1. Limites. Les limites dans la vie courante. Vitesse instantanée. Pente d'une courbe en un point LIMITES

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1 LIMITES. Limites.. Les ites ds l vie courte Vitesse isttée L otio de vitesse, et e prticulier l vitesse d'u objet à u istt précis, est, étommet, subtile et difficile à défiir précisémet. Cosidérez cette ffirmtio : «À l'istt où le chevl frchi l lige d'rrivée, il glopit à 64 km/h». Commet peut-o étyer ue telle ffirmtio? Ue photogrphie e serit d'ucue ide, puisque sur le cliché, le chevl est immobile! Il y ue sorte de prdoe à essyer de qutifier le mouvemet à u momet précis puisqu'e se foclist sur u seul istt o stoppe le mouvemet! Rppelos que l vitesse est l distce prcourue divisée pr le temps t qu'il fllu pour l prcourir. Pour voir l vitesse isttée, o choisir t. O e peut ps predre t, puisqu'o urit ue divisio pr. L vitesse isttée est doc ue ite. Les problèmes de mouvemet étiet u des thèmes cetru de Zéo et d'utres philosophes dès le 5ème siècle vt Jésus Christ. L'pproche modere, redue célèbre pr Newto, e cosidère plus l vitesse à u istt doé, mis sur u petit itervlle de temps cotet cet istt. Zéo d'elée (Elée, ev. 49 Elée, ev. 45) Pete d'ue courbe e u poit O vu ds le chpitre coscré u droites commet clculer l pete d'ue droite. Qu'e est-il pour ue courbe? Cotriremet u droites, l pete d'ue courbe 'est ps costte. Pr eemple, qud les coureurs du Tour de Frce grvisset u col, l pete 'est ps toujours l même ; certis troços sot plus rides que d'utres. Comme l pete d'ue droite est le déplcemet verticl y divisé pr le déplcemet horizotl, l pete e u poit précis d'ue courbe ser obteu e choisisst, utremet dit e pret deu poits «proches» sur l courbe. L pete d'ue courbe e u poit est doc elle ussi ue ite. L otio de ite est prticulièremet utile pour étudier le comportemet d'ue foctio u voisige d'u trou ou d'u bord de so domie de défiitio. Voisige d'u trou Didier Müller - LCP - 6 Voisige d'u bord du domie Chier Alyse

2 CHAPITRE.. Eemple itroductif si dot ous llos étudier le comportemet u voisige de, cr elle est idéfiie e ce poit, puisqu'o urit. Soit l foctio f Méthode umérique L méthode umérique cosiste à costruire u petit tbleu de vleurs. Ds otre cs, o se rpprocher de e vet depuis l guche (i.e. e pret des ombres plus petits que ) et depuis l droite (i.e. e pret des ombres plus grds que ). D'près le tbleu ci-dessous, il semblerit que l ite de f() qud ted vers est. Attetio! Ds les méthodes umériques, les gles sot toujours eprimés e rdis! f()..998 guche idéfii droite Méthode géométrique Nous llos prouver que le résultt de l'lyse umérique est ect pr ue méthode géométrique d hoc. Regrdos le dessi ci-cotre. Aire du trigle OCB Aire du secteur OCB Aire du trigle OCD, d'où : si t Après simplifictios : si t Après divisio pr si() (d'près le dessi si() > ) : si cos si cos Puis e iverst tout : L'rc de cercle BC est ue portio du cercle trigoométrique (de ryo ). Comme o fit tedre vers, cos() ted vers et il résulte que : si O viet de démotrer que, e vet depuis l droite (puisque l'gle est positif), l ite de l foctio f() ted vers. O remrque rpidemet que le résultt est le même e vet depuis l si si guche (i.e. < ), puisque et cos( ) cos(). Comme l ite à guche est égle à l ite à droite, o dit que l ite eiste et qu'elle est égle à. O l'écrit : si Remrque importte Si l ite à guche est différete de l ite à droite, o dit que l ite 'eiste ps. Chier Alyse Didier Müller - LCP - 6

3 LIMITES Grphe de.. si, vec u trou e Défiitio et ottios Défiitio Soit f ue foctio défiie sur u itervlle ouvert cotet. Elle peut e ps être défiie e. L ite de f e est le ombre vers lequel se rpproche l vleur de f() qud se rpproche ussi près qu'o veut de, mis vec. Nottios Il eiste de ombreuses ottios pour idiquer les ites à guche et à droite. Voici celle que ous utiliseros : Limite à guche Limite à droite f L f L Rppelos ecore ue fois que f L f L et f L. Eercice. { si Soit l foctio f() si si Doez :. f Didier Müller - LCP - 6 b. f c. f d. f() Chier Alyse

