Introduction aux grammaires formelles

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1 Introduction ux grmmires formelles P. Égré (CNR, IJN) Rentrée CogMster- eptemre Introduction Lngges nturels et lngges formels Le progrmme chomskyen et l grmmire génértive (Humoldt 1836: le lngge fit un usge infini de moyens finis ). Notion de grmmire universelle: Les principes qui déterminent l forme de l grmmire et qui choisissent une grmmire de forme ppropriée sur l se de certins fits constituent un sujet qui pourrit, selon l usge trditionnel, être ppelé grmmire universelle. L étude de l grmmire universelle insi comprise est une étude de l nture des cpcités intellectuelles humines. Elle tente de formuler les conditions nécessires et suffisntes qu un système doit remplir pour être considéré comme une lngue humine potentielle, conditions qui ne sont ps vries des lngues humines pr ccident, mis qui sont plutôt enrcinées dns l cpcité de lngge de l homme et qui constituent insi l orgnistion innée déterminnt ce qui compte comme expérience linguistique et ce que l connissnce de l lngue élève sur l se de cette expérience (Chomsky 1967, p ). Éléments de syntxe formelle, clculilité 2 Définitions 2.1 Lngges Un lngge consiste générlement en: - un voculire ou lexique A: ensemle de mots ou symoles - des phrses: suites finies de mots de A Un lngge est un ensemle de phrses définies à prtir d un voculire possile. Une opértion importnte est l concténtion de mots: = Mot vide: e, tel que e = e = Remrques: ) courmment, les théoriciens des lngges formels prlent de symoles là où nous prlons de mots, et de mots là où nous prlons de phrses. ) une phrse est simplement une suite de mots, on ne dit rien à ce stde de son crctère grmmticl ou ps, structuré ou ps. 1

2 2.2 Exemples 1) A = {, } Des phrses:,,,... Quelques lngges: L 1 = {,, } L 2 = { m n ; m, n N} L 3 = { n n ; n N} 2) A = {un, une, homme, femme, ime} Quelques phrses: un une femme homme ime un homme ime une femme 2.3 Arres Un rre: une structure T,, vec T un ensemle de nœuds, et une reltion réflexive trnsitive (dite de dominnce), telle que : (i) il y un nœud qui domine tous les utres (l rcine) (ii) tout élément (utre que l rcine) est dominé strictement et imméditement pr un unique nœud [ie une unique mère] (iii) l reltion est cyclique Remrque: l condition (iii) implique l unicité de l rcine en (i). Pr définition, x domine strictement et imméditement y ssi x et y sont distincts, x domine y, et il n y ps de nœud z distinct de x et y tel que x domine z et z domine y. On peut églement jouter une reltion trnsitive et irréflexive de précédence sur un rre (de guche à droite), ie voir un rre comme une structure T,, telle que: (iv) x précède y ou inversement ssi x ne domine ps y et y ne domine ps x (exclusion de et de ) (v) si x précède y, tous les nœuds dominés pr x précèdent tous les nœuds dominés pr y. (ps de croisement des rnches) Arre étiqueté: en syntxe formelle, on s intéresse à des rres dont les nœuds peuvent comporter des mots (étiquettes). On peut voir un rre étiqueté comme une structure T,,, Q, L où Q est un ensemle d étiquettes et L une fonction (éventuellement prtielle) qui ssocie à un nœud une étiquette. Définitions courntes: x soeur de y; rnche; feuille; x mère de y; nœud rnchnt; nœud terminl (feuille); rre inire, ternire, Exemples (1) une femme ime un homme 2

