Exercices de Traitement d Image

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1 INP Grenoble Traitement d images ENSIMAG 2003/2004 2ème année Transformée de Fourier Exercices de Traitement d Image Exercice 1 Calculer la transformée de Fourier des fonctions suivantes définies sur IR : f(x) = e πx2, f(x) = e x, f(x) = e x x2, f(x) = x2 a 2 Exercice 2 Calculer la transformée de Fourier des distributions : δ, 1, cos(2πkx) Exercice 3 Calculer la transformée de Fourier bidimensionnelle des fonctions : f(x, y) = e π(x2 +y 2), f = 1 sur [0, 1] 2 et 0 sinon, f(x, y) = cos(2πky) Exercice 4 Soit g une fonction de L 2 (IR 2 ). On pose :f(x, y) = g( y, x). Montrer que la transformée de Fourier de f vérifie : ˆf(ω 1, ω 2 ) = ˆf( ω 2, ω 1 ), ω 1, ω 2 IR Sous-échantillonnage, sur-échantillonnage Exercice 5 Sous-échantillonnage On considère un signal discret infini (f[n]) n ZZ. La Transformée de Fourier Discrète de ce signal est définie par la série : On décime le signal f : soit M IN, et g[n] = f[nm] pour n ZZ. Montrer que ˆf(ω) = f[n] e iωn (1) n ZZ ĝ(ω) = 1 M M 1 k=0 (Indication : partir du membre de droite de l égalité) A quel théorème ce résultat vous fait-il pensez? ˆf( ω 2kπ M ) 19

2 Exercice 6 Interpolation d image par FFT Soit (F nm ) 0 n,m N 1 une image numérique (réelle) de taille N N. On souhaite agrandir cette image en doublant sa taille et sa résolution. On imagine alors la méthode suivante : 1. Décomposition de l image F sur la base de Fourier discrète 2D, en utilisant l algorithme de FFT 2D.On obtient alors une matrice de coefficients ˆF de taille N Plongement de la matrice ˆF dans une matrice Ĝ de taille 4N2 en ajoutant des zéros correspondant à des coefficients de haute fréquence. 3. FFT 2D inverse de la matrice Ĝ pour obtenir une image G de taille 4N2. 1. Décrire complètement l étape 1 et donner l expression des coefficients ˆF. 2. En utilisant les symétries de la Transformée de Fourier Discrète d une image réelle, expliquer exactement comment doit être contruite la matrice Ĝ. 3. Donner la relation entre G et F et vérifier que la méthode utilisée est une méthode permettant d interpoler l image F. Convolution, filtrage Exercice 7 On considère l image : (2) représentant un modèle de bord oblique. On cherche un filtre de détection du bord de cette image. 1. Donner deux exemples de filtres capables de détecter ce bord : le premier en vous inspirant des opérateurs différentiels d ordre 1 ; le deuxième en vous inspirant des opérateurs différentiels d ordre Pour chacun des deux exemples choisis, calculer la matrice filtrée. Commenter, dans chacun des cas, comment se fait la détection du bord en pratique. Commentaires? Exercice 8 Soit f et g deux fonctions de variable réelle, 2π-périodiques, intégrables sur leur période. On pose h = f g où le produit de convolution périodique est défini par : h(x) = (f g)(x) = 1 2π f(x t)g(t)dt 2π 0 1. Montrer que h est définie presque partout, 2π-périodique, intégrable sur sa période. 2. Calculer les coefficients de Fourier de h en fonction de ceux de f et g. Exercice 9 Soit a, b > 0. 20

3 1. Calculer la transformée de Fourier de la fonction h(x) = e πax2 e πbx2 où f g désigne le produit de convolution : f g(x) = f(y)g(x y)dy 2. En déduire que h(x) = λe πcx2 où λ et c sont des constantes à déterminer. Exercice 10 Soit (f[n, m]) n,m=0,n 1 une image de taille N 2. On rappelle la formule de sa Transformée de Fourier Discrète : ˆf[k 1, k 2 ] = N 1 N 1 n=0 m=0 f[n, m] exp( 2iπ k 1n + k 2 m ), k 1, k 2 = 0, N 1 N On prolonge l image f[n, m] par périodisation, i.e. on définit : F[n, m] = f[nmod[n], mmod[n]] n, m ZZ On appelle convolution circulaire de deux images f et g de taille N 2 périodisées : f g[n, m] = N 1 p=0 N 1 q=0 F[p, q]g[n p, m q], n, m ZZ 1. Montrer que f g est une image périodique. 2. Montrer que la transformée de Fourier Discrète de h = f g vérifie : ĥ[k 1, k 2 ] = ˆf[k 1, k 2 ]ĝ[k 1, k 2 ] Exercice 11 Transformée en Z bidimensionnelle On définit la transformée en Z d une suite x = (x[n]) n ZZ par : X(z) = n=+ n= x[n]z n, z lc (3) 1. Soit x = n= x[n]δ na. On rappelle que la distribution δ na (masse de Dirac au point na, a > 0) n= admet comme transformée de Fourier au sens des distributions : δ na (ω) = e 2iπωna Trouver la relation liant ˆx à X. 2. On suppose maintenant que x = y z où * désigne le produit de convolution discrète 1D entre les deux suites y = (y[n]) n ZZ et z = (z[n]) n ZZ. Montrer que : X(z) = Y (z)z(z) où X, Y, Z désignent les transformées en Z respectives des suites x, y, z. 3. Soit une image infinie F = (F[n, m]) n,m ZZ 2. On appelle transformée en Z bidimensionnelle de F la fonction : F(z 1, z 2 ) = n=+ m=+ n= m= F[n, m]z n 1 z m 2, z 1, z 2 lc 21

