La géométrie au cycle 2 et au cycle 3. Roland Gispert et Mirène Larguier du GDM (groupe départemental de mathématiques)

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1 La géométrie au cycle 2 et au cycle 3 Roland Gispert et Mirène Larguier du GDM (groupe départemental de mathématiques) Montpellier le 21 mars

2 Présentation et objectifs de la formation Le groupe départemental de mathématiques : qui sommes-nous? Des ressources pour enseigner les mathématiques : 2

3 Présentation et objectifs de la formation Quelle place pour la résolution de problèmes dans le domaine de la géométrie? «La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s exerce à tous les stades des apprentissages.» Quel rôle de l expérimentation en géométrie? Expérimenter en manipulant des figures : plier, assembler, découper, décalquer Expérimenter en vivant des notions mathématiques par son corps dans le méso-espace: déplacements en ligne droite, alignements, position verticale, rondes... 3

4 La notion d angle droit et de droites perpendiculaires Exercice des évaluations nationales de sixième en Faire cet exercice et analyser les connaissances nécessaires pour réussir cette reproduction. - Vérifier le dessin avec un calque 4

5 Retour sur la notion d angle droit et de droites perpendiculaires 5

6 Analyse d une proposition de manuel en CE2 (SED) Critiques : une formalisation excessive qui ne devrait commencer qu en collège : programme de sixième : «Le vocabulaire et les notations nouvelles %, [AB], (AB), [AB), AB sont introduits au fur et à mesure de leur utilité, et non au départ d un apprentissage.» des perpendiculaires qui existent en dehors de figures géométriques, ce qui ne leur donne pas de raison d être. 6

7 Tâche de reproduction Chercher toutes les variables utilisables dans un problème de reproduction de figure géométrique. 7

8 Reproduire : les variables Reproduire un dessin en faisant varier certaines contraintes : La reproduction est de la même dimension (échelle égale à 1) ou pas ; Elle a la même orientation dans la feuille ou pas ; Tous les instruments de géométrie sont autorisés ou pas ; Le support de la reproduction est un papier uni, quadrillé, à réseau pointé, c est un écran d ordinateur ; Le dessin qui est à reproduire est réalisé ou non à main levée ; La reproduction est une déformation du dessin original (ce n est ni un agrandissement ni une réduction) ; Le dessin reproduit est déjà amorcé ou non 8

9 Reproduire à partir du cycle 2 : exemples Évaluations nationales CE2 9

10 Reproduire à partir du cycle 2 Évaluations nationales CE2 10

11 Reproduire à partir du cycle 2 Évaluations nationales CE2 11

12 Reproduire à partir du cycle 2 Évaluations nationales CE2 12

13 Reproduire à partir du cycle 2 Évaluations nationales CE2 13

14 Reproduire en cycle 3 Evaluations nationales 6 e 14

15 Reproduire en cycle 3 Evaluations nationales 6 e 15

16 Des constructions pour travailler les angles droits et les droites perpendiculaires (mais aussi d autres propriétés géométriques) Exemples de constructions utilisant la règle et le compas. Réalisation d un gabarit d angle droit Regard sur l équerre Tracés de droites parallèles avec un gabarit d angle droit 16

17 Les propriétés géométriques des figures géométriques planes Pour des points : être ou ne pas être alignés Pour des droites : être ou ne pas être parallèles être ou ne pas être perpendiculaires Pour deux figures : être ou ne pas être symétriques par rapport à une droite être ou ne pas être superposables (c est à dire isométriques) Pour une figure : avoir ou ne pas avoir d axe de symétrie 17

18 Un problème dont l objectif d apprentissage est bien caché aux élèves! (situation proposée par le groupe IREM premier degré) Consigne : En utilisant les 8 points, tracer le poisson uniquement avec la règle sans utiliser de mesures (la règle ne sert qu à tracer des traits droits) 18

19 Le problème des huit points (production du groupe IREM premier degré) -Quelle est la connaissance mathématique essentielle et nécessaire pour résoudre le problème? Cette connaissance est l outil de résolution du problème. - Quelles erreurs pouvez vous anticiper de la part des élèves? - A partir de quelle classe donneriez-vous ce type de problème? - Imaginez d autres dessins. 19

20 L alignement : un outil de résolution du problème des huit points. 20

21 Alignement : Roland du meso au micro 21

22 Observer, reconnaître, vérifier, nommer à partir d une activité de manipulation Avec des triangles... 22

23 Le matériel de l élève : deux triangles superposables 23

24 Rechercher tous les polygones que l on peut obtenir en juxtaposant les 2 triangles identiques Contrainte : Deux triangles doivent être juxtaposés en faisant coincider 2 côtés de même longueur 24

