CIGI 2011 Prévisions journalières de séries temporelles saisonnières avec effets calendaires

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1 CG 2 Préviion journalière de érie emporelle aionnière avec effe calendaire JOËLLE BOUCHARD,3, BENOT MONTREUL,2,4 CENTRE NTERUNVERSTARE DE RECHERCHE SUR LES RÉSEAUX D'ENTREPRSE, LA LOGSTQUE ET LE TRANSPORT (CRRELT), UNVERSTÉ LAVAL 2325, RUE DE LA TERRASSE, PAVLLON PALASS-PRNCE, QUÉBEC (QUÉBEC) CANADA GV A6 3 JOELLE.BOUCHARD@CRRELT.ULAVAL.CA 2 CHARE DE RECHERCHE DU CANADA EN NGÉNERE D'ENTREPRSE, 4 BENOT.MONTREUL@CRRELT.ULAVAL.CA Réumé Ce aricle inrodui une méhode permean d élaborer de préviion journalière de érie chronologique aionnière ubian l effe de calendrier. La méhode propoée conie à ubdivier un ccle elle une année de demande, en pluieur aion, chacune de celle-ci illuran un comporemen différen de la demande. Ce aion reflèen l influence d une fêe annuelle, une période de grand olde ou l effe d un moi pariculier ur la demande pour un produi de conommaion quelconque. De réula empirique exploraoire démonren un poeniel de performance préviionnelle ignificaivemen upérieure à une exenion journalière de la méhode Hol-Winer. Abrac Thi paper inroduce a mehod for forecaing dail demand ubjec o calendar effec. The mehod coni in ubdividing a ccle, for example a ear of demand, in variou eaon, each one affecing demand differenl. Thee eaon reflec he influence of holida, annual ale even or pecific monh on demand for pecific conumer produc. Exploraor empirical reul demonrae a poenial for ignificanl uperior forecaing performance a compared o a dail exenion of he Hol-Winer mehod. Mo clé Préviion de la demande journalière, liage exponeniel, Hol-Winer, effe de calendrier, aionnalié. Keword Dail demand forecaing, exponenial moohing, Hol-Winer, calendar effec, eaonali. NTRODUCTON La demande pour de produi de conommaion e foremen influencée par le différene fêe annuelle qui urviennen au cour d une année, elle le fêe de e de Pâque, pour n en nommer que quelque-une. L union de ce événemen affecan la demande e appelée l effe de calendrier. Ceraine de ce fêe annuelle urviennen à de dae fixe d année en année comme la fêe de. D aure, on célébrée à de dae variable au cour d un moi fixe, comme la fêe de l Acion ou encore la fêe de Père. Pâque, quan à elle, peu êre célébrée à dae variable au cour d un moi variable, oi en mar ou avril d une année. Lor de l élaboraion de préviion menuelle ur de érie à aionnalié menuelle, comme la plupar de fêe urviennen oujour le même moi, l impac de la fêe ur la demande e alor implemen confondu dan l effe aionnier aocié au moi. Quan à la fêe de Pâque, célébrée en mar ou en avril, cerain aueur comme Cleveland e Devlin [982], choiien pluô d ignorer cee fêe dan leur modèle de préviion, conidéran que on effe e négligeable ur la érie chronologique. L impac de ce fêe, par conre, néceie une aenion pariculière dan le ca de préviion journalière. Dan de nombreux eceur de l acivié économique, nommon noammen l indurie du commerce de déail, la rapidié du proceu déciionnel néceie l uiliaion de préviion journalière fiable de plu en plu indipenable à la geion efficace de leur acivié quoidienne. Ce aricle préene une méhode permean d élaborer de préviion journalière en enan adéquaemen compe de différen événemen péciaux annuel. L approche propoée conie à ubdivier un ccle, elle une année, en divere aion. Chaque aion décri un comporemen différen du ccle. Aini une aion peu repréener un moi, une fêe pariculière ou encore une emaine de olde annuel, comme la période enre e le jour de l An. Un ccle coniendra alor auan de aion qu il a de flucuaion périodique influençan la demande. La méhode développée adape la procédure d iniialiaion de indice aionnier définie par Nahmia [25] dan l uiliaion du liage exponeniel pour fin de préviion. Le préviion journalière on obenue à l aide de la méhode de liage exponenielle Bouchard- Monreuil (Méhode BM) [29] adapée de la méhode de Hol-Winer, qui perme d ajuer le indice aionnier à chacune de période en foncion de a poiion dan la aion. Aini, avec la méhode BM, l indice aionnier du 3 epembre (3 e poiion dan la aion) era différen de l indice du 5 epembre (5 e poiion dan la aion). La méhode propoée perme de enir adéquaemen compe de effe de calendrier e, de ce fai, d améliorer conidérablemen la préciion de préviion journalière.

