour un prix des places x variant de 0 à 50 : x [0 ; 50] a) Pour quelles valeurs de x le bénéfice B(x) est-il nul, positif et négatif. Pour cela, on étudiera le signe du trinôme du second degré B(x) = -9x² + 450x 4050 = b² - 4ac = 450² - 4 (-9) (-4050) = = >0. Il existe 2 solutions distinctes : b x 1 = = = 38,23 2 ( 9) b x 2 = = = 11,77 2 ( 9) Etudions le signe de B(x) dans un tableau de signes x - 11,77 38,23 + B(x) = -9x² + 450x Ainsi le bénéfice B(x) réalisé par les organisateurs du spectacle est tel que : B(x) < 0 si x ] - ; 11,77 [ ] 38,23 ; + [ B(x) > 0 si x ] 11,77 ; 38,23 [ B(x) = 0 pour x = 11,77 ou x = 38,23

2 b) Etude des variations de B(x). Calculons la dérivée B (x). B (x) = -18 x B (x) = 0-18 x = 0 x= x = La dérivée s annule pour x = 25 Il existe donc un extrémum. Calculons sa valeur : B(25) = -9 (25)² +450 (25) 4050 = 1575 x 11, ,23 + B (x) = -18 x B(x) = -9x² + 450x est le maximum de B(x). Pour tout x de, B(x) Cela veut dire que pour avoir un bénéfice maximum de 1575, il faut que le prix de la place soit 25 c) Tableau de valeurs de B(x) pour x [0 ; 50] x B(x) = -9x² + 450x Exemple de calculs B(x) = -9x² + 450x 4050 x = 0 ; B(0) = -9 (0)² = Continuer les calculs et compléter le tableau de valeurs. d) Représentation graphique dans un repère orthonormal Tracer à l aide du tableau de valeurs la courbe représentative de B. Echelle : Abscisse : 1cm représente 10 Ordonnée : 1cm représente 315 Ce type de représentation graphique est une parabole. La représentation graphique d une fonction du deuxième degré est une parabole. Graphiquement, on retrouve les informations du tableau de signes

3 Rappels Une fonction f est nulle si il existe une réel x 0 tel que f(x 0 ) = 0. x 0 est une solution de l équation f(x) = 0. Si la courbe représentative de f coupe l axe x O x en n points alors, alors l équation f(x) = 0 admet n solutions. Une fonction f est négative sur un intervalle I si pour tout x de I, f(x) < 0. La courbe représentative de f est en dessous de l axe des abscisses x O x. sur cet intervalle. Une fonction f est positive sur un intervalle I si pour tout x de I, f(x) > 0. La courbe représentative de f est au dessus de l axe des abscisses x O x. sur cet intervalle. Résolution graphique : Ainsi, graphiquement, on constate que : B(x) < 0 pour x ] - ; 11,77 [ ] 38,23 ; + [ C f est en dessous de l axe des abscisses. B(x) > 0 pour x ] 11,77 ; 38,23 [ C f est au dessus de l axe des abscisses. B(x) = 0 pour x = 11,77 ou x = 38,23 C coupe l axe des abscisses en deux points A (11,77 ; 0) et B (38,23 ; 0) Conclusion : La fonction bénéfice est représentée par B(x) = -9x² + 450x 4050 dans la quelle x est le prix d une place. Le bénéfice est nul pour un prix des places égal à 11,77 et 38,23 Pour un prix de la place inférieur à 11,77 et supérieur à 38,23, le bénéfice est négatif. Pour un prix de la place compris entre 11,77 et 38,23, le bénéfice est positif. Le bénéfice maximum de 1575 est atteint pour un prix de la place à 25 Exercices 1 ) Etudier les fonctions suivantes. a) f (x) = x² b) f (x) = -x² c) f (x) = x² + 1 d) f (x) = x² - 9 e) f (x) = 3x² -6x f) f (x) = x² + x + 1 g) f (x) = 2x² -x 6 2 ) Résolution graphique : TD L objectif est de résoudre graphiquement l équation 2x² - x 6 =0 Transformons l équation : 2x² = x + 6 Nous reconnaissons la fonction f telle que f(x) = 2x² et la fonction affine g telle que g(x) = x+ 6 Traçons dans un même repère les graphes C f et C g de ces deux fonctions à l aide d un traceur de courbes : C f et C g se coupent en deux points A ( ; ) et B( ; ). Compléter. Quelles sont les solutions de l équation? Vérifier en utilisant la méthode algébrique.

4 3 ) Problème résolu Le chiffre d affaire mensuel f(x) en milliers d euros (k ) réalisé par une entreprise dépend de son bénéfice x en k et est donné par la fonction f telle que f(x) = -3x² x 1440 a) Pour quelles valeurs du bénéfice le chiffre d affaire est-il nul, positif ou négatif? b) Calculer la dérivée f (x) de f(x) et étudier ses variations. c) Pour quelle valeur de x le chiffre d affaire est-il maximum? d) Dresser un tableau de valeurs de f(x) pour x [0 ; 50] e) Construire le la représentation graphique de f dans un repère cartésien orthogonal Unités : abscisses : 1cm 10 k Ordonnées : 1 cm 117,6 k Réponses a) Pour quelles valeurs du bénéfice x le chiffre d affaire f(x) est-il nul, positif et négatif? Pour cela, on étudiera le signe du trinôme du second degré f(x) = -3x² x 1440 = b² - 4ac = 156² - 4.(-3).(-1440) = = 7056 >0. Il existe 2 solutions distinctes : b x 1 = = = 40 2 ( 3) b x 2 = = =12 2 ( 3) Etudions le signe de f(x) dans un tableau de signes x f(x) = -3x² x Ainsi le bénéfice f(x) réalisé par les organisateurs du spectacle est tel que : f(x) < 0 si x ] - ; 12 [ ] 40 ; + [ f(x) > 0 si x ] 12 ; 40 [ f(x) = 0 pour x = 12 ou x = 40 b) Etude des variations de f. Calculons la dérivée f (x). f (x) = -6 x f (x) = 0-6 x = 0 x = x = 26 6 La dérivée s annule pour x = 52 Il existe donc un extrémum. Calculons sa valeur : f(26) = -3 (26)² (26) 1440 = 588 x f (x) = -6 x f(x)= -3x² x est le maximum de f(x). Pour tout x de, f(x) 588 Cela veut dire que pour avoir un CA maximum de 588 k, il faut un bénéfice de 26 k

5 c) Tableau de valeurs de f pour x [0 ; 50] x (k ) f(x)= -3x² x (k ) Exemple de calculs f(x) = -2x² + 156x 1440 x = 0 ; f(0) = -3 (0)² = Continuer les calculs et compléter le tableau de valeurs. d) Représentation graphique dans un repère orthonormal Tracer à l aide du tableau de valeurs la courbe représentative de f. Echelle : Abscisse : 1cm représente 10 k Ordonnée : 1cm représente 117,6 k A faire sur papier millimétré.