2 Un cas particulier : valeurs propres d une matrice triangulaire.

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1 F. HECHNER, ÉCÉ, Collège Épiscopal Saint Étienne Année Fiche Méthode : Trouver les valeurs propres de A (ou de f) On commence par rappeler les définitions du cours. On donne ensuite les principales techniques pour attraper les valeurs propres : la méthode pour les matrices triangulaires (il suffit de savoir lire) ; la méthode du pivot de Gauss, qui marche tout le temps mais est un peu lourde ; les méthodes à utiliser quand il faut juste faire des vérifications ; l utilisation d un polynôme annulateur ; enfin, le cas particulier de la valeur propre 0, et l astuce des matrices stochastiques. Rappel des définitions Dans la suite, E désigne un espace vectoriel de dimension finie ; f désigne un endomorphisme de E et A désigne une matrice carrée. Un réel λ est une valeur propre de f (resp. de A) s il existe un vecteur x E non nul (resp. une matrice colonne X non nulle) tel que f( x) = λ x (resp. AX = λx). Autrement dit λ est une valeur propre de f si l équation f(x) = λx a au-moins une solution non nulle, c est-à-dire si f λi n est pas injective. De même, λ est une valeur propre de A si l équation AX = λx a au-moins une solution non nulle, c est-à-dire si A λi n est pas inversible. Un vecteur x de E (resp. un vecteur colonne X) est un vecteur propre de f (resp. de A) s il est non nul et si il existe un réel λ tel que f( x) = λ x (resp. AX = λx). Le sous-espace propre associé à la valeur propre λ est l ensemble des vecteurs x (resp. l ensemble des matrices colonnes X) tels que f( x) = λ x (resp. AX = λx). Il est donc formé des vecteurs propres et du vecteur nul! Si A est la matrice de f dans une base de E, les valeurs propres de A sont les mêmes que celles de f, et les vecteurs propres de A sont les vecteurs colonnes dont les composantes sont celles des vecteurs propres de f. On appelle spectre de f (ou de A) l ensemble des valeurs propres de f (ou de A). Rappelons qu une matrice carrée d ordre n a au maximum n valeurs propres distinctes, et que la somme des dimensions des espaces propres ne peut pas excéder n. Sur cette fiche, je ne m intéresse qu aux valeurs propres. Suivront une fiche sur les vecteurs propres et une sur la diagonalisabilité. Un cas particulier : valeurs propres d une matrice triangulaire. Si A est une matrice triangulaire (qu elle soit triangulaire inférieure, triangulaire supérieure, ou même diagonale), les valeurs propres de A sont ses coefficients diagonaux. Exemple : (D après Écricome 009) Donner les valeurs propres de A := Solution : A est triangulaire supérieure. Ses valeurs propres sont donc ses coefficients diagonaux. Ainsi, le spectre de A est ; ; 3}. /8

2 F. HECHNER, ÉCÉ, Collège Épiscopal Saint Étienne Année Le cas général : utilisation d une réduction de Gauss. En règle général, pour déterminer les valeurs propres d une matrice A, on procède ainsi :. Écrire la matrice B := A λi ;. Effectuer des opérations de Gauss sur les lignes de B pour la rendre triangulaire (généralement triangulaire supérieure). pour mémoire, les opérations de Gauss sont : (a) Échanger deux lignes (L i L j ) ; (b) Multiplier une ligne par une constante non nulle (L i kl i avec k 0) ; (c) Ajouter à une ligne un multiple (éventuellement nul) d une autre ligne : (L i L i + kl j avec k R). 3. Prendre chacun des coefficients diagonaux et trouver pour quel(s) λ il vaut Les valeurs propres sont toutes les valeurs de λ obtenues. En pratique : La première étape consiste (presque) toujours à échanger deux lignes (pour pouvoir ensuite utiliser la première ligne pour annuler les autres coefficients de la première colonne). Attention à ne pas remplacer une ligne par elle-même multipliée par une fonction de λ (même en ajoutant autre chose). Typiquement, faire L ( + λ)l + L est interdit! Mais faire L L + ( + λ)l est autorisé (j espère que vous voyez la nuance. Dans le même ordre d idée, attention à ne pas diviser par une fonction de λ : faire L L + +λ L est interdit, car a priori rien ne dit que + λ 0. si vous voulez vraiment le faire, il faut distinguer des cas (c est généralement inutile dans les sujets. Exemple : (D après ÉM Lyon 03) On considère la matrice A := Déterminer les valeurs propres de A Solution : On procède comme annoncé : λ 0 0 B := A λi = 0 λ 0 0 λ λ On va faire une réduction de Gauss de cette matrice. On amène en haut à gauche un élément non nul ne dépendant pas de λ (et au passage, idem pour la deuxième ligne - deuxième colonne) : on fait L L 4 et L L 3 ce qui transforme B en fais (je ne suis pas obligé) L L pour obtenir 0 0 λ 0 λ 0 0 λ 0. Comme je n aime pas le, je λ λ 0 λ 0 0 λ 0. Je cherche à obtenir une λ 0 0 première colonne nulle (à l exception du ). Il suffit ici de faire L 4 L 4 + λl. Je peux même, ici, annuler la deuxième colonne (à l exception du ) en faisant L 3 L 3 +λl. Avec ces deux opérations, /8