2 L aricle e rucuré comme ui. La ecion 2 préene une brève revue de la liéraure. La ecion 3 décri la procédure d idenificaion de aion e de calcul de indice aionnier iniiaux propoée. La ecion 4 explique la méhode de préviion Hol-Winer journaliée alor que la ecion 5 expoe la méhode Bouchard-Monreuil (BM). Enfin, le ecion 6 e 7 préenen repecivemen le réula obenu e la concluion. 2 REVUE DE LA LTTÉRATURE La prie en compe de différen événemen calendaire dan l élaboraion de préviion reien d abord l aenion de Young [965]. l e le premier à propoer une echnique d eimaion de variaion aionnière en foncion du volume d acivié menuel e du nombre de jour ouvrable dan un moi. Liu [98] démonre l impac de l effe de calendrier ur la demande menuelle e propoe le couplage d un modèle d ajuemen calendrier de érie chronologique e d un modèle de moenne mobile inégrée auorégreive ARMA [Box e Jenkin, 97]. Bell e Hillmer [98] uilien de modèle de régreion couplé aux modèle ARMA pour décrire le effe de calendrier ur de érie menuelle de naure économique. Cleveland e Devlin [982] propoen une procédure en pluieur éape permean de débarraer une érie menuelle de a endance e de compoane aionnière, e d eimer le paramère de calendrier par une méhode de régreion. Pour de fin de préviion journalière de la circulaion rouière, Cool e al. [27] on comparé roi méhode claique adapée pour enir compe de journée dan la emaine e de jour férié : le liage exponeniel Hol-Winer avec effe aionnier muliplicaif, la moenne mobile auorégreive (ARMA) [Box e Jenkin, 97] e le modèle de Box e Tiao [975] qui perme la prie en compe d informaion de naure qualiaive dan la modéliaion de érie chronologique par l uiliaion de variable binaire dan le modèle SARMA [Box e Jenkin, 97]. l monren que ce dernier performe mieux en erme d erreur carrée moenne e de pourcenage d erreur abolue moen. Talor [23] inrodui une méhode de préviion par liage exponeniel de pe Hol-Winer mai avec double aionnalié (emaine e demi-heure dan on exemple). l monre que a méhode performe mieux que la méhode Hol-Winer à imple aionnalié (journalière ou hebdomadaire) aini que le méhode auorégreive. Caro Souza e al. [27] inéreen à la préviion journalière. l uilien la méhode de Talor [23] avec double aionnalié hebdomadaire e journalière. De manière à enir compe de jour péciaux, il démonren l applicaion d une correcion a poeriori aux préviion obenue baée ur le calcul d un pourcenage de variaion enre une journée pe e une journée péciale. À nore connaiance, il n exie pa à ce jour de méhode inégran direcemen au modèle préviionnel journalier à la foi le effe de calendrier, de emaine (lundi v. vendredi) e de aion. Nou monron en ecion 3 commen inégrer la modéliaion de l effe de calendrier à de méhode de préviion journalière par liage, el que la méhode Hol- Winer journaliée e la méhode Bouchard-Monreuil [29]. 3 PROCÉDURE D DENTFCATON DES SASONS ET DE CALCUL DES NDCES SASONNERS NTAUX Le calcul de préviion par de méhode de liage exponeniel compore préalablemen une phae d iniialiaion qui perme de bâir le modèle de préviion. Cee éape demande une aenion pariculière puiqu elle a un impac ur la préciion de préviion obenue. La méhode propoée par Nahmia [Nahmia, 25] conie à définir un indice aionnier iniial pour chaque aion d un ccle, oi un indice aionnier pour chaque moi d une année, en conidéran l enemble de demande de la aion an égard aux jour péciaux. Cee façon de faire a pour effe, oi de ou-eimer, oi de ureimer la demande, elon l impac de la fêe ur celle-ci. Prenon à ire d exemple la fêe de l Acion. L anale de la demande, pour ce ca illuraif, démonre que le dimanche précédan cee fêe de même que le jour de la fêe ubien une augmenaion noable de la demande. L indice aionnier pour la aion d ocobre, en conidéran la demande oale du moi, e de,8, alor qu il n e que de,965 i on élimine le deux jour de fêe de façon à neuralier leur effe. La préence de ce deux jour péciaux a pour effe de ureimer la demande pour ou