Échantillonnage. I Rappels sur les lois usuelles 2

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1 BTS DOMOTIQUE Échatilloage Échatilloage Table des matières I Rappels sur les lois usuelles 2 II Approximatios de la loi biomiale 2 II.1 Approximatio par la loi de poisso II.2 Approximatio par la loi ormale III Lois limites 4 III.1 Loi faible des grads ombres III.2 Théorème de la limite cetrée III.3 Applicatio : lois d échatilloage III.3.1 Loi d échatilloage des moyees III.3.2 Loi d échatilloage des fréqueces

2 BTS DOMOTIQUE Échatilloage I Rappels sur les lois usuelles Voici u tableau récapitulatif représetat les pricipales formules des lois usuelles vues e première aée : Das toutes les formules, o ap +q = 1 c est-à-direq = 1 p). Loi Notatio Formule Espérace Variace Loi de Beroulli Bp) PX = 1) =p ;PX = 0) =q EX) =p V X) =pq) Loi Biomiale B;p) PX =k) =C k p k q k EX) =p V X) =pq) Loi de Poisso Pλ) PX =k) =e λλk k! EX) =λ V X) =λ Loi Normale N m;) fx) = 1 2π e 1 2 x m ) 2 EX) =m V X) = 2 Cetrée réduite N 0; 1) fx) = 1 2π e 1 2 x2 EX) = 0 V X) = 1 II Approximatios de la loi biomiale II.1 Approximatio par la loi de poisso O admet le résultat suivat : Propriété 1 Pour«assez grad» etp«proche» de 0 tels quep1 p) e soit «pas trop grad», o peut approcher la loi biomialeb,p) par la loi de poissopλ) oùλ =p. O coviet de faire cette approximatio pour>30,p 0, 1 etp1 p) 10. Exemple 1 Das ue chaîe de fabricatio, 5% des pièces sot défectueuses ; o prélève ue pièce, o examie si elle est défectueuse et o la replace parmi les autres. O répète 120 fois cette expériece. O désige parx la variable aléatoire qui à chaque tirage de 120 pièces associe le ombre de pièces défectueuses. 1. Justifier que X suit ue loi biomiale, e préciser les paramètres. 2. CalculerP X = 5). 3. Motrer qu ue approximatio de la loi biomiale par ue loi de poisso coviet. 4. CalculerP X = 5) à l aide de cette approximatio. 5. Comparer pour apprécier la qualité de l approximatio. -2-

3 BTS DOMOTIQUE Échatilloage Solutio : 1. Pour chaque tirage, o a deux résultats possibles : ou bie la pièce est défectueuse avec ue probabilité dep=0, 05 ; ou bie elle e l est pas avec ue probabilité deq= 1 p = 0, 95. O effectue 120 tirages de maière idépedate. O peut doc coclure quex suit la loi biomialeb120; 0, 05). 2.P X = 5) =C , 055 0, = 0, O a>30 ;p<0, 1 etp1 p) = 5, 7<10. O peut doc faire ue approximatio grâce à la loi de poissop120 0, 05) =P6) O obtiet :P X = 5) =e = 0, ! 5. La loi de poisso doe la même valeur à 10 2 près, ce qui est ue boe approximatio. II.2 Approximatio par la loi ormale Propriété 2 Pour«assez grad» et pourp«i proche de 0 i de 1» tels quep1 p) e soit «pas trop petit», o peut approcher la loi biomialeb;p) par la loi ormalen m;) oùm =p et= p1 p). O coviet de faire cette approximatio pour 50,p 50 etp1 p)>10. Exemple 2 O lace 300 fois ue pièce de moaie truquée ce qui costitue ue partie. La probabilité d obteir «face» est 2 3. O désige parx la variable aléatoire qui à chaque partie associe le ombre de «face» obteus. 1. Justifier que X suit ue loi biomiale, e préciser les paramètres. 2. Peut-o calculer simplemetp X> 210)? 3. Motrer qu ue approximatio de la loi biomiale par ue loi ormale se justifie. 4. CalculerP X> 210) à l aide de cette approximatio. Solutio : 1. Pour chaque jet, o a deux résultats possibles : ou bie o obtiet «face» avec ue probabilité dep= 2 3, ou bie o obtiet «pile» avec ue probabilité deq= 1 p = 1 3. O lace 300fois la pièce de maière idépedate. O peut doc coclure quex suit la loi BiomialeB 300; 3) 2. 2.P X> 210) = 300 i=211c i i O a 50,p = 2 3 etp1 p) = 66, 66>10. O peut doc faire ue approximatio par la loi ormalen 4. O utilise le chagemet de variablet = P X> 210) =P 8, 16T + 200>210) =P T> 1, 22) = 1 P T 1, 22) = 1 0, 8888 = 0, i, la calculatrice e peut pas toujours effectuer u tel calcul ; X 200.T suit la loi ormalen 0, 1). 8, 16 ) =N 200; 8, 16). -3-