4 CHAPITRE 4.4. Opértios sur les ites Si f et g dmettet des ites fiies qud, vec fii ou ifii, lors : k f k f, où k est u ombre réel f g f g (idem pour ) f g f g f f si g g g f ( ) f ( ) ( f ( )) ( f ( )) O v mitet clsser les ites e différetes ctégories, puis o développer des techiques de résolutio pour chcue de ces ctégories. O chercher d'bord des ites qud ted vers u ombre fii, puis qud ted vers l'ifii..5. Clcul de ites qud, fii Limites de foctios Itroduisos d'bord ue défiitio ituitive de l cotiuité : cotiues e «Ue foctio est cotiue ds u itervlle si o peut l dessier d'u bout à l'utre de l'itervlle ss lever le cryo.» Si f est cotiue e, l ite e est égle à l'imge de. Eemples si si N D Limite du quotiet de deu foctios Soit l foctio f er cs : déomiteur o ul Si N c et D c, lors f ème cs : umérteur o ul et déomiteur ul Seule ue des trois réposes suivtes est possible : c. c. f. f. f 'eiste ps cr f f Pour détermier l boe répose, il fut doc comprer l ite à guche et l ite à droite. Si elles sot égles, l boe répose ser l. ou l. Si elles sot différetes, l boe répose ser l. Si le umérteur et le déomiteur tedet tous les deu vers, o ue forme idétermiée. Chier Alyse Didier Müller - LCP - 6

5 LIMITES ème cs : umérteur et déomiteur uls 5. N() et D() sot des polyômes Si N(), N() est divisible pr ( ) et si D(), D() est ussi divisible pr ( ). O peut doc simplifier l frctio pr ( ). Eemple : 5 6 Pour les utres cs, o pourr essyer des méthodes umériques ou géométriques b. N() et D() e sot ps des polyômes Ds certis cs, o peut simplifier, près voir mplifié... (voir l'eemple itroductif). Eemple : Nous verros ds le chpitre, 4 4 ( )( +) 4 4 ( 4)( +) 4 ( 4 )( + ) coscré u dérivées, le théorème de l'hôpitl, qui pourr ussi être utilisé. c. Qud, lors si() et t(). Voir l'imge ci-dessous. Attetio, cel e mrche que qud est proche de! E oir : f () E rouge : g() si() E bleu : h() t() Au voisige de, ces trois courbes se superposet presque prfitemet. Vous pouvez le vérifier vec votre clcultrice. Eercice. Clculez, si elles eistet, les ites suivtes : Aide pour les e. -4 : comprer les ites à guche 9. et à droite. Didier Müller - LCP si 8. si si( ). t si si Chier Alyse

6 CHAPITRE 6 Clcul de ites qud.6. Pricipe du gâteu d'iversire Qud o divise u ombre fii pr u ombre tedt vers l'ifii, le résultt ted vers zéro. «Plus le ombre d'ivités est grd, plus l prt de gâteu est petite.» Limite d'ue foctio polyôme qud Théorème E + (respectivemet ), toute foctio polyôme l même ite que so terme de degré le plus élevé. Démostrtio Limite d'ue foctio rtioelle qud Théorème E + (respectivemet ), toute foctio rtioelle l même ite que le rpport des termes de plus hut degré du umérteur et du déomiteur. E effet, d'près le théorème : Formes idétermiées m m bm bm b b Des epressios du type «{ si si bm m { si m si m b ou si m»,,, sot dites idétermiées. Lorsqu'u clcul de ites coduit à ue forme idétermiée, o e peut ps coclure imméditemet ; il fut géérlemet fire quelques trsformtios e utilist pr eemple les formules que vous trouverez ds l mrge. Eemples. 4 4 b c b Refites les deu eemples b. 4. Chier Alyse ci-cotre e utilist l troisième formule! Didier Müller - LCP - 6

7 LIMITES Eercice. 7 Clculez, si elles eistet, les ites suivtes : ( ) Ue ite célèbre Ds le chpitre coscré u logrithmes, ous vios déjà vu cette ite célèbre, qui est l défiitio du ombre e (dot l vleur est ) : Où est l fute de risoemet? Remrquez bie que qud ±, y, puisque y. e. O ussi : y y e. y E effet, e substitut y pr, o retrouve l première ite. Clculez, si elles eistet, les ites suivtes : Il fut utiliser les opértios. pr substitutio pour se du.4 et prfois trviller Didier Müller - LCP - 6 e. C'est ici l'occsio de remrquer que l'o peut fcilemet se tromper e fist des risoemets qui semblet justes. O pourrit e effet se dire que qud ted vers l'ifii, / ted vers, et qu'il reste lors puissce ifii, doc. Or, ce 'est ps l répose ecte. Aussi est-il toujours prudet de vérifier s répose pr ue petite lyse umérique. Eercice.4 rmeer à l défiitio de e. De plus, o ussi t cot Chier Alyse

8 CHAPITRE 8.8. Ce qu'il fut bsolumet svoir Coître les défiitios de ite, ite à guche, ite à droite si Svoir prouver que Svoir résoudre les types de ites vus ds ce chpitre Chier Alyse ok ok ok Didier Müller - LCP - 6