le moi d ocobre, el qu obervé à la Figure. On conae qu en-dehor de deux jour péciaux, la demande du moi d ocobre ne repréene 96,5% d une demande normale au lieu de,8%. Par ailleur, en procédan de cee façon, lor du calcul de préviion, le dimanche précédan l Acion e le jour même eron raié comme ou le aure jour d ocobre e un indice aionnier iniial de,8 era uilié. l e alor facile d imaginer l écar enre la préviion e la demande réelle e la répercuion ur la valeur du pourcenage moen de l erreur abolue (MAPE) uilié pour meurer la préciion de la préviion. Figure. Effe de jour péciaux ur la valeur de l indice aionnier d ocobre. La Figure 2 illure le ca d une ou-eimaion de la demande pour le moi de février occaionnée par la diminuion de la demande obervable le jour de la S-Valenin. Figure 2. Effe de la S-Valenin ur la valeur de l indice aionnier de février Ceraine fêe on un effe réduceur de la demande alor que d aure augmenen celle-ci de façon ubanielle. La parie qui ui préene d abord la méhode d idenificaion de aion pui la procédure de calcul de indice aionnier iniiaux adapé de la procédure d iniialiaion propoée par Nahmia [25]. L idenificaion conie, ur la bae d une

3 anale de la érie emporelle, à idenifier le différen comporemen de la demande. Chacun de ce comporemen era alor conidéré comme une aion pariculière dan un ccle. Aini, une aion peu repréener un jour de fêe, une emaine de olde ou encore un moi pariculier. Le ableau préene le différene aion conidérée dan nore anale. Tableau. denificaion de aion uiliée dan la procédure de calcul de indice aionnier iniiaux Remarquon que la longueur d une aion varie en foncion du nombre de période (jour) dan la aion. Aini, la aion Juille era de 3 période, la aion Fêe de Mère era d une longueur d une période e la aion Solde aprè era de 5 période. L avanage de la démarche d idenificaion réide dan le fai que le aion dédiée aux jour péciaux on indépendane de la dae où la fêe urvien. Aini, pour prévoir la demande de la fêe de Pâque, on uilie l indice aionnier correpondan peu impore qu elle e déroule en mar ou en avril. Avec la méhode de Hol-Winer, la préviion de la demande pour Pâque e plu problémaique en raion de changemen de moi. Nou inroduion ici le indice, paramère e inran périodique néceaire à l applicaion de la procédure de calcul de indice aionnier iniiaux (P.C..S.). Pui, nou préenon le équaion () à (6) d eimaion de indice aionnier iniiaux. ndice : : aion,, 2, 3, m : ccle,, 2,, n Paramère : ŷ : Nombre de ccle ervan à l iniialiaion du modèle R : Nombre de période dan une aion m : Nombre de aion dan un ccle n : Nombre de ccle nran périodique : X : journalière à la période ; D, : de la aion pour le ccle ; D : pour le ccle ; D : aionnière moenne pour le ccle ; : Tendance iniiale; T Saion originale Saion propoée Janvier Janvier [, 3] Février Février [, 3]; [5, 28 (29)] Mar S Valenin [4 février] Avril Mar an Pâque (2 :[, 3]) Mai Pâque (2 :[4 avril]) Juin Avril an Pâque (2 : [, 3]; [5, 3]) Juille Mai an fêe de Mère (2 : [, 8]; [, 3]) Aoû Fêe de Mère (2 : [9 mai]) Sepembre Juin an fêe de Père (2: [, 9]; [2, 3]) Ocobre Fêe de Père [2 : 2 juin] Novembre Juille [, 3] Décembre Aoû [, 3] Sepembre [, 3] Ocobre an Acion (2 : [, 9]; [2, 3]) Dimanche avan l'acion (2 : [ ocobre]) Acion (2 : [ ocobre]) Novembre [, 3] Décembre [, 25] «Boxing Da» [26 décembre] Solde aprè [27, 3], : ndice de la aion pour le ccle ; : ndice aionnier moen pour la aion ; : ndice aionnier normalié pour la aion ; R D, X pour m, pour ŷ () m D (2) T D, D D ˆ (3) 2 ( ˆ ) m D,, ˆ, D ( m + ) R 2 T (4) ˆ (5) m m (6) L équaion perme de calculer la omme de demande journalière pour chaque aion de la période d iniialiaion du modèle de préviion alor que l équaion 2 perme d évaluer la demande oale pour chacun de ce ccle. L équaion 3 préene la démarche de calcul de la endance aionnière iniiale obenue en divian la endance annuelle moenne par le nombre de aion. Cee endance iniiale e par la uie uiliée dan le calcul