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1 Chapitre 1 Fonctions TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 1 Fonctions Table des matières I Exercices I-1 1 Une première fonction, graphique, vocabulaire I-1 Une fonction définie par une formule I- 3 Une fonction définie par une courbe I-3 Une fonction définie par un tableau I I I I I I I I II II-1 II Cours II- 1 Image et antécédent II- 1a Par un calcul ou une équation II- 1b Sur la représentation graphique II- 1c Dans le tableau de valeurs II- Ensemble de nombres, intervalle II- 3 Ensemble de définition II-3 Résolution graphique d équations f(x) = k et d inéquations f(x) < k II-3 5 Résolution graphique d inéquations f(x) < g(x) II-3 III Algorithmique III III III III III III III III-3 IV Tableur et calculatrice IV-1 1 Résolution approchée d une équation sur tableur IV-1 Représentation graphique d une fonction à la calculatrice IV-

2 Chapitre 1 Fonctions I EXERCICES page I-1 I Exercices 1 Une première fonction, graphique, vocabulaire Les objectifs de cet exercice sont de revoir la notion de fonction, et ce que veut dire l expression en fonction de ; les mots image et antécédent. En électricité, on utilise une égalité qui s appelle la loi d Ohm et qui s écrit : U = RI où U est la tension aux bornes d un appareil en Volts (V), R est la résistance en Ohms (Ω) et I l intensité du courant en Ampères (A). Si la résistance d un appareil est 5 Ω, on a donc l égalité U = 5I. Mathématiquement, on a donc une fonction définie par U = f(i) = 5I. Pour les questions 1,, 3, ci-dessous, compléter chaque fois le tableau plus bas. 1. Quelle est la tension lorsque l intensité est égale à 3 A? Écrire le calcul En mathématiques, le résultat précédent est l image de 3 par la fonction f ; le nombre 3 est l antécédent du résultat précédent par la fonction f. Compléter : par la fonction f, l image de 3 est ; l antécédent de est (a) Quelle est l image de 7 par la fonction f? Écrire le calcul (b) Traduire le résultat précédent par une phrase avec tension et intensité (a) Quelle est l antécédent de 50 par la fonction f? Écrire une équation (b) Traduire le résultat précédent par une phrase avec tension et intensité Tracer la représentation graphique de la tension U en fonction de l intensité I, pour des intensités comprises entre 0 et 10 A. 6. Comment appelle-t-on ce type de fonction en mathématiques? On a étudié la fonction f pour des intensités comprises entre 0 et 10 A. Le vocabulaire mathématique pour dire cela est «l ensemble de définition de la fonction f est l intervalle [0 ; 10]». Qu est ce qui peut expliquer concrètement qu on se limite à ces valeurs là? images 50 0 Intensité I (A) 3 7 antécédent Tension U (V) 50 image Tension (V) Intensité (A) antécédents

3 Chapitre 1 Fonctions I EXERCICES page I- Une fonction définie par une formule Les objectifs de cet exercice sont de s exercer sur images, antécédents, ensemble de définition, une grandeur en fonction d une autre ; revoir une fonction connue de 3 e. x représente la distance en km parcourue par une voiture. La fonction définie par f(x) = 0, 08x+50 donne le volume de carburant qui reste dans le réservoir en L après x kilomètres parcourus. 1. Calculer le volume restant après 100 km.. Quelle est la distance parcourue quand il reste 10 L dans le réservoir? Résoudre une équation. 3. Traduire les deux résultats précédents dans le vocabulaire mathématique (image, antécédent).. Compléter ce tableau de valeurs. Distance x (km) 100 antécédent Volume V (L) 10 image 5. Tracer la représentation graphique de la fonction f dans le repère ci-dessous. 6. Pour quelle distance parcourue le résevoir sera-t-il vide? Résoudre une équation. 7. Pour cette fonction f, quelle grandeur est en fonction de l autre? 8. Dans cette situation, l ensemble de définition est l intervalle de la plus petite distance parcourue à la plus grande possible. Indiquer l ensemble de définition : [ ;......]

