MATHÉMATIQUES I : Algèbre linéaire et calcul MAT102 VIRGINIE CHARETTE DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE

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1 ATHÉATIQUES I : Algèbre linéaire et calcul AT2 VIRGINIE CHARETTE DÉPARTEENT DE ATHÉATIQUES UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE Hiver 29

2 Remarques sur le texte. Voici un extrait des notes de cours utilisées en AT2 durant les sessions d automne 25, 26 et 27. Il s agit de notes de cours écrites par Bernard arcos (pour le cours GCH3) et que nous avons modifiées conjointement. Nous nous servirons des chapitres pertinents de ces notes pour la partie du cours portant sur l algèbre linéaire, ainsi que pour la revision du calcul différentiel et intégral à une variable. À propos de la présentation : - Les définitions principales et les théorèmes sont encadrés. Certaines définitions ne sont pas encadrées; mais en principe, quand un nouveau terme est introduit, il est en caractères gras et italiques. 2- La fin dun exemple est indiqué par le symbole.

3 . VECTEURS ET ESPACES VECTORIELS. Un espace vectoriel familier : le plan réel Les vecteurs du plan sont déterminés par deux nombres réels, a et b, correspondant a respectivement à l abscisse et l ordonnée. Un vecteur du plan est noté. Chaque b vecteur correspond ainsi à une direction et une longueur. On peut faire la somme de deux vecteurs du plan et obtenir un nouveau vecteur du plan; en effet, si v = a b et w = c d : v + w = a + c. b + d Cette somme a plusieurs propriétés utiles, notamment le fait que v+w=w+v. Le vecteur = joue un rôle spécial dans le plan. Entre autres, pour tout vecteur du plan v : v+=v. On peut aussi multiplier un vecteur du plan par un nombre réel, ce qui donne encore un vecteur du plan : k a = ka. b kb Cette opération jouit aussi de nombreuses propriétés utiles, dont le fait que pour tout vecteur v, v=v, et v=. On note cet espace R 2 car chaque vecteur est composé de deux nombres réels..2 Définition d un espace vectoriel Nous allons donner la définition formelle d espace vectoriel. Soit l ensemble des nombre réels R (corps commutatif) et soit E un ensemble muni de deux lois de composition, - lune interne et notée ici : : E E E (x, y) x y - lautre externe et notée ici : 2

4 : E R E (x, α) α x Définition (espace vectoriel). E est un espace vectoriel sur R si les conditions suivantes sont satisfaites : - E est un groupe commutatif pour : pour x, y E : x y est un élément de E il existe un vecteur zéro dans E tel que x = x = x x (-x) = (il existe un inverse unique) (x y) z = x (y z) (associativité) x y = y x (commutativité) 2- Pour x, y E et α, β R : (α + β) x = (α x) (β x) α (x y) = (α x) (α y) (α β) x = α (β x) x = x Les éléments de E sont alors appelés vecteurs et ceux de R sont appelés scalaires. Dans les applications en génie chimique, les scalaires sont généralement des nombres réels (espace vectoriel réel); ils peuvent être aussi (plutôt rarement) des nombres complexes (espace vectoriel complexe). Notation. Dans ces notes de cours, nous utiliserons souvent les caractères gras pour dénoter un vecteur : v, x, b etc. Dans plusieurs textes on utilisera plutôt une petite flèche : v r, x r, b r. Remarque. Dans la plupart des exemples qui nous intéressent, on dénote la somme et la multiplication scalaire de la manière habituelle. Ainsi, on écrira v+w et kv (parfois k v), respectivement. Exemple. Lespace R n : Nous avons déjà parlé du plan. Plus généralement, on peut prendre lensemble des n- x tuples et le doter dune somme et dune multiplication scalaire analogues à ce quon a x n vu plus haut : x y x + y + =, x n y n x n + y n 3

5 y ky k =, y n ky n et le vecteur zéro est bien sûr : =. On montre assez facilement que toutes les propriétés dun espace vectoriel tiennent. On note cet espace vectoriel R n. Par exemple, la droite réelle R est un espace vectoriel, avec la somme et la multiplication usuelles. Exemple 2. L ensemble des polynômes réels de degré 2 : Un polynôme de degré 2 est un polynôme qui a la forme générale : P(t) = a 2 t 2 + a t + a. Si on a un polynôme : P a (t) = a 2 t 2 + a t + a et un polynôme : P b (t) = b 2 t 2 + b t + b, on vérifie que la somme est : P a (t) + P b (t) = (a 2 + b 2 ) t 2 + (a + b ) t + (a + b ). Cette somme est un polynôme de degré 2 dont les trois coefficients sont (a 2 + b 2 ), (a + b ) et (a + b ). Le vecteur zéro est le polynôme P nul (t) dont les trois coefficients sont a 2 =, a = et a =. On peut vérifier que P a (t) + P nul (t) = P nul (t) + P a (t) = P a (t). On peut vérifier facilement que : P a (t) P a (t) = P nul (t) (P a (t) + P b (t)) + P c (t) = P a (t) + ( P b (t)) + P c (t) ) P a (t) + P b (t) = P b (t) + P a (t). On a donc montré que l ensemble des polynômes est un groupe commutatif par rapport à l addition des polynômes. Si on calcule α P a (t) (α est un nombre réel), on obtient : α P a (t) = α (a 2 t 2 + a t + a ) = α a 2 t 2 + α a t + α a. Ainsi, α P a (t) est un polynôme de degré 2 dont les coefficients sont α a 2, α a et α a. 4