de indice aionnier iniiaux. L équaion 4 perme de comper un indice aionnier pour chacune de aion de la période d iniialiaion. Aini, i roi ccle (année) on uilié pour bâir le modèle de préviion e que 2 aion on éé idenifiée, l équaion 4 générera 6 valeur d indice aionnier, oi roi indice pour chacune de aion ur l enemble de ccle. Remarquon ici que l indice aionnier iniial e indépendan du nombre de période dan la aion. L équaion 5 perme de calculer un indice aionnier moen pour chaque aion. Enfin, l équaion 6 perme de normalier le valeur de indice aionnier afin de aurer que la moenne de ce indice oi égale à. 4 MODÈLE DE HOLT-WNTERS JOURNALSÉE La méhode de Hol-Winer journaliée [Bouchard e Monreuil, 29] e préenée ici. Le différen indice, paramère, inran périodique e variable préviionnelle on inrodui. Pui, nou préenon le équaion (7) à (9) d eimaion de roi compoane rucurelle de ce modèle, oi le niveau moen déaionnalié S, la pene T e l indice aionnier. Enfin, l équaion () formalie la préviion faie k période à l avance. ndice : : période de emp k : nombre de période à l avance pour lequelle une préviion doi êre obenue Paramère : L : longueur du ccle aionnier α, β, γ : conane de liage

4 nran périodique : X : valeur hiorique au emp de la variable à prévoir Variable préviionnelle : S : eimaion du niveau moen déaionnalié pour la période T : eimaion de la pene pour la période, : eimaion de l indice aionnier journalié à la période P +k : préviion pour la période +k Eimaion de compoane principale : S T ( X ) + ( α )( S T ) /, + α (7) ( S S ) + ( β ) T ( X / S ) + ( γ ) ; β (8), γ (9) Préviion k période à l avance : P ( S + kt ) + k + k, () 5 MODÈLE DE PRÉVSON BOUCHARD-MONTREUL (BM) La méhode e une adapaion de la méhode Hol-Winer déerminan un indice aionnier ajué à chacune de période (journée) de la aion en foncion de a poiion dan la aion pluô que d uilier un indice aionnier conan pour oue le période d une même aion. La parie uivane préene la démarche d ajuemen de indice aionnier périodique, pui la méhode préviionnelle. Nou inroduion, ci-aprè, le indice, paramère e variable préviionnelle upplémenaire requi par l applicaion de la méhode BM. ndice addiionnel : p : poiion de la période dan la aion Paramère addiionnel : R : Nombre de période dan une aion D : Fracion raniionnelle amon ou aval d une aion D [, /2] Variable préviionnelle addiionnelle : : ndice aionnier de débu de la aion M : ndice aionnier de milieu de aion F : ndice aionnier de fin de aion : ndice aionnier de la période p pour la aion p Eimaion de indice de débu, de milieu e de fin de aion,5( + ) () F,5( + ) (2) M + 2 D 2 2 D F (3) Eimaion de l indice aionnier ajué en foncion de a poiion p dan la aion. p M M + ( p ) i p R D R D F M (4) + p ( R ( D) ) i p R ( D) + R D M inon Noon que le équaion () à (4) on éé appliquée uniquemen ur le aion de plu de cinq période dan nore expérimenaion afin d avoir un nombre de période uffiammen grand pour que l ajuemen de indice en foncion de la poiion d une période dan la aion oi ignificaif. L équaion (7), repréenan le niveau moen déaionnalié S de la méhode de Hol-Winer décrie précédemmen, e remplacée par l équaion (5) uie à l ajuemen périodique de indice aionnier obenu à l aide de l équaion (4) elon la méhode Bouchard-Monreuil (BM). S ( X ) + ( α )( S T ) / + p α (5) La préviion obenue grâce à l équaion () e aui remplacée par l équaion (6) uivane : P k ( S + kt ) (6) + p 5. Série chronologique à double aionnalié On oberve ouven en praique de érie emporelle poédan une econde aionnalié au niveau non pa de aion, mai de période (jour). Aini, une érie emporelle peu préener une aionnalié menuelle ur l année couplée à une aionnalié journalière ur la emaine, différencian, par exemple, la demande du lundi de celle du vendredi. En effe, le «Boxing da» e oujour célébré le 26 décembre mai pa oujour le même jour de la emaine. La demande duran le «Boxing da» ubira donc une double influence oi celle de la aion e celle de la