Calcul intégral. et théorie de la mesure (Notes de cours)

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1 Clcul intégrl et théorie de l mesure (Notes de cours) Gérld Tenenbum Université Henri Poincré Nncy 1 Licence et mîtrise de Mthémtiques 1994/95

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3 (12/12/212, 1h44) Tble des mtières Chpitre. ntégrle de Cuchy et intégrle de Riemnn (résumé) Notion d intégrle ntégrle de Cuchy Fonctions réglées Propriétés fondmentles de l intégrle de Cuchy Retour sur l intégrle de Riemnn Limites ntégrles générlisées xercices sur l continuité et l convergence xercices sur l intégrle de Cuchy et l intégrle de Riemnn 16 Chpitre. ntégrle double Définition ntégrles itérées Chngements de vribles ntégrle double générlisée xercices sur l intégrle double Chpitre. ntégrle de Lebesgue (résumé) Motivtion et définition Propriétés fondmentles de l intégrle de Lebesgue Le théorème de l convergence monotone Le théorème de l convergence dominée L espce de Lebesgue L 1 () Fonctions et ensembles mesurbles Les espces L p () et L p () ntégrle double

4 ii Clcul intégrl xercices sur l intégrle de Lebesgue Chpitre V. Convolution et trnsformtion de Fourier (résumé) Convolution Trnsformtion de Fourier Formules d inversion Trnsformtion de Fourier dns L 2 (R) xercices sur l trnsformtion de Fourier Chpitre V. ntégrle bstrite (résumé) Tribus. spces et pplictions mesurbles Produits d espces mesurbles Mesures positives, espces mesurés ntégrle des fonctions étgées positives ntégrle des fonctions mesurbles positives Fonctions intégrbles réelles ou complexes nsembles et fonctions négligebles Convergence pp. Théorème de Lebesgue Les espces L 1 (, A, µ) et L 2 (, A, µ) Produits d espces mesurés xercices sur l intégrle bstrite Chpitre V. ntégrle de Stieltjes Fonctions à vrition bornée Définition de l intégrle de Stieltjes ntégrtion pr prties Formule d uler Mclurin Formules de l moyenne Suites de mesures de Stieltjes xercices sur les fonctions à vrition bornée et l intégrle de Stieltjes Sujets d exmens

5 Université de Lorrine Fculté des sciences et technologies Licence de mthémtiques 1994/95 Clcul intégrl et théorie de l mesure Gérld Tenenbum ntégrle de Cuchy et intégrle de Riemnn (résumé) 1. Notion d intégrle Pour les Grecs, l notion d ire d un domine pln résulte d un pssge à l limite à prtir de l ire des domines polygonux, elle-même obtenue pr tringultion. Les propriétés géométriques évidentes souhitées pour l ire A(D) d un domine D du pln sont : (i) l croissnce, soit D 1 D 2 A(D 1 ) A(D 2 ), (ii) l dditivité disjointe, soit D 1 D 2 = A(D 1 D 2 ) = A(D 1 )+A(D 2 ). Cel implique en prticulier que l ire est toujours positive ou nulle, et que, pour des domines bornés, l on peut se rmener systémtiquement à l étude de domines limités pr l xe y =, une courbe y = f(x), et des droites verticles x =, x = b. Supposnt le problème de l existence résolu, et désignnt pr F (x) l ire du type précédent limitée pr les droites d bscisses et x, les propriétés (i) et (ii) impliquent fcilement pr comprison vec des ires de rectngles que l on pour h m F (x + h) F (x) h M, où l on posé m = inf x t x+h f(t), M = sup x t x+h f(t). n prticulier, si f est continue, on voit en fisnt tendre h vers que F est nécessirement dérivble u point x et stisfit à F (x) = f(x). On obtient insi un lien entre le clcul intégrl et l recherche des primitives. l été montré en DUG que l ire F (x) peut être rigoureusement définie dns le cs des fonctions continues. Cel étblit, grâce u clcul précédent, que toute fonction continue sur un intervlle possède des primitives. Le procédé utilisé en DUG reposit sur l étude des sommes de Drboux supérieures et inférieures reltives à des subdivisions σ = {x = < x 1 <... < x n = b} de [, b], soit n 1 n 1 s σ (f) := m j (x j+1 x j ), S σ (f) := M j (x j+1 x j ), j= j= vec m j = inf xj t x j+1 f(t), M j = sup xj t x j+1 f(t) ( j < n). L quntité F (b) = b f(t) dt

6 2 ntégrle de Cuchy et intégrle de Riemnn (résumé) étit lors définie, dns le cs d une fonction f continue, comme l vleur commune (c est là le théorème!) des deux nombres s(f) = sup s σ (f) et S(f) = inf S σ(f). σ σ L démonstrtion repose sur le fit qu une fonction continue sur un intervlle fermé borné est en fit uniformément continue. Une conséquence prtique importnte de cette étude est que l ire F (b) est égle à G(b) G() pour toute primitive G de f sur [, b]. L un des buts de ce cours est d étendre l notion d intégrle à des clsses de fonctions plus générles que les fonctions continues. L intégrle des fonctions continues, telle qu elle est définie ci-dessus, stisfit à certines propriétés essentielles que l on imerit conserver pour les générlistions envisgées : 1. Linérité : L ppliction f b f dt est une forme linéire sur C[, b]. 2. Positivité : f b f dt. (Attention à l significtion de f.) Ces deux propriétés ont des conséquences très importntes, notmment l croissnce f g b f dt b g dt, dont les cs prticuliers f ou g constnte sont rssemblés dns les inéglités de l moyenne m f M m 1 b b f dt M. Lorsque f est continue, on en déduit, pr le théorème des vleurs intermédiires, l formule de l moyenne 1 b ξ [, b] : f dt = f(ξ). b Une utre conséquence, très utile en prtique, des deux points précédents est l inéglité b f dt b f dt. 3. Continuité. L forme linéire f b f dt est continue lorsque C[, b] est muni de l norme de l convergence uniforme f = sup f(t). t b On en fit b f dt (b ) f, d près les inéglités de l moyenne. 4. Reltion de Chsles. b f dt = c f dt + b f dt, vec l convention c hbituelle de signes lorsque l borne inférieure dépsse l borne supérieure. 2. ntégrle de Cuchy Une fonction en esclier est une fonction qui est constnte sur chcun des intervlles ouverts ssociés à une subdivision convenble de [, b], soit f(x) = y j (x j < x < x j+1 ), vec x = < x 1 <... < x n = b fixés. L intégrle des fonctions en esclier est intuitivement évidente : c est l somme des ires des rectngles délimités pr l fonction, utrement dit b f dt = y j (x j+1 x j ). j<n On peut ussi vérifier sns peine que cette somme est égle à s(f) et à S(f).