6 On peut vérifier facilement que : (α + β) P a (t) = α P a (t) + β P a (t) α ( P a (t) + P b (t) ) = α P a (t) + α P b (t) (α β) P a (t) t = α (βp a (t) ) P a (t) = P a (t) Il s ensuit que les propriétés pour la loi externe sont vérifiées. Par conséquent l ensemble des polynômes de degré 2 est un espace vectoriel sur R. Remarque : Un polynôme de degré 2 est parfaitement défini lorsque l on donne les trois coefficients réels a 2, a et a. Il existe donc une correspondance (bijection) entre l ensemble des polynômes et l ensemble des triplets de trois nombres réels. Remarque : Si on choisit comme opération interne la multiplication de deux polynômes à la place de l addition, l ensemble des polynômes de degré 2 n est pas un espace vectoriel car le produit de deux polynômes de degré 2 est un polynôme de degré 4 (en général) qui n appartient pas à l ensemble de départ des polynômes de degré 2; l opération (de multiplication) choisie n est pas une loi interne. Combinaison linéaire de vecteurs Soient v,, v n des vecteurs dun espace vectoriel E. Définition (combinaison linéaire). Une combinaison linéaire de v,, v n est un vecteur v E qui s écrit sous la forme : v = α v + + α n v n pour α,, α n R. Exemple. Combinaison linéaire de deux vecteurs de l espace R 3 : 2 7 Soient les vecteurs v = et v 2 = ; le vecteur v = 2 est une combinaison linéaire de v et v 2 car : ( ( ( 2 v + 3 v 2 = 2. ( + 3. = 2 + ( = 2 ( =v ( ( 5 ( 5

7 .3 Définition de sous-espaces vectoriels Définition (sous-espace vectoriel). Une partie V dun espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel si les conditions suivantes sont satisfaites :. V. 2. Pour x, y V, (x + y) V. 3. Pour x V et α R, α x V. Théorème. Un sous-espace vectoriel est un espace vectoriel. Exemple. Un plan dans l espace vectoriel R 3 : x Chaque vecteur v de R 3 a la forme v = x2 où x, x 2 et x 3 sont les composantes x3 (nombres réels) du vecteur v. Voici un exemple de sous-espace vectoriel de R 3. On choisit, dans cet espace, les vecteurs y dont la troisième composante est nulle, c està-dire y = y y2 et on appelle V l ensemble des vecteurs y de cette forme. On peut vérifier que = appartient à V. On peut aussi vérifier que : y z si y = y2 et z = z2 sont deux éléments de V, y + z la somme y + z = y2 + z2 est un élément de V car la troisième composante est nulle. On peut enfin vérifier que : si y est un élément de V, 6

8 y le vecteur α y = y2 est un élément de V car la troisième composante est nulle. Il s ensuit que l ensemble V est un sous-espace vectoriel de R 3 car les trois conditions de la définition sont remplies. Remarque : En fait, tout plan dans R 3 passant par lorigine, ainsi que toute droite passant par lorigine, est un sous-espace vectoriel..5 Ensembles générateurs despaces vectoriels Théorème. Soit E un espace vectoriel et v,, v n, des vecteurs de E. Alors l ensemble des vecteurs v tels que : v = α v + + α n v n avec α,, α n R est un sous-espace vectoriel de l espace E. En dautres mots, lensemble de toutes les combinaisons linéaires dune collection de vecteurs forme un espace vectoriel. Une telle collection mérite donc un nom particulier. Définition (ensemble générateur). Soit E un espace vectoriel. L ensemble (e,, e n ) est un ensemble générateur de E si tout vecteur v appartenant à E est une combinaison linéaire de e,, e n, c est-à-dire, il existe α,, α n te que : v = α e + + α n e n. Aussi, E est appelé lespace (vectoriel) engendré par e,, e n. Notation. On dénote E= < e,, e n. >.. 7

9 8 Exemple. Un plan engendré par des vecteurs dans R 3 : Les vecteurs et engendrent le plan z=. En effet, ce plan se décrit comme lensemble des vecteurs de la forme y y 2,y, y 2 ( Ret: y y 2 = y + y 2. Remarque importante. Un espace vectoriel admet plus dun ensemble générateur, voire une infinité densembles générateurs distincts (en dimension positive). Par exemple, les vecteurs 2 et engendrent aussi le plan z=..5 Définition d une base Dans lexemple précédent, nous aurions pu tout aussi bien prendre trois vecteurs pour engendrer le plan z=. Par exemple: z = { } = 2,, ais dune certaine façon, cet ensemble est trop gros. Nous allons formaliser cette intuition. En dautres termes, la seule solution de cette équation est celle dont tous les α i sont nuls. Définition (base). L ensemble (e,, e n ) est une base de E s il est libre et générateur. Définition (indépendance linéaire). L ensemble (e,, e n ) est libre (ou les vecteurs e,, e n sont linéairement indépendants) sil nest pas possible de trouver des scalaires α,, α n non tous nuls tels que α e + + α n e n =.

