Annales. Maths. Obligatoire + Spécialité. Sandrine Bodini-Lefranc Professeur agrégé de Mathématiques Professeur en classes préparatoires MPSI

Transcription

1 Annales Bac 016 Sujets et corrigés Maths Obligatoire + Spécialité T erm Sandrine Bodini-Lefranc Professeur agrégé de Mathématiques Professeur en classes préparatoires MPSI Sandrine Dubois Professeur certifié de Mathématiques Professeur en lycée

2 Conception graphique de la couverture : Alain Vambacas Ligne graphique de l intérieur : Jehanne Marie Husson Réalisation Schémas : Rémi Picard et Lasergraphie Mise en pages : Lasergraphie ISBN : Hachette-Livre 015, 58, rue Jean Bleuzen, CS 70007, 9178 Vanves Cedex. Tous droits de traduction, de reproduction et d adaptation réservés pour tous pays.

3 AVANT-PROPOS Ces annales ont été préparées pour permettre un entraînement continu tout au long de l année de terminale S. Elles sont conçues pour vous aider à acquérir la rigueur nécessaire, non seulement à la réussite à l épreuve de mathématiques du Baccalauréat, mais aussi à la poursuite sans encombre d études supérieures. Nous souhaitons que cet ouvrage soit le compagnon indispensable de votre préparation au Baccalauréat et qu il vous soit particulièrement utile lors de vos révisions de contrôle ou de bacs blancs. Pour ce faire, il vous propose : Une aide pour votre préparation Des Conseils généraux (page 16) vous indiquent une méthode de travail à suivre durant l année de terminale. Vous y trouverez aussi des recommandations très utiles pour gérer au mieux le jour de l épreuve. Une thématique détaillée Un Tableau des sujets par thèmes du programme (page 1) vous permet de choisir les exercices à travailler en fonction de l avancée de vos connaissances en cours d année scolaire. Chaque grande partie du programme y est répertoriée. Des sujets complets Nous avons réuni sujets complets et récents du baccalauréat (soit plus de 100 exercices) qui comprennent tous l exercice de spécialité. Ces sujets ont été retenus en fonction des critères suivants : n Le programme de mathématiques de terminale S (aussi bien l enseignement obligatoire que l enseignement de spécialité) est largement couvert. n Une même notion est abordée plusieurs fois afin de la voir sous différents angles et, par conséquent, de mieux l assimiler. n Des exercices de toute nature sont proposés, qu il s agisse : d exercices de type standard : une seule partie du cours y est abordée (les nombres complexes, par exemple) ; d exercices de type mixte : plusieurs thèmes y sont mélangés (les nombres complexes et les suites, par exemple) ; d exercices de type Q.C.M. ; ou de problèmes concrets faisant appel à d autres disciplines (physique ou sciences de la vie et de la terre). De plus, pour chaque exercice, une durée estimée de résolution figure au début du sujet. Ce minutage est établi en fonction du nombre de points attribués à l épreuve. Vous pouvez ainsi vérifier que vous avez le niveau d entraînement et la rapidité nécessaires le jour de l épreuve. et intégralement corrigés n Tous les sujets sont entièrement corrigés. Les Q.C.M. pour lesquels le candidat n a généralement pas à justifier ses réponses le sont aussi et, ce, de manière approfondie. n Les corrigés sont rédigés dans un style rigoureux qui illustre le niveau que vous devez atteindre pour élaborer un raisonnement scientifique correct. n Ces corrigés contiennent aussi de nombreux rappels de cours et de méthode (qui apparaissent dans des encadrés sur fond de couleur) : ceux-ci doivent vous aider à synthétiser votre cours et à compléter vos fiches (voir page 16, Conseils généraux). Nous souhaitons vivement que ce livre réponde à votre attente et participe à votre réussite en terminale S, au baccalauréat et après! Bon courage Les auteurs 3

