Terminale S Chapitre 2 «Fonctions : limites, continuité et dérivabilité» Page 1. si pour tout M > 0, on a f x < M "pour x assez grand"

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1 Terminale S Capitre «Fonctions : ites, continuité et dérivabilité» Page I) Limites ) Limites à l infini a) Limite finie Définition : Etant donnée une fonction f et un réel α, on dira quelle tend vers α quand tend vers + ] [ si pour tout ε >, on a f α ε ; α + ε "pour assez grand". tend vers α quand tend vers ] [ si pour tout ε >, on a f α ε ; α + ε "pour assez grand". Remarques : α On note alors f = ou f = α. + On dit alors que la droite d'équation y = α est asymptote orizontale à la courbe de f en + ou. Eemple : Montrons que : = + Soit ε >. On a : ] ε; ε[ ε < < ε > ou < ε ε Il suffit donc que >, c'est à dire que soit "suffisamment grand" pour que ] ε; ε[. ε On a donc =. + b) Limite infinie Définitions : Etant donnée une fonction f, on dira quelle tend vers + quand tend vers + si pour tout M >, on a M < f "pour assez grand". tend vers + quand tend vers si pour tout M >, on a f < M "pour assez grand". tend vers quand tend vers si pour tout M >, on a M < f "pour assez grand". tend vers quand tend vers si pour tout M >, on a f < M "pour assez grand" Eemple : Montrons que : + = + + Soit M >. On a : R, > M > M Il suffit donc que > M, c'est à dire que soit "suffisamment grand" pour que > M. On a donc = +. +

2 Terminale S Capitre «Fonctions : ites, continuité et dérivabilité» Page A retenir : On dit que tend vers l infini quand devient «très grand». On dira que tend vers zéro quand devient «très petit». Eercices 3 et 34 page 88 E 3 Somme et produit par un réel de imites en l infini E 34 Donner les asymptotes orizontales à partir des ites à l infini ) Limites au bord d une valeur interdite a) Une évidence Propriété: Si f est une fonction dérivable au voisinage de, alors f = f ( ). Remarque : Cette propriété est en fait celle des fonctions continues que l on verra par la suite. Eemple : ( ) 3 = 3 = 4 3 = car une fonction polynôme est dérivable sur R. b) Limites infinies Définitions : Etant donnée une fonction f et un réel, on dira quelle tend vers + quand tend vers à droite si pour tout M >, on a M < f "pour proce de, > ". tend vers + quand tend vers à gauce si pour tout M >, on a M < f "pour proce de, < ". tend vers quand tend vers à droite si pour tout M >, on a f < M "pour proce de, > ". tend vers quand tend vers à gauce si pour tout M >, on a f < M "pour proce de, < ". Remarques : On note f f f f = + = + = = > < > < Quand f = f = +, on écrit juste f > < On dit alors que la droite d'équation = Eemple : Montrons que : = + > > est asymptote verticale à la courbe. Soit M >. On a : > M < et >. M Il suffit donc que >, c'est à dire que soit "proce de ", c'est à dire très petit, pour que > M. M On a donc = +.

