F O R M U L A I R E Inspection des lots : plans d'échantillonnage

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1 F O R M U L A I R E Inspection des lots : plans d'échantillonnage N : nombre d unités(pièces, composants) dans le lot = taille du lot n : nombre d unités dans l échantillon = taille de l'échantillon D : nombre d unités non conformes dans le lot p = D / N : proportion d unités non conformes dans le lot = qualité du lot ( 0 <= p <= 1 ) X : nombre d unités non conformes dans l échantillon X / n : proportion d unités non conformes dans l échantillon c : nombre d acceptation (plan simple) - il définit la règle de décision pour accepter/rejeter un lot (c est noté Ac pour "Accept" dans le plan standard MIL STD 105E ) si X <= c le lot est accepté si X > c le lot est rejeté Pa ( p ) : probabilité d accepter un lot de qualité p Courbe caractéristique d'un plan : graphique de Pa ( p ) en fonction de p AQL ("Acceptable Quality Level") : limite supérieure de «bonne» qualité proportion maximale d'articles non-conformes qui peut être considéré comme une moyenne satisfaisante par le producteur et le consommateur (client). RQL ("Rejectable Quality Level") : limite inférieure de «mauvaise» qualité (aussi noté LQL "Limiting Quality Level") (aussi noté LTPD "Lot Tolerance Percent Defective" dans les plans de Dodge-Romig) proportion minimale d'articles non-conformes qui peut être considéré comme une moyenne non satisfaisante par le consommateur. AOQ (p) : Average Outgoing Quality - qualité moyenne de sortie (en inspection rectificatrice) AOQL : Average Outgoing Quality Limit - qualité moyenne maximale (en inspection rectificatrice) ATI : Average Total Inspection ( en inspection rectificatrice) α = alpha = risque du producteur : probabilité de rejeter un lot de qualité AQL β = beta = risque du consommateur : probabilité d'accepter lot de qualité RQL qualité lot_ Pa ( p ) décision AQL RQL_ accepter lot 1 - α β rejeter lot α 1 - β_ α courbe caractéristique β 0 p 0 AQL RQL CLASSIFICATION des PLANS par attribut caractéristique qualitative ( classement conforme / non conforme) (a) simple, double, multiple, séquentiel, en chaîne (ChSP-1), skip lot (SkSP-1) (b) basés sur le AQL : système MIL STD 105 E (ou ANSI/ASQ Z1.4 ou ISO 2859) (c) basés sur le LTPD ou AOQL : système de Dodge-Romig (d) production continue d'unités sans formation de lot : MIL STD 1235 CLASSIFICATION des PLANS pour mesure caractéristique quantitative continue - détails page 5 Bernard Clément, PhD février

2 DESIGN d'un PLAN SIMPLE par ATTRIBUT Plan ( n, c ) : un échantillon de taille n est prélevé (sans remise) c : nombre d'acceptation p = D/N : qualité du lot ( D = p N ) X : nombre de pièces non conformes dans l échantillon X est distribuée selon une loi hypergéométrique ( N, D, n ) qui l'on peut remplacer par une approximation basée sur une loi binomiale ( n, p ) ou une loi de Poisson ( np) P a pn N(1 p) C x n x ( p) = x= 0 N n Hypergéométrique (exacte) (1) n C x n x = p (1 p) x= 0 x = c e np x= 0 x! ( np ) x déterminer n et c tels que P a ( p 1 ) = 1 - α (4) P a ( p 2 ) = β (5) Remarque : une solution exacte de (4) et (5) est rarement possible car n et c doivent être entiers. Méthode 1 : utilisation du l'abaque basé sur la loi binomiale Méthode 2 : approximation