période. Le modèle BM adapé pour la prie en compe de cee double aionnalié e préené à l aide de équaion (7) à (2). On reconnaî le compoane rucurelle du modèle de liage exponeniel elle que le niveau moen déaionnalié S (7), la pene T (8) e le indice aionnier (9) e (2). On noe que le calcul de la préviion, obenu à l aide de l équaion (2), prend en conidéraion le deux aionnalié de érie emporelle. Paramère addiionnel : L : Longueur du ccle de aionnalié périodique δ : Conane de liage de aionnalié périodique; Variable préviionnelle addiionnelle : B : eimaion de l indice de aionnalié périodique pour la période ; ( X ( B ) + ( )( S T ) S α α (7) T / L p + ( S S ) + ( β ) T B β (8) ( X /( S p ) + ( δ ) B L ; δ (9) ( X /( S B )) + ( γ ) ; γ (2) La préviion : P ( S + kt ) B (2) + k p + k;

5 La prochaine ecion préene le réula obenu uie à l applicaion de la méhode BM dan le ca de érie emporelle préenan une imple e une double aionnalié. 6 RÉSULTATS La parie uivane préene une comparaion de réula obenu en uilian la méhode Hol-Winer journaliée e la méhode Bouchard-Monreuil. Tou d abord, la lie de fêe e le momen de leur célébraion conidérée dan nore anale e préenée ci-deou. Noon que cee lie e préenée à ire illuraif e peu êre aiémen modifiée par le préviionnie en foncion de paricularié régionale. Fêe à dae fixe :. La S-Valenin célébrée le 4 février de chaque année, 2. Le «Boxing da» célébré le 26 décembre de chaque année, 3. La emaine de olde annuelle du 27 au 3 décembre de chaque année. Fêe à jour fixe e dae variable:. La fêe de Mère célébrée le deuxième dimanche de mai de chaque année, 2. La fêe de Père, célébrée le roiième dimanche de juin de chaque année, 3. Le dimanche précédan l Acion, dimanche précédan le deuxième lundi d ocobre, 4. La fêe de l Acion, célébrée le deuxième lundi d ocobre de chaque année, 5. La fêe de Pâque, célébrée enre le 23 mar e le 26 avril de chaque année. Conidéron, ou d abord, elle qu illurée à la Figure 3, une érie pe préenan une endance e une aionnalié an variabilié aléaoire, mai incluan le hui jour péciaux énuméré précédemmen. Le jour péciaux on facilemen percepible par la préence de pic acendan ou decendan illuran l effe réduceur ou d augmenaion de la demande S Valenin Pâque 2-4- Série emporelle à prévoir Fêe de Mère Figure 3. pour un produi de conommaion préenan une endance, une aionnalié e de jour péciaux On noe aui que l impac de jour péciaux diffère elon la fêe célébrée. Dan ce exemple illuraif, le lendemain de e la fêe aan le plu d impac poiif ur la demande, alor que la fêe de la S-Valenin préene une réducion de la demande obervée comparaivemen à un jour normal de février. La aionnalié menuelle e aui viible dan ce exemple, le comporemen de la demande éan le même d une année à l aure. À ire indicaif, la demande en juin e plu imporane que la demande en janvier. Aini, ving aion on éé conidérée dan nore anale. Le valeur iniiale de compoane rucurelle, oi le niveau moen déaionnalié S, la pene T on éé obenue grâce à une procédure d iniialiaion définie par Nahmia [25]. Le indice aionnier on normalié e mi à jour à chaque période Fêe de Père Acion Jour précéden l'acion Boxing da e olde aprè 2-2- Le érie emporelle uiliée pour eer la méhode permean de conidérer le effe de calendrier dan l élaboraion de préviion journalière on éé générée à l aide d une applicaion développée grâce à Microof Excel e à Microof Viual Baic 6.3. Le érie générée comporen cinq année de demande journalière. Le roi première année de donnée on ervi à conruire le modèle de préviion alor que le deux dernière année on permi de le eer. La meure d erreur de préviion uiliée pour comparer le réula de comparaion enre le méhode Hol-Winer e BM e le pourcenage moen de erreur abolue (MAPE). Le conane de liage on aui éé obenue à l aide d une applicaion développée grâce à Microof Excel e Microof Viual Baic 6.3. De façon pragmaique, cee applicaion e une procédure iéraive qui calcule la valeur du MAPE en foncion de différene