4 BTS DOMOTIQUE Échatilloage III Lois limites III.1 Loi faible des grads ombres Propriété 3 SoitX 1,X 2,...,X variables aléatoires idépedates ayat même espéracemet même écart-type et soitx = X 1 +X 2 + +X, alors : Pour toutǫ>0, lim + P X m <ǫ) = 1. Cocrètemet, ce théorème sigifie que plusest grad plus la variable aléatoirex se rapproche de l espérace mathématique m. Exemple 3 O lace u dé. Si o obtiet 6, c est gagé et o marque 1 poit. Sio, c est perdu et o marque 0 poit. SoitX i la variable aléatoire correspodat au ombre de poit obteu lors dui ième lacer. O a doc :P X = 0) = 5 6,P X = 1) = 1 6 etex) = 1 6. O répètefois cette même expériece, lesvariables aléatoiresx 1,X 2,...,X ot la même loi de probabilité. Pour coaitre le ombre de succès, o étudie la variable aléatoirex : «Fréquece des succès» Nombre de succès avecx = Nombre d expérieces aléatoires =X 1 +X 2 + +X. Normalemet, o devrait trouverx = 1 6. Pour = 3 par exemple, il y a peu de chace pour que l o trouvex 3 = 1 6. Pour = 30, la probabilité de trouverx 30 = 1 6 augmete sas être très forte. Pour = 1000, o se rapproche de cette valeur de 1 6. Le théorème dit que plusest grad, plusx se rapproche de la valeur théorique 1 6. III.2 Théorème de la limite cetrée Propriété 4 SoitX 1,X 2,...,X variables aléatoires idépedates ayat même espéracemet même écart-type et soitx = X 1 +X 2 + +X, alors : Poursuffisammet grad,x suit approximativemet la loi ormalen m, ). Remarque 1 Das la plupart des cas, o cosidère queest «suffisammet grad» lorsqueatteit quelques dizaies, par exemple lorsque 30, mais cela déped de la ature, de la populatio et du cotexte de l étude -4-

5 BTS DOMOTIQUE Échatilloage III.3 Applicatio : lois d échatilloage E statistiques, il est e gééral impossible d étudier u caractère sur toute ue populatio de taille N élevée. La théorie de l échatilloage se pose la questio suivate : E supposat cous les paramètres statistiques de la populatio, que peut-o e déduire sur les échatillos prélevés das la populatio? O suppose que ces échatillos sot prélevés au hasard et que le tirage de ces échatillos est effectué avec remise. L esemble de ces échatillos de taille est appelé échatilloage de taille. O peut étudier das ces coditios : la loi d échatilloage des moyees, la loi d échatilloage des fréqueces, III.3.1 Loi d échatilloage des moyees État doé ue populatio de taillen etx ue variable aléatoire telle queex) =m etx) =. Pour prélever les échatillos de taille, o a procédé à épreuves idépedates de variables aléatoires X 1,X 2,...,X de même loi quex. La variable aléatoirex = X 1 +X 2 + +X associe à tout échatillo de taille sa moyee. D après le théorème de la limite cetrée, pourassez grad, o a : Propriété 5 La loi d échatilloage de taillede la moyeex quad 30, peut être approchée par la loi ormale N m, ). Exemple 4 Ue machie fabrique des pièces e grade série. A chaque pièce tirée au hasard, o associe sa logueur exprimée e millimètres ; o défiit aisi ue variable aléatoire X. O suppose quex suit la loi ormaln 28, 20; 0, 027). SoitM la variable aléatoire qui à tout échatillo aléatoire de tailleassocie la moyee des logueurs despièces de l échatillo. La propriété ous dit alors que pourassez grad,m suit la loi ormalen m, ) soitn Supposos que les échatillos soiet de taille 100, alorsm 100 suit la loin 28, 20; 0, 0027). 0, , 20; ). III.3.2 Loi d échatilloage des fréqueces O étudie, das ue populatio de taillen, u caractèrex suivat ue loi de beroullibp), c est-à-dire que les élémets possèdet ue certaie propriété d fréquece p. Das u échatillo de taille, o répètefois la même épreuve de faço idépedate. O obtiet variables aléatoiresx 1,X 2,...,X de même loi quex. -5-

6 BTS DOMOTIQUE Échatilloage La variable aléatoiref = X 1 +X 2 + +X sur cet échatillo. associe à tout échatillo de taille la fréquece de succès Propriété 6 La loi d échatilloage de taillede la fréquecef pour«assez grad» peut être approchée par p1 p) la loi ormalen p;. O coviet de dire queest «assez grad» lorsque 50. Remarque 2 Ce résultat est u cas particulier du précédet e l appliquat àm =p et= p1 p) Exemple 5 Ue ure cotiet 100 boules umérotées de 1 à 100, idiscerables au toucher. Lors d u tirage aléatoire d ue boule, la probabilité d obteir u ombre iférieur ou égal à 37 estp = 0, 37. O appelle succès l évéemet qui cosiste à tirer ue des boules umérotées de 1 à 37. U échatillo de taille 50 est obteu par u tirage aléatoire, avec remise, de 50 boules. O s itéresse à la fréquece d apparitio d u succès lors du tirage de ces 50 boules. Soitf 50 la variable aléatoire qui à chaque échatillo de taille 50 associe sa fréquece de succès. X i est la variable aléatoire qui à chaque échatillo associe 1 si lai ième boule apporte u succès,o sio. LesX i sot des variables aléatoires idépedates et suivet le même loi de Beroulli de paramètrep=0, 37 d espéraceex i ) = 0, 37 et d écart-typex) = p1 p) = 0, 48. O af 50 = X 1 +X 2 + +X , 37 0, 63 qui a pour espérace mathématique p = 0, 37 et pour écart-type = 0,

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