basée sur la loi gaussienne n 0 = [ z 1 - α ( p 1 ( 1 - p 1 )) z 1 β ( p 2 ( 1 - p 2 )) 0.5 ] /( p 2 - p 1 ) 2... (6) n = n 0 / ( 1 + n 0 / N) (7) c = n p z 1 α [ n p 1 ( 1 - p 1 ) ( 1 - n /N ) ] (8) où z q est le q ième (0 < q <1 ) quantile d'une variable Z gaussienne centrée réduite N(0,1) z q est la solution de l'équation: Prob ( Z <= z q ) = q (0 < q <1) quantiles souvent utilisés q z q Si q = 0.995, 0.99,., 0.90 alors z q = - z 1 - q ; exemple : z 0.95 = - z 0.05 = Méthode 3 : méthode de Grubb basée sur la loi de Poisson - tableau ci-après valeurs de np pour un risque du producteur de 0.05 (= α) et un risque du consommateur de 0.10 (=β) tableau de Grubb Binomiale : si n / N < 0.1 (2) Poisson : si p "petit" et n est "grand" (3) P a = 0.95 P a = 0.10 P a = 0.95 P a = 0.10 c np 1 np 2 np 2 /np 1 c np 1 np 2 np 2 /np 1 _ Bernard Clément, PhD février

3 Exemple ( méthode 3 ) : risque du producteur de 0.05 pour un AQL = p 1 = et un risque du consommateur de 0.10 pour un RQL = p 2 = 0.09 On calcule le rapport RQL / AQL pour trouver la valeur de c : RQL / AQL = 0.09/ = 5.00 Cette valeur se situe entre c = 2 et c = 3 dans la colonne n p 2 / n p 1 du tableau de Grubb. Il y a plusieurs plans selon que l'on veut satisfaire le AQL ou le RQL. En consultant les colonnes appropriées du tableau on a AQL : avec c = 2, n = np 1 / p 1 = / = arrondi à 46 AQL : avec c = 3, n = np 1 / p 1 = / = arrondi à 76 LQL : avec c = 2, n = np 2 / p 2 = / = arrondi à 60 LQL : avec c = 3, n = np 2 / p 2 = / = arrondi à 75 Le choix entre les 4 plans peut se faire en comparant les courbes caractéristiques ou en utilisant un autre critère comme le coût d'inspection par exemple. INSPECTION RECTIFICATRICE Si : le lot est refusé + l'inspection est non destructrice + économiquement justifiable alors on continue l'inspection à 100% et on remplace toutes les pièces non conformes. AOQ ( p ) = p Pa (p) (1-n/N) (9) AOQL = max AOQ ( p ).... (10) ATI = n + (1 - Pa (p)) (N - n).... (11) n = y N / (N*AOQL + y) ( y : consulter le tableau Dodge-Romig. (12) Les plans du système de plans de Dodge-Romig basés sur le AOQL. Procédure pour le design du plan (n, c) minimisant ATI pour AOQL spécifié à p = p 0 On commence avec c = 0 : calculer n avec (12), P a (p 0 ) avec (3) et ATI avec (11) On recommence avec c = 1, c = 2, et on identifie le plan ( n, c) qui minimise ATI. tableau de Dodge-Romig c Y c Y Bernard Clément, PhD février

4 PROCÉDURE D'UTILISATION DU PLAN STANDARDISÉ MIL STD 105 E (systèmes équivalents : ANSI/ASQC Z1.4 et ISO 2859) Plans pour contrôler la proportion p de produit non conforme par attribut. Remarque: les tableaux associés du standard ne sont pas inclus dans ce formulaire sauf le tableau des lettres codes qui est présenté à la page 6. ÉTAPES 1. Préciser la taille N du lot; la valeur exacte de N n'est pas nécessaire sauf pour les petits lots. 2. En général, on utilise le degré de sévérité d'inspection II. Exceptions: on utilise le degré de sévérité I ou III si le coût d'inspection est élevé ou faible; si l'inspection est destructrice on utilise les degrés S1, S2, S3, S4. 3. Déterminer la lettre code A, B, C,. selon la taille du lot.