3 F. HECHNER, ÉCÉ, Collège Épiscopal Saint Étienne Année λ on obtient : 0 λ λ 0. Cette matrice étant triangulaire, on a terminé la réduction de λ Gauss. On regarde pour quelle(s) valeurs de λ il y a au-moins un zéro sur la diagonale de la matrice obtenue. Évidemment, ne s annule pas, il s agit donc de résoudre (séparément) λ = 0 et λ = 0. Or λ = 0 ( λ)( + λ) = 0 λ = ou λ =. (Car un produit de facteur est nul si et seulement si un des facteurs est nul.) [On pouvait aussi dire que les solutions de x = sont et (celles de x = a avec a > 0 sont a et a).] Ainsi, et sont valeurs propres. L équation λ = 0 équivaut à 4 λ = 0, dont les solutions sont et (pour les mêmes raisons que précédemment). Finalement, les valeurs propres de A sont,, et. Exemple 3 : (D après Écricome 00) Soit E un espace vectoriel et B := (e, e, e 3 ) une base de E. Pour tout réel a, on considère l endomorphisme a + (a + ) a f a de E dont la matrice dans la base B est donnée par M a := 0 0, ainsi 0 0 que la fonction polynomiale Q qui à tout réel x associe le réel Q(x) := x 3 (a + )x + (a + )x a. Montrer que le réel λ est valeur propre de f a si et seulement si λ est racine du polynôme Q. Solution! ici aussi, on utilise la méthode générale. Tout d abord, comme M a est la matrice de f a dans une base de E, les valeurs propres de f a sont les mêmes que celles de M a. Cherchons donc celles de M a. a + λ (a + ) a M a λi = λ 0. 0 λ On va faire une réduction de Gauss de cette matrice. On remonte les de façon à les utiliser comme λ 0 pivot. On permute les lignes (L L puis L L 3 ) pour se ramener à 0 λ. a + λ (a + ) a Il reste à annuler les deux premiers coefficients de la troisième ligne de cette matrice. On annule le premier λ 0 en faisant L 3 L 3 (a+ λ)l, ce qui transforme la matrice en 0 λ. 0 λ + λ(a + ) (a + ) a Enfin, on fait l opération L 3 L 3 ( λ + λ(a + ) (a + ))L qui, comme a ( λ + λ(a + ) (a + ))( λ) = λ 3 + (a + )λ (a + )λ + a donne la réduite de Gauss de M a λi : λ 0 0 λ. 0 0 λ 3 + (a + )λ (a + )λ + a On regarde à présent pour quelles valeurs de λ les coefficients diagonaux de cette matrice s annulent. Comme ne s annule pas, les valeurs propres de M a sont exactement les solutions de λ 3 +(a+)λ (a + )λ + a = 0. Compte-tenu de la définition de Q, et du fait que les valeurs propres de M a sont celles de f a, le réel λ est valeur propre de f a si et seulement si λ est racine du polynôme Q. 3/8