3 Terminale S Capitre «Fonctions : ites, continuité et dérivabilité» Page 3 Attention!! Ce n est pas parce que la valeur est une valeur interdite pour la fonction que sa courbe présente une asymptote verticale en. Il faut, en plus, montrer que les ites en sont infinies. Contre-eemple : sin La fonction f définie par f =. Cette fonction n est évidemment pas définie en. Et sa courbe ne présente pas d asymptote. En effet, nous montrerons dans la suite du cours que les ites en ne sont pas infinies, mais égales à. Eercices 33, 35, 36, 37, 38, 4, 46 et 53 pages 88 à 9 E 33 Déterminer des ites au bord de la valeur interdite E 35 Déterminer l équation de l asymptote orizontale, la ite étant donnée E 36 Déterminer les asymptotes, les ites au bord de l ensemble de définition étant données E 37 Lire les ites sur la calculatrice, se méfier des apparences E 38 Déterminer grapiquement les ites et les asymptotes E 4 Déterminer les ites et les asymptotes à partir d un tableau de variations E 46 Calculer les ites et les asymptotes à partir d une epression algébrique E 53 Associer à caque epression algébrique sa courbe 3) Téorèmes de comparaison Téorème des gendarmes: On désigne par λ un réel ou éventuellement + ou et α R. u f v On se donne trois fonctions u, v et f définies pour " voisin de λ " et vérifiant dans ce cas :. Si u = v = α alors f = α. λ λ λ Remarque : ou est très grand si λ = + ou L epression «voisin de λ» signifie que : est très proce de si λ =. Démonstration (ROC) On fait, par eemple, la démonstration quand λ = + Soit M >. = α ] α ε α + ε[ Comme u, on a u ; pour " assez grand" = α ] α ε α + ε[ Comme v, on a v ; pour " assez grand" ] α ε α + ε[ f = α Comme u f v, on a aussi : f ; pour " assez grand" alors Eemple d application : sin + + sin On sait que sin. On en déduit que, R,. sin On a vu que = =, on en déuit que =

4 Terminale S Capitre «Fonctions : ites, continuité et dérivabilité» Page 4 Téorème du gendarme: On désigne par λ un réel ou éventuellement + ou. On se donne trois fonctions u, v et f définies pour " voisin de α ". Si u = + et si u f alors f = +, Si λ λ u = et si f u alors f =. λ λ Démonstration : Il suffit d appliquer la définition. Eemple d application : Montrer que ( sin ) On sait que R, sin. + + = + + R ( ) ( ) On en déduit que, R, + sin et que, + sin On a vu que = +, on en déuit que + sin = E 7, 74 page 93 E 7 Déterminer grapiquement les ites et utiliser le téorème des gendarmes E 74 Déterminer une ite en encadrant le cosinus 4) Calculs de ites a) Limites et opérations sur les fonctions Comme pour les ites de suite, on peut obtenir la ite d une fonction obtenue à partir d autres fonctions en faisant des «opérations» sur les ites : Si α désigne une ite réelle (finie) : Somme : α + + = + α + = = + + = + + = FI Produit : ( ± ) α ± = ± ± ± = ± règle des signes règle des signes = FI α ± α ± ± Quotient : = = = ± = = ± = FI = FI ± ± ± α ± ± règle des signes règle des signes FI est l'abréviation de "forme indéterminée". Cela signifie que l'on ne peut pas conclure dans le cas général et qu'il faut faire une étude plus fine. b) Limite des fonctions usuelles Fonction affine a + b avec a > Fonction affine a + b avec a > Fonction puissance p, avec p N, 4 6 e:,,... Fonction puissance p+, avec p N, 3 5 e : =,,.. Fonction inverse, sur R Fonction racine, sur + R

5 Terminale S Capitre «Fonctions : ites, continuité et dérivabilité» Page 5 + Si a < a + b = + a + b = + Si a < a + b = a + b = + ± p = + + p+ p+ = + = = ± = + + = + = + Démonstration : On a déjà montré que = = +. + > Comme la fonction inverse est impaire, on en déduit que = = On a déjà montré que =. + < + p p Comme R, pour tout entier naturel p >, d'après le téorème du gendarme, = +. p p En utilisant la parité des fonctions, on obtient que = si p est impair et + sinon. Pour les fonctions affines, i l suffit d'utiliser les opérations sur les ites. E 49, 5, 5 E 49 Déterminer des ites en l infini en utilisant les opérations (sans FI) E 5 Déterminer des ites en l infini en utilisant les opérations (sans FI) E 5 Déterminer les ites au bord d une valeur interdite en utilisant les opérations (sans FI) c) Formes indéterminées : ites infinies des polynômes et fonctions rationnelles + Eemple avec un polynôme : On cerce à déterminer la ite de On a : + en. et donc d'après le tableau c'est une. = + = FI Pour lever l indétermination, il faut travailler plus finement. On met en facteur : + = + si est non nul ( ce qui est le cas quand tend vers + ) = + + = ( + ) = + et donc Comme on rencontre très souvent ce genre de situation, on peut utiliser un téorème général : Téorème : La ite en ± d'un polynôme est égale à la ite en ± de son monôme de plus aut degré.