- Consulter le tableau à la page Préciser la valeur AQL. 5. Choisir le mode normal pour commencer ; déteminer le plan (n, Ac, Re) où n est la taille de l'échantillon à prélever Ac est le nombre maximal d'articles non conformes pour accepter le lot Re est le nombre minimal d'articles non conformes pour rejeter le lot 6. Déterminer les triplets (n, Ac, Re) correspondants pour le mode réduit et le mode sévère. 7. Tirer n unités du lot, inspecter chaque unité et compter le nombre X d'unités non conformes. 8. Si X <= Ac, accepter le lot. Si X >= Re, rejeter le lot. Si Ac < X < Re (en mode réduit), accepter le lot et retourner en mode normal. 9. Prendre action sur le lot rejeté : inspection rectificatrice ou mise en quarantaine. 10. Noter les résultats d'inspection des lots afin d'ajuster le mode selon les règles de changement. RÈGLES DE CHANGEMENT SÉVÈRE 10 lots consécutifs rejetés discontinuer l'inspection 2 lots sur 5 lots consécutifs rejetés 5 lots consécutifs acceptés DÉBUT NORMAL 10 lots consécutifs acceptés 1 lot rejeté ou 1 lot qui satisfait le critère Ac < X < Re RÉDUIT Bernard Clément, PhD février

5 PLANS pour MESURES X caractéristique quantitative - modèle : loi gaussienne N ( mu, sigma ) σ = sigma mu : moyenne sigma : écart type LSL : limite inférieure de spécification sur X USL : limite supérieure de spécification sur X cas 1 : une limite de spécification ( LSL ou USL ) X p LSL = Prob ( X <= LSL) LSL mu USL p USL = Prob ( X >= USL) cas 2 : deux limites de spécification ( LSL et USL ) p global = p LSL + p USL - Plan pour contrôler mu : sigma connu / sigma inconnu Plans ad hoc - Plan pour contrôler sigma : mu connue / mu inconnue - Plans AD HOC pour contrôler la proportion p de produit non conforme: sigma connu / sigma inconnu - Plans STANDARDISÉS pour contrôler la proportion p de produit non conforme: système ANSI/ASQC Z1.9 ( ou MIL STD 414 ou ISO 3951 ) Plan pour contrôler la moyenne mu avec sigma connu : une limite inférieure sur mu La moyenne est utilisée comme un indicateur de la qualité du lot. La procédure est équivalente à un test d'hypothèse sur la moyenne mu avec sigma connu. lot de bonne qualité mu 1 est accepté avec probabilité 1 - α lot de mauvaise qualité mu 2L < = mu 1 est accepté avec probabilité β échantillon de taille n x 1, x 2,.., x n de moyenne Xbar = (x 1 + x x n )/n critère de décision : rejeter le lot si Xbar < = c ; sinon accepter le lot n = sigma 2 [( z α + z β ) /( mu 1 - mu 2L )] (13) c = ( z β mu 1 + z α mu 2L ) /( z α + z β ) (14) Plan pour contrôler la moyenne mu avec sigma connu : deux limites sur mu lot de bonne qualité est mu 1 : on accepte avec probabilité 1 - a lot de mauvaise qualité est mu 2L < = mu 1 lot de mauvaise qualité est mu 2U > = mu 1 : on accepte avec probabilité b : on accepte avec probabilité b hypothèse : mu 1 est au milieu de l intervalle ( mu 2L, mu 2U ) : mu 2U - mu 1 = mu 1 - mu 2L échantillon de taille n x 1, x 2,.., x n de moyenne Xbar = (x 1 + x x n )/n critère de décision : rejeter le lot si Xbar < = c L ou si Xbar > = c U ; sinon accepter le lot n = sigma 2 [( z α /2 + z β ) /( mu 1 - mu 2L )] (15a) = sigma 2 [( z α /2 + z β ) /( mu 1 - mu 2U )] (15b) c L = ( z β mu 1 + z α /2 mu 2L ) /( z α /2 + z β ) (16a) = mu 1 + (z α /2 )(sigma ) / n (16b) c U = mu 1 + (z 1-α /2 )(sigma) / n (17a) = ( z β mu 1 - z α /2 mu 2L ) /( z α /2 + z β ) (17b) = ( z β mu 1 + z α /2 mu 2U ) /( z α /2 + z β ) (17c) Plan pour contrôler la moyenne mu avec sigma inconnu : non présenté dans ce formulaire. Plan pour contrôler sigma : non présenté dans ce formulaire. Bernard Clément, PhD février