4 F. HECHNER, ÉCÉ, Collège Épiscopal Saint Étienne Année Exemple 4 : (D après ÉM Lyon 007) 0 On considère la matrice carrée d ordre 3 : A = 0. Déterminer les valeurs propres de A. 0 Solution : Encore une fois, on utilise la méthode générale. λ A λi = λ. λ On va faire une réduction de Gauss de cette matrice. On peut déjà multiplier toutes les lignes par, λ ce qui supprime le. On permute alors les lignes L et L pour obtenir λ. Les opérations λ λ L L +λl et L 3 L 3 L la transforment en 0 4λ + λ. On échange les 0 + λ λ λ deux dernières lignes et on remarque que 4λ = ( λ)(+λ) : 0 + λ λ 0 ( λ)( + λ) + λ puis on effectue L 3 L 3 ( λ)l pour obtenir la réduite de Gauss : λ λ 0 + λ λ = 0 + λ ( + λ) 0 0 ( + λ) ( λ)( λ) 0 0 ( + λ) [ + ( λ)] λ = 0 + λ ( + λ). 0 0 ( + λ)( λ) On regarde à présent pour quelles valeurs de λ les coefficients diagonaux de cette matrice s annulent. C est le cas quand + λ = 0 donc λ =, et quand ( + λ)( λ) = 0. Comme un produit est nul si et seulement si l un (au-moins) des facteurs est nul, cette quantité s annule pour λ = et λ =. Finalement, les valeurs propres de A sont et. 4 Le cas fréquent : les valeurs propres sont données, il faut juste vérifier Si on vous demande de vérifier qu un λ donné est valeur propre de f (resp. de A), il suffit de résoudre l équation (le système) f(x) = λx (resp. AX = λx) et de vérifier qu il y a au-moins une solution autre que le vecteur nul. On a également besoin de la variante : est-ce qu un λ donné est valeur propre de f (resp. de A). Dans ce cas, on procède de la même façon. Si l équation a au-moins une solution autre que le vecteur nul, alors λ est bien valeur propre, et si seul le vecteur nul est solution, λ n est pas valeur propre! Exemple 5 : (D après ÉM Lyon 0) Soit A =. Montrer que 0, et 4 sont les trois valeurs propres de A. 3 Solution : 4/8

5 F. HECHNER, ÉCÉ, Collège Épiscopal Saint Étienne Année x Montrons que 0 est valeur propre de A. Soit X := y. Alors z x + y + z = 0 x + y + z = 0 AX = 0X AX = 0 x + y + 3z = 0 x = y 3z y 3z + y + z = 0 z = 0. x = y 3z x = y y Ainsi, l ensemble des solutions de AX = 0 est y, y R = Vect. Il n est pas 0 0 réduit au vecteur nul, donc 0 est valeur propre de A. (On a même l espace propre!) x Montrons que est valeur propre de A. Soit X := y. Alors z x + y + z = x y + z = 0 AX = X AX = X x + y + z = y x = y x + y + 3z = z y + z = 0 z = y. x = y y Ainsi, l ensemble des solutions de AX = X est y, y R = Vect. Il n est pas y réduit au vecteur nul, donc est valeur propre de A. (On a même l espace propre!) x Montrons que 4 est valeur propre de A. Soit X := y. Alors z x + y + z = 4x y + z = 3x AX = 4X AX = 4X x + y + z = 4y x + z = 3y x + y + 3z = 4z x + y = z y + x = 3x x = y x + y = 3y. z = x z = x + y x Ainsi, l ensemble des solutions de AX = 4X est x, x R = Vect. Il n est pas x réduit au vecteur nul, donc est valeur propre de A. (On a même l espace propre!) Finalement, 0,, 4 sont trois valeurs propres de A. Comme A a au-plus trois valeurs propres (car A est d ordre 3), on en déduit que 0, et 4 sont les trois valeurs propres de A. 5/8

6 F. HECHNER, ÉCÉ, Collège Épiscopal Saint Étienne Année Exemple 6 : (D après Écricome 0) Soit A = On note P = Montrer que la matrice P peut être considérée comme la matrice de passage de la base canonique de R 3 à une base de vecteurs propres de A. Solution : Il faut déjà remarquer qu il s agit de montrer que chaque vecteur colonne de P est vecteur propre de A, et, au choix, que les trois vecteurs colonne forment une famille libre (car comme ils sont 3 et que l on travaille dans R 3, s il forment une famille libre, ils forment une base), soit que la matrice P est inversible (ce qui prouve que P est une matrice de passage... ). Ici, je me contente de vérifier que chaque vecteur colonne est vecteur propre de A (ce qui revient à déterminer les valeurs propres de A). A. ( ) = =, donc est vecteur propre de A pour la valeur propre. A. ( 0 ) = 0 = 0, donc 0 est vecteur propre de A pour la valeur propre. A. ( 0 ) = 3 = 3, donc est vecteur propre de A pour la valeur propre 3. 3 Finalement,, et 3 sont trois valeurs propres de A, donc, comme A est d ordre A et a au maximum trois valeurs propres, les valeurs propres de A sont, et 3. Pour raconter quand même la fin de l histoire, A a trois valeurs propres distinctes, donc est diagonalisable, ce qui montre que P est bien la matrice de passage de la base canonique à une base de vecteurs propres (des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment toujours une famille libre). 5 Avec des polynômes annulateurs : chercher des valeurs propres possibles. Si f (ou A) vérifie une relation du type P (f) = 0 (ou P (A) = 0), où P est un polynôme, alors les valeurs propres de f (ou A) sont à chercher parmi les racines du polynôme P. Il faut alors tester chaque racine pour voir si elle est bien valeur propre de f (ou A). (Cf la partie précédente!). Exemple 7 : (D après ÉDHEC 0) 0 Soit A = 5 4. Montrer que A 4 = I et en déduire les valeurs propres possibles de A Solution : On calcule A puis A 4 = (A ). On trouve bien I. Ainsi, A 4 = I, donc A 4 I = 0. On en déduit que, en posant P (X) = X 4, on a P (A) = A 4 I = 0 : le polynôme P est donc un polynôme annulateur de A. Les valeurs propres de A sont donc à chercher parmi les racines de P. Comme X 4 = (X ) = (X )(X + ) = (X )(X + )(X + ), et qu un polynôme est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul, les valeurs propres possibles de A sont et. Pour savoir si ce sont vraiment des valeurs propres, il s agit de résoudre AX = X et AX = X et 6/8