7 3 Fonctions réglées 3 Proposition 2.1. L ensemble sc[, b] des fonctions en esclier sur [, b] est une sous lgèbre de l ensemble B[, b] des fonctions bornées sur [, b]. Corollire. L ppliction f b f dt est une forme linéire continue positive sur sc[, b] muni de l norme de l convergence uniforme. L extension de Cuchy de l notion d intégrle repose sur le résultt suivnt. Lemme 2.2. Soit f B[, b] telle qu il existe une suite {f n } n=1 de fonctions de sc[, b] convergent uniformément vers f. Alors l suite { b f n dt} n=1 converge et s limite ne dépend ps de l suite {f n } n=1 choisie. On définit lors l intégrle de Cuchy de f pr l formule b f dt := lim n b f n dt. 3. Fonctions réglées Définition. Une fonction f : [, b] R est dite réglée si elle possède une limite à droite en, à guche en b, et à l fois une limite à droite et une limite à guche en tout point de ], b[. On note Rég[, b] l ensemble des fonctions réglées sur [, b]. Les fonctions continues et les fonctions en esclier sont réglées. L fonction définie sur [ 1, 1] pr f(x) = sin(1/x) si x et f() = n est ps réglée. Une fonction réglée est nécessirement bornée : sinon, soit {x n } n=1 une suite de points de [, b] stisfisnt à f(x n ) > n. Quitte à extrire une sous-suite, on peut supposer, grâce u théorème de Bolzno-Weierstrss, que x n x [, b]. l est clir que f ne peut voir de limites à guche et à droite en x. Proposition 3.1. Rég[, b] est une sous-lgèbre de B[, b]. Le résultt fondmentl suivnt permet de crctériser les fonctions réglées prmi les fonctions bornées. Théorème 3.2. Soit f B[, b]. Les deux propositions suivntes sont équivlentes. (i) f Rég[, b]. (ii) f est limite uniforme sur [, b] d une suite de fonctions en esclier. L démonstrtion fit ppel, pour le sens (i) (ii), u théorème de Heine-Borel- Lebesgue. Étblissons cette impliction. Soit f Rég[, b]. Nous llons montrer que pour chque ε > il existe une fonction g = g ε sc[, b] telle que f g ε. Pour chque x [, b], les limites f(x ) = lim f(x), f(x+) = lim f(x) y x, y<x y x, y>x existent. Cel implique l existence d un nombre réel positif δ x (dépendnt ussi de ε) tel que ( ) { f(x ) f(y) < ε si y < x, < y x < δ x et y [, b] f(x+) f(y) < ε si y > x. Mintennt, on trivilement [, b] x [,b] ]x δ x, x + δ x [. Le théorème de Borel- Lebesgue implique donc l existence d un ensemble fini {x 1,..., x n } de points de [, b] tel

8 4 ntégrle de Cuchy et intégrle de Riemnn (résumé) que [, b] 1 j n ]x j δ xj, x j + δ xj [. Désignons pr {z h } p h=1 l suite croissnte des nombres x j ± δ xj. On p 2n. Choisissons un entier R ssez grnd pour que l on it (b )/R < min h<p (z h+1 z h ), et posons r = + r(b )/R Nous llons étblir que ( r R). r [, R[ l [1, n] : [ r, r+1 ] ]x l δ xl, x l + δ xl [. Pour chque indice r il existe un m tel que x m δ xm < r < x m + δ xm. Si l intervlle ]x m δ xm, x m +δ xm [ ne contient ucun x k δ xk, l propriété de recouvrement des intervlles ]x j δ xj, x j + δ xj [ implique [ r, r+1 ] [ r, b] ]x m δ xm, x m + δ xm [, et l conclusion ttendue est bien rélisée vec l = m. Sinon, on peut supposer x k +δ xk > x m +δ xm (fute de quoi l intervlle ]x k δ xk, x k + δ xk [ serit superflu) et l on soit x m δ xm < r x k δ xk < x m + δ xm, soit x m δ xm < x k δ xk < r < x m + δ xm. Dns le premier cs, on peut choisir l = m, puisque r+1 < r + (x m + δ xm ) (x k δ xk ) x m + δ xm. Dns le second cs, on peut choisir l = k, puisque r+1 < r + (x k + δ xk ) (x m + δ xm ) < x k + δ xk. Nous sommes donc en mesure d ssocier à chque indice r de [, R[ un indice l = l(r) (pr exemple le plus petit possible) tel que 1 l n et [ r, r+1 ] ]x l δ xl, x l + δ xl [. Définissons lors une fonction en esclier g sur [, b] en posnt pour r x < r+1 ( r < R) f(x l(r) ) si r x < x l(r), g(x) = f(x l(r) ) si x = x l(r), f(x l(r) +) si r x l(r) < x < r+1, et g(b) = f(b). L définition des δ x implique imméditement f g < ε. Cel chève l démonstrtion de l impliction (i) (ii). Corollire 3.3. Toute fonction continue sur [, b] est limite uniforme de fonctions en esclier. Corollire 3.4. Toute fonction monotone sur [, b] est limite uniforme de fonctions en esclier. Ce dernier énoncé découle du fit qu une fonction monotone bornée est réglée, ce que l on peut étblir fcilement. Le Théorème 3.2 montre donc que l intégrle de Cuchy est définie sur Rég[, b]. l est importnt de noter que ce n est ps le nombre des discontinuités d une fonction qui régit son pprtennce à Rég[, b], mis leur nture. Cependnt, le théorème suivnt, qui peut être prouvé fcilement grâce u Théorème 3.2 (et moins fcilement sns cf.l exercice no. 3) montre qu une fonction réglée ne peut voir trop de discontinuités. Théorème 3.5. L ensemble des points de discontinuité d une fonction réglée est dénombrble. Remrque. Cet ensemble peut effectivement être infini. L fonction définie sur [, 1] pr f() =, f(x) = y n si 1/(n + 1) < x 1/n (n = 1, 2,...) est génériquement discontinue en tous les 1/n et est réglée si, et seulement si, l suite {y n } n=1 est convergente.

9 5 Retour sur l intégrle de Riemnn 5 4. Propriétés fondmentles de l intégrle de Cuchy L définition de l intégrle de Cuchy et le corollire à l proposition 2.1 impliquent fcilement, pr pssge à l limite, le résultt suivnt. Théorème 4.1. L ppliction f b f dt est une forme linéire continue positive sur Rég[, b] muni de l norme de l convergence uniforme. De plus, cette ppliction stisfit à l reltion de Chsles. Les propriétés 1 à 4 du 1 sont encore stisfites pour les fonctions réglées. Cependnt, il fut noter deux différences importntes vec le cs des fonctions continues : d une prt, on peut voir f, b f dt = et f non identiquement nulle ; d utre prt, l formule de l moyenne n est plus vlble. (Trouver des contre-exemples!) Théorème 4.2. Soit f Rég[, b]. L intégrle indéfinie F (x) = x f(t) dt est continue sur [, b] et est dérivble en tout point de continuité de f. n un tel point, on F (x) = f(x). l fut surtout retenir que F (x) n est ps nécessirement dérivble prtout (exemple : f(x) = sgn(x)) mis noter ussi que F peut, dns certins cs, être dérivble en un point de discontinuité de f. Construire des exemples. Le résultt suivnt est très importnt en prtique pour mjorer des intégrles dont l intégrnde comporte un fcteur oscillnt. Théorème 4.3 (Seconde formule de l moyenne). Soient f, g deux fonctions réglées sur [, b]. Si f est décroissnte et stisfit à f(b), lors il existe ξ [, b] tel que b f(t)g(t) dt = f() ξ g(t) dt. Corollire 4.4. Soit f une fonction monotone sur [, b], bornée pr M en vleur bsolue. Alors on b f(t)e ixt dt 4M (x ). x Corollire 4.5. Soient f, g deux fonctions réelles définies sur [, [ et réglées sur tout intervlle [, b] (b > ). On suppose que f(x) tend vers en décroissnt lorsque x et que A := sup b b g(t) dt <. Alors l intégrle f(t)g(t) dt est convergente et l on b f(t)g(t) dt f(t)g(t) dt 2Af(b) (b > ). 5. Retour sur l intégrle de Riemnn Le procédé des sommes de Drboux peut converger bien que l fonction ne soit ps continue, ou même réglée. Riemnn introduit priori l espce des fonctions pour lesquelles le procédé est convergent. Définition. On ppelle subdivision d un intervlle [, b] une suite finie σ = {x,..., x n } telle que = x < x 1 <... < x n = b. Le ps d une subdivision σ est l quntité σ = mx j<n (x j+1 x j ). Étnt données f B[, b] et σ subdivision de [, b], on ppelle somme de Drboux inférieure, resp. somme de Drboux supérieure, de f reltive à σ l quntité n 1 n 1 s σ (f) := m j (x j+1 x j ), resp. S σ (f) := M j (x j+1 x j ), j= j=