6 Plans AD HOC pour contrôler la proportion p de produit non conforme CAS : sigma connu et 1 limite de spécification inférieure LSL sur X Spécification du plan: la probabilité d'accepter un lot de bonne qualité ( p 1 ) est 1 - α ( 0 < p 1 <= p 2 < 1 ) la probabilité d'accepter un lot de mauvaise qualité ( p 2 ) est β la courbe caractéristique du plan passe par les points ( p 1, 1 - α ) et ( p 2, β ) Définition du plan (forme 1 ou méthode k) : couple (n, k) n est la taille de l'échantillon à prélever k est la constante pour décider du rejet / acceptation du lot où n = [( z 1 - α - z β ) /( z p1 - z p2 )] (18) k = z 1 - p1 + (z a ) / n (19) Procédure : - prélever un échantillon de taille n x 1, x 2,.., x n - calculer Xbar = (x 1 + x x n ) /n - calculer Z LSL = ( Xbar - LSL ) /sigma - décision : rejeter le lot si Z LSL < = k ; sinon accepter le lot Définition du plan (forme 2 ou méthode M ) : couple (n, M) n = [( z 1 - a - z β ) /( z p1 - z p2 ) ] (18) k = z 1 - p1 + (z α ) / n (19) M = PROB [ Z > = k ( n / n - 1 ) 0.5 ] (20) où Z est une variable gaussienne centrée réduite N(0,1) Procédure : - prélever un échantillon de taille n, x 1, x 2,.., x n - calculer Xbar = (x 1 + x x n ) /n - calculer Z LSL = ( Xbar - LSL ) / sigma - calculer P LSL = PROB ( Z > = Z LSL ) - consulter un tableau distribution N(0,1) - décision : rejeter le lot si P LSL > = M ; sinon accepter le lot REMARQUE: cas d'une limite de spécification supérieure USL sur X se traite de manière analogue calculer Z USL = ( USL - Xbar ) /sigma et P USL = PROB ( Z > = Z USL ). CAS : sigma connu et 2 limites de spécification sur X: LSL et USL Seule la méthode M s'applique Les formules ci-haut sont modifiées de la manière suivante n = [( z 1 - α /2 - z β ) /( z p1 - z p2 ) ] (21) k1 = z 1 - p1 + (z α /2 ) / n (22) M1 = PROB [ Z > = k1 ( n /n-1 ) 0.5 ] (23) k2 = z 1 - p1 - (z α /2 ) / n (24) M2 = PROB [ Z > = k2 ( n /n-1 ) 0.5 ]... (25) Calculer Z LSL = ( Xbar - LSL ) /sigma et Z USL = ( USL - Xbar ) /sigma Calculer P LSL = PROB [ Z >= Z LSL ] et P USL = PROB [ Z >= Z USL ] décision : rejeter le lot si P LSL + P USL > = M1 + M2 ; sinon accepter le lot CAS : sigma inconnu : non présenté dans ce formulaire ; employer l abaque (p.10 tables) Bernard Clément, PhD février

7 PROCÉDURE D'UTILISATION DU PLAN STANDARDISÉ ANSI/ASQC Z1.9 ( systèmes semblables : MIL STD 414 ou ISO 3951) Plans pour contrôler la proportion p de produit non conforme par mesure. Remarques - les tableaux associés du standard ne sont pas inclus dans ce formulaire sauf le tableau ci- après. - la structure du standard est semblable au standard par attribut ANSI /ASQC Z1.4 avec des éléments identiques et aussi quelques différences: (a) il y a 3 modes d'inspection NORMAL - SÉVÈRE - RÉDUIT (b) les règles de changement s'appliquent (c) les plages pour la taille N du lot sont identiques- consulter le tableau ci après (d) il y a 5 niveaux d'inspection : I, II,III, S3 et S4 ; II est le niveau usuel (e) les tailles n des échantillons sont plus petites avec une même combinaison de N et AQL (f) il y a un tableau de conversion