4 Chapitre 1 Fonctions I EXERCICES page I-3 3 Une fonction définie par une courbe Les objectifs de cet exercice sont de s exercer à partir d un graphique sur une grandeur en fonction d une autre ensemble de définition ; image et antécédent ; reconnaître une fonction affine. Le graphique ci-dessous décrit les variations de la hauteur d eau du port de St Malo (en Métropole, en Bretagne) de 0h (minuit) à 8h. Il représente une fonction f. Hauteur d eau H (en mètres) Temps t (en heures) 1. (a) Pour cette fonction f, quelle grandeur est en fonction de l autre? (b) Quelle est l égalité qui convient? t = f(h) ou h = f(t). Quel est l ensemble de définition de cette fonction f? 3. La fonction f est-elle linéaire? est-elle affine? Justifier la réponse.. Répondre aux questions suivantes et tracer des traits sur le graphique. (a) Indiquer la hauteur d eau à 7h0. (b) À quelle heure la hauteur d eau estelle égale à, 5 m? (c) Quelle est l image de 1 par la fonction f? (d) Quels sont approximativement les antécédents de 10, 5 par la fonction f? 5. (a) Traduire les questions 1(a) et 1(b) et leurs réponses en vocabulaire mathématiques (fonction, image, antécédent). (b) Traduire les questions (a) et (b) et leurs réponses de manière concrète (temps et hauteur d eau). Une fonction définie par un tableau Les objectifs de cet exercice sont de s exercer à partir d un tableau sur une grandeur en fonction d une autre ensemble de définition ; image et antécédent ; reconnaître une fonction affine. Ce tableau donne la distance de freinage d d une voiture en fonction de sa vitesse v, sur une route sèche. La distance est en mètres et la vitesse en kilomètres par heure. Ce tableau est le tableau de valeurs d une fonction f. Vitesse v (km/h) Distance d (m) (a) Pour cette fonction f, quelle grandeur est en fonction de l autre? (b) Compléter :... = f(...). D après le tableau quel est l ensemble de définition? 3. Quelle est l image de 50 par la fonction f?. Quel est l antécédent de 80 par la fonction f?

5 Chapitre 1 Fonctions I EXERCICES page I- 5. Traduire les deux réponses précédentes de manière concrète avec les mots vitesse et distance. 6. Dans le repère ci-dessous, tracer la représentation graphique de la fonction f. 7. Écrire une légende pour chaque axe et donner un titre à la représentation graphique. 8. La fonction f est-elle affine? Justifier A x C y 5 B Sur la figure ci-dessus, qui n est pas en vraie grandeur, le point C est sur le segment [AB], et on a : AB = x, AC = y, BC = 5 cm 1. Écrire y en fonction de x, c est à dire une égalité sous la forme y = f(x).. Quelle est la valeur minimale de x? 3. On suppose que la longueur x est au maximum égale à 1 cm. Quel est l ensemble de définition de la fonction f? Donner un intervalle.

6 Chapitre 1 Fonctions I EXERCICES page I-5 6 x y x (cm) y (cm) Le rectangle ci-dessus à gauche n est pas tracé en vraie grandeur, et son aire est égale à 10 cm, 7 1. Calculer y lorsque x = cm, puis lorsque x = 5 cm. Écrire y en fonction de x (y = f(x)). 3. Est-ce une fonction affine? Justifier.. Est-ce que x peut être égal à 0? 5. On suppose que la longueur x est au maximum égale à 10 cm. Quel est l ensemble de définition de la fonction f? Donner un intervalle. 6. Compléter le tableau ci-dessus, en arrondissant à 0,1 près. 7. Tracer la représentation graphique de la fonction f 1 dans le repère ci-contre. 0 La fonction f est définie par f(x) = 5 x 1. Compléter le tableau de valeurs plus bas. Si c est nécessaire, arrondir les résultats au dixième près.. Quelle image ne peut-on pas calculer? Pourquoi? 3. Parmi les ensembles suivants, lesquels conviennent comme ensemble de définition de la fonction f? [0 ; 5] [ ; 10] ] ;10] IR ] ; [ ] ; + [ On prend comme ensemble de définition l intervalle [3 ; 7]. Tracer la 0 représentation graphique de la fonction 0 f dans le repère ci-contre x 3 3, 5, 5 5 5, h(x) = 5 x