6 Terminale S Capitre «Fonctions : ites, continuité et dérivabilité» Page 6 Eemples d application (et de rédaction) : = 3 = ou = 4 = + Eemple avec une fonction rationnelle : On cerce à déterminer la ite de On a ( ) ( ) 3 + en +. 3 = + et + = + donc d'après le tableau c'est une FI. + + Pour lever l indétermination, il faut travailler plus finement. On met respectivement Alors et en facteur : 3 3 = et + = + si est non nul ( ce qui est le cas quand tend vers + ) = = Et 3 3 et = + = donc = Comme on rencontre très souvent ce genre de situation, on peut utiliser un téorème général : Téorème : La ite en ± d'une fonction rationnelle est égale à la ite en ± du rapport de ses monômes de plus aut degré. Eemples d application (et de rédaction) : = = = et = = = E 55, 57, 6 et 7 (5 TICE) E 55 Lever l indétermination pour un polynôme E 57 Lever l indétermination pour une fonction rationnelle E 6 Lever l indétermination avec des racines carrées E 7 Retrouver une epression à partir des ites et de valeurs de la dérivée E 5 Résolution numérique d une équation par la métode de la sécante (tableur) Page 8 Résolution numérique d une équation par la métode de Newton-Rapson (tableur) II) Continuité ) Définition Définition : Soient f une fonction définie sur un intervalle I de R et a I. = On dit que f est continue en a si f f a. a On dit que f est continue sur I si elle est continue en tout point de I. Grapiquement, cela signifie que sa représentation grapique ne présente aucun point de rupture : on peut la tracer sans lever le crayon.

7 Terminale S Capitre «Fonctions : ites, continuité et dérivabilité» Page 7 Remarque : Dans un tableau de variations, les flèces indiquent la continuité de la fonction sur les intervalles considérés. E 8, 8 et 83 E 8 Voir la continuité sur une courbe E 8 Etudier la continuité de fonctions définies par morceau E 83 Déterminer la continuité de fonctions définies par morceau ) Cas des fonctions dérivables Propriété : Une fonction dérivable sur un intervalle est aussi continue sur cet intervalle. Démonstration : Notons I l'intervalle. On se donne I et tel + I. ( + ) f f f ( + ) f =. f ( + ) f Comme f est dérivable sur I, = f '. On en déduit que f + f = f ' =. La fonction f est donc continue en tout I. Application : Propriété: Les fonctions usuelles sont continues sur tout intervalle contenu dans leur ensemble de définition. Démonstration: A part la fonction "racine", elles sont toutes dérivables sur leur ensemble de définition. Attention : La fonction inverse n est pas continue sur R mais sur tout intervalle contenu dans R. A retenir : La réciproque est fausse!!! Deu eemples de fonctions continues et non dérivable en Eemple : Une tangente en verticale. La fonction «racine» est continue mais pas dérivable en. Eemple : Pas de tangente en On considère la fonction f définie sur R par : f = sin si et f ( ) = ) La fonction f est-elle continue sur R? ) La fonction f est-elle dérivable sur R? Eemple de fonction non continue : On considère la fonction Partie Entière, notée E définie sur R, à valeurs dans Z. Elle fait correspondre à R E le plus grand entier relatif inférieur ou égal à, noté.