7 F. HECHNER, ÉCÉ, Collège Épiscopal Saint Étienne Année de voir si ses équations admettent des solutions autre que la solution nulle. (On trouve, après calculs que est valeur propre, mais pas.) Exemple 8 : (D après ÉDHEC 008) 6 0 Soit A = Déterminer la matrice A(A I) et en déduire les seules valeurs propres possibles de A. Solution : On calcule A I, on élève au carré, puis on multiplie (à gauche) par A, et on trouve la matrice nulle. Ainsi, A(A I) = 0. Ainsi, en posant P (X) = X(X ), on a P (A) = A(A I) = 0 : le polynôme P est donc un polynôme annulateur de A. Les valeurs propres de A sont donc à chercher parmi les racines de P. Comme X(X ) = 0 X = 0 ou (X ) = 0, les valeurs propres possibles de A sont 0 et. On peut alors utiliser les méthodes de la partie précédente et voir que 0 et sont bien valeurs propres de A. 6 Astuces 6. Lien avec l inversibilité Je rappelle qu une matrice A est inversible si et seulement si 0 n est pas valeur propre de A. (On trouve parfois la question A est-elle inversible? [ou f est-elle bijective? ] juste après avoir cherché les valeurs propres de A [ou f] ; c est dans ce cas là que cette méthode sert.) Exemple 9 : (D après ÉDHEC 00) 0 Soit f L(R 3 ) dont la matrice dans la base canonique est A := Donner une base de Ker(f) et en déduire une valeur propre de f ainsi que le sous-espace propre associé. Solution : Un vecteur x := (x, y, z) appartient à Ker(f) si et seulement si f( x) = 0, autrement dit x 0 si et seulement si A. y = 0, c est-à-dire si et seulement si (x, y, z) est solution du système z 0 y + z = 0. Les solutions étant (0, y, y)}, on en déduit que Ker(f) est de dimension et x = 0 qu une base de Ker(f) est ((0,, )). Ainsi, comme Ker(f) 0}, f n est pas injective et donc 0 est une valeur propre de f, le sousespace propre associé étant Ker(f). 6. Astuce à connaître Si toutes les lignes de la matrice A de départ ont même somme, alors cette somme est une valeur propre de A, et le vecteur colonne dont toutes les composantes sont égales à est un vecteur propre associé à cette valeur propre. Attention, il se peut que le sous-espace propre ne soit pas de dimension, mais cette astuce permet parfois de vérifier son résultat, voir plus. 7/8

8 F. HECHNER, ÉCÉ, Collège Épiscopal Saint Étienne Année Exemple 0 : Trouver les valeurs propres de A =. Les trois colonnes de Aétant proportionnelles, Ker A est un sous-espace vectoriel de dimension (une base en est ; ( 0 ) ), donc 0 est une valeur propre d ordre de A. 0 De plus, la somme des termes de chacune des lignes est 3, donc 3 est valeur propre de A, d ordre au-moins et est un vecteur propre de A. Comme la somme des dimensions des sous-espaces propres de A est au plus 3, E 3 est en fait de dimension et on en a trouvé une base. De plus, il est inutile de chercher plus loin, on a tous les éléments propres de A. 8/8