25 25

26 26

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28 Combien de figures obtiendrait-on avec 2 triangles équilatéraux? 28

29 Nature du triangle Nombre de figures Objectifs d apprentissage Quelconque 6 Description de polygones avec l inventaire de leurs propriétés Perpendiculaires et parallèles Rectangle 6 Symétrie axiale Tracés avec différents instruments sur différents supports Reproduction de figures Rectangle isocèle 3 Perception de sous figures dans une figure complexe Aire et périmètre 29

30 Variables de la situation Donner aux élèves la quantité suffisante de triangles identiques pour qu ils puissent rechercher, puis coller les assemblages Faire réaliser le contour des figures pour matérialiser les assemblages Faire reproduire ces figures sur un quadrillage identique à celui figurant sur les modèles Faire reproduire ces figures sur un quadrillage plus petit que celui figurant sur les modèles Faire reproduire les figures sur un papier uni (cela nécessite de reproduire un triangle connaissant les longueurs de ses 3 côtés avec le compas) 30

31 Voir, observer, reconnaître Avec des carrés... 31

32 On dispose de 5 carrés superposables 32

33 Rechercher tous les polygones que l on peut obtenir en juxtaposant les 5 carrés identiques Contrainte : Deux carrés doivent toujours avoir un côté commun 33

34 P e n t a m i n o s P e n t a m i n o s 34

35 35

36 36

37 37

38 38

39 Les objectifs Identifier des figures qui ont ou n ont pas la même forme et qui sont donc superposables ou non (géométrie du papier calque) Classer en fonction de la présence ou non d axes de symétrie Classer en fonction du périmètre (12 ou 10 unités, l unité étant la longueur d un côté du carré) Identifier des sous-figures comme des carrés et des rectangles* Utiliser les pentaminos pour réaliser des assemblages et former des figures particulières (comme des carrés, des rectangles...) 39

40 des rectangles d autres formes 40

41 Réaliser des formes superposables en utilisant des pentaminos différents 41

42 et de nombreuses autres situations à découvrir sur : jeux_mat/textes/pentaminos.htm 42

43 Des situations de formulation : c est la situation qui nécessite une production de langage oral ou écrit de la part des élèves 43

44 Des situations de formulation Cet exercice a été posé à plusieurs reprises dans les évaluations nationales de début de 6 e. Celui qui est proposé a été donné en Écrire votre réponse personnelle à cette question avec vos connaissances d adulte sans chercher à vous mettre dans le rôle d un élève. 44

45 Des situations de formulation Mildred : Tracer un carré de 5,5 de largeur et de 5,5 de longueur. Tracer un rond de 2,2 de diamètre. Najoua : Trace un carré qui a pour dimension d'une droite : 5cm et 5mm. A l'angle de droite tout en haut, trace un cercle qui a pour rayon 2cm et 2mm. Michel : Fais un carré de 5,5cm de chaque côté. Prends l'angle droit qui est en haut à droite du carré. Prends ton compas et trace un cercle de 2,2 cm de diamètre. Meredith : Trace un cercle de 2cm 2mm de diamètre et un carré de 5cm 5mm dont le sommet de droite du haut doit être au centre du cercle. Anaïs : Trace un cercle dont le rayon est de 2,2. Trace une droite de 5,5 cm partant du centre du cercle. A partir de cette droite forme un carré de 5,5 de longueur et 5,5 de largeur. 45

46 Des situations de formulation Analyse de productions d élèves de début de 6 e Mildred : Tracer un carré de 5,5 de largeur et de 5,5 de longueur. Tracer un rond de 2,2 de diamètre. Najoua : Trace un carré qui a pour dimension d'une droite : 5cm et 5mm. A l'angle de droite tout en haut, trace un cercle qui a pour rayon 2cm et 2mm. Michel : Fais un carré de 5,5cm de chaque côté. Prends l'angle droit qui est en haut à droite du carré. Prends ton compas et trace un cercle de 2,2 cm de diamètre. 46

47 Des situations de formulation Pourquoi ce type d erreur? Quelle conception exprime-t-elle? Mildred : Tracer un carré de 5,5 de largeur et de 5,5 de longueur. Tracer un rond de 2,2 de diamètre. Najoua : Trace un carré qui a pour dimension d'une droite : 5cm et 5mm. A l'angle de droite tout en haut, trace un cercle qui a pour rayon 2cm et 2mm. Michel : Fais un carré de 5,5cm de chaque côté. Prends l'angle droit qui est en haut à droite du carré. Prends ton compas et trace un cercle de 2,2 cm de diamètre. 47