valeur de conane de liage définie dan un inervalle varian de, à,25. La procédure reien le valeur de conane de liage qui minimien le MAPE. On oberve que le conane de liage reenue on relaivemen faible e, de ce fai, le liage exponeniel ien ignificaivemen compe du paé loinain de la érie chronologique. Noon aui que la conane de liage correpondan aux aionnalié diffère elon le pe de aion. Aini, pour une aionnalié aociée à un jour pécial, la valeur de la conane de liage γ* e plu élevée e e iue auour de,3 afin d améliorer la réacivié aux changemen dan la aion éan donné que l événemen ne revien qu une foi par ccle. La parie qui ui préene le réula de e effecué à l aide de deux méhode de préviion ciée plu hau. Le préviion de demande on éé effecuée ur quare pe de érie chronologique, oi le érie préenan : a. une endance e une aionnalié an variabilié aléaoire avec jour péciaux; b. une endance e une aionnalié avec variabilié aléaoire e jour péciaux; c. une endance e une double aionnalié, de jour péciaux an variabilié aléaoire; d. une endance e une double aionnalié, de jour péciaux avec variabilié aléaoire. a. Série préenan une endance, une aionnalié an variabilié aléaoire avec jour péciaux La Figure 4, préene le préviion journalière obenue à l aide de la méhode Hol-Winer journaliée e uilian la méhode d iniialiaion propoée par Nahmia [27]. À la lumière de la Figure 4, il ne fai aucun doue, que le fai de conidérer une journée de fêe urvenan oujour le même moi comme un effe aionnier, ne perme pa de prévoir adéquaemen la demande journalière de ce événemen pariculier Préviion une journée à l'avance Figure 4. Préviion en uilian la méhode de Hol-Winer radiionnelle (α,; β,; γ,3) Préviion +

6 La Figure 5 illure une comparaion de la demande réelle e de préviion obenue une journée à l avance en uilian la méhode de Hol-Winer journaliée, couplée à la procédure d idenificaion de aion e de calcul indice aionnier iniiaux propoée au poin 3. La démarche propoée de ubdivier le ccle en pluieur aion de façon à ioler le effe de différen comporemen de la demande perme une amélioraion noable par rappor aux réula préené à la Figure Figure 5. Préviion uilian la méhode de Hol-Winer e le calcul de indice aionnier iniiaux propoé (α,5; β,5; γ,; γ*,3) La Figure 6 monre le réula de la comparaion enre la demande réelle e la préviion une journée à l avance uie à l uiliaion de la méhode BM. En comparan le réula de figure 5 e 6, on peu mieux comprendre la méhode d ajuemen de indice aionnier en foncion de la poiion de la période dan la aion. Cee approche perme de corriger l uniformié indicielle duran la aion de la méhode de Hol- Winer. En praique, la demande ne ombe ou ne mone pa d un eul coup lorqu on pae du dernier jour d un moi au premier jour du moi uivan. l a pluô une raniion liée d un moi à l aure. L uiliaion du même indice aionnier à chaque période d une aion inrodui inéviablemen dan un el ca une ource d erreur. La méhode BM perme donc de corriger ce biai Préviion une journée à l'avance Figure 6. Préviion uilian la méhode Bouchard- Monreuil e le calcul de indice aionnier iniiaux propoé (α,5; β,5; γ,; γ*,3) Le ableau 2 uivan préene l amélioraion de la préciion obenue dan le calcul de préviion journalière elon le méhode choiie Préviion une journée à l'avance Préviion Préviion Tableau 2. Comparaion de erreur de préviion elon la méhode uiliée MÉTHODES MAPE + Amélioraion Hol-Winer journaliée 5,7% Hol-Winer e (P.C..S.) 4,6% 9,26% Bouchard-Monreuil e (P.C..S.),4% 68,76% La procédure d iniialiaion de indice aionnier iniiaux (P.C..S..) perme d améliorer la méhode Hol-Winer de 9,26% par rappor à la méhode Hol-Winer journaliée. Par ailleur, la méhode BM couplée à la procédure propoée rédui la valeur du MAPE de 68,76% par rappor à Hol- Winer e (P.C..S..). b. Série préenan une endance, une aionnalié avec variabilié aléaoire e jour Noon que la compoane de variabilié aléaoire e diribuée normalemen. Le coefficien de variaion uilié pour générer la