3 (2) une femme ime un homme (3) une femme ime un homme (4) une femme ime (5) P un homme GN GV une femme ime GN un homme (6) nti- -ment -el -ment constitution nticonstitution -el 2.5 Présenttion linéire d un rre On mnque prfois de plce pour écrire un rre. Dns ce cs, on peut le représenter vec des crochets. Pr exemple, on représenterit l rre 5 pr: (7) [ P [ GN une femme ] [ GV ime [ GN un homme ] ] ] 2.6 Exercices Exercice 1 Trduire les conditions (i)-(v) en logique du premier-ordre vec églité (en utilisnt les symoles et ): Pour (ii), on représenter pr x < y l reltion de dominnce stricte et immédite: - Montrer d ord qu on peut définir x domine strictement et imméditement y (x < y) à prtir de x y 3

4 - pour l unicité: trduire si x est dominé strictement et imméditement pr y et est dominé imméditement pr z, lors y et z sont identiques. Pour (iii): trduire deux nœuds distincts ne peuvent ps se dominer l un l utre. Exercice 2: Reltion de c-commnde. x c-commnde y ssi x est soeur d un nœud qui domine y (ie un nœud c-commnde s soeur et les descendnts de s soeur). Vri ou fux: Dns l rre (2) ci-dessus: une c-commnde femme une c-commnde ime une c-commnde homme ime c-commnde homme ime c-commnde un homme c-commnde un Exercice 3: 1) Représenter vec des crochets les rres vus ci-dessus. 2) Donner les rres correspondnt à: [ [un chien ] [court [ très vite ] ] ] [ [ tous [ les hommes ] ] [regrdent [l télévision ] ] ] 3) Proposer des étiquettes pour les nœuds rnchnts de ces deux rres 3 Grmmire Une grmmire est un système qui permet d engendrer un ensemle de phrses à prtir d un lexique donné. De fçon formelle, une grmmire consiste en: - un lexique propre A (symoles terminux) - un lexique intermédiire I, comprennt un symole initil (symoles de trnsition) - un ensemle R de règles de réécriture Dérivtion d une phrse dns une grmmire Lngge engendré pr une grmmire: ensemle de toutes les phrses (suites de mots) de A dérivles dns l grmmire à prtir de u moyen des règles de R. 3.1 Exemples (8) A = {, }, I = {} e (9) A = {, }, I = {, X} X X X X X X 4

5 3.2 Lien vec les rres Produit d un rre: l suite formée des feuilles de l rre ordonnées pr l reltion de précédence. X X e X Notion de récursivité: les deux grmmires ci-dessus sont récursives, u sens où les règles mènent à répliquer une structure u sein de l structure de déprt. Ce processus explique qu un ensemle fini de règles, sur un voculire fini, puisse engendrer un ensemle infini de phrses. 3.3 Différents types de grmmires Prolème: comment clsser les grmmires? ont-elles toutes ussi expressives? L réponse est négtive. i l on compre les deux grmmires ci-dessus, on peut voir que: dns l seconde grmmire ci-dessus, toutes les règles sont de l forme A xb ou A x, où A et B sont des symoles intermédiires et x un symole terminl (grmmire dite linéire à droite, cf. l rre ci-dessus). dns l première grmmire, l règle n est ps de cette forme. On peut montrer que cette règle n est ps exprimle sous l forme d une règle du type A xb ou A x. Plus générlement, on ici ffire à deux types différents de grmmires u sein d une hiérrchie plus vste (dite de Chomsky): Grmmire grmmires linéires (type 3) grmmires non-contextuelle (context-free grmmrs, type 2) grmmires contextuelles (contextsensitive, Type 1) grmmires de type 0 Règles A xb ou A x A φ αaβ αφβ (vec φ e) φ ψ 3.4 Exercices 1) oit A = {p,,,, ), (}. Proposer un système de réécriture qui engendre exctement toutes les formules du clcul propositionnel. Utiliser I = {, X}. Le sert pour former les tomes: p, p, p,...(indice: X servir triter l construction des tomes, et les formules quelconques). 5