4 exercice 3 Exercice 1 : 60 min. Exercice : 45 min. Exercice 3 : 60 min. Spécialité exercice 3 : 60 min. MODE D EMPLOI Le temps de réalisation conseillé pour chaque exercice. avril 013 Pondichéry Durée indicative de résolution : SUJET 16 CONSEILS Détail du thème principal et des sous-thèmes abordés dans chaque exercice. Exercice 4 : 75 min. Analyse Fonction : limite, dérivation ; Fonction exponentielle ; Intégration : primitives, valeur moyenne (5 points) ExErcicE 1 Partie 1 On s intéresse à l évolution de la hauteur d un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique ci-dessous représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours., hauteur (en mètre) y = 1,8 1,6 1,4 1, 1 0,8 0,6 0,4 0, temps (en jours) On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type : a h(t) = 1 + be où a et b sont des constantes réelles positives, t est la 0,04t 44 Sujet 16 variable temps exprimée en jours et h(t) désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres. Sujet 16 exercice 3 Nombres complexes Formes algébriques ; le plan complexe ; interprétation géométrique. (5 points) Le plan complexe est muni d un repère orthonormé direct (O, ru, rv). On note i le nombre complexe tel que i = 1. On considère le point A d affixe Z A = 1 et le point B d affixe Z B = i. À tout point M d affixe Z M = x + iy, avec x et y deux réels tels que y 0, on associe le point M9 d affixe Z M9 = iz M. On désigne par I le milieu du segment [AM]. Le but de l exercice est de montrer que pour tout point M n appartenant pas à (OA), la médiane (OI) du triangle OAM est aussi une hauteur du triangle OBM9 (propriété 1) et que BM9 = OI (propriété ). 1. Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend Z M = e i p a) Déterminer la forme algébrique de Z M. b) Montrer que Z M9 = 13 i. Déterminer le module et un argument de Z M9. c) Placer les points A, B, M, M9 et I dans le repère (O, ru, rv) en prenant cm pour unité graphique. Tracer la droite (OI) et vérifier rapidement les propriétés 1 et à l aide du graphique.. On revient au cas général en prenant Z M = x + iy avec y 0. a) Déterminer l affixe du point I en fonction de x et y. b) Déterminer l affixe du point M9 en fonction de x et y. c) Écrire les coordonnées des points I, B et M9. d) Montrer que la droite (OI) est une hauteur du triangle OBM9. e) Montrer que BM9 = OI. SPÉciALiTÉ exercice 3 récurrence (5 points) 3 Corrigé page 55 Matrices et suites : calculs, suites ; Suites : On étudie l évolution dans le temps du nombre de jeunes et d adultes dans une population d animaux. Pour tout entier naturel n, on note j n le nombre d animaux jeunes après n années d observation et a n le nombre d animaux adultes après n années d observation. Il y a au début de la première année de l étude, 00 animaux jeunes et 500 animaux adultes. Ainsi j 0 = 00 et a 0 = 500. On sait qu initialement, pour t = 0, le plant mesure 0,1 m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de m. Déterminer les constantes a et b afin que la fonction h corresponde à la croissance du plant de maïs étudié. Partie On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction f définie sur [0 ; 50] par f(t) = e 0,04t. 1. Déterminer f 9(t) en fonction de t (f 9 désignant la fonction dérivée de la fonction f ). En déduire les variations de la fonction f sur l intervalle [0 ; 50].. Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à 1,5 m. 3. a) Vérifier que pour tout réel t appartenant à l intervalle [0 ; 50] on a e f(t) = 0,04t e 0,04t Montrer que la fonction F définie sur l intervalle [0 ; 50] par F(t) = 50 ln(e 0,04t + 19) est une primitive de la fonction f. b) Déterminer la valeur moyenne de f sur 1 intervalle [50 ; 100]. En donner une valeur approchée à 10 près et interpréter ce résultat. 4. On s intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction f. La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de t. En utilisant le graphique page précédente, déterminer une valeur approchée de celle-ci. Estimer alors la hauteur du plant. exercice Géométrie dans l espace Produit scalaire : application ; Géométrie vectorielle : représentation paramétrique d une droite et d un plan, intersection de l espace (4 points) Corrigé page 51 Pour chacune des questions, quatre propositions de réponse sont données dont une seule est exacte. Pour chacune des questions indiquer, sans justification, la bonne réponse sur la copie. Une réponse exacte rapporte 1 point Une couleur particulière pour chaque thème du programme. 1. a) Z M = e i p Sujet 16 corrigés Sujet 16 corrigés i 3 = 1 - i 3 b) Z M9 = - iz M = - i (1 i 3 ) = i car i² = - 1. Z M9 = ( 3) + ( 1) = Z M9 = 3 1 5p 6 + i sin 6 Donc Z M9 = et arg (Z M9 ) = - 5p (mod p). 6 c) 3 = cos p 3 + i sin p 3 = 1 i = cos 5p détaillés, et complétés de rappels de cours et de conseils, sur fond coloré. exercice 1 Partie 1 Rappel de cours : théorème sur la limite de fonction composée Soient f, g deux fonctions et a, b, c désignent des réels ou + ou. lim Si lim g(x) = c lim f(x) = b x a alors lim f(g(x)) = c x a x b 0,04t = t + alors lim e- 0,04t e9 = 0 = 0 t + t - lim puis lim be- 0,04t = 0 et lim 1 + be- 0,04t = 1 t + t + a Donc lim 1 + be - 0,04t = a par passage au quotient ainsi lim Or lim h(t) = d après l énoncé, donc a =. t + t + D où h(t) = 1 + be - 0,04t Or h(0) = 0,1 d après l énoncé, d où b = 19. Partie b t + h(t) = a. = 0,1 soit = 0,1 + 0,1b car b - 1 donc Méthode : Dérivation de l inverse d une fonction : Soit v une fonction dérivable sur un intervalle I tel que v(x) 0 pour tout x de I alors 1 v est dérivable sur I et v 1 9 = v9 v². Dérivé de la fonction e u : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I alors e u est dérivable sur I et (e u )9 = u9e u. A 1 1 M 1 On vérifie que la médiane issue de O du triangle OAM et aussi la hauteur issue de O du triangle OBM9, et que BM9 = OI.. a) I est le milieu de [AM], donc Z I = Z A + Z M b) Z M9 = - iz M = - i (x + iy) = y - ix. 1 + x c) I t 0,04t est dérivable sur [0 ; 50] comme fonction linéaire donc t e - 0,04t est dérivable sur [0 ; 50] puis t e - 0,04t est dérivable sur [0 ; 50]. De plus e - 0,04t. 0 sur [0 ; 50], donc e - 0,04t. 0 sur [0 ; 50] ainsi e - 0,04t 0 sur [0 ; 50]. Donc f est dérivable sur [0 ; 50] et, pour tout t [0 ; 50] : f9(t) = - 19 (- 0,04 e- 0,04t ) 1,5 e - 0,04t ( e - 0,04t soit f9(t) = )² ( e - 0,04t ) Or, e - 0,04t. 0 sur [0 ; 50] et ( e - 0,04t )². 0 sur [0 ; 50] Donc f9(t). 0 sur [0 ; 50]. Donc f est strictement croissante sur [0 ; 50]. 51 ; y ; B (0 ; 1) et M9(y ; - x). 1 B y M = 1 + x + iy = 1 + x y + i. x 55 Schémas en couleurs. 4

