Rappel cours sur le cône:

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1 Correction contrôle ( 3 marine) Points de cours testés dans ce contrôle Produits remarquables pour développer: ( a + b )² =a² + ab + b² ( a - b )² =a² - ab + b² (a + b) ( a b) = a² b² Utilisation du vocabulaire: carré, somme, produit, différence, double, tiers etc Sav oir remplacer les termes par une valeur y compris en fonction de x dans une formule Savoir reconnaître une expression factorisée et une expression développée Connaître et savoir utiliser: la propriété de thalès la réciproque de la propriété de thalès la propriété de Pythagore la réciproque de la propriété de Pythagore Connaître et savoir utiliser la formule de l'aire d'un disque la formule du périmètre d'un cercle le calcul de la mesure de l'angle pour faire le patron d'un cône 1) Définition Rappel cours sur le cône: Un cône de révolution de sommet S est le solide engendré par la rotation d un triangle SOM rectangle en O, autour de la droite (SO). Le disque de centre O et de rayon OM est la base du cône ) Volume du cône Le volume du cône est égal au tiers du produit de l aire de base par la hauteur du cône V = 3 1 aire de la base hauteur du cône 3) Patron d'un cône Voir page suivante

2 Patron d'un cône La longueur du cercle de diamètre [AB] sur la figure 1 est égale à la longueur de l'arc rouge sur le figure et donc pour faire le patron, je dois chercher la mesure de l'angle ASB sur la figure. La mesure de l'angle au centre est proportionnelle à la mesure de l'arc Périmètre du cercle rouge sur la figure 1: π AB Périmètre du cercle de la figure : π SB Le rapport des périmètres est : π AB π SB Le périmètre du cercle correpond à un angle de 360 et donc la mesure de l'angle : ASB = 360 π AB π SB 1) Vocabulaire: a) Je traduis chacune des phrases par une expression mathématique Phrase1: La somme du carré de 5 et du produit de 3 par x : 5² + 3x

3 Phrase : Le carré de la somme de 4 et du produit de cinq par x : ( 4 + 5x) ² Phrase 3: La somme du quadruple de x et du tiers de x. 4 x x 3 b) Je traduis chacune des expressions mathématiques à l'aide d'une phrase Expression 1: 3 x + 7 La somme du produit de 3 par x et de 7 Expression : ( x 5)² Le carré de la différence du double de x et de 5 x Expression 3: 5 x La somme du cinquième de x et du tiers de x 3 Exercice 1: 1) Soit ABC un triangle et AH sa hauteur L'aire du triangle: AH BC A= AH =3x 5 et BC=3x 5 A= 3x 5 3x 5 A= 3x 5 ² A= 9x² 30x 5 A= 9 x² 15x 5 Forme factorisée Forme développée Forme développée et réduite On reconnaît le produit remarquable: (a b)² = a² - a b + b² avec a = 3x et b = 5 a² = ( 3x)² = 9x² ab= 3x 5=30 x b² = 5² = 5 ) Aire du triangle EKG A= A= 3x 5 3x 5 A= 9 A= 9x² 5 x² 5 A=EK KG 3x 5 FG FK Forme factorisée forme développée forme développée et réduite On reconnaît le produit ( a + b) ( a b) = a² b² avec a² = ( 3x)² = 9x² et b² = 5² = 5 Exercice : En utilisant les produits remarquables, calculer: 43²= 40 3 ²=40 ² ²= = ²= 30 7 ²=30² ²= =1369 ou37²= 40 3 =40² = = = =100² 3²= =9991

4 Applications géométriques: Exercice 1 : Le puits On remarque sur le dessin que les droites (DC) et (YE) sont perpendiculaires à la droite (DE) or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles donc les droites (DC) et ( YE) sont parallèles On reconnaît une configuration de la propriété de Thalès en situation papillon Les droites (YC) et (DE) se coupent en A et les droites (DC) et (YE) sont parallèles d'après la propriété de Thalès: AE AD = AY AC = YE DC AE AD = YE DC 0,8 On a : 1,8 = 1,7 DC DC= 1,7 1,8 0,8 DC =3,87 Le puits a une profondeur de 3,87 m. Vous pouviez aussi: Chercher la mesure de AY en utilisant la propriété de pythagore dans le triangle rectangle AYE Puis dire que puisque les droites (DC) et (YE) sont parallèles alors il y a un agrandissement en passant du triangle AYE au triangle ADC dont le coefficient est Calculer ensuite DC avec la formule: DC= AD AE AY AD AE Exercice : On veut calculer la hauteur de l'arbre La hauteur est : AC + CB On calcule CB Le triangle CAB est rectangle en A, je peux utiliser la propriété de Pythagore CB² = AC² + AB² CB² = 1 ² + 16² CB² = 400 CB = 400 = 0 La hauteur de l'arbre est: AC + CB = = 3 L'arbre avait une hauteur de 3 m

