BAC PRO MATHEMATIQUES Approche GEOMETRIE DANS LE PLAN ET DANS L ESPACE Géométrie 1

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1 RO MTHEMTIQUES pproche GEOMETRIE NS LE LN ET NS L ESE Géométrie 1 I. allon de football. Un ballon de football et assimilé à un polyèdre constitué de 20 hexagones réguliers et de 12 pentagones réguliers. a) alculez l aire de l hexagone. ( à 0,1 près ) O 2 H O 1.. b) alculez l aire du pentagone. ( à 0,1 près ) = 4,8 cm.. II. c) éduisez la surface de cuir nécessaire à la fabrication d un ballon de football. d) l aide de la relation = 4 π R 2, ou R est le rayon d une sphère et l aire de son enveloppe, calculez le diamètre du ballon. Etude d une benne. Une benne a la forme d un prisme droit EFG. On donne = 1,6 m ; E = 0,8 m ; = 3 m ; EH = 3,5 m. E F H G 1 a) Identifiez la base du prisme. b) itez deux plans parallèles. c) itez deux plans orthogonaux. d) itez deux droites orthogonales. e) itez une droite et un plan perpendiculaires. f) alculez la surface de tôle nécessaire à la fabrication de cette benne. g) éterminez la contenance de cette benne.

2 III. La pyramide de héops.. La pyramide de HÉOS en Egypte est une pyramide à base carrée de coté 220 m, dont l arête mesure 210 m. S a) alculez la hauteur SH du triangle S. H O b) La hauteur de la pyramide. ans la pyramide, la chambre du roi est un parallélépipède dont la longueur vaut 4 m, la largeur 2 m et la hauteur 5. H G E F alculer les valeurs exactes de : c) La diagonale. d) La diagonale H. e) e la diagonale F. f) e la diagonale G. g) Quelle type de suite forment les dimensions du triangle GH?. h) omment nomme t on ce type de triangle?. 2

3 RO MTHEMTIQUES Révisions GEOMETRIE NS LE LN ET NS L ESE Géométrie 2 1) Rappels de géométrie dans le plan. 1. ires des figures planes usuelles. 2. Transformations dans le plan. a) rojection d un point sur une droite. (δ) () () est le projeté du point sur la droite ( ) selon la direction ( δ ) // ( ) 3 est le projeté orthogonal du point sur la droite ( ) ; ( ) perpendiculaire à ( ).

4 b) Symétries. ( ) O I Symétrie axiale ou réflexion Si est le symétrique du point dans la symétrie d axe (), alors est la médiatrice du segment [ ]. Symétrie centrale Si est le symétrique du point dans la symétrie de centre O, alors O est le milieu du segment [ ]. c) Relations métriques du triangle rectangle. 1) Relation de pythagore. ² = ² + ². 2) Relations trigonométriques. sin = tan =. ; cos = ; d) ropriétés de Thalès. // E E () et (E) sont situés du même coté du point. () et (E) sont situés de part et d autre du point. Rapport de projection. = E = E E Rapport d homothétie. = E = E. as particuliers Si I est milieu de [] et ( IJ ) est parallèle à (), alors J est le milieu de [] I / // J e façon réciproque, si I est le milieu de (] et J le milieu de [], alors (IJ) est parallèle à (). / // 4

5 RO MTHEMTIQUES ours GEOMETRIE NS LE LN ET NS L ESE Géométrie 3 2) Rappels de géométrie dans l espace. 1) éfinition d'un plan On peut définir un plan (surface plane) par : trois points distincts une droite et un point deux droites sécantes deux droites parallèles ) ositions relatives de deux droites eux droites appartenant à un même plan sont dites "coplanaires" : elles sont soit parallèles, soit sécantes. 1 eux droites non coplanaires n'ont aucun point en commun. ( fig 1 ) 3) ositions relatives d'une droite et d'un plan Une droite peut être : contenue dans un plan sécante au plan Fig 1 perpendiculaire à un plan parallèle à un plan 4) ositions relatives de deux plans eux plans peuvent être : sécants ( est la droite d'intersection des deux plans) perpendiculaires parallèles 5) Symétrie par rapport à un plan Le point ' est le symétrique du point par rapport au plan si : la droite (') est perpendiculaire au plan, le point d'intersection M du plan et de la droite (') est le milieu du segment [']. 5 M