10 6 ntégrle de Cuchy et intégrle de Riemnn (résumé) où l on posé m j = inf xj t x j+1 f(t), M j = sup xj t x j+1 f(t) l intégrle de Riemnn inférieure, resp. supérieure, de f pr ( j < n). On définit s(f) = b f(t) dt = sup s σ (f), resp. S(f) = σ b f(t) dt = inf σ S σ(f). On dit que f est intégrble u sens de Riemnn si on s(f) = S(f). L vleur commune de ces deux nombres est lors ppelée intégrle de Riemnn de f et notée b f dt. nfin, on désigne pr R[, b] l ensemble des fonctions Riemnn-intégrbles sur [, b]. Si σ, τ sont deux subdivisions de [, b], on désigne pr σ τ l subdivision constituée de l réunion de tous les points de σ et de ceux de τ. On lors (1) s σ (f) s σ τ (f) S σ τ (f) S σ (f). n effet, posons σ = {x,..., x n } et σ τ = {y,..., y p } ; lors tous les x j sont des y h et l on pour tout couple {x j, x j+1 } de points consécutifs de σ, x j = y m, x j+1 = y m+k, vec m, k convenbles. l suit k 1 inf f(t)(x j+1 x j ) = inf f(t)(y m+i+1 y m+i ) x j t x j+1 x j t x j+1 i= k 1 i= inf f(t)(y m+i+1 y m+i ). y m+i t y m+i+1 n sommnt cette inéglité pour j < n, on obtient s σ (f) s σ τ (f). L inéglité opposée pour les sommes de Drboux supérieures s obtient de fçon nlogue. nfin, l inéglité centrle s σ τ (f) S σ τ (f) est évidente. l découle en prticulier de (1) que (2) s(f) S(f), donc il est équivlent de dire que f R[, b] et que S(f) s(f). Étnt donnée une fonction σ ϕ(σ) définie sur l ensemble des subdivisions, on dit que ϕ(σ) tend vers l lorsque σ tend vers, et on note lim σ ϕ(σ) = l, si l on ε > η > : σ η ϕ(σ) l < ε. Théorème 5.1 (Critère de Riemnn). Soit f B[, b]. Les propriétés suivntes sont équivlentes. (i) f R[, b] (ii) lim σ S σ (f) s σ (f) =. Démonstrtion. Montrons d bord l impliction (ii) (i). Sous l hypothèse (ii), on pour tout ε > l existence d un δ > tel que σ < δ S(f) S σ (f) s σ (f) + ε S(f) + ε, où l on tenu compte de (1). Cel implique lim σ s σ (f) = lim σ S σ (f) = S(f). Similirement, on obtient lim σ s σ (f) = lim σ S σ (f) = s(f), donc s(f) = S(f), et f R[, b]. Montrons mintennt l impliction (i) (ii). Posons, pour chque subdivision σ = {x,..., x n } de [, b], D σ (f) = S σ (f) s σ (f) = (M j m j )δ j (δ j = x j+1 x j ). j<n

11 5 Retour sur l intégrle de Riemnn 7 Soit ε >. Nous devons montrer que, pour un nombre réel η > convenble, on D σ (f) < ε dès que σ < η. Pr définition de l borne supérieure, il existe une subdivision σ 1 = σ 1 (ε) telle que s(f) ε/4 s σ1 (f) s(f). De même, il existe σ 2 = σ 2 (ε) telle que S(f) S σ2 (f) S(f) + ε/4. Or, l hypothèse f R[, b] équivut à s(f) = S(f). n posnt σ 3 = σ 1 σ 2, on déduit donc de (1) que D σ3 (f) ε/2. Posons σ 3 = {y,..., y N }. Bien entendu, N = N(ε). Nous choisissons η = ε/(8(n + 1) f ). Considérons lors une subdivision σ telle que σ < η. On décompose l somme D σ (f) sous l forme D σ (f) = D σ (1) (f) + D σ (2) (f), où D σ (1) (f) porte sur les indices j tels que [x j, x j+1 ] ne contient ucun y h, et D σ (2) (f) porte sur tous les utres indices. On peut écrire N 1 D σ (1) (f) = h= N 1 y h <x j <x j+1 <y h+1 (M j m j )δ j h= y h <x j <x j+1 <y h+1 N 1 h= ( sup f(t) y h t y h+1 ( sup f(t) y h t y h+1 ) inf f(t) y h t y h+1 ) inf f(t) (y h+1 y h ) = D σ3 (f). y h t y h+1 Donc D σ (1) (f) ε/2. Mintennt, observons qu un même point y h pprtient u plus à deux intervlles [x j, x j+1 ] tels que l indice j pprisse dns D σ (2) (f). Cette somme comporte donc u plus 2N + 2 termes, et chcun d entre eux est trivilement mjoré pr 2η f. D où D σ (2) (f) (2N + 2)2η f = ε/2, d près le choix de η. Finlement, on obtient D σ (f) ε/2 + ε/2 = ε, ce qui termine l démonstrtion. On peut ussi crctériser les fonctions de R[, b] en termes d encdrement pr des fonctions en esclier ou des fonctions continues. Théorème 5.2. Pour toute fonction bornée sur [, b], on s(f) = S(f) = b b f dt = f dt = b sup g f, g sc[,b] inf G f, g sc[,b] b g dt = G dt = b sup g f, g C[,b] inf G f, g C[,b] b g dt δ j G dt. Démonstrtion. Les formules reltives ux fonctions en esclier sont presqu immédites. Si σ = {x,..., x n } est une subdivision de [, b] on s σ (f) = b g dt vec g(x) = m j 1 [xj,x j+1 [(x) f(x) ( x b). Cel implique j<n (3) s(f) sup g f, g sc[,b] b g dt.