7 Chapitre 1 Fonctions I EXERCICES page I-6 8 Les fonctions f et g sont définies par f(x) = 3x + et g(x) = 1, 5x et sont représentées graphiquement ci-dessous, f à gauche, et g à droite. Résoudre les équations f(x) = et g(x) = 3 d abord graphiquement, en traçant des traits, puis en résolvant chaque équation par le calcul. C f C g La fonction f est définie sur IR par f(x) = (x + 1)(7 3x). Sa représentation graphique est dans le repère ci-contre D après la représentation graphique de f, déterminer le ou les éventuels antécédents de 0. Arrondir à l unité ou au dixième.. Retrouver les valeurs exactes des résultats précédents en résolvant une équation La fonction f est définie sur IR par f(x) = 0, 7x x. Sa représentation graphique est dans le repère ci-dessous D après la représentation graphique de f, déterminer le ou les éventuels antécédents de 0. Arrondir à l unité ou au dixième.. Retrouver les valeurs exactes des résultats précédents en résolvant une équation (factoriser d abord f(x)). 1 3 La fonction f est définie sur IR par f(x) = (0, 8x). Sa représentation graphique est dans le repère ci-dessous. 1. D après la représentation graphique de f, déterminer le ou les éventuels antécédents de. Arrondir à l unité ou au dixième.. Retrouver les valeurs exactes des résultats précédents en résolvant une équation. 1 3

8 Chapitre 1 Fonctions I EXERCICES page II-1 1 L objectif de cet exercice est de résoudre graphiquement des inéquations de la forme f(x) < k La fonction définie par f(t) = 5t 30t + 60 donne l altitude d une montgolfière en mètres en fonction du temps t en secondes. L ensemble de définition de cette fonction est l intervalle [0 ; 8] et sa représentation graphique se trouve ci-contre. 1. D après la représentation graphique, à quels instants l altitude de la montgolfière est-elle inférieure ou égale à 60 m?. Traduire la question 1 en écrivant une inéquation. 3. Résoudre l inéquation f(t) 35 d après la représentation graphique.. Traduire concrètement l inéquation f(t) 35 (hauteur et temps). Altitude en mètres Temps en secondes Les représentations graphiques ci-dessous sont celles des exercices sur fiche n o 9, 10, 11. Résoudre chaque fois l inéquation indiquée. Il faudra utiliser les résultats de ces exercices et colorier l ensemble des solutions. f(x) 0 f(x) 0 f(x)

9 Chapitre 1 Fonctions II COURS page II- II Cours 1 Image et antécédent 1a Par un calcul ou une équation Pour calculer l image d un nombre par une fonction f, on remplace x par sa valeur dans l expression f(x). Le résultat est l image de ce nombre. Pour calculer les éventuels antécédents d un nombre k par une fonction f, on résout l équation f(x) = k. Exemple : Soit la fonction f : x 0, 08x + 50 Calculons l image de 100 : f(100) = 0, = = Calculons l antécédent de 6 : f(x) = 6 0, 08x = 0, 08x + 50 = 6 x = 0, 08x = , 08 = 300 1b Sur la représentation graphique Voici un schéma pour résumer où se trouve les images et les antécédents sur la représentation graphique, et pour indiquer ce qui est en fonction de quoi. son image ceci est en fonction de cela un nombre un nombre ses antécédents 1c Dans le tableau de valeurs Voici un schéma pour résumer où se trouve les images et les antécédents dans un tableau de valeurs, et pour indiquer ce qui est en fonction de quoi. x... un nombre a... un antécédent de b... f(x)... l image de a... un nombre b... ceci en fonction de cela Ensemble de nombres, intervalle L ensemble des nombres réels Il y a différentes sortes de nombres : des nombres entiers relatifs, des nombres décimaux relatifs, des fractions relatives, des racines carrées comme, le nombre π et d autres qui seront étudiés plus tard. Tous ces nombres sont appelés les nombres réels. On appelle IR l ensemble des nombres réels, c est à dire l ensemble de tous les nombres. Intervalle Par exemple, l ensemble des nombres compris entre 0 et 65 s appelle l intervalle [0 ; 65]

