Electricité et magnétisme - TD n 6 Conducteurs hors équilibre

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Valentin Ratté
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1 Electricité et magnétisme - TD n 6 Conducteurs hors équilibre 1. Densité de courant - vitesse des porteurs Le cuivre, qui est un bon conducteur du courant électrique, possède 1 électron libre par atome; sa densité volumique de charge ρ vaut 1, C.m 3. Un fil de cuivre de section s = 1mm est parcouru par un courant I = 10A. Calculer la densité de courant j et la vitesse moyenne des porteurs. j j I = = I s s A.N. = 10 (10 3 ) = 107 Cs 1 m j = ρp v j v =. Conduction dans un métal: modèles de Drude ρ p A.N. = 107 m.s 1 1, m.s 1 = 1mm.s 1 La conduction électrique dans les métaux est assurée par les électrons libres de charge ( e) et de masse m. Une approche phénoménologique proposée par le physicien allemand P. Drude consiste à considérer que les électrons qui participent à la conduction évoluent dans un réseau cristallin quasiment immobile. L interaction entre les électrons et le réseau peut-être prise en compte soit en introduisant une force de frottement visqueux (modèle macroscopique) soit, d une manière plus réaliste, à l aide d une interprétation collisionnelle (modèle microscopique). Nous nous proposons dans cet exercice de décrire la conductivité d un métal en suivant les deux approches (force de frottement visqueux et collisions) proposées par P. Drude. (a) Modèle macroscopique. Pour rendre compte d un courant électrique constant qui traverse le métal soumis à un champ électrique E 0, on modélise l action du réseau cristallin par une force de frottement visqueux proportionnelle à la vitesse du porteur : f = k v. Déterminer la loi des vitesses v (t) d un porteur; calculer sa vitesse limite v l. Solution de l équation homogène : d v F e = dt =q e E k v =qee k v d v dt = q e E k v d v dt + k v = q e E d v h dt + k v h = 0 (1) dv h dt + v h = 0 () 1

2 et dont la solution de cette équation homogène s écrit ( v h (t) = v 0 exp t ) (3) avec un temps de relaxation de : = k k = (4) La vitesse limite est donné par : d v F e = dt = 0 = q e k v l v l = q e k On prend comme t = 0, le temps où on applique le champ électrique. La condition limite est v (t) = 0 ce qui fixe v 0 = qe k, la solution du problème est : v (t) = q ( ( e 1 exp t )) k (b) Modèle microscopique. Soit n le nombre d électrons libres par unité de volume. Un métal est caractérisé par la durée moyenne τ entre chocs successifs d un porteur sur le réseau cristallin d atomes. Ainsi en l absence de champ électrique et par suite de l agitation thermique, chaque électron est supposé animé d un mouvement rectiligne entre chocs; les trajectoires en zigzag, réparties au hasard, correspondent à un courant électrique nul. Lorsque le métal est soumis au champ, les déplacements des électrons donnent naissance à un courant électrique. A l aide de ce modèle : i. Déterminer la loi des vitesses inter choc v (t)à l instant t (t est compté en prenant comme origine le dernier choc; on désignera par v 0 la vitesse de l électron juste après son dernier choc). d v F = me dt = q e d v dt = q e q e v (t) = t E 0 + v 0 ii. Calculer la valeur de τ avec les données suivantes: conductivité γ = Ω 1.m 1, nombre de porteurs par unité de volume n e = électrons.m 3. v = v (t) τ = qe t E 0 + v 0 τ = 1 τ = q e τ La densité de courant s exprime : q e t E 0 dt = q e 1 τ 0 j = ρp v q = e τ ne τ τ 0 tdt

3 Le conductivité est donné par : j = γ =σ E 0 A.N. Cm s 1 = [γ] [E] = [γ] m 1 τ = γ n e q e s [γ] = Cm 1 s 1 γ = n e q e τ = , (1, ) (c) Rapprochement des deux modèles. Les deux modèles se rapprochent si on interprète la vitesse limite v l du premier modèle comme la norme de la vitesse moyenne inter choc v (t) du deuxième modèle: dans ce cas, montrer que τ est le temps de relaxation du premier modèle. Le courant du modèle macroscopique est donné par : Le premier modèle donné j = ne q q e v e qe l = n e = n e = γ E 0 k γ n e q e ce qui implique γ = n e q e τ [γ] = Cm 1 s 1 qe τ n e = n qeτ r e = τ 3. Résistance ohmique Un conducteur filaire de longueur l, de section S, est soumis à une différence de potentiel 1 entre ses extrémités. (a) En appelant j le vecteur densité de courant, montrer que, en régime permanent, le flux de j est conservateur. Les équations de base en magnétostatique sont : Le premier montre que le flux de B est conservateur : div B d = B nds = 0 div B= 0 rotb = µ 0 j (5) 3 S

4 On peut prendre la divergence du deuxième équation du magnétostatique afin de trouver : div rotb 0 = µ 0 div j le flux de j est conservateur en magnétostatique : div j = j nds = 0 (b) Calculer la résistance R de cette portion de fil de conductivité γ. Nous avons que j, E, et dl sont colinéaires. S I = js = γes et U = 1 = 1 E dl = El I = γes = γ U l S U = I l Dans la convention générateur de U positif et I positif sont dans le même sens U = IR on peut conclure que : R = l 4. Résistance de fuite L âme de rayon = 1cm d un câble coaxial (figure 1a) et sa gaine extérieure de rayon R = cm sont séparés par un isolant imparfait de conductivité γ = 10 Ω 1.m 1. (a) Calculer la résistance de fuite R f de ce câble. Pour un fil on peut écrire dr = dl R t = dr = dl = l C est le même problème ici sauf que la section est variable avec R = R dl dl = dr S = πrl R dr R = πrlγ = 1 R dr πlγ r = 1 πlγ ln R 4