8 Terminale S Capitre «Fonctions : ites, continuité et dérivabilité» Page 8 Par conséquent, E = n n < n +. Eemples : E E E 4 = 4, 6, = 6, = et E 4,3 = 5. La fonction partie entière est continue sur tout intervalle de la forme [ n, n + [ mais en aucun entier n. 3) Téorème des valeurs intermédiaires Téorème : [ ] [ a b] Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle ; de R. Pour tout réel k compris entre f a et f b, il eiste au moins un réel c a, b tel que f c = k. Utilité : Ce téorème permet de prouver l eistence d une (ou plusieurs) solutions d une équation. Il ne permet pas de répondre à une question du type : «Résoudre f ( ) =» Mais à une question du type : «Prouver que l équation f ( ) = admet solution dans [- ;].» Application : Localiser une solution «non calculable» pour éventuellement en déterminer une valeur approcée. Il eiste diverses métodes d approimation d une solution : par balayage (tableur) ou par dicotomie Utilisation de la calculatrice. Téorème : Etension à R Soit f une fonction définie et continue sur R. Si f admet des ites en + et en, alors pour tout réel k strictement compris entre f et f, + il eiste au moins un réel c R tel que f c = k. Démonstration : Supposons pour simplifier que < Si f = +, il eiste un réel b tel que f b > k. + + Si f = α, comme k α il eiste un réel b tel que f b > k. + f f De la même façon, on montrerait l'eistence d'un réel a tel que f a > k. On applique alors le téorème précédent pour obtenir le résultat. Application : Téorème fondamental ne l'analyse : Tout polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle. Démonstration (ROC). Eistence TVI en utilisant l eistence d une valeur positive et d une valeur négative, les ites étant infinies et de signes contraires.

9 Terminale S Capitre «Fonctions : ites, continuité et dérivabilité» Page 9 Corollaire: [ a b]. [ a b] Si f est une fonction est continue strictement monotone sur un intervalle,, alors pour tout réel k compris entre f a et f b, l'équation f = k admet une unique solution dans l'intervalle, Démonstration (ROC) Eistence : TVI Unicité : monotonie E 84, 87, 93 et 95 E 84 E 87 E 93 E 95 Appliquer le TVI avec une epression numérique sur un intervalle borné Appliquer le corollaire à partir d un tableau de variation sur un intervalle borné Appliquer le corollaire avec une epression sur R et donner une valeur approcée Appliquer le corollaire avec une epression sur R et donner une valeur approcée 4) Limite de la composée de deu fonctions On désigne par λ, µ et ϕ trois réel s ou éventuellement + ou. Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle J "contenant µ ". Soit u une fonction définie sur un intervalle I "contenant Si u = µ λ alors f ( u) = ϕ u µ Démonstration : Admis. Eemple : Déterminons f λ ( u ) E 6,6,64 et 65 E 6 Ecrire l epression de la composée et calculer les ites E 6 Ecrire l epression de la composée et calculer les ites E 64 Calculer les ites de la composée III) Fonctions trigonométriques ) Périodicité, parité = λ" et telle que I, u J. Par définition, les fonctions sinus et cosinus sont définies sur et périodique de période π. On a donc R, sin ( + π ) = sin D après les formules de première sur les angles opposés, on a : Définition : Soit f une fonction définie sur R. On dit que f est paire si R, f = f. On dit que f est impaire si R, f = f. Par eemple, la fonction carré est paire et la fonction cube, impaire.

10 Terminale S Capitre «Fonctions : ites, continuité et dérivabilité» Page Propriété : Dans un repère ortogonal, les fonctions paires ont un grape symétrique par rapport à l'ae des ordonnées, les fonctions paires ont un grape symétrique par rapport à l'origine du repère. Propriété : La fonction cosinus est paire. La fonction sinus est impaire. Bilan : Il suffit d étudier les fonction sinus et cosinus sur [ ;π ], on étendra à R en utilisant la périodicité et la parité. E 6, 7 et 8 E 6 Etudier la parité de fonctions définies par sinus et cosinus E 7 Etudier la périodicité de fonctions définies par sinus et cosinus E 8 Etudier la parité et la périodicité de la fonction valeur absolue de sinus ) Continuité et dérivabilité a) Une inégalité bien utile : π sin ;, on a : sin < cos Démonstration : On note A l aire du triangle OAM On note A l aire secteur angulaire OAM On note A 3 l aire du triangle OAT OA MH sin sin A = = = A = π = π sin AT cos OH MH sin En utilisant Tales dans OAT, on obtient = = = c'est la tangente... OA AT cos AT OA AT sin sin A3 = = AT = = cos cos Comme A A A3 on obtient, en multipliant par, sin π ;, sin >, on obtient l inégalité annoncée. Comme sur b) Continuité en des fonctions sinus et cosinus. sin. cos