6 3. ires et volumes des solides usuels 1) rismes Exemples : h h risme oblique à base hexagonale risme droit à base hexagonale 'une manière générale, les prismes ont comme base un polygone, et les arêtes du prisme sont toutes parallèles. 2) yramides Exemple : pyramide à base pentagonale 3) ylindre Volume du prisme : V = h avec : aire de la base, h : hauteur du prisme. Volume de la pyramide : V = h 3 Exemples : cylindre quelconque cylindre droit (ou de révolution) R R avec : aire de la base, h : hauteur de la pyramide. h h Volume du cylindre : V = h soit V= π R 2 h avec : aire de la base h : hauteur du cylindre. 4) ônes Exemples : cône quelconque cône droit (ou de révolution) h a : h R Volume du cylindre : V = π R 2 h avec 3 L'aire latérale du cône droit : = π R a. 5) Sphère Volume de la sphère : V = 4 π R h : hauteur du cône. R O R

7 ire de la sphère : = 4 π R 2 RO MTHEMTIQUES Exercices GEOMETRIE NS LE LN ET NS L ESE Géométrie 4 Nom : lasse :. ate / /. Note Exercice 1 : Un bateau possède une grand-voile qu'il est possible de réduire par enroulement autour de la bôme. La voile déployée est représentée par le triangle 1 1 (figure 1). près un tour de bôme, la voile est représentée par le triangle 2 2 (figure 2). près deux tours de bôme, la voile est représentée par le triangle 3 3 (figure 3). 1. alculer l'aire 0, en m 2, de la surface de la grand-voile déployée.. 2. Sachant que les droites ( 2 2 ) et ( 1 1 ) sont parallèles, calculer la longueur 2, puis l'aire 1 de la surface de la voile après un tour de bôme Sachant que les droites ( 3 3 ) et ( 1 1 ) sont parallèles, calculer la longueur 3, puis l'aire 2 de la surface de la voile après deux tours de bôme..... On suppose dans la suite du problème qu'à partir de la position grand-voile déployée on effectue un nombre entier de tours de bôme qu'on note n. 4. Montrer que n < 13. On suppose que l'aire en m 2 de la surface de voile est, après n tours de bôme, donnée par : = 0,192 n 2 4,8 n Vérifier que la relation précédente est vraie pour n = 0, n = 1 et n = éterminer la valeur de n permettant d'obtenir l'aire de la voile la plus proche de 10 m m 9,2 m 8,4 m 1 0 figure m figure figure Exercice 2 : Un réservoir a la forme d'un prisme droit dont les bases sont des trapèzes rectangles. Les mesures sont en cm : = 30 ; ' = 140 ; = 50 ; = alculer. 2. alculer l'aire du trapèze en dm 2. ' ' ' ' 7

8

9 3. alculer la capacité du réservoir (en litres). On néglige l'épaisseur de la tôle... Le réservoir est alimenté par un tube cylindrique. Il faut 45 mn pour remplir le réservoir au trois quart de sa capacité. On admet que pendant cet intervalle de temps, le débit est constant. 4. alculer la valeur de ce débit... Exercice 3 : On considère un cube EFGH et le point I milieu de l'arête [EF]. On considère le plan par les points, E et G : ce plan est noté EG. éterminer l'intersection du cube et du plan parallèle à EG et contenant le point I. H G E I F Exercice 4 : «Le lion» Le tronc de cône sur lequel est assis Simba a pour bases deux disques de diamètres respectifs: 110 cm et 90 cm et pour hauteur 1 m. a) alculez tan a. b) alculez la longueur K. c) alculez le volume du tronc de cône. Exercice 5 : «Le Guéridon» La hauteur d un guéridon est 430 mm et son encombrement au sol 320 mm ; on a = 150 mm et les triangles O et O sont isocèles. Montrez que la longueur OH, exprimée en mm, vérifie la relation : OH = 430 OH alculez la longueur OH au mm près. alculez la longueur O. 9