6 P. Égré Introduction ux grmmires formelles - EN ept ) Proposer un système de réécriture de type 3 pour chcun des lngges suivnts (vec A = {, }): ) L 1 = {,,, } ) L 2 = {x; x contient un nomre ritrire (non-nul) d occurrences de et de, dns n importe quel ordre} 4 Grmmires linéires et utomtes finis Une grmmire peut être vue comme un système de réécriture, ou ien comme un utomte: un mécnisme qui, prtnt d un étt initil, engendre ps à ps les phrses du lngge. L meilleure fçon de voir ce qu est un utomte est de commencer pr un exemple: 4.1 Un exemple s p q 4.2 Automtes finis Formellement: Un utomte fini est un quintuplet Q, A, E, s, T, où Q est un ensemle fini d étts; A est un ensemle fini de symoles ou mots (dns lequel on inclut e pr défut); s désigne l étt initil et T un ensemle d étts terminux; E est une reltion de trnsition qui ssocie à un étt et un symole un utre étt. Exemple: ci-dessus, A = {, }, Q = {s, p, q}, T = {q} et l on : E = {(s,, s), (s,, s), (s,, p), (p,, q), (q,, q), (q,, q)}. L reltion E est dite fonctionnelle ssi elle ssocie à chque étt et symole u plus un unique étt. L utomte ser lors ppelé déterministe, et non-déterministe sinon. L utomte cidessus est non-déterministe (pourquoi?). On dit qu un utomte fini produit ou ccepte une phrse sur l lphet A si l phrse peut-être otenue pr l concténtion des mots produits lors d un trjet entre l étt initil et l un des étts terminux. Pr extension, un utomte ccepte un lngge L s il produit toutes les phrses de ce lngge et seulement ces phrses. Nottion: si A est un utomte, on note L(A) l ensemle des phrses cceptées pr A, ie le lngge ccepté pr A. Ex:, sont des phrses cceptées pr l utomte ci-dessus Une utre mnière de considérer les utomtes est de les voir comme des mécnismes de reconnissnce, plutôt que d engendrement des phrses (Rin & cott 1959). L utomte est une unité de commnde à mémoire finie (les étts de l unité de commnde), munie d une tête de lecture qui lit une nde de guche à droite. L unité commence dns l étt initil s et scnne l première lettre du mot et psse à l étt suivnt en se déplçnt d un crn à droite; 6

7 s il y une suite de trnsitions qui lui permet de scnner successivement toutes les lettres et de s rrêter, lors il reconnît le mot, sinon le mot n pprtient ps u lngge reconnu pr l utomte. s q s p 4.3 Lien vec les grmmires de type 3 Des grmmires type 3 vers les utomtes finis: - on trite les symoles intermédiires comme les étts de l utomte - on trite les symoles propres comme l lphet de l utomte - si l règle est de type: A xb, on en fit une trnsition (A, x, B) - si l règle est de type A x, on en fit une trnsition (A, x, q) vec q un des étts de T. Des utomtes vers les grmmires type 3: construction inverse. Ex: les règles de réécriture ssociées à l utomte ci-dessus: P Q Q Q Q Q P Q e Conséquence: les grmmires linéires à droite et les utomtes finis sont équivlents. 4.4 Exercices 1) Considérons l lphet: A = {the, old, mn, men, is, re, here, nd} ) Construire un utomte sur A qui ccepte le lngge: {the mn is here, the men re here} ) Même chose pour: {the mn is here, the men re here, the old mn is here, the old men re here, the old old mn is here, the old old men re here,...} c) Construire l utomte qui ccepte toutes les phrses de ), plus celles otenues pr l conjonction nd. 2) On considère A = {, } ) Construire un utomte qui ccepte toute suite qui ne contient que des (ps l suite vide). ) Construire un utomte qui ccepte toute suite qui contient un nomre impir de, suivi d un nomre ritrire (éventuellement nul) de. c) Construire un utomte qui ccepte ccepte à l fois les phrses cceptées pr l utomte pour ) et celles cceptées pr l utomte pour ). 3) Écrire les grmmires de type 3 pour les lngges suivnts (indice: commencer pr chercher l utomte qui correspond, puis en extrire l grmmire): - L = {x: x contient exctement deux occurrences de, ps nécessirement contiguës}. - L = {x; x contient exctement une occurrence de, ou exctement une occurrence de, ou les deux}. 7