11 Terminale S Capitre «Fonctions : ites, continuité et dérivabilité» Page π On a : ;, sin et, < = d'après le téorème des gendarmes, on a aussi : sin =. < > Comme la fonction est impaire, on a aussi sin =. Comme sin =, la fonction sinus est bien continue en. On sait que R, cos = sin Comme sin =, on a cos =. Comme cos =, la fonction cosinus est continue en. c) Dérivabilité en des fonctions sinus et cosinus π sin ;, < sin. cos cos Comme tout est strictement positif, on peut inverser :. sin sin sin Comme sin >, on peut multiplier par sin : cos. sin Comme cos =, d'après le téorème des gendarmes : =. sin sin( ) On a donc montré que =, c'est à dire que la fonction sinus est dérivable en et que sin' =. On sait que cos = sin sin sin sin cos = = sin sin = = = cos cos( ) On a donc montré que =, c'est à dire que la fonction sinus est dérivable en et que cos' =. d) Dérivabilité sur des fonctions sinus et cosinus :

12 Terminale S Capitre «Fonctions : ites, continuité et dérivabilité» Page ( + ) ( ) + ( ) sin ( cos( ) ) + cos sin( ) sin sin sin cos cos sin sin = = cos( ) sin ( ) = sin + cos. cos( ) sin( ) On sait que : = et = sin( + ) sin On en déduit que = sin + cos = cos On a donc montré que la fonction sinus est dérivable sur R et que sa dérivée est cosinus. ( + ) ( ) ( ) cos ( cos( ) ) sin sin ( ) cos cos cos cos sin sin cos = = cos( ) sin( ) = cos sin. cos( ) sin ( ) On sait que : = et = cos( + ) cos On en déduit que = cos sin = sin On a donc montré que la fonction cosinus est dérivable sur R et que sa dérivée est l'opposé du sinus. Bilan : Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur R et sin' = cos cos' = sin 3) Etude sur [ π ; π ] - et sur Grapes : Sinus Cosinus Les variations des fonctions sinus et cosinus sur [ π; π ] sont les suivantes: π π π π π π cos + sin sin + cos E, 4, et 44 E Montrer des inégalités en étudiant les variations de fonctions définies avec des sinus et cosinus E 4 Résolution d un problème d aire avec étude de fonction (utilisation de calcul formel) E Etude de la fonction tangente IV) Dérivée des fonctions composées

13 Terminale S Capitre «Fonctions : ites, continuité et dérivabilité» Page 3 Propriété : Etant donnée une fonction et une fonction u dérivable sur un intervalle J telle u I pour tout J, la fonction composée f u f dérivable sur un intervalle I est dérivable et sa dérivée g = f ( u ) Eemples : Déterminer ) f = u = + g = ) f = + u = g = ) f = u = + g = ) f = + u = g = ) f = 3 u = cos g = dans les cas suivants est donnée par u ' f '( u) Remarque : Attention pour composer, il faut bien respecter l ordre des fonctions. sin sin Eemples : E 96, 97,, E 96 E 97 E Associer à caque epression algébrique composée sa dérivée Associer à caque epression algébrique composée sa dérivée Dériver des fonctions composées cos cos E Etude de Propriété : Soit f une fonction continue sur un intervalle I R tel que I, f I. ( u ) ( u ) u = f ( u ) On peut alors définir une suite par. Si la suite n n n+ n converge, alors sa ite est une solution de l'équation f =. E 34 E 34 Etude d une suite qui converge vers

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