12 8 ntégrle de Cuchy et intégrle de Riemnn (résumé) Pour montrer l inéglité opposée, considérons g sc[, b] telle que g f. On désigne pr {x j } n j= l suite finie obtenue en posnt x =, x n = b et où les x j (1 j < n) sont les discontinuités de g sur ], b[. On clirement g(x) inf xj <x<x j+1 f(x) pour x j < x < x j+1. Si σ est l subdivision de [, b] dont les points intérieurs sont les x j ± ε (1 j < n) vec < ε < min(x j+1 x j ), un clcul fcile montre que s σ (f) b g dt 2nε f. On en déduit s(f) b g dt. Cel montre bien que (3) est en fit une églité. L formule reltive à S(f) peut être étblie de mnière nlogue. Étblissons mintennt les formules concernnt les fonctions continues. Soit g une fonction en esclier telle que g f. On peut construire une fonction g 1, ffine pr morceux, telle que g 1 g et (4) b (g g 1 ) dt ε. Considérons, en effet, l suite {x j } n 1 j=1 des points de discontinuité de g, posons x =, x n = b et choisissons η tel que < η < min(x j+1 x j ). Posons encore y j = g(x j ), y + j = g(x j+). Si, pr exemple, g(x j ) = y + j et y j y+ j, on définit g 1 sur [x j η, x j ] comme l unique fonction ffine telle que g 1 (x j η) = y j, g 1(x j ) = y + j. Procédons semblblement dns les utres cs. L reltion (4) est lors stisfite dès que η est ssez petit. Cel montre que sup g f, g sc[,b] b g dt sup g f, g C[,b] Pour prouver l inéglité opposée, il suffit de remrquer que, si g est continue, le Théorème 3.2 implique l existence, pour tout ε >, d une fonction g sc[, b] telle que g g ε/(b ). L fonction en esclier g 1 = g ε/(b ) stisfit lors g 1 g et b g 1 dt b g dt ε. b g dt. Corollire 5.3. Soit f : [, b] R. Les trois ssertions suivntes sont équivlentes. (i) f R[, b], (ii) ε > g, G sc[, b] : g f G, b (G g) dt ε, (iii) ε > g, G C[, b] : g f G, b (G g) dt ε. Prllèlement u Théorème 4.1, on peut étblir le résultt suivnt, dont l démonstrtion est fcile à prtir du critère de Riemnn. Théorème 5.4. R[, b] est une sous-lgèbre de B[, b]. L ppliction f b f dt est une forme linéire continue positive sur R[, b] muni de l norme de l convergence uniforme. De plus, cette ppliction stisfit à l reltion de Chsles. De même, le Théorème 4.2 reste vlble en remplçnt Rég[, b] pr R[, b], vec une démonstrtion inchngée. Le Corollire 5.3 permet d étblir fcilement le résultt suivnt, qui fit le lien entre l intégrle de Cuchy et celle de Riemnn. Théorème 5.5. On Rég[, b] R[, b]. De plus, l intégrle de Riemnn de toute fonction réglée coïncide vec son intégrle de Cuchy. L seconde formule de l moyenne et son corollire 4.4 sont églement vlbles pour les fonctions Riemnn-intégrbles. L démonstrtion n est ps tout-à-fit l même, et il est conseillé d en pourvoir les détils. Nous vons déjà noté que l fonction f définie sur [, 1] pr f() = et f(x) = sin(1/x) pour x n est ps réglée. Le critère de Riemnn implique imméditement qu elle est

13 6 Limites 9 dns R[, b]. n effet, pour σ = {x,..., x n }, σ δ, 1 k n, on D σ (f) 2(x k x ) + 2x k + k j<n k j<n ( sup sin(1/t) inf sin(1/t))(x j+1 x j ) x j t x j+1 x j t x j+1 (x j+1 x j ) 2 /x 2 j 2x k + δ/x 2 k. n choisissnt k mximl sous l contrinte x k > δ, on x k δ + δ, d où D σ (f) 3 δ + δ. Donc lim σ D σ (f) =, et on bien f R[, b]. Lebesgue obtenu une crctéristion très simple des fonctions Riemnn-intégrbles prmi les fonctions bornées. lle repose sur l notion féconde d ensemble négligeble. Désignons l longueur d un intervlle ouvert =], b[ pr λ() = b. Définition. Un ensemble N R est dit négligeble si, pour chque ε >, il existe une fmille dénombrble d intervlles ouverts { j } j J telle que N j J j et j J λ( j) < ε. Un ensemble fini, et plus générlement un ensemble ynt un nombre fini de points d ccumultion, est négligeble. L propriété suivnte est cpitle. Théorème 5.6. Une réunion dénombrble d ensembles négligebles est négligeble. Définition. Lorsqu une propriété est stisfite pour tous les nombres réels d un ensemble de référence suf ceux d un ensemble négligeble, on dit qu elle est stisfite presque prtout (pp). Théorème 5.7 (Lebesgue-Vitli). Soit f B[, b]. Alors f R[, b] si, et seulement si, f est continue pp. Ainsi, contrirement à l notion de fonction réglée, l notion de fonction Riemnnintégrble est indépendnte de l nture des discontinuités : elle ne repose que sur l mesure de leur ensemble. Le critère de Lebesgue-Vitli implique imméditement le Théorème 5.5, u vu du Théorème 3.5 qui ssure que l ensemble des points de discontinuité d une fonction réglée est dénombrble. l permet ussi d exhiber des fonctions bornées non Riemnn-intégrbles, comme l fonction crctéristique des nombres rtionnels, notée 1 Q. 6. Limites l s git de trouver des conditions suffisntes sur une suite simplement convergente {f n } n=1 de fonctions de Rég[, b] ou de R[, b] pour que l on it ( ) b lim n + f n dt = b lim f n dt. n + Commençons pr un résultt très simple. Théorème 6.1. Si f n Rég[, b] et si f n f, lors f Rég[, b] et l reltion ( ) est vérifiée. Les hypothèses de ce théorème sont trop fortes. l est cependnt à noter que, suf exception, un ffiblissement des hypothèses sur l convergence nécessite d imposer que l fonction limite est réglée.

