APPROXIMATIONS DE. On a : P1 < P < P2 d où : P1 < 2π < P2 Donc : 2

Transcription

1 APPROXIMATIONS DE π Elèves de 3èe : DAVALO Coli, GARRIGUES Adrie et LOGGHE Atoie. Etablisseet : collège Alai Fourier, 1 rue Alai Fourier, 91 0 Orsay Cedex. Eseigates : ASSELAIN-MISSENARD Claudie et FERRY Florece. Chercheuse : AGUILLON Nia O a : < P < P d où : < π < P P Doc : <π< E augetat le obre de côtés des deux polygoes, leur périètre se rapprochera de π et doc l ecadreet de π deviedra de plus e plus précis. a) Calcul de Soit le obre de côtés du polygoe régulier iscrit das C, cercle de cetre O de rayo 1. Le sujet : Pouvez-vous trouver des approxiatios de π perettat de battre 3,1? 1 Nos preières recherches Le obre π iterviet das le périètre d'u cercle de rayo R : πr et das l aire d u disque de rayo R : πr. E choisissat u cercle de rayo R 1, o peut doc avoir π e étudiat le dei-périètre de ce cercle et so aire. Nous avos doc cherché à trouver u ecadreet de π, e trouvat des figures siples, itérieures et extérieures au cercle de rayo 1, dot o pourrait calculer le périètre et l aire. Ecadreet par des polygoes réguliers E traçat les polygoes réguliers respectiveet iscrit et circoscrit à otre cercle C de rayo 1, o trouve u ecadreet de π. fig1 Notos et P les périètres respectifs des polygoes réguliers iscrits et circoscrits et P le périètre de C. fig Das u polygoe régulier à côtés, l'agle au 360 cetre esure doc ici, e cosidérat 360 AOI la figure ci-dessus :. Das le triagle AOI rectagle e I : AI AI si AI. AO 1 AI si Doc : si et doc : si < π. b) Calcul de P Soit le obre de côtés du polygoe circoscrit à C, cercle de cetre O de rayo 1. fig3

2 De la êe faço qu'au b), e cosidérat la 360 AOI figure ci-dessus, o a :. Das le triagle AOI rectagle e I : AI AI ta AI. OI 1 P AI ta P Doc : ta et doc : ta > π. agle droit), selo le théorèe de Pythagore : AB AO BO 1 1 Esuite o calcule pour 8 (u octogoe iscrit) ; o le place de aière à ce que les quatre soets du carré soiet cofodus avec quatre des huit soets de l'octogoe. Soit E le ilieu de [AB]. E se situe sur la édiatrice de [AB] qui passe par u soet de l'octogoe (appelos le H) et par le cetre du cercle (O). [AE] esure la oitié de AB soit /. c) Ecadreet de π Fialeet, d'après a) et b), o obtiet u ecadreet de π : si < π < ta Plus augete, plus l'ecadreet sera précis ,1 15 3,1 00 3,11 3 3, , P 3,1 95 3,1 7 3,11 9 3, , Il faut cepedat aller très loi pour obteir les preières déciales. 3 Recherche d ue éthode utilisat le ois possible la trigooétrie Das cette partie o repred u cerclec de cetre O de rayo 1. a) Calcul de fig O cosidère le carré ABCD iscrit das le cercle. O calcule (). AOB est rectagle e O (les diagoales d'u carré se coupet e fig5 AEO est rectagle e E doc, selo le théorèe de Pythagore: EO AO AE 1² ( ) 1 Doc : EO 1 Esuite, puisque E, O et H sot aligés: HE HO OE 1 O calcule aiteat la logueur du côté de l'octogoe régulier. H appartiet à la édiatrice de [AB] doc : AH HB et H est u soet de l'octogoe. Doc, selo le théorèe de Pythagore das le triagle HEA rectagle e E : HA² AE²+ HE²( ) +(1 ) +1+ Doc : HA Doc esure 8 Doc: π >