5 Avant-propos... 3 Tableau des sujets... 1 Se préparer à l épreuve du Bac Présentation de l épreuve de mathématiques au baccalauréat Conseils généraux S entraîner sur les sujets d écrit Les sujets de 015 sont présentés à partir de la page 19. SUJET 1 France métropolitaine Juin Exercice 1 : Probabilités Loi exponentielle, Intervalle de fluctuation asymptotique Exercice : Géométrie dans l espace Équation cartésienne de plan. 0 Exercice 3 : Nombres complexes Équations, Forme exponentielle, Interprétation géométrique... 1 Spécialité Exercice 3 : Arithmétique, Équations diophantiennes, Matrices, Suites... Exercice 4 : Analyse Fonction logarithme népérien, Tangente, Algorithme SUJET Pondichéry Avril Exercice 1 : Analyse Fonction exponentielle, Intégration Exercice : Analyse Suites, Limites Exercice 3 : Probabilités Loi normale, Loi binomiale Exercice 4 : Géométrie dans l espace, Algorithmique Spécialité Exercice 4 : Arithmétique SUJET 3 D après Nouvelle-Calédonie Novembre Exercice 1 : Nombres complexes Lieux géométriques Formes algébrique et exponentielle Exercice : Analyse Fonction logarithme népérien Théorème des valeurs intermédiaires Suites