14 1 ntégrle de Cuchy et intégrle de Riemnn (résumé) Définition. Soit K un sous ensemble fini de [, b]. On dit qu une suite {f n } n=1 de fonctions définies sur [, b] converge vers f uniformément suf u voisinge de K si, pour tout ensemble V de l forme V = x K ]x ε, x + ε[ (ε > ), on lim n + sup x [,b] V f n (x) f(x) =. L convergence uniforme suf u voisinge d un ensemble fini d une suite de fonctions réglées n implique ps en générl que l fonction limite soit réglée. Construire des contreexemples. Théorème 6.2. Soit {f n } n=1 une suite bornée de fonctions de R[, b]. On suppose qu il existe une fonction f et un ensemble fini K [, b] tels que {f n } n=1 converge vers f uniformément suf u voisinge de K. Alors f R[, b] et l reltion ( ) est stisfite. L hypothèse de bornitude de l suite {f n } n=1 est essentielle : si f n (x) = n 2 x n (1 x), on, sur [, 1], convergence uniforme vers suf u voisinge de {}, mis ( ) n ps lieu. L démonstrtion du Théorème 6.2 est esquissée à l exercice 29. On peut ffiblir les conditions sur K, en le supposnt seulement compct et négligeble. L version Cuchy de ce théorème est de moins bonne qulité, en ce sens que l fonction limite n est plus lors utomtiquement intégrble. Lorsqu on impose priori l intégrbilité de l limite simple, l interversion du pssge à l limite et de l intégrtion nécessite seulement l hypothèse que l suite est bornée. l fudr ttendre l théorie de Lebesgue pour que l intégrbilité de l fonction limite découle utomtiquement de l hypothèse de bornitude. n prtique, il est ssez difficile de trouver des conditions générles permettnt d ffirmer qu une limite de fonctions Riemnn-intégrbles est Riemnn-intégrble. Théorème 6.3 (Arzelà, 1885). Soit {f n } n=1 une suite bornée de fonctions de R[, b]. On suppose qu il existe une fonction f R[, b] telle que {f n } n=1 converge simplement vers f. Alors l reltion ( ) est stisfite. L démonstrtion que nous indiquons ici est due à Vrouchs (1986). lle repose sur le résultt uxiliire suivnt. Lemme 6.4. Soit {f j } n j=1 une suite finie décroissnte de fonctions définies sur [, b]. On suppose que f 1 est bornée et on se donne une suite {g j } n j=1 de fonctions de R[, b] telle que g j f j (1 j n). On pose G j := min 1 i j g i (1 j n). Alors on b G n dt 1 j n b g j dt 1 j n 1 b f j dt = b f n dt 1 j n ( b f j dt b ) g j dt. Démonstrtion du lemme. On procède pr récurrence sur n, le cs n = 1 étnt immédit puisque G 1 = g 1 et que l seconde somme en j est vide. Supposons donc le résultt cquis u rng n 1 vec n 2. On lors G n 1 f n 1 et g n f n f n 1 d où G n = min(g n 1, g n ) = G n 1 + g n mx(g n 1, g n ) G n 1 + g n f n 1. n ppliqunt l hypothèse de récurrence, il suit b G n dt 1 j n 1 b g j dt 1 j n 2 b d où l inéglité souhitée en regroupnt les termes. f j dt + Nous déduisons du lemme 6.4 l proposition suivnte. b g n dt b f n 1 dt,

15 6 Limites 11 Proposition 6.5. Soit {f n } n=1 une suite de fonctions définies sur [, b] et à vleurs dns [, M]. On suppose que {f n } n=1 tend simplement vers. Alors on b lim n f n dt =. Démonstrtion. Nous pouvons supposer sns perte de générlité que l suite {f n } n=1 est décroissnte : dns le cs contrire, il suffit de considérer fn := sup j n f j. Soit ε >. D près le Théorème 5.2, il existe pour chque n une fonction g n de sc[, b] telle que g n f n et b g n dt b f n dt ε/2 n. Soit G n := min 1 j n g j. Alors G n est continue et tend simplement vers. Comme l suite {G n } n=1 est décroissnte, le théorème de Dini (cf.exercice no. 4) implique lors que G n. Pr le Théorème 6.1, il suit que b G n dt. n ppliqunt lors le Lemme 6.4, on obtient lim sup n b f n dt Cel chève l démonstrtion de l proposition. ε/2 j = ε. Démonstrtion du Théorème. l suffit d ppliquer l Proposition 6.5 à l suite de fonctions intégrbles { f f n } n=1. Le corollire suivnt constitue l version intégrle de Riemnn du théorème fondmentl de l nlyse. Théorème 6.6. Soit f : [, b] R une fonction dérivble dont l dérivée f est dns R[, b]. Alors b j=1 f (t) dt = f(b) f(). Démonstrtion. Pr continuité, il suffit de prouver le résultt pour toute intégrle sur [α, β] vec < α β < b. D près le théorème des ccroissements finis, on, pour h ssez petit, f h (t) := f(t + h) f(t) h = f (t + ϑh) (t [α, β], ϑ = ϑ(t, h) [, 1]). On donc f h (t) M := f uniformément en h et t. pr le Théorème d Arzelà, il suit β β lim f h (t) dt = f (t) dt. h α α Pr illeurs, on β α f h (t) dt = 1 h β+h α+h f(t) dt 1 h β f(β) f(α) (h ). α f(t) dt = 1 h β+h β f(t) dt 1 h α+h α f(t) dt Cel chève l démonstrtion. Remrque. Nous donnons à l exercice 11 l version dérivée continue qui est notblement plus simple à étblir. de ce théorème,

16 12 ntégrle de Cuchy et intégrle de Riemnn (résumé) 7. ntégrles générlisées Définition. Soit f : [, + [ R une fonction Riemnn-intégrble sur tout intervlle [, b] (b > ). On dit que f possède une intégrle de Riemnn générlisée sur [, + [ si b f dt tend vers une limite lorsque b +. Cette limite est lors notée f dt. De même, lorsque f R[, c] pour tout c ( < c < b), on dit que f possède une intégrle de Riemnn générlisée sur [, b[ si c f dt tend vers une limite lorsque c b. Cette limite est lors notée b f dt. l est fcile de vérifier qu une condition suffisnte pour que f possède une intégrle générlisée de l un des types précédents est que f possède une intégrle générlisée suppléer les détils. On dit lors que l intégrle reltive à f est bsolument convergente. Une intégrle générlisée convergente mis non bsolument convergente est dite semiconvergente exemple : (sin x/x) dx. On peut psser de l un à l utre des types de semi-convergence pr chngement de vribles. Dns l suite, nous ne triterons donc que du cs d un intervlle non borné. Nous désignons pr R[, + [ l ensemble des fonctions Riemnn-intégrbles sur tout intervlle [, b] vec b >. Théorème 7.1 (Convergence dominée). Soit {f n } n=1 une suite de fonctions de R[, + [ converge simplement vers une fonction f R[, + [. On suppose de plus l existence d une fonction fixe g possédnt une intégrle de Riemnn générlisée sur [, + [ et telle que f n g pour tout n 1. Alors, f n (n 1), f possèdent des intégrles générlisées sur [, + [ et on lim n + f n (x) dx = f(x) dx. L hypothèse d existence de l fonction g dns ce théorème est utomtiquement rélisée lorsque l suite est croissnte. Théorème 7.2 (Convergence monotone). Soit {f n } n=1 une suite croissnte de fonctions à vleurs dns R + et possédnt des intégrles de Riemnn générlisées sur [, + [. Si {f n } n=1 converge simplement vers une fonction f possédnt une intégrle de Riemnn générlisée sur [, + [, on lim n + f n (x) dx = f(x) dx.