8 4.5 Non-exprimilité On veut montrer que certins lngges ne sont ps engendrles pr un utomte fini. On peut commencer à remrquer que: Proposition 1 Tout ensemle fini de phrses sur un lexique donné peut être engendré pr un utomte fini. Qu en est-t-il pour un lngge infini? oit A un utomte fini qui engendre un lngge infini L(A) (ie un lngge vec des phrses ritrirement longues). i n est le nomre d étts de A, lors on peut trouver une phrse u de longueur n + 1. Dns ce cs, l utomte psse forcément u moins deux fois pr un même étt p (cf l notion de récursivité que nous vons vue): u {}}{ x s p y p z t Donc u peut s écrire xyz, vec y e. Mis puisqu il y une oucle de p à p qui produit y, cel signifie que toutes les phrses xy 2 z, xy 3 z, etc., sont églement dns L(A). On peut résumer en disnt: tout mot suffismment long de L contient un fcteur itérnt (J. krovitch). Proposition 2 ( Pumping lemm ) oit L un lngge infini reconnissle pr un utomte fini sur un lexique A. Alors on peut trouver trois suites x, y et z de mots de A telles que: y est non vide, et pour tout n 0, xy n z L 4.6 Exercice (D près Prtee & l., chlenker) 1) Le cs de n n. oit le lngge L = { n n ; n 1}. Utiliser le lemme de pompge pour montrer que ce lngge n est ps reconnissle pr un utomte fini. (On risonne pr l surde: supposer qu il l est, dns ce cs, il existe x, y, z, vec y non vide, tels que xyz L. Risonner sur les formes possiles de y et montrer que dns tous les cs, on rrive à une contrdiction). 2) Le lngge m n : (i) Montrer que le lngge L = { m n ; m, n 1} est reconnissle pr un utomte fini. (ii) Quel lien y -t-il entre L et L? 3) Center emedding (i) On considère les phrses suivntes de l nglis et du frnçis, qui exemplifient l construction dite center emedding: ) A ird died ) A ird (tht) ct te died c) A ird (tht) ct (tht) dog it te died. ) Un oiseu est mort ) Un oiseu qu un cht mngé est mort c ) Un oiseu qu un cht qu un chien mordu mngé est mort (ii) Considérons l suite de phrses: 8

9 1. A wolf te 2. A wolf wolf te te 3. A wolf wolf wolf te te te... Quel est le schém générl de ces phrses? On pourrit vouloir conclure de 1) que l nglis n est ps engendrle pr une grmmire à étts finis, cr le frgment ci-dessus ne l est ps. Montrer que ce risonnement n est ps conclunt (en vous reportnt à 2)) 4) Intersection de deux lngges. Montrer que si un lngge L est reconnissle pr un utomte fini A et un lngge L est reconnissle pr un utomte fini A, lors l intersection de L et de L est reconnissle pr un utomte fini. Pour cel, on considère l utomte produit M, dont les étts sont de l forme (q, q ) vec q étt de A et q étt de A. L fonction de trnsition E ser telle que: E = {((p, p ),, (q, q )) (p,, q) E et (q,, q ) E } 5) Considérer le lngge ( wolf) m (te) n. Quelle est son intersection vec l nglis (ie vec l ensemle des phrses grmmticles de l nglis)? Montrer qu on peut conclure de 4) et de ce qui précède que l nglis n est ps engendrle pr une grmmire à étts finis. 6) Montrer que tout lngge L k = { n n ; n k} où k est un entier fixé à l vnce, est engendrle pr un utomte fini. Décrire l utomte pour k = 5. Pourquoi ce résultt ne contredit-il ps celui otenu en 1)? 5 Grmmires non-contextuelles Les grmmires non-contextuelles sont des systèmes de réécriture plus expressifs que les grmmires à étts finis, et eucoup mieux dptés (ien qu encore imprfits) à l description des lngues nturelles. Voici un exemple de grmmire non-contextuelle: GN GV GN DET N GV V GN DET un V oserve N chien, homme GN DET N un homme GV V GN oserve DET N un chien L intérêt des grmmires non-contextuelles est qu elles permettent de décrire des constitunts syntxiques : les symoles intermédiires désignent ici des ctégories grmmticles. Comme les grmmires linéires, les grmmires non-contextuelles correspondent à une clsse d utomtes. Ces utomtes sont dits à pile de mémoire (pushdown utomt). Commes les utomtes finis, les utomtes à pile ont un nomre fini d étts, trvillent sur un lphet fini, et se déplcent de guche à droite (modèle de Rin-cott), mis ils peuvent ussi écrire des symoles uxiliires sur un registre de mémoire sépré (l pile). L utomte lit, et joute ou effce des symoles sur l pile (sur le principe: lst in first out). 9