variabilié aléaoire varie d une érie chronologique à l aure elon un ordre de grandeur allan de, à,5. La Figure 7, monre la érie emporelle uiliée pour fin de comparaion. Viuellemen, la préence de variaion aléaoire perme plu difficilemen de diinguer un jour de fêe d un jour normal. La variabilié vien parfoi aénuer l effe d une fêe ur la demande. On peu l oberver pour le fêe de Mère e de Père ou encore l Acion. Le jour de fêe on éé idenifié afin de facilier la comparaion avec le préviion Figure 7. Série pe préenan une endance, une aionnalié, de jour péciaux e de variaion irrégulière. Le préviion obenue à l aide de la méhode de Hol- Winer journaliée e la méhode BM avec uiliaion de P.C..S.. on repecivemen préené aux figure 8 e S Valenin S Valenin 2-3- Pâque Fêe de Mère Série emporelle à prévoir Fêe de Père Figure 8. Préviion uilian la méhode Hol-Winer e le calcul de indice aionnier iniiaux propoé (α,4; β,4 ; γ,; γ*,3) Préviion une journée à l'avance Pâque Fêe de Mère Fêe de Père Acion Acion 2-- Solde aprè 2-2- Préviion + Solde aprè 2-2-

7 En raion de la compoane de variabilié aléaoire, la demande e plu légèremen plu difficile à prévoir. La fêe de la S- Valenin de même que le «Boxing da» e la emaine de olde aprè on pluô bien prévu alor que la fêe de Pâque a éé ureimée S Valenin 2-3- Préviion une journée à l'avance Pâque Fêe de Mère Figure 9. Préviion uilian la méhode BM e P.C..S.. (α,4; β,4 ; γ,; γ*,3) Le pourcenage moen de l erreur abolu MAPE e par le fai même augmené e aein 7,68% pour la méhode Hol- Winer journaliée. Le MAPE e de 8,% pour la méhode BM oi une amélioraion de la préciion de 54,69% el qu obervé au Tableau 3. Tableau 3. Comparaion de la préciion de préviion pour érie du pe b. c. Série préenan une endance e une double aionnalié, de jour péciaux an variabilié aléaoire La Figure préene un exemple de érie chronologique de ce pe. Figure. Série pe préenan une endance, une double aionnalié, de jour péciaux an de variaion irrégulière. La Figure monre la préviion obenue à l aide de méhode Hol-Winer. La Figure 2 préene quan à elle le préviion à l aide de la méhode BM avec double aionnalié obenue par l applicaion de équaion (7) à (2). Bien que le différene fêe conidérée dan nore anale aien éé idenifié à la Figure, la préence de la double aionnalié le rend moin percepible. Le fêe de la S- Valenin, de Mère, de Père e l Acion on confondue à raver le aure période du ccle e leur impac devien preque négligeable ur la demande. l demeure 2-7- Fêe de Père Acion Préviion + Solde aprè MÉTHODES MAPE + Amélioraion Hol-Winer e (P.C..S.) 7,68% Bouchard-Monreuil e (P.C..S.) 8,% 54,69% S Valenin Série emporelle a prévoir Pâque Fêe de Père 2-5- Fêe de Mère Acion Solde aprè 2-2- ouefoi eeniel de bien prévoir la demande fuure pour ce jour péciaux Figure. Préviion uilian la méhode Hol-Winer e le calcul de indice aionnier iniiaux propoé (α,; β,2 ; γ,9; γ*,3; δ,) En comparan la érie emporelle e la préviion une journée à l avance à la Figure, on doi convenir que la méhode Hol- Winer e P.C..S. donne, omme oue, de bon réula. Le pourcenage moen de erreur abolu e de 9,%. Le préviion uilian la méhode BM e P.C..S.. on préenée à la Figure S Valenin S Valenin 2-3- Préviion une journée à l'avance Pâque Fêe de Père Fêe de Mère Figure 2. Préviion uilian la méhode BM e P.C..S.. propoé (α,; β,2; γ,9; γ*,3; δ,) Tel qu affiché au ableau 4, la méhode BM améliore la préciion de la préviion de l ordre de 8,2% paan de 9,% pour Hol-Winer à,8% pour la méhode BM. Tableau 4. Comparaion de erreur de préviion elon la méhode uiliée d. Série préenan une endance e une double aionnalié, de jour péciaux avec variabilié aléaoire La Figure 3 préene une érie emporelle de ce pe. Tel qu obervé à la Figure, le jour péciaux de la érie illurée à la Figure 3 on confondu à raver la double aionnalié e la variabilié aléaoire. Seul le «Boxing da» e la emaine de olde aprè on facilemen idenifiable. Comparon ou de même le préviion obenue à l aide de méhode Hol-Winer e BM. Le préviion à l aide de méhode eée on illurée aux figure 4 e Préviion une journée à l'avance 2-4- Pâque Fêe de Père 2-5- Fêe de Mère Acion Acion Préviion + Solde aprè Préviion + Solde aprè MÉTHODES MAPE + Amélioraion Hol-Winer e (P.C..S.) 9,% Bouchard-Monreuil e (P.C..S.),8% 8,2% 2-2-

