À rendre le vendredi 04 novembre 2016

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1 DM n o 4 Approche documentaire : Conduction dans les semi-conducteurs À rendre le vendredi 04 novembre 2016 But de l approche documentaire : décrire la conductivité des semi-conducteurs les types de porteurs l influence du dopage. 1 Bandes d énergie et porteurs libres dans un semiconducteur Dans un atome isolé les énergies des électrons ne peuvent prendre que des valeurs discrètes ; on parle de niveaux d énergie. Associés dans un solide cristallin les atomes voient leur niveaux d énergie se décaler et se superposer en bandes d énergie continuum de valeurs possibles pour l énergie d un électron. De manière simplifiée (Fig. 1) apparaissent une bande de valence occupée par des électrons peu énergétiques intervenant dans les liaisons covalentes du cristal et une bande de conduction occupée par des électrons plus énergétiques délocalisés dans tout le matériau. Comme dans un métal ces électrons dits libres peuvent être animés d un mouvement d ensemble lorsqu un champ électrique est appliqué (conduction électrique). E bande de conduction E bande de conduction E bande de conduction E g E g bande de valence bande de valence bande de valence Métal Semiconducteur solant Figure 1 Schématisation du diagramme de bandes d un métal d un semi-conducteur et d un isolant. Dans le cas d un métal la bande de conduction chevauche la bande de valence et est facilement accessible et occupée par les électrons (Fig. 1). Dans le cas d un isolant ou d un semi-conducteur apparait une bande interdite ensemble de valeurs d énergie inaccessibles aux électrons. La largeur de cette bande interdite est appelée énergie de gap. L énergie de gap des isolants est grande ( 5 10 ev) rendant la bande de conduction quasiment inaccessible et inoccupée aux températures raisonnables. Dans le cas des semi-conducteurs l énergie de gap modérée ( 1 ev et variable d un matériau à l autre) rend plus probable le transfert d électrons de la bande de valence vers la bande de conduction par un apport énergétique (d origine thermique optique électrique) raisonnable. La rupture d une liaison covalente entraine donc la création d un électron libre mais aussi celle d un trou associé au défaut d électron dans la liaison ; on parle dès lors de paires électrons-trous (Fig. 2). Les trous se comportent comme des particules de charge +e participant comme les électrons libres à la conduction électrique (voir Section 4). G. GOLSE Lycée Chrestien de Troyes (Troyes) PS 2016/2017

2 DM n o 4 : Conduction dans les semi-conducteurs 2 e- libre e- de valence trou noyau et e- de coeur Figure 2 Création d une paire électron-trou. 2 Densité de porteurs dans un semi-conducteur intrinsèque La statistique de Fermi-Dirac permet d estimer les densités n d électrons de conduction et p de trous à température T donnée. Pour un semi-conducteur pur (intrinsèque) on définit n i la concentration intrinsèque en porteurs comme : ( n = p = n i = AT 3/2 exp E ) g kt où A est une constante propre au matériau E g l énergie de gap et k la constante de Boltzmann. L augmentation de n i avec T traduit le fait que plus la température est élevée plus un électron a de chance de posséder une énergie suffisante pour appartenir à la bande de conduction. Ainsi pour le silicium à 300 K on a n i cm 3 à comparer avec la densité électronique d un bon conducteur métallique (n cm 3 ). 3 Dopage d un semi-conducteur Le dopage consiste à introduire des atomes donneurs ou accepteurs d électrons dans un substrat de semi-conducteur intrinsèque afin d en modifier les propriétés conductrices. Ces atomes viennent s insérer dans le réseau cristallin par substitution. Comme les dopants sont introduits en quantité faible (devant le nombre d atomes du substrat initial) on parlera d impuretés. On réalise ainsi un semi-conducteur extrinsèque dopé N par ajout de donneurs comme le phosphore P dans le silicium ; l ionisation des impuretés introduit ainsi un excès d électrons libres. De manière analogue les semi-conducteurs dopés P sont obtenus par introduction d accepteurs d électrons. Par exemple l atome de Bore possédant trois électrons de valence et une lacune est susceptible de capturer un électron intervenant dans une liaison covalente - créant ainsi un trou libre dans la bande de valence du matériau (Fig. 3). Le dopage permet ainsi de contrôler le type de porteurs majoritaires et d augmenter considérablement la densité de charges libres (et donc la conductivité du matériau) en choisissant une concentration en donneurs N D ou en accepteurs N A grande devant n i. Aux températures usuelles les impuretés sont très majoritairement ionisées et on a n N D ou p N A. La conductivité est dès lors contrôlée par la concentration de dopant. Notons enfin que la loi d action des masses impose dans le semi-conducteur quel que soit le dopage : n p = n 2 i G. GOLSE Lycée Chrestien de Troyes (Troyes) PS 2016/2017

3 DM n o 4 : Conduction dans les semi-conducteurs 3 trou e- libre P + B - Figure 3 Création d un porteur libre par ionisation d une impureté. 4 Conduction dans un semi-conducteur Comme signalé plus haut dans un semi-conducteur la conduction est assurée par les électrons libres et les trous. Le déplacement des trous se fait dans le sens opposé à celui des électrons (Fig. 4). e- libre saut d'un e- de valence vers un trou mouvement d'ensemble d'echamp électrique E déplacement apparent du trou mouvement d'ensemble de trous Figure 4 Schématisation du déplacement des trous et des électrons libres lorsqu un champ électrique est appliqué. Mobilité des porteurs de charge Dans le cadre du modèle de Drude on assimile les porteurs en interaction avec le cristal à des particules classiques de masse effective m subissant des séries de vols libres entrecoupées de collisions. La vitesse d ensemble v est alors liée au champ électrique E par l équation classique : m d v dt = q E m v τ où τ est la durée moyenne entre deux collisions. On peut dès lors introduire la mobilité du porteur en régime stationnaire définie comme le rapport entre norme de la vitesse et intensité du champ µ = v / E et s exprimant : µ = q τ m La mobilité est majoritairement affectée par deux types de collisions que subissent les porteurs de charge : G. GOLSE Lycée Chrestien de Troyes (Troyes) PS 2016/2017