48 Des situations de formulation Pourquoi ce type d erreur? Quelle conception exprime-t-elle? Mildred : Tracer un carré de 5,5 de largeur et de 5,5 de longueur. Tracer un rond de 2,2 de diamètre. Najoua : Trace un carré qui a pour dimension d'une droite : 5cm et 5mm. A l'angle de droite tout en haut, trace un cercle qui a pour rayon 2cm et 2mm. Michel : Fais un carré de 5,5cm de chaque côté. Prends l'angle droit qui est en haut à droite du carré. Prends ton compas et trace un cercle de 2,2 cm de diamètre. 48

49 Des pratiques enseignantes vues à travers des manuels pour expliquer la logique des erreurs précédentes La clé des maths CE1 Belin Cap Maths CE2 Hatier 2007

50 Des situations de formulation Mildred : Tracer un carré de 5,5 de largeur et de 5,5 de longueur. Tracer un rond de 2,2 de diamètre. Najoua : Trace un carré qui a pour dimension d'une droite : 5cm et 5mm. A l'angle de droite tout en haut, trace un cercle qui a pour rayon 2cm et 2mm. Michel : Fais un carré de 5,5cm de chaque côté. Prends l'angle droit qui est en haut à droite du carré. Prends ton compas et trace un cercle de 2,2 cm de diamètre. Meredith : Trace un cercle de 2cm 2mm de diamètre et un carré de 5cm 5mm dont le sommet de droite du haut doit être au centre du cercle. Anaïs : Trace un cercle dont le rayon est de 2,2. Trace une droite de 5,5 cm partant du centre du cercle. A partir de cette droite forme un carré de 5,5 de longueur et 5,5 de largeur. L orientation doit-elle être un critère à retenir pour construire la figure? Les instruments à utiliser doivent-ils être précisés? Un terme du vocabulaire géométrique méconnu : sommet. 50

51 Des situations de formulation Des critères à enseigner aux élèves pour élaborer un texte qui est un texte de programme de construction géométrique : L orientation du dessin ne doit pas être prise en compte (penser que c est le papier calque qui validera la construction) ; Les instruments ne doivent pas être précisés ; Les termes mathématiques les plus précis possibles doivent être utilisés ; Toutes les informations nécessaires doivent être données, rien ne doit être deviné (un cercle est défini par un centre et un rayon, ou un centre et un diamètre) ; Ce texte écrit en français respecte évidemment les règles d orthographe et de grammaire de la discipline du français. Prolongation de ce type de travail : faire rédiger le programme de construction en utilisant le moins de mots possibles 51

52 Nommer, décrire, écrire un programme de construction. Principe sous-jacent : Le travail langagier oral et écrit est fondamental dans la construction des apprentissages. Nous distinguons plusieurs types de travail langagier : Les productions langagières demandées par l enseignant : «explique comment tu as fait» : demande scolaire classique ; «prouve que tu as raison» : situation de débat ou d argumentation, de justification ; Les productions langagières nécessitées par la situation-problème : Ces situations sont les plus propices à développer le langage car elles donnent une raison d être à la production langagière : Exemple du jeu de la carte d identité et du jeu du portrait dès le cycle 2 ; Exemple des programmes de constructions en cycle 3. 52

53 Nommer, décrire, écrire un programme de construction. Jeu de la carte d identité 53

54 But du jeu : deviner la figure choisie en posant des questions sans utiliser les mots : dessus, dessous, en bas, en haut 54

55 Les objectifs Favoriser une production langagière orale ou écrite Utiliser un vocabulaire de plus en plus précis Réinvestir, renforcer des notions de repérage d objets les uns par rapport aux autres déjà rencontrées 55

56 Variantes Phase 1 Le professeur choisit une figure, les élèves doivent deviner laquelle. Un élève choisit une figure, les autres doivent deviner laquelle. But : Apprendre à poser des questions de plus en plus pertinentes. Se familiariser avec le vocabulaire spécifique lié à l activité. 56 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

57 Phase 2 Une carte par groupe : ==> chaque groupe doit rédiger «la carte d identité» de la figure qui lui a été confiée. Les groupes échangent 2 à 2 leur production et doivent identifier la figure décrite dans un ensemble de figures données. 57