6 Exercice 3 : Probabilités Loi exponentielle Loi binomiale Exercice 4 : Géométrie dans l espace Représentation paramétrique, Produit scalaire Spécialité Exercice 4 : Matrices Schéma probabiliste SUJET 4 D après Pondichéry Avril Exercice 1 : Analyse Fonction logarithme népérien, Intégration Exercice : Géométrie dans l espace Produit scalaire Spécialité Exercice : Matrices Exercice 3 : Probabilités Loi de probabilité Variables aléatoires SUJET 5 D après Pondichéry Avril Exercice 1 : Analyse Fonction logarithme, Intégration, Suites Exercice : Géométrie dans l espace Spécialité Exercice : Matrices et suites Graphes, Calculs Exercice 3 : Probabilités Loi binomiale, Loi continue Exercice 4 : Analyse Suites SUJET 6 D après France métropolitaine Juin Exercice 1 : Analyse Suites Exercice : Analyse Fonction exponentielle, Aire Exercice 3 : Probabilités Intervalle de fluctuation, Estimation Exercice 4 : Nombres complexes Le plan complexe, Transformations géométriques, Lieux géométriques Spécialité Exercice 4 : Arithmétique SUJET 7 D après Nouvelle-Calédonie Novembre Exercice 1 : Géométrie dans l espace Produit scalaire Exercice : Nombres complexes Forme trigonométrique, Interprétation géométrique Spécialité Exercice : Matrices Exercice 3 : Probabilités Variables aléatoires, Loi binomiale Exercice 4 : Analyse Intégration, Fonctions Exercice 5 : Analyse Fonctions, Suites

7 SUJET 8 D après Liban Juin Exercice 1 : Probabilités Loi normale Exercice : Nombres complexes Géométrie dans l espace Spécialité Exercice : Arithmétique Matrices Exercice 3 : Analyse Fonction logarithme népérien Suites Exercice 4 : Analyse Fonction exponentielle, Intégration SUJET 9 D après Nouvelle-Calédonie Novembre Exercice 1 : Nombres complexes Formes algébriques et trigonométriques, Lieux géométriques Exercice : Probabilités Loi binomiale, Loi exponentielle Exercice 3 : Analyse Tangente, Théorème des gendarmes Exercice 4 : Géométrie dans l espace Distance, Représentation paramétrique d une droite Spécialité Exercice 4 : Arithmétique Théorème de Bézout, Équation de la forme ax + by = c SUJET 10 D après France métropolitaine Septembre Exercice 1 : Analyse Fonctions, Dérivation Exercice : Analyse Suites Exercice 3 : Nombres complexes Le plan complexe, Forme algébrique, trigonométrique et exponentielle Spécialité Exercice 3 : Arithmétique Congruence Exercice 4 : Probabilités Loi normale SUJET 11 D après Amérique du Sud Novembre Exercice 1 : Géométrie dans l espace Distance, Représentation paramétrique Exercice : Nombres complexes Interprétation géométrique Spécialité Exercice : Arithmétique Équation de la forme ax + by = c Exercice 3 : Probabilités Loi binomiale Exercice 4 : Analyse Fonction logarithme népérien, Suites SUJET 1 D après Polynésie française Septembre Exercice 1 : Nombres complexes Interprétation géométrique Exercice : Probabilités Conditionnement