10 Théorème. Supposons que l espace vectoriel E est engendré par un ensemble fini de vecteurs (v,, v m ); alors E admet une base finie (e,, e n ) de vecteurs qui est formée d un sousensemble de cet ensemble de vecteurs (v,, v m ) et, de plus, n m. Il s ensuit que, pour tout v appartenant à E, v s écrit : v = α e + + α n e n. Les α,, α n sont appelés les composantes de v dans la base (e,, e n ). Pour une base donnée, les composantes sont uniques. Cependant, un espace vectoriel a une infinité de bases différentes qui ont toutes le même nombre d éléments. Définition (dimension). La dimension d un espace vectoriel est le nombre de vecteurs qui forment une base. Comme toutes les bases d un espace vectoriel E ont le même nombre d éléments, la dimension d un espace vectoriel est une caractéristique propre à cet espace vectoriel et est indépendante de la base choisie. Exemple. Une base de l espace vectoriel R 3 : x L espace vectoriel est formé des vecteurs v = x2 où x, x 2 et x 3 sont trois nombres x3 réels. Tout vecteur v peut se mettre sous la forme : v = x + x 2 + x 3. En nommant e =, e 2 = et e 3 =, on vérifie que l ensemble (e, e 2, e 3 ) forme une base de R 3. Les nombres x, x 2 et x 3 sont les composantes de v dans la base (e, e 2,e 3 ). La dimension de l espace vectoriel R 3 est 3. De manière générale, la dimension de l espace vectoriel R n est n. Exemple 2. Une base de l espace vectoriel des polynômes de degré 2 : Si on considère les polynômes e (t) = t 2, e 2 (t) = t et e 3 (t) =, on peut vérifier que e, e 2 et e 3 sont des polynômes de degré 2. Comme tout polynôme P(t) de degré 2 a la forme P(x) = a 2 t 2 + a t + a, on peut vérifier que : 9

11 P(t) = a 2 e (t) + a e 2 (t) + a e 3 (t). On montre donc ainsi que e, e 2 et e 3 forment un ensemble générateur de l espace vectoriel des polynômes de degré 2. On peut noter que les trois vecteurs e, e 2 et e 3 sont linéairement indépendants. L ensemble (e (t), e 2 (t), e 3 (t)) forme donc une base de l espace vectoriel des polynômes de degré 2. Les nombres a, a 2 et a 3 sont les composantes de P(t) dans la base e, e 2 et e 3. La dimension de l espace vectoriel des polynômes de degré 2 est 3..6 Dimension de la somme de sous-espaces Théorème. Si V est un sous-espace vectoriel de l espace vectoriel E, la dimension de V est inférieure ou égale à la dimension de E ( dim V dim E). Définition (somme de sous-espaces vectoriels). Si V et V 2 sont deux sous-espaces vectoriels de E, la somme V +V 2 est l ensemble des vecteurs formés par la somme de vecteurs de V et de V 2 : V + V 2 = {v + v 2 v V et v 2 V 2 }. Théorème. La somme V +V 2 est un sous-espace vectoriel. Définition (somme directe). Si V et V 2 sont des espaces vectoriels ayant pour intersection V V 2 = {N}, la somme est appelée somme directe et est notée : V V 2. La somme directe est aussi, bien sûr, un espace vectoriel. À partir de ces deux définitions de somme et de somme directe, on a les relations suivantes : Théorème. dim (V +V 2 ) + dim (V V 2 ) = dim(v ) + dim (V 2 ), dim (V V 2 ) = dim (V ) + dim (V 2 ).

12 Exemple. Somme de sous-espaces de R 3 : x Dans l espace vectoriel R 3, prenons les vecteurs de la forme, x un nombre réel quelconque. On obtient un ensemble V qui correspond à l axe des x. On peut vérifier que V est un sous-espace vectoriel qui a pour base un ensemble formé d un seul élément, par exemple le vecteur. La dimension de V est égale à. Prenons ensuite les vecteurs de la forme y ; on obtient un ensemble V 2 qui correspond à l axe des y. On peut vérifier que V 2 est un sous-espace vectoriel qui admet pour base l ensemble formé d un seul élément, le vecteur. La dimension de V 2 est égale à. On peut vérifier que le seul vecteur qui appartient à V V 2 est V V 2 a pour dimension.. Il s ensuit que Les vecteurs éléments de l espace V +V 2 sont des combinaisons linéaires v + v 2, où v est un élément de V et v 2 est un élément de V 2. De manière générique, ces vecteurs sont x de la forme y. Ces vecteurs forment le plan z=, rencontré dans un exemple précédent. On vérifie que : dim (V +V 2 ) + dim (V V 2 ) = dim(v ) + dim (V 2 ) 2 + = +.