58 Phase 3 Réunir toutes les cartes d identité et associer les dessins et les cartes Phase 4 Travail par groupe Créer une nouvelle figure, rédiger sa carte d identité et demander, à un autre groupe, de dessiner la figure. 58

59 Nommer, décrire, réinvestir les propriétés de figures géométriques Jeu du portrait 59

60 Les objectifs Favoriser une production langagière orale Réinvestir le vocabulaire introduit lors des séances en classe 60

61 La mise en oeuvre Chaque élève dispose d une fiche plastifiée et d un feutre pour tableau blanc. Une fiche agrandie est à la disposition de la classe. Consignes de jeu : Un élève choisit une figure sans la nommer Les autres doivent tenter de deviner laquelle, en posant des questions mettant en jeu les spécificités de chacune d entre-elles. L élève qui a choisi la figure ne répond que par oui ou par non. Des figures seront éliminées au fur et à mesure pour tenter d identifier celle choisie. 61

62 62

63 Les élèves apprennent à devenir de plus en plus précis et de plus en plus performants dans le choix et la formulation des questions. 63

64 Avec des solides... 64

65 «La main dans le sac» 65

66 Matériel Un sac pas transparent 66

67 67

68 Consignes de jeu : Un élève met la main dans le sac et choisit un objet (figure ou solide) qu il ne montre pas. Les autres doivent tenter de deviner la nature de l objet en posant des questions ou ils doivent donner le nom de l objet en prenant en compte les indices donnés par l élève. 68

69 Variante Jouer par binôme (ou équipe) : l un a le sac, l autre les formes visibles devant lui mais non visibles par celui qui a le sac. Celui qui a le sac doit tenter de trouver la forme dans son sac en suivant les indications de l autre élève. ou inversement Celui qui a le sac, donne les indications et son partenaire doit retrouver la forme parmi celles qu il a devant lui. 69

70 FIN

71 71 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

72 Autres types d activités géométriques Travailler la notion d alignement Reproduire Trier et classer 72 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

73 Alignement 73 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

74 1 ère activité Répondre par écrit à la question suivante Identifier les différentes tâches dans le domaine de la géométrie qui sont demandées aux élèves en faisant un inventaire à partir des verbes donnés dans les consignes (exemple : «tracer»). Faire également l inventaire des outils utilisés pour l enseignement de la géométrie en cycle 2 et en cycle Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

75 Le rapporteur est un instrument découvert au collège 75 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

76 Un instrument que l on peut utiliser : la «réquerre» 76 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

77 Voir, observer : développer un regard géométrique sur un dessin Dessin de gauche : ces 6 droites sont-elles parallèles? Dessin du milieu : ce quadrilatère est-il un rectangle? Dessin de droite : ces deux segments sont-ils de la même longueur? 77 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

78 78 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

79 Voir, observer : développer un regard géométrique sur un dessin 79 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

80 Voir, observer : développer un regard géométrique sur un dessin 80 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

81 Voir, observer : développer un regard géométrique sur un dessin Combien vois-tu de rectangles sur ce dessin? 81 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

82 Voir, observer : développer un regard géométrique sur un dessin Combien vois-tu de rectangles sur ce dessin? Il y a 9 rectangles dans cette figure géométrique. 82 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

83 La notion d angle droit et de droites perpendiculaires Analyse de l exercice n 12 des évaluations de CM2 de 2010 Rechercher les compétences mises en jeu dans cet exercice en lien avec les programmes ainsi que les obstacles à sa réussite. 83

84 Différents espaces : macro, méso, micro Exemple de situation d enseignement dans le méso-espace L'enseignant présente la corde à 13 nœuds (régulièrement espacés sur une corde d une quinzaine de mètres). Il désigne quatre élèves, demande à l'un d'eux de saisir le premier et le dernier nœuds et propose aux trois autres élèves de prendre un des autres nœuds libres de manière à former, lorsque la corde est tendue, une figure à 4 côtés. L'enseignant demande aux élèves le nom de la figure géométrique ainsi formée. Si les élèves ne sont pas d'accord entre eux, ils en débattent. D autres figures géométriques sont recherchées ayant 3 ou 4 sommets. Reprise de la situation dans le micro-espace Chacune des figures obtenues avec la corde dans le méso-espace est reproduite sur une feuille dans le micro-espace. 84

85 La corde à 13 nœuds Cette liste n est pas complète. Source : Portail mathématique à Genève

86 86 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

87 Les principales tâches de la géométrie Extrait du document d accompagnement des programmes de 2002 : «Espace et géométrie au cycle 2» 87

88 88 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

89 89 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

90 90 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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