8 Exercice 3 : Analyse Fonction exponentielle, Intégration Exercice 4 : Géométrie dans l espace SUJET 13 D après France métropolitaine Juin Exercice 1 : Géométrie dans l espace Exercice : Analyse Suites Exercice 3 : Nombres complexes Lieux géométriques Spécialité Exercice 3 : Arithmétique Théorème de Gauss Exercice 4 : Probabilités Conditionnement, Loi uniforme SUJET 14 D après Pondichéry Avril Exercice 1 : Probabilités Probabilités conditionnelles, Algorithmique Exercice : Géométrie dans l espace Représentation paramétrique, Intersection Exercice 3 : Analyse Suites, Fonction exponentielle, Intégration Exercice 4 : Nombres complexes Plan complexe, Interprétation géométrique... 0 Spécialité Exercice 4 : Arithmétique Équation de la forme ax + by = c, Cryptographie SUJET 15 D après France métropolitaine Juin Exercice 1 : Analyse Fonctions, Tangentes, Dérivation Exercice : Probabilités Loi binomiale Logarithme népérien Exercice 3 : Analyse Logarithme népérien Limites Suites Intégration... 3 Exercice 4 : Nombres complexes Forme algébrique Interprétations géométriques Lieux géométriques Spécialité Exercice 4 : Arithmétique Équation de la forme ax + by = c Congruences Cryptographie SUJET 16 Pondichéry Avril Exercice 1 : Analyse Fonction : limite, dérivation ; Fonction exponentielle ; Intégration : primitives, valeur moyenne Exercice : Géométrie dans l espace Produit scalaire : application ; Géométrie vectorielle : représentation paramétrique d une droite et d un plan, intersection dans l espace

9 Exercice 3 : Nombres complexes Formes algébriques, le plan complexe, interprétation géométrique Spécialité Exercice 3 : Matrices et suites : calculs, suites ; Suites : récurrence Exercice 4 : Probabilités Suites Algorithmique Loi de probabilité : loi binomiale, combinatoire ; Loi continue : loi normale centrée réduite ; Suites : suites géométriques, limites SUJET 17 Amérique du Nord Mai Exercice 1 : Géométrie dans l espace : produit scalaire, représentation paramétrique de droite, intersection dans l espace Exercice : Algorithmique Suites : récurrence, suites majorées... 6 Spécialité Exercice : Algorithmique Arithmétique : divisibilité, cryptographie Exercice 3 : Probabilités : loi exponentielle, loi normale, probabilité conditionnelle Exercice 4 : Analyse : fonction exponentielle, intégration SUJET 18 Liban Mai Exercice 1 : Géométrie dans l espace Produit scalaire : application. Géométrie vectorielle : représentation paramétrique d une droite, intersection dans l espace Exercice : Probabilité : conditionnement Loi continue : loi normale et loi centrée réduite Exercice 3 : Analyse Fonction : limite, dérivation. Fonction exponentielle Intégration : primitives, aires Exercice 4 : Analyse Suites : limites de suites, raisonnement par récurrence, convergence Algorithmique Spécialité Exercice 4 : Matrices et suites : calculs matriciels, suites Suites : récurrence SUJET 19 France métropolitaine Juin Exercice 1 : Probabilités ; Conditionnement ; Loi binomiale... 9 Exercice : Analyse Fonction exponentielle ; dérivation ; théorème des valeurs intermédiaires ; intégration ; aire Algorithme

10 Exercice 3 : Nombres complexes : lieux géométriques ; forme exponentielle. Géométrie dans l espace : produit scalaire ; représentation paramétrique de droite Exercice 4 : Analyse Suites ; limites ; suites géométriques ; sommes.. 96 Spécialité Exercice 4 : Matrices Suites SUJET 0 Pondichéry Avril Exercice 1 : Probabilités Loi exponentielle Exercice : Analyse Fonctions, Tangente. Géométrie dans l espace Équations de plan Exercice 3 : Nombres complexes Suites Algorithme Spécialité Exercice 3 : Matrices Suites Algorithme Exercice 4 : Analyse fonction exponentielle, variations, limite, intégration, aire SUJET 1 Amérique du Nord - Mai Exercice 1 : Probabilités Lois continues, loi binomiale, intervalle de confiance... 3 Exercice : Analyse Fonction exponentielle, variations d une fonction, intégration Exercice 3 : Géométrie dans l espace Section de cube, repérage Exercice 4 : Analyse Suite, algorithme, suites géométriques Spécialité Exercice 4 : Matrices, suites, tableurs SUJET France métropolitaine Juin Exercice 1 : Analyse Fonction exponentielle, Variation, Limites, Intégration, Aires, Suites Exercice : Probabilités Conditionnement, Loi normale, Intervalle de fluctuation asymptomatique à 95 % Exercice 3 : Complexes Équations, Forme algébrique, ROC Exercice 4 : Géométrie dans l espace Équations paramétriques de plan et cartésiennes de droites Spécialité Exercice 4 : Matrices Suites Algorithme