3 Esuite, o a cherché à calculer pour 16 e procédat de la êe aière. O place F au ilieu de [HA] et o place I de faço à ce que [HI] soit u côté du polygoe régulier et iscrit à C avec 16 cotés. Doc: π > O rearque qu'à chaque fois que l'o double le obre de côté du polygoe, o rajoute à la logueur du côté du polygoe u sous la derière racie. O a doc cherché à le déotrer. Gééralisatio: fig6 [HF] esure la oitié de HA doc: HF O coece par calculer OF. OHF est rectagle e F, selo le théorèe de Pythagore : OF² OH² FH² 1² ( ) + OF² 1 Doc : OF Puisque I, F, et O sot aligés: IF IO FO1 HIF est rectagle e F, selo le théorèe de Pythagore, o a: HI² HF² FI² ² 1 ² + HI HI + Doc : HI Doc esure 16 Doc: π > 8 + O calcule de la êe faço pour 3 et o obtiet : 3 fig7 Soit IAOH u cerf-volat tel que A et H soiet sur le cercle C de cetre O et de rayo 1 et tel que I soit à l'itersectio du cercle C et de la édiatrice de [AB] (voir fig 6) O place le poit F À l'itersectio de (AH) et (IO). O cosidère que la valeur de la logueur AH puisse s'écrire sous la fore x avec x u obre supérieur à. x F est le ilieu de [AH] doc AF O essaie de calculer la logueur AI de la êe aière que précédeet. Das AIF rectagle e F, selo le théorèe de Pythagore, o a: x )² FO² AO² AF²1² ( x + x FO 1 +x FO IFO sot aligés doc: +x IF IO FO1 Et efi, selo le théorèe de Pythagore: +x )²+( x ) ² AI² IF²+ AF²(1 + x x AI 1+ + x+ AI² +x AI + x

4 Doc, o s'aperçoit qu'à chaque fois que l'o ultiplie le obre de côtés par deux, o ajoute à la valeur du côté du polygoe, après le..., u... suivi du reste des racies. Doc : si (soit ) 1 (1 radical) si 8 (soit 3 ) ( radicaux) si 16 (soit ) 3 + (3 radicaux) -1 racies carrées est la valeur d'u dei côté de polygoe à côtés ; doc d'après ) a) : -1 racies carrées si( 180/ ) Selo les relatios trigooétriques, pour a et b deux agles aigus, o a : ( (cos a)²+(si a)²1 doc 1 (si a)²cos a O a alors : cos(180 / ) 1 (si (180/ )) ² 1 ( si 3 (soit 5 ), + + ( radicaux) o a ajouté cette racie etc... Puisque les polygoes aurot coe obre de cotés des puissaces de, o va predre u obre tel que: Le obre de racies vaut -1 doc otre forule fiale est: racies carrées si a De plus : ta a cos a si (180/ ) ta (180/ ) doc : cos (180 / ) -1 racies carrées O sait que, d'après )b) : π < ta (180/) Doc o a otre secode partie de l'ecadreet de π: Voici la preière partie de otre ecadreet de π: 1-1 racies carrées <π π< -1 racies carrées b) Calcul de P O a coecé par essayer de calculer P coe, ais o 'a pas réussi. O est doc reveu à otre preière éthode: racies carrées -1 racies carrées ) ² si 6 (soit 6 ), (5 radicaux) racies carrées O a doc u ecadreet de π : <π<

5 O a réussi à avoir ue forule fiale sas trigooétrie ais cette forule reste difficile à calculer sas calculatrice (c'est possible grâce à la éthode d'héro ais c'est extrêeet log). Nous avos retré ces forules sur tableur, voici quelques résultats : P 8 3,1 1 3, , , , , , , Ici le rayo est la dei-diagoale d'u carré de côté 10 c, c'est à dire 5 c La valeur approchée de π est doc ici: 18 18,96 c 50 (5 ) Ce 'est pas très précis : pour plus de précisio il faut affier le pavage. Voici u autre exeple de pavage (que l'o a fait à la ai) grâce à u quadrillage itérieur et u autre extérieur. R 10 c Aires et quadrillages O sait que π iterviet das l'aire d'u cercle ( πr²). O va doc replir u cercle avec le plus de fores géoétriques possibles, ce qui va forer ue sorte de pavage. O va esuite calculer l'aire de ce quadrillage ; plus celui-ci sera petit plus o se rapprochera de l'aire du disque et doc de π : pour trouver π il ous suffira de diviser cette surface par le rayo du disque au carré. Aire du disque : π x 10 x π Aire du quadrillage itérieur : Aire du quadrillage extérieur : Doc : 30< π R <33 Doc : 3,0< π <3,3 Nous 'avos pas terié cette partie, pour trouver ue valeur qui bat celle de la calculatrice ous devos affier le quadrillage. fig8 - Côté du grad carré : 10 c So aire : 100 c² - Côté d'u petit carré : 10/5 c So aire : c - Aire d'u triagle rectagle (x)/ c² - Aire totale de la surface grisée : 100+x+x8 18 c²

6