5 Exercice 3 : La traverse de bois représentée par le segment [CD] est-elle horizontale? Pour le montrer, on va montrer que les droites (EF) et (CD) sont parallèles. A t -on: MC ME = MD MF? On calcule: MC ME = 3,1 4,34. Si on fait le calcul à la calculette on a une valeur approchée par contre 4,34 3,1 =1,4 On va travailler sur les quotients: ME MF et MC MD ME MC = 4,34 =1,4valeur exacte 3,1 MF MD =5,33 3,8 1,41 On a: ME MC MF MD Les quotients ne sont pas égaux donc les droites (EF) et (CD) ne sont pas parallèles alors la barre [CD] n' est pas horizontale. Lorsque les produits ne sont pas égaux, on n'utilise pas la réciproque de Thalès mais le négation de la propriété de Thalès appelée contraposée ME Pour montrer que: MC MF on peut utiliser les produits en croix et là, on voit que pour le MD produit de 3,1 par 5,33 le chiffre des unités est 3 et pour le produit de 4,34 par 3,8 le chiffre des unités est et donc les produits ne sont pas égaux Problème Longueur de la géneratrice 1) Longueur de la géneratrice Dans le triangle SA'A, je reconnais une configuration de la propriété des trois rapports égaux Dans le triangle SCD, on a : A un point de [SC] B un point de [SD] et (BB') parallèle à (A'A) d'après la propriété des trois rapports égaux SA SC = SB SD = BA CD On a : SA SC = BA CD SA SC = 4 10

6 10 SC 0 =4 SC Pour résoudre cette équation, on développe le deuxième membre 10 SC 00=4 SC On regroupe les SB dans le premier membre 10 SC 4 SC =00 6 SC =00 SC = 00 6 = La génératrice mesure environ 33 cm. SC 0 SC = 4 10 ) Patron. Le patron du cône est un secteur circulaire. Cherchons la mesure de l'angle. Ce cône est découpé dans un cercle de rayon 33 cm. La base est un cercle de diamètre 10 cm. Je calcule le périmètre de la base P = π 10 La longueur du cercle de rayon 33 est P' = π 66 P 10 '= P 66 =10 66 = 5 33 L'angle est égal à : La mesure de l'angle est de 55 Se reporter au rappel de cours qui doit être appris L'aire de papier nécessaire: On a une portion de disque de rayon 33 cm dont l'angle au centre est de 55 diminué d'une portion de disque de rayon (33-0) cm soit 13 cm et d'angle 55 A=π = π =π 140, A 44 cm² Patron: Longueur d'adhésif On met l'adhésif sur les parties en rouge et donc sur les portions les cercles de diamètres 4 ou 10 cm L =

7 L 46, La longueur est d ' environ 46,cm soit 0,46m Aire de papier nécessaire avec la perte A = A=530,4 cm² soit 0,05304 m² Dépense pour le galon et le papier en 3,5 * 0, * 0,05304 =,943 Il paiera,94 Question-bonus: Pour que l'étagère soit perpendiculaire au mur, il faut que les triangles ABC et EFG soient respectivement rectangle en B et F. Dans le triangle ABC, on a : AB = 15, AC = 5 et BC = 0 A-t-on: AB² + BC² = AC² On calcule: AB² + BC² = 15² + 0² = = 65 AC² = 5² = 65 On a : AB² + BC² =AC² d'après la réciproque de la propriété de Pythagore alors le triangle ABC est rectangle en B. On a aussi EFG rectangle en F et donc l'étagère BFGC est perpendiculaire au plan du mur AEFB.

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H = H = H =30 7 F = 15 F = F = F = F = F = 23 5 BREVET BLANC de MATHEMATIQUES Classe de troisième Correction des exercices 1. Racines carrées Connaître les règles de calcul avec des racines carrées Savoir effectuer un produit ou un quotient avec des

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