10 Chapitre 1 Fonctions II COURS page II-3 3 Ensemble de définition Exemple : soit la fonction h : x 5 x Définition : Un ensemble de définition d une fonction f est un ensemble de nombres tel qu on peut calculer l image de tous les nombres de cet ensemble. Exemple : Pour la fonction h ci-dessus, on peut prendre comme ensemble de définition l intervalle [3 ; 7] ou l ensemble IR {} ; on ne peut pas prendre comme ensemble de définition l intervalle [0 ; 7] car est dans cet intervalle et f() n existe pas. Propriété Pour une fonction f, tout nombre de son ensemble de définition a une image et une seule ; un nombre peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents. Résolution graphique d équations f(x) = k et d inéquations f(x) < k (ou, ou >, ou ) Exemple : une fonction f est représentée ci-dessous. A B y = 1 C Résolution graphique de l équation f(x) = 1 On trace la droite d équation y = 1. Cette droite coupe la courbe en trois points A, B, C Les solutions de l équation f(x) = 1 sont les abscisses de ces trois points :, 5. Résolution graphique de l inéquation f(x) < 1 On observe la portion de la courbe qui est en dessous de la droite d équation y = 1. Les solutions de l équation f(x) < 1 sont les abscisses des points de cette portion de la courbe. Donc l ensemble des solutions de l équation f(x) < 1 est l intervalle [, 5 ; ]. 5 Résolution graphique d inéquations f(x) < g(x) (ou, ou >, ou ) Explications et exemples : voir exercices 8 et 9 page manuel Transmath de, Nathan 010

11 Chapitre 1 Fonctions III ALGORITHMIQUE page III-1 III Algorithmique 1 Une fonction f est définie par f(x) = x 3 +5x 7 1. Calculer f(0) et f() : f(0) = f() = Nous allons maintenant utiliser un algorithme, dans le logiciel AlgoBox, qui calcule l image d un nombre par cette fonction f et affiche le résultat. Ouvrir le logiciel AlgoBox. On voit alors au milieu de la fenêtre ce qui est en dessous. VARIABLES DEBUT_ALGORITHME FIN_ALGORITHME 3. Enregistrer le fichier : cliquer en haut à gauche sur le menu Fichier cliquer sur Sauver nommer le fichier algo-ex-1-calcul-image. Nous allons compléter pour obtenir ceci : 1 VARIABLES x EST_DU_TYPE NOMBRE 3 y EST_DU_TYPE NOMBRE DEBUT_ALGORITHME 5 LIRE x 6 y PREND_LA_VALEUR pow(x,3)+5*x-7 7 AFFICHER y 8 FIN_ALGORITHME L expression pow(x,3) signifie x 3 Explications pour saisir ce programme AlgoBox VARIABLES Pour obtenir les variables x et y, cliquer chaque fois sur le bouton en bas à gauche + Déclarer nouvelle variable Quand toutes les variables sont déclarées, on peut saisir l algorithme ALGORITHME Pour obtenir une nouvelle ligne, cliquer chaque fois sur le bouton à droite Nouvelle ligne Pour saisir une ligne commençant par LIRE, cliquer sur le bouton en bas à gauche + Ajouter LIRE variable Pour la ligne y PREND_LA_VALEUR pow(x,3)+5*x-7 cliquer sur le bouton en bas à gauche + AFFECTER valeur à variable et, dans la fenêtre qui s ouvre à droite de La variable : choisir y et à droite de prend la valeur : saisir pow(x,3)+5*x-7 Pour la ligne AFFICHER y, cliquer sur le bouton en bas au milieu, + Ajouter AFFICHER variable et, dans la fenêtre qui s ouvre, à droite de La variable : choisir y 5. Exécution du programme (a) Cliquer sur le bouton à droite Tester Algorithme, (b) puis dans la fenêtre qui s ouvre, cliquer sur le bouton à droite Lancer Algorithme (c) Comme valeur de x, saisir d abord 0. (d) On voit le résultat dans le rectangle gris foncé en bas. Vérifier. (e) Faire encore un essai avec pour vérifier. 6. Utiliser cet algorithme pour compléter le tableau ci-dessous. x f(x) = x 3 + 5x 7