4 On considère que F est une image séparable, F[n, m] = h[n]g[m]. Montrer qu alors F s écrit comme le produit d une fonction de z 1 par une fonction de z 2. A quoi correspondent-elles? Exercice 12 Filtrage bidimensionnel On considère le filtrage en série suivant : y[k, l] = x[k 1, l] + 2 x[k, l] + x[k + 1, l] z[k, l] = y[k, l 1] + 2 y[k, l] + y[k, l + 1] 1. Calculer le filtre bidimensionnel g associé tel que z = g x, où représente la convolution 2D. 2. Soit G la transformée en Z bidimensionnelle du filtre g. Montrer que : G(z 1, z 2 ) = H(z 1 )H(z 2 ) où H est la transformée en Z (équation 3) associée au filtre h = [1 2 1]. Calculer alors G. Exercice 13 Filtre à réponse impulsionnelle infinie Le but de cet exercice est de trouver le filtre associé à la transformation de l image infinie x (entrée) en l image infinie y (sortie) selon le schéma suivant: K k=0 p=0 P b[k, p]y[n k, m p] = K P k =0 p =0 a[k, p ]x[n k, m p ] 1. Effectuer la transformée en Z bidimensionnelle de chaque membre. En déduire l expression de H tel que : Y (z 1, z 2 ) = H(z 1, z 2 )X(z 1, z 2 ) 2. Soit h la réponse impulsionnelle associée à la fonction de transfert H. On suppose que le filtre h est réalisable, i.e. h[n, m] = 0 si n < 0 où m < 0. Montrer que, dans ce cas, on a : n 0 et m 0 n m b[n k, m p]h[k, p] = a[n, m] k=0 p=0 3. En déduire une formule de récurrence permettant le calcul de h[n, m] dans le cas où a[0, 0] n est pas nul. 4. Soit H défini par : 1 + z 1 H(z 1, z 2 ) = Identifier a et b. Montrer que h vérifie la relation : h[n, m] = b[n, m] n m k=1 p= z z 1 2 a[k, p]h[n k, m p] h[n 1, m] + 1 h[n, m 1] 4 En supposant toujours que le filtre h est réalisable, montrer par récurrence que l on peut calculer tous les coefficients du filtre h. 22

5 Détection de contours Exercice 14 Construction de filtre Donner un exemple de filtre discret (sous forme d une matrice 3 3) permettant d approcher l opérateur Quelle va être l utilisation en pratique de ce filtre? f x + f y Exercice 15 Détection de contours par DOG 1. On considère la gaussienne 1D d écart type σ : et la différence de deux gaussiennes : g σ (x) = 1 σ x 2 2π e 2σ 2 dog σ (x) = g σ (x) g σ+δσ (x) où δσ est un paramètre petit. Calculer g σ (x). Facultatif : Montrer que si δσ est petit (Indication : faire un développement limité en δσ), on a l approximation : 2πdogσ (x) g σ(x) 2. Soit une image (continue) F(x, y). Les contours de F vont être localisés par les passages par 0 du laplacien de l image lissée par une gaussienne 2D : G σ (x, y) = 1 σ x 2 +y 2 2π e 2σ 2 a) Calculer G σ = 2 G σ x G σ y 2. b) Montrer que (F G σ ) = F G σ, où * désigne la convolution continue 2D. c) On pose DOG σ (x, y) = G σ (x, y) G σ+δσ (x, y) Montrer que si δσ est petit, on a l approximation : 2πDOGσ (x) G σ (x, y) d) En déduire une méthode rapide pour calculer (F G σ ). Exercice 16 Filtrage multi-échelle par dérivée seconde de Gaussienne Dans ce qui suit la transformée de Fourier d une fonction f est notée ˆf et est égale à (si f L 1 (IR)): ˆf(ν) = f(x)e 2iπνx dx Soit ψ L 1 (IR) L 2 (IR) une fonction à valeurs réelles. Pour a > 0 on pose : ψ a (x) = 1 a ψ( x a ) 1. Calculer la transformée de Fourier de ψ a en fonction celle de ψ. 23

