Cours de Terminale S / Fonctions : limites et continuité. E. Dostal

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1 Cours de Terminale S / Fonctions : ites et continuité E. Dostal Août 204

2 Table des matières 2 Fonctions : ites et continuité 2 2. Limites Théorèmes Continuité

3 Chapitre 2 Fonctions : ites et continuité Toutes les fonctions considérées dans ce chapitre sont définies sur R ou une partie de R et sont à valeurs dans R. Les intervalles considérés sont non vides et non réduits à un point. 2. Limites 2.. Limite finie en l infini Définition Soit f une fonction définie (au moins) sur ] a ;+ [.Soit L un réel. On dit que f a pour ite L en + si et seulement si, tout intervalle ouvert contenant L contient aussi tous les réels f() pour assez grand. La droite d équation y = L est alors appelé asymptote horizontale à la courbe C f en + Notation : On écrit f() = L f() l O Eemples : Parmi les fonctions de référence, on trouve par eemple que : = 0 k = 0(k N ) = 0 Remarque : définition analogue en 2

4 Dire que f() = L, c est dire que, pour tout intervalle ]L ǫ;l+ǫ[ avec ǫ > 0, il eiste un réel A tel que pour tout > A, f() ]L ǫ;l+ǫ[ (On retrouve une définition analogue à celle de convergence d une suite du chapitre précédent) 2..2 Limite infinie en l infini Définition 2 La fonction f tends vers + quand tends vers + si et seulement si tout intervalle ]λ;+ [ (λ R) contient toutes les valeurs de pour assez grand. La fonction f tends vers quand tends vers + si et seulement si tout intervalle ] ;λ[ (λ R) contient toutes les valeurs de pour assez grand M f() On a des définitions analogues en. O f() O m Eemples : Parmi les fonctions de référence, on trouve par eemple que : 2 = + n = + 3 = +

5 Définition 3 Soit f une fonction définie dans un intervalle I =]λ;+ [ avec (λ R). La droite d équation y = a+b (a,b réels) est une asymptote oblique à la courbe représentative de f en + si et seulement si : f() = a+b+h() où h est une fonction définie sur I telle que h() = 0 Autre formulation (f() (a+b)) = 0 f() O On a des définitions analogues en. 4

6 2..3 Limite d une fonction en a Soit a un réel et I un intervalle ouvert contenant a ou dont a est une borne, f est donc définie dans I sauf peut etre en a Limite infinie en a Définition 4 On dit que que la fonction f a pour ite + quand tends vers a si et seulement si tout intervalle ]m;+ [(m R) contient tous les réels f() pour tout réel dans I assez proche de a. f() M O a Etension : On définit de manière analogue quand une fonction admet pour ite en a. Notation : On écrit f() = + a Eemples : La fonction est définie sur]0;+ [. 0 est unebornedecet ensemble dedéfinition, donc on peut regarder si f admet une ite en 0. 0 = + Remarque : En général, il faudra souvent distinguer si on approche de a par des valeurs inférieures (ite à gauche) ou par des valeurs supérieures (ite à droite). Ces distinctions apparaîtront aussi dans la notation de la ite : on ajoutera en dessous pour une ite à droite : > a ou on parlera de ite pour a +. = et 0 <0 0 = + >0 Définition 5 La droite d équation = a est asymptote verticale à la courbe représentative de f si et seulement si f() a pour ite + ou quand tends vers a. 5

7 Limite finie en a Définition 6 On dit que la fonction f tends vers L quand tends vers a si et seulement si tout intervalle ouvert contenant L contient aussi toutes les valeurs de f() pour tout réel dans I et assez proche de a. Notation : On écrit f() = L a f() O a Application : Indiquer toutes les ites et asymptotes que vous pouvez déduire du graphique. f()

8 2.2 Théorèmes 2.2. Théorèmes d opérations Les tableau suivants rassemblent les théorèmes d opérations, admis, relatifs au fonctions. (on retrouve les mêmes résultats que pour les suites (mises en rappel)) Théorème Limite d une somme Si f (ou (U n ))a pour ite l l l + + et si g (ou (V n ))a pour ite l + + alors f +g (ou (U n +V n ))a pour ite l+l + + F.A.D. Théorème 2 Limite d un produit Si f (ou (U n )) a pour ite l l 0 0 et si g (ou (V n )) a pour ite l alors fg (ou (U n V n )) a pour ite ll F.A.D. Comprendre dans ce tableau, qu il faudra en plus une étude des signes pour déterminer à quel on a affaire. Théorème 3 Limite d un quotient Si f (ou (U n )) a pour ite l l l 0 0 et si g (ou (V n )) a pour ite l 0 l alors f g (ou U n l )a pour ite V n l 0 F.A.D. F.A.D. En particulier, lorsque le dénominateur tend vers 0, il sera important d en déterminer le signe afin de savoir si on obtient finalement + ou. Proposition 4 Toute fonction polynôme non nulle admet en et + même ite que son terme de plus haut degré. Toute fonction rationnelle non nulle admet en et + même ite que le quotient du terme de plus haut degré du numérateur par le terme de plus haut degré du dénominateur Théorèmes de comparaison Proposition 5 Soit f et g deu fonctions définies dans un intervalle I =] λ;+ [ avec (λ R). telles que pour tout I, f() g() Si g() = + alors f() = + Si f() = alors g() = 7