12 Chapitre 1 Fonctions III ALGORITHMIQUE page III- Nous allons créer maintenant dans AlgoBox un nouvel algorithme qui calcule le volume d un cône de rayon de base r et de hauteur h. Rappel de la formule : V = πr h Avec la calculatrice, calculer le volume du cône lorsque le rayon est 5 cm et la hauteur 7 cm. V = Dans AlgoBox cliquer en haut à gauche sur le menu Fichier ; cliquer sur Nouveau ; enregistrer le fichier sous le nom algo-ex--volume-cone 3. Créer ensuite l algorithme demandé. 1. Ouvrir le fichier algo-ex-3-test-image.alg. On voit l algorithme 1 ci-dessous. Que fait cet algorithme et à quoi sert-il? Ouvrir le fichier algo-ex-3-calculs-5-images.alg. On voit l algorithme ci-dessous. Que fait cet algorithme et à quoi sert-il? VARIABLES x EST_DU_TYPE NOMBRE 3 y EST_DU_TYPE NOMBRE z EST_DU_TYPE NOMBRE 5 DEBUT_ALGORITHME 6 LIRE x 7 LIRE z 8 y PREND_LA_VALEUR pow(x,3)+5*x-7 9 SI (z==y) ALORS 10 DEBUT_SI 11 AFFICHER "juste" 1 FIN_SI 13 SINON 1 DEBUT_SINON 15 AFFICHER "faux" 16 FIN_SINON 17 FIN_ALGORITHME 1 VARIABLES y EST_DU_TYPE NOMBRE 3 x EST_DU_TYPE NOMBRE DEBUT_ALGORITHME 5 POUR x ALLANT_DE - A 6 DEBUT_POUR 7 y PREND_LA_VALEUR pow(x,3)+5*x-7 8 AFFICHER "x = " 9 AFFICHER x 10 AFFICHER " y = " 11 AFFICHER y 1 FIN_POUR 13 FIN_ALGORITHME Dans un cinéma la place pour un adulte coûte 10eet la place pour un enfant coûte 6e. Ce cinéma contient 100 places. La recette est égale à 800e. Combien peut-il y avoir d adultes et d enfants? Pour chercher, on pourra créer un algorithme, nommé par exemple cinema qui calcule la recette totale, puis utiliser plusieurs fois cet algorithme pour faire des essais.

13 Chapitre 1 Fonctions III ALGORITHMIQUE page III-3 5 Romain a trois ans de plus que Maëva, et Chloé a neuf ans de plus que Romain Créer un algorithme nommé par exemple somme-des-ages qui calcule la somme des âges des trois personnes.. La somme des âges des trois personnes peut-elle être égale à 111? Si la réponse est oui, donner les âges des trois personnes. 3. La somme des âges des trois personnes peut-elle être égale à 130? Si la réponse est oui, donner les âges des trois personnes. Dans une salle de spectacle, toutes les rangées de sièges ont le même nombre de sièges, et le nombre de rangées est égal au nombre de sièges par rangée, par exemple 9 rangées de 9 sièges, ou 0 rangées de 0 sièges, etc. Si on fait des travaux, et qu on augmente de 10 le nombre de sièges de chaque rangée, et qu on diminue de 9 le nombre de rangées, est-ce qu on augmente le nombre total de places? 7 1. Créer un algorithme, nommé par exemple rangees-et-sieges, qui demande le nombre de rangées avant les travaux, et qui calcule le nombre de sièges après les travaux.. Faire des essais pour répondre à la question de départ. Faire l exercice 1 p 13 du manuel Transmath en complétant le tableau ci-dessous. a b 3 n c a b n