6 2. Pour une fonction f L 2 (IR), on définit le filtrage de f à l échelle a par les coefficients : W(a, x) = (f ˇψ a )(x) en posant ˇψ(x) = ψ( x). Vérifier que le coefficient W(a, x) est bien défini pour tout a > 0 et tout x IR. 3. Montrer que : En déduire que : où c ψ est égal à : W(a, x) 2 dx = a f(ν) 2 ψ(aν) 2 dν f(x) 2 dx = c ψ 0 W(a, x) 2da a 2 dx c ψ = 0 ˆψ(ξ) 2 dξ ξ 4. On suppose que ψ(x)dx = 0. Montrer que les hypothèses sur la fonction ψ impliquent que la constante c ψ de la question 3 est bien définie. 5. Exemple : Soit θ(x) = e πx2 et soit ψ la fonction définie par ψ(x) = θ (x). Calculer les expressions de ψ et ˆψ. En déduire que ψ vérifie les hypothèses de la question Montrer que W(a, x) = 1 d 2 a 2 dx 2(f θ a)(x) où θ a (x) = 1 a θ( x a ) Que représentent les coefficients W par rapport à la fonction f? Quel est le rôle du paramètre a? 7. Ecrire un algorithme permettant de calculer en pratique les coefficients W(a, x). Décomposition d images Exercice 17 Base continue de cosinus IV Montrer que la famille (g k ) k 0 définie par : g k (t) = 2cos ((k + 12 )πt ), t [0, 1] est une base orthonormée de L 2 ([0, 1]). Indication : pour f L 2 ([0, 1]), on prolongera f en une fonction f de période 4, symétrique par rapport à 0 et antisymétrique par rapport à 1 et 1. Exercice 18 Base discrète de cosinus IV Pour k = 0, N 1, on pose : ( 2 π g k [n] = N cos N (k )(n + 1 ) 2 ) n = 0, N 1 24

7 1. Montrer que la famille {g k ; k = 0, N 1} est une base orthonormée de IR N. 2. En déduire une base orthonormée pour l espace IR N IR N. Donner l expression des formules de décomposition-recomposition d une image f[n, m] de taille N 2 dans une telle base. Exercice 19 Transformée de Hartley Pour t IR, on définit la fonction A - Base continue de Hartley Pour k ZZ on définit la famille : cas(t) = cos(t) + sin(t) g k (t) = cas(2πkt) 1. Montrer que {g k (t); k ZZ} est une famille orthonormée pour le produit scalaire de L 2 (0, 1). 2. Vérifier que pour tout k IN on a : cos(2πkt) = g k(t) + g k (t) 2 et sin(2πkt) = g k(t) g k (t) 2 3. En déduire que toute fonction f L 2 (0, 1) s écrit : f(t) = c k cas(2πkt) k ZZ où les coefficients c k sont des coefficients réels que l on explicitera. B - Base Discrète de Hartley Soit N un entier divisible par 2. Pour k = 0, N 1 on définit la famille de vecteurs de IR N : 4. Pour q = 0, N 1, calculer : En déduire N 1 n=0 cos(2πqn N ) et N 1 5. Montrer que la famille de vecteurs g k [n] = cas( 2πkn ), n = 0, N 1 N n=0 sin(2πqn N 1 n=0 N ). e 2iπqn N {(g k [n]) n=0,n 1 ; k = 0, N 1} est une base orthonormée de IR N, muni du produit scalaire euclidien. 6. Soit (f[n]) n IR N un vecteur de IRN. En utilisant sa transformée de Fourier discrète inverse : f[n] = N/2 k= N/2+1 ˆf k e 2iπkn N, montrer que (f[n]) est combinaison linéaire des (g k [n]). (Indication : décomposer ˆf k = a k + ib k où a k et b k sont réels). En déduire un algorithme rapide, basé sur la FFT, pour calculer les coefficients de (f[n]) sur la base (g k [n]). 25

8 C - Décomposition de Hartley d une image Soit F[n, m] une image de taille N Montrer que l on a : F[n, m] = 1 N N 1 N 1 k 1 =0 k 2 =0 ˆF(k 1, k 2 ) cas(2π k 1n + k 2 m ), n, m = 0, N 1 N où l on explicitera les coefficients ˆF(k 1, k 2 ) en fonction des F[n, m]. Exercice 20 Décomposition de Haar Soit H 4 la matrice : H 4 = Montrer que H 4 est la matrice de décomposition de Haar dans IR 4 (à une constante multiplicative près). 2. En déduire l expression de H Donner l expression de H 2 J, matrice de la décomposition de Haar dans IR 2J, et celle de son inverse H 1 2 J. Exercice 21 Compression d image par le format JPEG Soit F = (F nm ) 0 n,m 31 une image numérique de taille 32x32 valant : F nm = 1 pour (n = 8, 23 et m = 6, 19) et 0 sinon. 1. Expliquer la décomposition DCT par blocs utilisée dans le format JPEG et calculer cette décomposition pour l image F. 2. On comprime F au format JPEG en ne retenant que 16 coefficients dans la décomposition précédente. Ecrire la matrice de coefficients retenue et calculer le taux de compression correspondant. 3. Calculer l image comprimée F et calculer l erreur l 2 obtenue avec l image originale. 26