9 eemple : f() = 2 +sin, pour tout réel, 2 f() Théorème 6 Théorème des gendarmes Si a désigne un réel ou + ou et I un intervalle ouvert contenant a ou dont a est une borne, si f,g et h sont trois fonctions définies dans I sauf peut etre en a telles que pour tout dans I, f() g() h() et f et h ont même ite L en a (L désigne un réel ou + ou ), Alors a g() = L démonstration (raisonnement semblable à celui pour les suites) Eemples :. 2. sin 0 sin Théorèmes de composition Théorème 7 Les lettres α, β et γ désignent ou des nombres réels ou + ou. I est un intervalle ouvert contenant α ou dont α est une borne. J est un intervalle ouvert contenant β ou dont β est une borne. Soit f une fonction définie dans I et g une fonction définie dans J. Si pour tout réel dans I, f() est dans J alors gof est définie sur I par gof() = g(f()) et si α f() = β et β g() = γ alors α gof() = γ démonstration admise Eemple : Proposition 8 Les lettres β et γ désignent ou des nombres réels ou + ou. (V n ) est une suite définie dans N telle que V n = β n + I est un intervalle ouvert contenant β ou dont β est une borne tel que pour tout n N, V n I f est une fonction définie dans I telle que Alors, la suite (f(v n )) a pour ite γ en + f() = γ β 8

10 Eemple : n n + n+ 2.3 Continuité 2.3. Définition Définition 7 Soient I un intervalle, f un fonction définie (au moins) sur I et a I. On dit que f est continue en a lorsque f admet une ite en a égale à f(a) remarque : la condition a f() = f(a) peut s ecrire h 0 f(a+h) = f(a) 9

11 Définition 8 Soit I un intervalle et f une fonction définie (au moins) sur I. On dit que f est continue sur I lorsque f est continue en tout point a de I Théorèmes d opérations et de comparaison Des théorèmes d opérations sur les ites, on déduit : Proposition 9 Soient f et g deu fonctions continues sur un intervalle I et λ R. Alors : f +g est continue sur I λf est continue sur I fg est continue sur I si, de plus, g est non nulle sur I, alors g et f g sont continues sur I Soient f une fonction continue sur un intervalle I et g une fonction continue sur un intervalle J contenant f(i), alors gof est continue sur I Si une suite (U n ) converge vers un réel L et si f est continue sur un intervalle contenant L, alors (f(u n )) converge vers f(l) Conséquences :. Toute fonction polynome (à coefficients réels) est continue sur R. 2. Toute fonction rationnelle (à coefficients réels) est continue sur tout intervalle contenu dans son ensemble de définition. 0

12 2.3.3 Dérivabilité et continuité Théorème 0 Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a. Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. Si f est dérivable sur I, alors f est continue sur I remarque : la réciproque est fausse (eemple : fonction valeur absolue) Théorème des valeurs intermédiaires Théorème Soient f une fonction définie et continue sur un intervalle I et a et b deu réels dans I. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il eiste un réel (sous entendu au moins un) c compris entre a et b tel que f(c) = k remarque : la réciproque est fausse (etude avec la fonction partie entière, a = 0, b = et λ = 0,5... eemple d application : Toute fonction polynôme de degré impair admet au moins une racine. Corollaire 2 Si f est une fonction définie, continue et strictement monotone sur I alors pour tout réel λ compris entre f(a) et f(b), l équation f() = λ admet une unique solution. démonstration par l absurde en supposant deu solutions distinctes et en utilisant la stricte monotonie Remarque : On admettra la généralisation de ce corollaire sur un intervalle ouvert où l une ou les deu bornes est(sont) infini(s) et à la condition que la fonction admette une ite finie ou infinie en cette(ces) borne(s). Convention : Dans un tableau de variations, les flèches obliques traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l intervalle considéré. Dans la rédaction de la solution à un problème, une simple référence au tableau de variations suffira pour justifier l eistence et l unicité d uns solution d une équation du type f() = λ

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