17 Université de Lorrine Fculté des sciences et technologies Licence de mthémtiques 1994/95 Clcul intégrl et théorie de l mesure Gérld Tenenbum xercices sur l continuité et l convergence 1. Soient f, g des fonctions réelles continues sur R. Montrer que h := mx(f, g) est églement continue sur R. On dit que f est mjorée pr 1 en moyenne si l on sup x R x f(t) dt 1. st-il vri que si f et g sont toutes deux mjorées pr 1 en moyenne, lors il en v de même de h? Donner un équivlent, lorsque x tend vers l infini, de x mx(, sin t) dt. 2. 1) Soit G un sous-groupe dditif de R. On pose α := inf{x G : x > }. Montrer que si α >, lors on G := αz = {αn : n Z}. On dit lors que G est discret. 2) Montrer que si α =, lors pour, tout nombre réel ξ et tout ε >, il existe un nombre x dns G tel que x ξ < ε. On dit lors que G est dense dns R. Donner un exemple de sous-groupe dditif de R qui est dense dns R. 3) Soit ϱ R. Montrer que G(ϱ) := {mϱ + n : m Z, n Z} est un sous-groupe dditif de R. Crctériser les nombres réels ϱ pour lesquels G(ϱ) est discret. 4) Appliction : clculer lim sup n sin(2πnx). (Lorsque x = p/q vec p Z, q N et (p, q) = 1, on introduir l unique entier r tel que r q/4 < r + 1, on montrer que mx n 1 sin(2πnx) = mx ( sin(2πr/q), sin(2π(r + 1)/q ) et on montrer que l ppliction n np de Z/qZ dns lui-même est injective et donc surjective.) 3. Une fonction numérique f définie sur un intervlle est dite uniformément continue (sur ) si lim sup f(x) f(y) =. ε x,y x y ε Donner des exemples de fonctions continues mis non uniformément continues sur ], 1]. n risonnnt pr l bsurde et en utilisnt le théorème de Bolzno-Weierstrss, montrer que toute fonction continue sur un intervlle fermé [, b] est uniformément continue. L fonction x sin x est-elle uniformément continue sur R? Même question pour l fonction x sin x ) Soit {f n } n=1 une suite monotone de fonctions réelles et continues sur [, 1]. On suppose que f n converge simplement vers une fonction continue f. Montrer que l convergence est uniforme. (Ce résultt est connu sous le nom de théorème de Dini. On pourr risonner pr l bsurde et ppliquer le théorème de Bolzno-Weierstrss.) Le théorème de Dini est-il vlble pour des fonctions définies sur [, [? Peut-on se dispenser de l hypothèse que f est continue? 2) On bndonne mintennt l hypothèse que l suite {f n } n=1 est monotone et on l remplce pr l hypothèse que chque f n est monotone. On suppose toujours que l limite

18 14 xercices sur l continuité et l convergence simple f est continue. Montrer que l convergence de f n vers f est encore uniforme. (On pourr introduire des points tests x k := k/n ( k N) sur [, 1] vec N suffismment grnd.) Montrer que l hypothèse de l continuité de l fonction limite f est indispensble. 5. Critère d Abel. 1) Soit A >, et { n } n=1, {b n } n=1 deux suites réelles. On pose A n := 1 m n m. On suppose que (i) sup n 1 A n A, (ii) b n décroît vers lorsque n. Montrer que pour tous entiers M 1, N 1 on n b n = A N+M b N+M + N<n N+M n déduire que N<n N+M et en prticulier que l série n nb n converge. N<n N+M 1 n b n 2AbN+1, A n (b n b n+1 ) A N b N+1. 2) Soit A > et soient f, g deux fonctions continues sur [, [ telles que x (i) sup f(t) dt A, x (ii) g est de clsse C 1, décroissnte et tend vers lorsque x. Montrer que l intégrle générlisée f(t)g(t) dt est convergente et estimer l vitesse de convergence. 3) Appliction. Montrer l existence de l intégrle générlisée sin x 2 dx. stimer l vitesse de convergence. Que fut-il penser de l intégrle générlisée sin x 2 dx? 6. 1) Soit F (h) = h (sin u/u) du (h R). Montrer que, pour tout h >, on < F (h) F (π). Montrer l existence de L = lim h + F (h). 2) Montrer que l série f(x) = m=1 (sin mx)/m est uniformément convergente sur tout intervlle α x 2π α vec < α < π. [On pourr utiliser le critère d Abel.] Montrer que l n-ième somme prtielle f n (x) de l série f(x) est uniformément bornée. 3) Montrer que l fonction t h(t) = ( 2 sin( 1 2 t)) 1 t 1 est prolongeble en une fonction dérivble sur ] 2π, 2π[. 4) Étblir l identité 1+2 n m=1 cos(mt) = sin ( (n+ 1 2 )t) / sin( 1 2t). n déduire une expression pour f n (x) et montrer directement que f n (x) F ( (n )x) + 1 2x est uniformément bornée sur [ 2π, 2π]. 5) Montrer que f(x) = L x/2 ( < x < 2π) et clculer L en spécilisnt x = π. 6) Appliction. Clculer n=1 cos(nx)/n2 ( x 2π). 7. Soient f, g des fonctions continues sur R et coïncidnt sur l ensemble des rtionnels dydiques. Montrer que f = g. 8. Soit f : R R une ppliction quelconque. Montrer que l ensemble des nombres réels en lesquels f possède un mximum locl strict est fini ou dénombrble.

19 xercices sur l continuité et l convergence xiste-t-il une fonction numérique continue f : [, 1] R telle que f(x) soit rtionnel pour x irrtionnel et irrtionnel pour x rtionnel? [On pourr procéder de l une des trois fçons suivntes : () montrer que l propriété est conservée pr toutes les fonctions f,b : x f(x) + b vec, b Q, puis étblir que f,b possède nécessirement un point fixe pour, b convenbles ; (b) montrer que f([, 1]) est dénombrble, et conclure en ppliqunt le théorème des vleurs intermédiires ; (c) montrer que f(x)±x est irrtionnel pour tout x [, 1] et en déduire que ces deux fonctions sont constntes.] 1. Montrer qu une fonction dérivée stisfit u théorème des vleurs intermédiires. [On pourr considérer une fonction f dérivble sur un intervlle ], b[ et telle que f prend des vleurs des deux signes. l s git lors de montrer que f s nnule sur ], b[. Montrer que f n est ps monotone et ppliquer le théorème des vleurs intermédiires à f pour montrer l existence de deux points u, v de ], b[ tels que f(u) = f(v). Conclure.] 11. Soit f : [, b] R une fonction dérivble dont l dérivée est continue. Montrer, en utilisnt le théorème des ccroissements finis et l continuité uniforme de f, que f h (t) := {f(t + h) f(t)}/h tend uniformément vers f (t) sur tout intervlle fermé [α, β] ], b[ lorsque h. n déduire que l on b f (t) dt = f(b) f().

20 Université de Lorrine Fculté des sciences et technologies Licence de mthémtiques 1994/95 Clcul intégrl et théorie de l mesure Gérld Tenenbum xercices sur l intégrle de Cuchy et l intégrle de Riemnn 12. n s inspirnt de l exercice 1, construire une fonction réglée f dont l intégrle indéfinie F (x) = x f(t) dt est non dérivble en certins points. Que peut-on nénmoins dire de l ensemble des vleurs de x où F n est ps dérivble? st-il possible que F soit dérivble en x mis que l on it F (x ) f(x )? 13. Pour x 1, soit f(x) = n=1 {nx}/n2, où {u} désigne l prtie frctionnire du nombre réel u. Montrer que f est réglée. Déterminer l ensemble des points de discontinuité de f et clculer l oscilltion ω x (f) := lim sup y x f(y) lim inf y x f(y) de f en chque point de. Clculer 1 f(x) dx. 14. Pour n N, on pose f n (x) = 1/(1 + n log x ) ( < x 1), et f n () =. Montrer que, pour chque n, f n est réglée et clculer lim n + 1 f n(x) dx. 15. Soit f : [, b] R + une fonction réglée, à vleurs positives ou nulles, et d intégrle de Cuchy nulle. 1) Montrer que pour tout entier n N il existe une fonction en esclier f n telle que f(x) f n (x) f(x) + 1/n sur [, b]. 2) Montrer que pour tout ε > et tout δ > l ensemble (δ) = f 1 ([δ, + [) peut être recouvert pr une fmille finie d intervlles dont l somme des longueurs n excède ps ε. n déduire que (δ) est négligeble, puis que l ensemble = {x [, b]: f(x) } est négligeble. 3) Triter l question précédente en supposnt seulement f Riemnn-intégrble. 16. Soit f R[, b] une fonction telle que l ensemble N = {t [, b] : f(t) < } soit négligeble. Montrer que b f(x) dx. Appliction. Si f est intégrble sur [, b] et si = {t [, b] : f(t) } est négligeble, lors b f(x) dx =. 17. Soit f : [, b] R une fonction bornée telle que, pour chque ε >, l ensemble A ε = {t [, b] : f(t) > ε} soit fini. Montrer que b f(x) dx = b f(x) dx =. Appliction. Soit f : [, 1] R l ppliction définie pr f(x) = si x Q, et f(p/q) = 1/q si p, q N, (p, q) = 1. Montrer que f est intégrble u sens de Riemnn et clculer son intégrle. Retrouver le résultt pr un risonnement direct. (On pourr utiliser le résultt de l exercice 15.)