14 Chapitre 1 Fonctions IV TABLEUR ET CALCULATRICE page IV-1 IV Tableur et calculatrice 1 Résolution approchée d une équation sur tableur Un tube cylindrique transparent est gradué en cm de 6 à +16. Il est placé verticalement et dans ce tube une petite bille légère se déplace (verticalement). La fonction h ci-dessous indique la hauteur de la bille dans le tube en fonction du temps t en secondes. t t3 30t 600t ce qui revient à t (t 3 30t 600t ) Problème à résoudre : à quels instants exacts la bille est-elle à 10 cm de hauteur. Les étapes ci-dessous donnent des indications pour résoudre le problème avec le tableur OpenOffice, puis avec le logiciel graphique GeoGebra 1. Calculer d abord la hauteur de la bille à 0 s, 10s, 0 s, 30 s, 0s. Arrondir les résultats au dixième près.. D après les résultats précédents compléter le tableau ci-dessous. Temps t en secondes Hauteur h(t) en cm 3. Dans le tableur OpenOffice nous allons reproduire le tableau ci-dessus, mais verticalement. (a) Recopier ceci : (b) Dans la cellule B, saisir la formule =(A 3-30*A -600*A+13000)/1000 (c) Sélectionner les cellules A et A3, puis tirer vers le bas jusqu à A7. On doit alors avoir la liste verticale 0 ; 10 ; 0 ; 30 ; 0 ; 50 (d) Cliquer sur la cellule B, puis tirer vers le bas jusqu à B7.. Utiliser ce procédé dans le tableur pour résoudre le problème, en faisant d autres tableaux de valeurs. 5. Dans le logiciel GeoGebra, nous allons faire tracer la représentation graphique de la fonction h. (a) Après avoir ouvert le logiciel, dans le menu Affichage, cocher Grille. (b) Faire un clic droit et dans le menu contextuel, cliquer sur Zoom, puis sur Zoom 5 %. (c) Faire un autre clic droit, cliquer sur axe X : axe Y, puis cocher : 1. (d) Dans le grand rectangle blanc, tout en bas, saisir ceci : Fonction[(x^3-30 x^ x ) / 1000, -50, 100] On devrait voir alors la représentation graphique de la fonction h. 6. Utiliser cette représentation graphique pour résoudre le problème de départ.

15 Chapitre 1 Fonctions IV TABLEUR ET CALCULATRICE page IV- Représentation graphique d une fonction à la calculatrice Le but de cet exercice est de tracer à l écran de la calculatrice la représentation graphique de la fonction f de l exercice. On rappelle que x représente la distance en km parcourue par une voiture. La fonction f : x 0, 08x + 50 donne le volume de carburant qui reste dans le réservoir après x kilomètres parcourus. La représentation graphique avait déjà été tracée. Mode d emploi de la calculatrice Pour la TI 8 stats, voir aussi la notice page À FAIRE : donner le lien sur L Internet 1. Appuyer sur la touche f(x) = ou Y = Compléter pour obtenir ceci : Y1=-0.08X+50 Le signe moins est celui ci : (-) ou +/- et la lettre X est obtenue avec la touche x, t, θ, n. Appuyer sur la touche fenêtre ou window Compléter pour obtenir ceci : Xmin=-10 Xmax=800 Xgrad=100 Ymin=-10 Ymax=60 Ygrad=10 Xrés=1 3. Appuyer sur la touche graphe La représentation graphique apparaît à l écran.. Appuyer sur la touche zoom Le curseur est sur 1 :Zboîte Appuyer sur la touche entrer. Placer le point clignotant en un endroit de l écran. Appuyer sur la touche entrer. Déplacer le point jusqu à obtenir le rectangle qui convient. Appuyer sur la touche entrer.

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