pour les valeurs intermédiaires de AQL AQL limite AQL tableau remarque: les valeurs limites sont inclues dans la limite supérieure de l'intervalle entre 2 valeurs limites consécutives tableau des lettres codes : taille échantillonnale n MESURES ANSI/ASQC Z1.9 TAILLE LOT PLAN ATTRIBUT MIL STD 105 E PLAN MESURE Z1.9 N S1 S2 S3 S4 I II n III S3 S4 I II n III 2 à 8 A A A A A A 2 B B B B B 3 C_ 9 à 15 A A A A A B 3 C B B B B 3 D_ 16 à 25 A A B B B C 5 D B B B C 4 E_ 26 à 50 A B B C C D 8 E B B C D 5 F_ 51 à 90 B B C C C E 13 F B B D E 7 G_ 91 à 150 B B C D D F 20 G B C E F 10 H_ 151 à 280 B C D E E G 32 H B D F G 15 I_ 281 à 400 B C D E E G 32 H C E G H 20 J_ 401 à 500 B C D E F H 50 J C E G I 25 J_ 501 à 1200 C C E F G J 80 K D F H J 35 K_ 1201 à 3200 C D E G H K 125 L E G I K 50 L_ 3201 à C D F G J L 200 M F H J L 75 M_ à C D F H K M 315 N G I K M 100 N_ à D E G J L N 500 P H J L N 150 P_ à D E G J M P 800 Q H K M P 200 P_ et plus D E H K N Q 1250 R H K N P 200 P_ - cas sigma connu : non présenté dans ce formulaire. - cas sigma inconnu : - estimation de sigma avec l'écart type S de l'échantillon - estimation de sigma avec l'étendue R de l'échantillon (non présenté dans ce formulaire) MÉTHODE USL seulement LSL seulement 2 limites: USL et LSL Forme 1 : Méthode k Forme 2 : Méthode M Lot rejeté si Z USL <= k Z LSL <= k ne s'applique pas P USL >= M P LSL >= M P + P M USL LSL >= Bernard Clément, PhD février

8 ÉTAPES : cas σ inconnu - estimation de sigma avec l'écart type S de l'échantillon 1. Préciser la taille N du lot; la valeur exacte de N n'est pas nécessaire sauf pour les petits lots. 2. En général, on utilise le degré de sévérité d'inspection II. Exceptions: on utilise le degré de sévérité I ou III si le coût d'inspection est élevé ou faible; si l'inspection est destructrice on utilise les degrés S3, S4. 3. Déterminer la lettre code A, B, C,. selon la taille du lot - consulter le tableau à la page Préciser la valeur AQL. 5. Si on a une seule limite de spécification on peut employer la méthode k ou la méthode M. Si on a 2 limites de spécification seule la méthode M s applique. 6. UNE LIMITE USL ou USL : MÉTHODE k. Selon la lettre code et le AQL, on détermine la taille n de l'échantillon et la constante k à l'aide du tableau approprié du standard. 6a. Prélever un échantillon de taille n, x 1, x 2,, x n 6b Calculer la moyenne Xbar = (x 1 + x x n ) /n et l'écart type S de l'échantillon. Cas LSL 6c. Calculer Z LSL = ( Xbar -LSL ) /S 6d. Rejeter le lot si Z LSL < = k ; sinon accepter le lot cas USL 6c. Calculer Z USL = ( USL- Xbar ) /S 6d. Rejeter le lot si Z USL < = k ; sinon accepter le lot 7. DEUX LIMITES USL et LSL - MÉTHODE M Selon la lettre code et le AQL, on détermine la taille n de l'échantillon et la constante M à l'aide du tableau approprié du standard. 7a. Prélever un échantillon de taille n, x 1, x 2,, x n 7b. Calculer la moyenne Xbar = (x 1 + x x n ) /n et l'écart type S de l'échantillon. 7c. Calculer Q LSL = ( Xbar -LSL ) /S et Q USL = ( USL - Xbar ) /S 7d. Déterminer les valeurs correspondantes de P LSL et P USL consulter le tableau approprié du standard qui donne la valeur de P en fonction de Q et de n 7e. Si P LSL + P USL >= M rejeter le lot; Si P LSL + P USL >= M accepter le lot Bernard Clément, PhD février