21 xercices sur l intégrle de Cuchy et l intégrle de Riemnn Pour toute fonction f de B[, b], on considère l fonction défut d intégrbilité D f (x) = x f(t) dt x f(t) dt (x [, b]). Montrer que pour f Rég[, b], l fonction D f (x) est dérivble sur [, b] et de dérivée nulle. [On dmettr que l intégrle inférieure et l intégrle supérieure stisfont à l reltion de Chsles.] Retrouver insi l inclusion Rég[, b] R[, b]. 19. Désignons pr {x} l prtie frctionnire du nombre réel x, et posons B 1 (x) = {x} 1 2. Montrer que z y B 1(x) dx est uniformément borné pour y, z R. n clculnt n n 1 f (x){x} dx pour n = 2, 3,..., N, montrer que l on pour toute fonction f de clsse C 1 sur [1, N] N f(n) = n=1 N 1 N f(x) dx (f(1) + f(n)) + B 1 (x)f (x) dx. n supposnt que f est monotone pour x ssez grnd et tend vers à l infini, étblir l existence d une constnte C = C(f) telle que l on it pour N ssez grnd 1 ( ) N f(n) = N n=1 1 f(x) dx f(n) + C + O(f (N)). Applictions. Clculer, en fisnt ppel à des résultts clssiques d nlyse, l constnte C(f) pour f(x) = log x, f(x) = 1/x. Écrire l formule symptotique ( ) pour f(x) = log x/x en évlunt le terme principl on ne demnde ps l vleur de C(f) dns ce cs. 2. Soit f : [, b] R une fonction Riemnn-intégrble. Montrer que pour tout ε > il existe une fonction en esclier g telle que b f(t) g(t) dt < ε. Montrer le Lemme de Riemnn-Lebesgue : pour toute fonction Riemnn-intégrble sur [, b], on b b lim f(t) cos xt dt = lim f(t) sin xt dt =. x + x + On triter d bord le cs des fonctions en esclier. 21. Étnt donnée une fonction f à vleurs réelles, on ppelle mjornt essentiel de f tout nombre réel m tel que f 1 (]m, + [) soit négligeble. 1) Montrer que toute fonction bornée possède un plus petit mjornt essentiel. On ppelle ce nombre borne supérieure essentielle de f et on le note essup f. 2) Soit f : [, b] R une fonction Riemnn-intégrble positive ou nulle. Pour tout p > on définit l moyenne d ordre p de f comme l quntité { 1 b 1/p. M p (f) = f(x) dx} p b Montrer que l on lim p + M p (f) = essup f en étudint d bord le cs des fonctions continues. [ Pour montrer que lim p + M p (f) essup f lorsque f R[, b], on étblir que pour tout A < essup f il existe un nombre réel positif δ ne dépendnt que de A tel que, pour toute subdivision σ = {x j } n j= de [, b], on j<n, M j A (x j+1 x j ) δ. ]

22 18 xercices sur l intégrle de Cuchy et l intégrle de Riemnn 22. Soient, b tels que < < b. On pose f n (x) := x n 1 bx bn 1. Montrer que f n possède une intégrle de Riemnn générlisée sur ], 1]. Pour < x < 1, clculer F (x) := n=1 f n(x) et montrer que F peut être prolongée en une fonction continue en 1 possédnt une intégrle générlisée sur ], 1] que l on clculer. Comprer 1 F (x) dx et 1 f n(x) dx. n=1 23. Clculer f(x) = n= x2n+1 /(2n + 1) pour x < 1. Montrer l existence et clculer l vleur des intégrles générlisées 1 f(x) dx, et 1 f(x)x 1 dx. 24. Montrer que l intégrle générlisée e 2x cos x dx est convergente et clculer s vleur. 25. Soit p >. Étblir l formule 1 ccordé à chcun des deux membres. x p 1 1 x log 1 x dx = 1 en précisnt le sens (p + k) Soit p >. Montrer, grâce u critère d Abel, que l série k= ( x)k /(p + k) est uniformément convergente sur [, 1]. Étblir ensuite, en précisnt le sens de chque expression, l formule 1 xp 1 dx/(1 + x) = k= ( 1)k /(p + k). 27. Soit f une fonction à vleurs positives ou nulles possédnt une intégrle de Riemnn générlisée sur ], 1]. st-il vri que pour chque ε ], 1[ l suite f n (x) := x n f(x) converge uniformément vers sur ], 1 ε]? Peut-on déterminer lim n + 1 xn f(x) dx? k= 28. Construire une fonction f ynt une intégrle de Riemnn générlisée sur [, + [ mis telle que lim sup x + f(x) =. Peut-on imposer de plus que f soit continue sur R? uniformément continue sur R? 29. On considère les intégrles de Wllis n = π/2 (sin t) n dt. 1) Trouver une reltion entre n et n 2. Montrer que n tend vers en décroissnt et que n / n+1 tend vers 1. Donner une formule explicite pour 2n et 2n+1. 2) Sns considérer l prité de n, clculer n n n 1. n déduire un équivlent de n de l forme c/n α. 3) Écrire le développement en série entière de 1/ 1 + x et de rcsin x u voisinge de l origine. A l ide de l question précédente, donner un équivlent du n-ième coefficient de chcune d elles. 4) ntégrer entre et π/2 l identité t = rcsin(sin t) où le second membre ser écrit comme une série entière en sin t. Justifier l intégrtion terme à terme et en déduire l vleur d une série remrquble. 5) Étblir les inéglités (1 t2 /n) n e t2 ( t n), et e t2 (1 + t 2 /n) n (t R). n déduire pr intégrtion un encdrement de l intégrle gussienne G = + e t2 dt. n fisnt ppel ux résultts des questions 1 et 2, clculer l vleur de G. 3. Soit {f n } n=1 une suite bornée de fonctions de R[, b] convergent simplement vers une fonction f, et uniformément suf u voisinge d un ensemble fini K. On désigne pr n l ensemble des points de discontinuité de f n et on pose = n=1 n. 1) Montrer que l ensemble = K est négligeble.