8 Figure 3. Série pe préenan une endance, une double aionnalié, de jour péciaux avec de variaion irrégulière. Figure 4. Préviion uilian la méhode Hol-Winer e le calcul de indice aionnier iniiaux propoé (α,7; β, ; γ,6; γ*,3; δ,) Série emporelle à prévoir Figure 5. Préviion uilian la méhode BM e le calcul de indice aionnier iniiaux propoé (α,7; β, ; γ,6; γ*,3; δ,) La méhode BM couplée à la procédure d iniialiaion de indice aionnier iniiaux, même en préence de variabilié aléaoire perme de mieux prévoir la demande fuure que la méhode Hol-Winer (voir ableau 5). Le MAPE e de 4,89% comparaivemen à 6,85% pour la méhode Hol-Winer journaliée oi une amélioraion de 7,98%. Tableau 5. Comparaion de erreur de préviion elon la méhode uiliée Préviion une journée à l'avance 2-9- Préviion une journée à l'avance Solde aprè Préviion Solde aprè Préviion + Solde aprè MÉTHODES MAPE + Amélioraion Hol-Winer e (P.C..S.) 6,85% Bouchard-Monreuil e (P.C..S.) 4,89% 7,98% 2-2- L uiliaion de la méhode BM e la procédure d iniialiaion propoée a donné de meilleure préviion dan ou le e effecué. 7 CONCLUSON La méhode d iniialiaion de indice aionnier iniiaux préenée dan ce aricle a éé développée dan le bu de enir adéquaemen compe de l effe de jour péciaux dan l élaboraion de préviion ur de érie emporelle. La procédure conie à ubdivier un ccle en auan de aion qu il a de comporemen différen ur la demande. Chaque aion e alor eimée à l aide d un indice iniial uilié dan l applicaion de méhode de liage exponeniel. Le réula démonren une nee amélioraion de préviion obenue en comparan deux méhode. L approche propoée n e pa rericive aux jour péciaux. Le événemen porif ou culurel ou ou aure faceur exogène influençan la demande pourraien êre conidéré dan l applicaion de la méhode. La facilié d uiliaion de la méhode e la qualié de préviion obenue la rend pariculièremen araane. 8 REMERCEMENTS Le aueur iennen à remercier la Chaire de recherche du Canada en ingénierie d'enreprie pour leur ouien. 9 RÉFÉRENCES Bell, W. R., Hillmer, S. C., (983) Modeling Time Serie Wih Calendar Variaion. Journal of he American Saiical Aociaion, 78 (383), pp Box, G.E. and Tiao, G.C. (975), "nervenion anali wih applicaion o economic and environmenal problem", J. of he American Saiical Aociaion, 7, pp Bouchard J., Monreuil B., «Méhode de préviion journalière de érie emporelle aionnière.» Ace de congrè du 8 e Congrè inernaional de génie induriel -2 juin 29 Bagnère de Bigorre (France). Box, G., Jenkin, G., (97) Time Serie Anali: Forecaing and conrol. San Francico: Holden-Da. Caro Soua, R., Barro, M., de Miranda, C. V., (27) Shor Term Load Forecaing Uing Double Seaonal Exponenial Smoohing and nervenion o Accoun for Holida an Temperaure Effec. Ponifícia Univeridade Caólica do Rio de Janeiro. Cleveland, W. P., Devlin, S. J., (982) Calendar effec in Monhl Time Serie : Modeling and Adjumen. J. of he American Saiical Aociaion, 77(379), pp Cool, M., Moon, E., We, G., (27) nveigaing Effec of Holida on Dail Traffic Coun: Time Serie approach. J. of he Tranporaion Reearch Board, No. 29, pp Hol, C. C., (957) Forecaing rend and eaonal b exponeniall weighed average. Carnegie niue of Technolog, Piburg, ONR memorandum no 5. Liu, L., Anali of ime erie wih calendar effec. Managemen Sc., 26, pp Nahmia, S., (25) Producion and Operaion Anali. 5 h ediion, McGraw-Hill rwin. Talor, J. W., (23) Shor-erm elecrici demand forecaing uing double eaonal exponenial moohing. Journal of he Operaional Reearch Socie, 54, pp Young, A. H., (965) Eimaing rading-da variaion in monhl economic ime erie, Paper 2, Bureau of Cenu. Winer, P. R., (96) Forecaing ale b exponeniall weighed moving average. Mgm Sc., 6, pp