5 (b) En déduire le courant de déperdition latérale d un kilomètre de câble soumis à une différence de potentiel de 1000 volts. R A.N. = ln Ω I A.N. = IR = U = La diode à vide, un conducteur non-ohmique Les deux électrodes A et C d une diode sont enfermées dans une ampoule où règne le vide. La cathode C émet, par effet thermo-électrique, des électrons sans vitesse initiale qui sont attirés par l anode A maintenue au potentiel a constant et positif (figure 1b). 1- a) b) cathode anode a R O r =0 c 0 x L x Figure 1: a) Câble coaxial. b) Diode à vide En régime permanent, les électrons, de charge e et de masse m, quittent la cathode qui se situe dans le plan x = 0 ; ils se dirigent vers l anode positionnée au plan x = L. (a) Quelle est la géométrie des équipotentielles? Les équipotentielles sont des plans de x = cte. (b) Ecrire les 3 équations locales uni-dimensionnelles qui relient le potentiel x, la vitesse v x des électrons émis, et le nombre d électrons n x d électrons par unité de volume en un point M situé à la distance x de la cathode (0 < x < L). Sur la cathode (x) = 0. À un point x l énergie électrostatique est U (x) = e x (x) Donc l énergie cinétique en ce point est T = 1 mv x afin que T + U = 0. Nous avons que la vitesse de l électron est donnée par 1 mv x = e x(x) kg.m.s = C. et on obtient la première équation entre v x et le potentiel : ex (x) [ e v x = = m m] 1.m.s (6) 5

6 où nous avons mis v x (0) = (0) c = 0. On obtient la densité de charge à partir de l équation j x = ρ x v x = I/S = cte, (convention récepteur) la deuxième équation est : ρ x = I m v x S = I e S x 1/ [ρ x ] = C.m 3 = m 3.s.C.s 1 (7) Les signes négatifs apparaissent parce que j = ρ v est une relation vectorielle, et ρ est négative. La vitesse des charges et le courant sont de directions opposées. La troisième équation vient de l électromagnétisme. Puisque les grandeurs physiques ne dépendent que de la coordonnée x, l équation de Poisson s écrit : d dx x(x) = ρ ǫ 0 (8) (c) Présenter l équation différentielle du potentiel x. Mettant l équation (7) dans l équation de Poisson (8) on obtient : d dx x = ρ m I = ǫ 0 e S x 1/ = K 1/ où K = m I (9) e Sǫ 0 (d) L expérience confirme qu un nuage de conduction existe entre la cathode et l anode; calculer le potentiel x entre ces deux plans. (La solution est de la forme 3/4 = 3 Kx). Multipliant les deux cotés par d dx d d dx dx = K 1/d dx ( d d dx dx on peut réécrire cette équation dans la forme suivante: ) ( ) d = K 1/ dx Pour ce type d équation différentiel, il s avère que la solution est de la forme : Insérant cette solution dans l éq.(10), on trouve (10) d dx = C γ (11) d dx (C γ ) = K 1/ C γ γc γ 1d γ 1/ = CK dx d dx = K γc 1/ γ (1) Pour que les l éq.(1) et l éq.(11) soit consistante, il faut : 1/ γ = γ γ = 1 γ = 1 4 K γc = C C = 4K C = K Donc nous avons réduit l éq.(10) de deuxième ordre à une équation de premier ordre : d dx = K 1/4 (13) 6

7 Ceci est une équation qu on peut résoudre par intégration : d 1/4 = K dx 1/4 d = 4 3 3/4 = Kx + cte Puisque (x) = 0, nous avons le résultat final de x 3/4 = 3 3 ( m ) 1/4 I Kx = x (14) e Sǫ 0 On peut vérifier que c est la bonne solution en écrivant explicitement : 3/4 = 3 K1/ x ( ) 3 4/3 x = K 4/6 x 4/3 1/ = ( ) 3 4/3 K 4/6 x 1/3 d d dx x = 4 3 dx x = ( ) 3 /3 K /6 x /3 ( ) 3 4/3 K 4/6 x /3 d dx x = 4 ( ) 3 4/3 ( ) 3 /3 ( ) 3 /3 3 K 4/6 K /6 K /6 x /3 = 4 ( 3 ) ( ) 3 /3 3 K K /6 x /3 = K 1/ (e) En déduire une expression de la densité de courant j a sur l anode. Enfin compte, la densité de courant et le courant lui même sont constantes. j a = ρ x j x x = I S (f) En rappelant la définition du flux de j a trouver une expression du courant d anode I a en fonction des données et du potentiel d anode a. La densité de courants est : ) 1/ U 3/4 = 3/4 = 3 3 ( m ) ( 1/4 I KL = L e Sǫ 0 ( ) 3 ( U 3/ = L m ) 1/ I e Sǫ 0 ( ) e 1/ ( ) I = Sǫ 0 U 3/ (15) m 3L [ e m j x = I S = ǫ 0 ( e ) 1/ ( ) U 3/ (16) 3L ] 1/ = 1/.m.s 1 [ǫ 0 ] = C.m 1 1 7

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