23 xercices sur l intégrle de Cuchy et l intégrle de Riemnn 19 2) Soit x [, b]. Pour n 1, δ >, on pose α n (δ; x) = sup f n (x) f n (y), β n (δ; x) = sup f n (y) f(y). x y δ x y δ Montrer que pour tout n fixé on lim δ α n (δ; x) = et que pour δ > fixé ssez petit on lim n β n (δ; x) =. n déduire que f est continue en x et donc que f R[, b]. 3) Soit σ = {x,..., x k } une subdivision de [, b]. Pour δ >, on désigne pr J 1 (σ, δ) l ensemble des indices j [, k] tels que [x j δ, x j+1 + δ] ne contienne ucun point de K. On pose lors J 2 (σ, δ) = [, k] J 1 (σ, δ). Montrer que j J 2 (σ,δ) (x j+1 x j ) 2 K (δ + σ ). Montrer que sup j J1 (σ,δ) sup xj x x j+1 f(x) f n (x) lorsque n. n déduire une preuve directe que f R[, b] et l vlidité de l formule b f(t) dt = lim n b f n(t) dt. 31. On se propose ici de démontrer, sns fire ppel u théorème de Borel-Lebesgue, que l ensemble des points de discontinuité d une fonction dmettnt en tout point une limite à guche et une limite à droite est dénombrble. Soit f Rég[, b]. On pose n := {x [, b] : ω x (f) > 1/n} où l oscilltion ω x (f) est définie comme à l exercice précédent. 1) Soient x [, b], n N. Montrer l existence d un nombre réel δ n (x) > tel que l on it f(x+) f(y) 1/2n pour tout y stisfisnt à x < y < x + δ n (x). 2) Étblir que les intervlles ]x, x + δ n(x)[ sont deux à deux disjoints lorsque x prcourt n. 3) Pour p, n N, on pose n,p := n {x [, b] : δ n (x) > 1/p}. Montrer que n,p est fini. Conclure. 4) A quel endroit l démonstrtion proposée en cours fit-elle ppel u théorème de Borel-Lebesgue? 32. Théorème de Lebesgue-Vitli. Soit f B[, b]. On se propose de prouver ici que f R[, b] si, et seulement si, l ensemble (f) des points de discontinuité de f est négligeble. On définit l oscilltion ω f (x) de f en un point x de [, b] pr l formule ω f (x) := lim sup ε y x ε, z x ε f(y) f(z). Pour p N, on pose p := {x [, b] : ω f (x) 1/p}. Étnt donnée une subdivision σ = {x j } n j= de [, b], on pose M j := sup f(x), m j := inf f(x), D σ (f) := x j x x j+1 x j x x j+1 j<n (M j m j )(x j+1 x j ). 1) Montrer que f est continue en x si, et seulement si, on ω f (x) =. n déduire que (f) = p=1 p. 2) Supposons que f R[, b]. () Montrer que pour chque p 1 et chque ε > il existe une subdivision σ p = {x j } n j= de [, b] telle que D σ p (f) ε/2p. (b) Soit J(σ p ) = {j : j < n, ]x j, x j+1 [ p }. Montrer que pour tout j J(σ p ) on M j m j 1/p. n déduire que j J(σ p ) (x j+1 x j ) ε/2.

24 2 xercices sur l intégrle de Cuchy et l intégrle de Riemnn (c) Montrer que p est négligeble pour tout p 1 et en déduire que (f) est négligeble. 3) Soit f une fonction non nulle de B[, b] telle que (f) est négligeble. () Montrer que pour chque entier p 1, l ensemble p est une prtie fermée de [, b], donc compcte. (b) Soient ε >, p 3(b )/ε. Montrer qu il existe une suite finie { k } K k=1 d intervlles ouverts telle que p K k=1 k, 1 k K λ( k ) < ε/(9 f ). (c) On pose F (p, ε) = [, b] K k=1 k. Montrer que F (p, ε) est compct. Montrer que pour tout ξ de F (p, ε) il existe un nombre réel positif η(ξ) tel que, notnt V (ξ) =]ξ η(ξ), ξ + η(ξ)[, on it sup y,z V (ξ) f(y) f(z) 1/p. Montrer qu il existe une suite finie {ξ h } H h=1 d éléments de F (p, ε) telle que F (p, ε) H h=1 V (ξ h). (d) Soit δ = min{ε/(12h f ), min 1 k K λ( k )} et σ = {x j } n j= une subdivision de [, b] de ps σ < δ. On décompose D σ (f) = D σ (1) (f) + D σ (2) (f) + D σ (3) (f) où D σ (1) (f) correspond ux indices j tels que [x j, x j+1 ] k pour u moins un indice k, D σ (2) (f) correspond ux indices j tels que [x j, x j+1 ] V (ξ h ) pour u moins un indice h et D σ (3) (f) porte sur tous les utres indices pour lesquels, en prticulier, [x j, x j+1 ] contient un point de l forme ξ h ± η(ξ h ). Étblir les inéglités Conclure. D (1) σ (f) f 1 k K D (2) σ (f) (b )/p ε/3 D σ (3) (f) 4H f σ ε/3. (λ( k ) + 2 σ ) 3 f 1 k K λ( k ) ε/3

25 Université de Lorrine Fculté des sciences et technologies Licence de mthémtiques 1994/95 Clcul intégrl et théorie de l mesure Gérld Tenenbum ntégrle double 1. Définition L théorie de l intégrle de Riemnn en dimension supérieure ou égle à 2 est une extension nturelle de celle des fonctions d une vrible. Pour éviter des nottions trop lourdes, nous considérons ici le cs de deux vribles, mis on pourr sns peine étendre l étude u cs générl. Soit P = J un pvé de R 2. On définit l mesure de P pr l formule λ(p ) = λ()λ(j), ce qui n est utre que l ire du rectngle J. Une fonction en esclier sur P est une fonction bornée de l forme ϕ(x, y) = z j 1 Pj (x, y) + ψ(x, y) 1 j n où les P j sont des pvés ouverts disjoints dont l réunion des dhérences 1 j n P j coïncide vec P, et où le support de ψ est P 1 j n P j. On pose lors ϕ(x, y) dx dy = ϕ(x, y) dx dy = z j λ(p j ). P P 1 j n On peut étblir fcilement que l ppliction ϕ ϕ dx dy est une forme linéire positive P sur l ensemble sc(p ) des fonctions en esclier sur P. Comme en dimension 1, l intégrle de Riemnn d une fonction bornée f ser définie en comprnt f vec des fonctions en esclier dont les intégrles sont proches. Considérons un pvé fermé borné P = [, b] [c, d] de R 2. Une subdivision de P est le produit crtésien σ = σ 1 σ 2 d une subdivision σ 1 = {x = < x 1 <... < x m = b} de [, b] et d une subdivision σ 2 = {y = c < y 1 <... < y n = d} de [c, d]. On pose systémtiquement P ij = [x i, x i+1 ] [y j, y j+1 ], δ i = x i+1 x i, η j = y j+1 y j ( i < m, j < n), σ = mx{ σ 1, σ 2 } = mx{ mx i<m δ i, mx j<n η j}, (de sorte que λ(p ij ) = δ i η j ) et l on définit pour toute fonction f de B(P ) (l ensemble des fonctions bornées sur P ) les sommes de Drboux supérieure et inférieure S σ (f) = M ij λ(p ij ), s σ (f) = m ij λ(p ij ), i<m, j<n i<m, j<n