10 5.1 Exercices 1) Le ut de l exercice est de proposer une grmmire non-contextuelle récursive permettnt de dériver les phrses du type: Mrie dort, Pierre dort, Mrie oserve que Pierre dort, Mrie oserve que Mrie dort, Mrie oserve que Pierre oserve que Mrie dort,... Outre les ctégories déjà vues:, GN, GV, vous utiliserez les ctégories: C, pour complémenteur (que), VI pour vere intrnsitif (dort), VT pour vere trnsitif (oserve), N pour nom (Mrie, Pierre). Vous urez esoin d une ctégorie intermédiire CP (pour phrse complétive), pour les constitunts du type: que Mrie dort. Commencer pr construire l rre syntxique correspondnt à l phrse: Mrie oserve que Pierre dort. A prtir de l rre, en inférer les règles de réécriture de l grmmire. 2) Deux grmmires distinctes peuvent engendrer le même lngge, on dit lors qu elles sont équivlentes. Considérer les deux rres suivnts : A C A C B B A C e B Comprer les phrses engendrées pr les deux rres. Proposer un rre inire sur le même modèle qui engendre l suite, l suite 4 4, etc. Trouver le système de réécriture pour l grmmire ssociée qui engendre toutes les phrses du type n n (n 0) à prtir d rres de cette forme (ie qui ne comporte que des règles du type : X Y Z et X x, où X, Y, Z sont des symoles intermédiires et x est symole terminl). Une grmmire non-contextuelle où toutes les règles sont de l forme X Y Z et X x est dite sous forme normle de Chomsky. En conclure que le système otenu normlise l grmmire de l exemple (8). 5.2 Perspectives Pouvoir expressif des grmmires non-contextuelles? Limité ussi: cf. le lngge n n c n. Hiérrchie de grmmires/d utomtes et limittions computtionnelles Mchines de Turing: utomtes plus puissnts encore; peuvent lire et écrire, ller à guche et à droite. e 10

11 Références iliogrphiques N. Chomsky (1967), Le lngge et l pensée, tr. fr. Pyot. B.H. Prtee, A. ter Meulen, R.E. Wll, Mthemticl Methods in Linguistics, Kluwer 1990 [c ]. L.F.T. Gmut (1991), Logic, Lnguge nd Mening, vol 1. Introduction to Logic, Chicgo [c. 7]. J. krovitch (2003), Éléments de théorie des utomtes, Vuiert Informtique [ouvrge vncé, pproche plus lgérique]. P. chlenker ( ), Notes de cours d introduction à l linguistique, EN 2004 et 2005, M. ipser (1996), Introduction to the Theory of Computtion, PW Pulishing Compny. 11

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