10 RO MTHEMTIQUES Exercices GEOMETRIE NS LE LN ET NS L ESE Géométrie 5 Exercice 5 : «Histoire de citernes» Vous travaillez dans une fabrique de citernes de fuel obtenues par soudage. Vous étes chargé de la gestion des commandes matière. Vous avez plusieurs types de citerne à étudier. 1. iterne parallélépipédique Voici le patron d une citerne parallélépipédique : a = 100cm, b = 60cm, c = 40 cm 3.1. alculez le volume de la citerne en cm 3, le convertir en dm 3. onner ce volume en litres La surface extérieure de la citerne est à peindre, déterminez cette surface en m² iterne cylindrique Voici le patron d une citerne cylindrique : h=100cm, r=30cm. Elle est fabriquée grâce à un pourtour roulé sur lequel se fixe un fond et un dessus alculez la surface du fond en dm² à 0,01 près alculez le volume de la citerne en dm 3 à 0,1 près., le convertir en cm alculez la surface extérieure de la citerne en m² à 0,01 près. h R 3. iterne silo. La citerne silo est fabriqué par l assemblage de deux cônes : d =1 m, h 1 = 50 cm, h 2 = 80 cm. h 2 d h alculez, en mètres, le périmètre circulaire maximum de cette citerne à 0,01 près alculez le volume de la cuve en m 3 à 0,01 près, en déduire le volume en litre éduisez la surface extérieure de la citerne à peindre en m² à 0,01 près... 10

11 4. iterne sphérique La citerne sphérique est fabriquée par l assemblage de 8 méridiens. d = 60 cm. d 4.1. alculez, en mètres, le périmètre circulaire de la citerne à 0,01 près.. 1. lasser les citernes 1, 2, 3, 4 par ordre croissant de volume alculez son volume en m 3 à 0,01 près. En déduire le volume en litre alculez la surface extérieure de la citerne à peindre en m² à 0,01 près iterne de gaz. Une citerne se décomposé en trois parties : un cylindre de mm de diamètre extérieur et de mm de longueur. deux demi-sphères de mm de diamètre extérieur ( une à chaque extrémité du cylindre). Le rayon intérieur de la cuve étant de mm, et la cuve contient du butane liquide dont le niveau se situe à 2 m du fond de la cuve. a) alculez en m² l aire de la surface extérieure de la cuve.... b) alculer OH à 1 mm près. hase gazeuse H.. c) alculer à 1 mm près. O hase liquide h = d) alculer l angle O.. e) alculer l aire de la surface grisée en m² On suppose que l aire de la surface non grisée est 3,9 m² et que l axe de la cuve est horizontal. f) alculez le volume de liquide contenu dans la partie cylindrique..... g) alculez le volume de liquide contenu dans la partie sphérique. (les deux demi-sphères)..... h) onnez le volume total de gaz liquide contenu dans la citerne... 11

12 .. 12

13 ORRETION M5 : GÉOMÉTRIE NS LE LN ET NS L'ESE Exercice 1 1. ire 1 = = 30 m = 1, donc 2 = ,2 10 5,52 9,2 ire 2 = = 25,392 m = 1, donc 3 = ,4 10 = 5,52 m. = 5,04 m. 5,04 8,4 ire 3 = = 21,168 m u départ la voile mesure 10 m. chaque tour de bôme, on perd 0,8 m, donc 0,8 n < 10, donc n < = 0, , = 30 m 2. = 0, , = 25,392 m 2. = 0, , = 21,168 m On doit résoudre l'équation : 0,192 n 2 4,8 n + 30 = 10, donc = 7,68, donc x 1 = 5,28 et x 2 = 19,7. La seconde solution n'est pas acceptable, et pour avoir une surface de voile proche de 10 m 2, il faut faire 5 tours de bôme. Exercice 2 1. = 45, donc = = 80 cm. ( ) = = cm 2 = 27,5 dm V = 27,5 14 = 385 L. 4. Soit q le débit. On a : 3 q = 3 V, donc q = 385 L/h. 4 4 Exercice 3 H G E I F 13

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