4 DM n o 4 : Conduction dans les semi-conducteurs 4 les interactions de type coulombienne avec les impuretés ionisées ; celles-ci sont prédominantes à basse température ; la probabilité de collision diminue quand la vitesse quadratique des porteurs et donc la température augmentent ; les interactions avec le réseau cristallin ; elles sont d autant plus probables que les porteurs sont énergétiques ; l influence de cette interaction croit donc avec la température et avec le champ électrique appliqué. La masse effective et donc la mobilité des trous et électrons varient également fortement d un matériau à l autre : par exemple la mobilité électronique à 300 K et à faible dopage est d environ 1400 cm 2.V 1.s 1 dans le silicium et de cm 2.V 1.s 1 dans l arséniure d indium nas alliage plus moderne. Conductivité La densité de courant peut s écrire en régime stationnaire en additionnant les contributions des électrons et des trous (auxquels les indices n et p de l expression suivante font référence) : j = jn + j p = en v n + ep v p = (enµ n + epµ p ) E On en déduit la conductivité du semi-conducteur : σ = e(nµ n + pµ p ) 5 Quelques figures concernant le silicium NB : Les courbes des figures ci-dessous ne correspondent pas à des relevés expérimentaux mais sont la représentation graphique d expressions phénoménologiques ou semi-empiriques relatives au transport dans le silicium. (a) (b) Figure 5 Mobilité des électrons (a) et des trous (b) en fonction de la densité de dopants et pour différentes températures [1 2]. G. GOLSE Lycée Chrestien de Troyes (Troyes) PS 2016/2017

5 DM n o 4 : Conduction dans les semi-conducteurs 5 Figure 6 Résistivité du silicium dopé en fonction de la concentration en impuretés [3] Ca ier Orift t r-"1:' 500 T(K) J( : '" " ' ' '\ '" '.' lj c: Figure Eleclron concenlration and conductivity versus io\'crse remperalure for.o;ilicon. fafter Sr.'" 12}. ) Figure 7 Densité d électrons libres et conductivité du silicium dopé N (N D = cm 3 ) en fonction de la température [4]. varies with temperature in this range. At higher temperatures. the intrinsic carrier concentration increases and begins to dominate the electron concentration as well as the Références conductivity. n the lower temperature range freeze-oui begins to occur; the electron concentration and conductivity decrease with decreasing temperarure. [1] S. S. Li and W. R. Thurber Solid State Electronics vol. 20 no. 7 p [2] J. M. Dorkel and P. Leturcq Solid State Electronics vol. 24 no. 9 p. Objective [3] S. M. Sze To dc<cnrune Physicsthe of Semiconductor doping concentration and Devices. Wiley majorty carrier mubility Easterngive Limited n the type and cuodll(;tivity of Semiconductor a compensated senliconductor. Physics And Devices Basic Principles. McGraw-Hill Edu- [4] D. A. Neamen Considcr compensated n-type silicon at T = 300 K. with a cond\clivity of (f ;;:: cation (Sl-cm)- and al1 tlcceptor doping conc.:entratioll of <!m-:'> _ Determine the donor COllcemration Semiconductor and tbe electron Devices. mobility. John Wiley and Sons [5] S. M. Sze [6] M. S. Tyagi Soutlon ntroduction to Semiconductors Materials and Devices. John Wiley and Sons For n-t)'pe silicon at 'r = 300 K we <!3n assume complete ionization: thereforc the conductivity. a'isuming Nil - N"» ";. is given by We have tbal G. GOLSE Lycée Chrestien de Troyes (Troyes) PS 2016/2017 F.XAMPLE S.2

6 DM n o 4 : Conduction dans les semi-conducteurs 6 v (cm/s) électrons trous E (V/cm) Figure 8 Vitesse d ensemble des porteurs de charge en fonction de l intensité du champ électrique dans le silicium intrinsèque [5 6]. Questions 1. Estimer et comparer les conductivités à 300 K du silicium intrinsèque (idéal impossible à obtenir en pratique) du silicium raffiné avec une concentration résiduelle en bore N A = cm 3 du silicium dopé N avec N D = cm 3 et dopé P avec N A = cm 3. Que peut-on dire de ces mêmes conductivités à 1000 K? 2. Expliquer l évolution représentée en Fig. 6 de la résistivité du silicium extrinsèque avec la concentration de dopants. Proposer une explication à la non-linéarité de l évolution de σ en fonction de N D/A. 3. Justifier l évolution de la densité de porteurs n et de la conductivité σ avec la température (Fig. 7). Comparer avec le comportement d un métal pour lequel la conductivité décroit monotonement avec la température. 4. Proposer une explication à la saturation visible sur la Fig. 8 de la vitesse stationnaire à fort champ électrique. 5. Rédiger une brève synthèse (une vingtaine de lignes maximum) précisant les facteurs influençant la conductivité d un semi-conducteur. G. GOLSE Lycée Chrestien de Troyes (Troyes) PS 2016/2017