Quelques phénomènes d optique atmosphérique

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1 Quelques phénomènes d optque atmosphéque Jean-Mae Malhebe, 01/2009 L ac en cel acs de 42 et 50 (emaque l nveson du sens de dspeson) La éfacton de la lumèe à l ntéeu des gouttes d eau condut à la fomaton de pluseus acs, de mons en mons lumneux, selon le nombe de éflexons ntenes à la goutte (coeffcent de éflexon R<< 1, en ncdence nomale R = [(n eau -n a )/(n eau +n a )]² = 0.02). La dspeson de la lumèe ésulte de la vaaton de l ndce de éfacton de l eau en foncton de la longueu d onde, les ayons bleus (ndce plus élevé) étant plus dévés que les ayons ouges. Il exste des acs en lumèe éto dffusée (quand on a le solel dans dos), ou en lumèe decte (solel de face), selon le nombe de éflexons dans la goutte. A l ntéeu de l ac le plus lumneux, on obseve pafos des acs sunuméaes, qu ne sont pas dûs à la éfacton, mas à un phénomène d nteféences lumneuses ente des ayons qu sotent paallèlement de la goutte d eau. n ndce de éfacton de l eau n = n 0 + A/λ² avec n 0 = 1,320 et B = 2, m² (n = à 400 nm dans le bleu; n = à 700 nm dans le ouge) sn() = n sn() Dévaton du ayon ncdent : D = 2 ( ) + (π 2 ) Dévaton: D = 2 ( - ) Pou un nombe N de éflexons, la dévaton devent D = 2 ( ) + N (π 2 )

2 Sot D = N π (N + 1) acsn(sn() / n), est une foncton de l angle d ncdence Le mnmum de dévaton est tel que dd/d = 0, d où l on te: Sn( m )= [ ((N+1)²-n²) / ((N+1)²-1) ] 1/2 d où m, pus m = acsn(sn( m )/n) Avec n=1.33, on calcule le tableau suvant avec D m = 2 ( m m ) + N (π 2 m ): N=0; sn( m ) = pas de mnmum Dévaton Anneau Dffuson N=1; sn( m ) = [ (4-n²) / 3 ] 1/2 m = 59.6 ; m = 40.4 D m = éto N=2; sn( m ) = [ (9-n²) / 8 ] 1/2 m = 71.9 ; m = 45.6 D m = éto N=3; sn( m ) = [ (16-n²) / 15 ] 1/2 m = 76.9 ; m = 47.1 D m = decte N=4; sn( m ) = [ (25-n²) / 24 ] 1/2 m = 79.7 ; m = 47.7 D m = decte N=5; sn( m ) = [ (36-n²) / 35 ] 1/2 m = 81.5 ; m = 48.0 D m = éto Une dévaton ente 90 et 270 coespond à une étodffuson (solel dans le dos); une dévaton ente 0 et 90, ou 270 et 360 coespond à une dffuson decte (solel de face). Angle de dévaton D en foncton de l angle d ncdence su la goutte d eau pou une seule éflexon ntene. Acs sunuméaes On constate su la fgue c dessus, pou une seule éflexon ntene, qu ente = 15 et = 90, l exste toujous deux ncdences dfféentes qu donnent la même dévaton. L nteféence à l nfn de ces ayons paallèles en sote, autou du mnmum de dévaton, donne nassance aux acs sunuméaes, de dévaton supéeue à 138, donc qu seont ntéeus à l ac de 42. Chechons à évalue la dfféence de mache ente 2 ayons paallèles tombant su la goutte de pat et d aute de l ncdence m du mnmum de dévaton, pou une seule éflexon ntene. A l entée, tous les ayons sont paallèles. Pou commence, consdéons l entée d un ayon sous ncdence m et l entée d un second ayon paallèle sous ncdence poche de m.

3 Deux ayons solaes paallèles entant autou du mnmum de dévaton A Sote de deux ayons avec la même dévaton, donc paallèles B Le chemn optque du ayon d ncdence ente A et B est, avec l ndce n dans la goutte et 1 à l extéeu : L = 2R (1 cos ) + 4 n R cos avec sn = sn()/n Le chemn optque du ayon d ncdence m ente A et B est : L m = 2R (1 cos m ) + 4 n R cos m avec sn m = sn( m )/n Le mnmum de dévaton m est donné pa sn( m ) = [ (4-n²) / 3 ] 1/2 et sn( m ) = [ (4-n²) / 3n² ] 1/2 La vaaton de chemn optque L ente les deux ayons s éct : L = 2R (cos m cos ) + 4 n R (cos cos m ) On effectue un développement lmté en foncton de au vosnage de m en ntodusant = m et = m, sachant que et sont lés pa la elaton n cos = cos. Les dévées pemèes et secondes du développement en pou = m étant nulles, on dot alle jusqu au 3 ème ode : L = -(R/4) 3 [ (4-n²) / 3 ] 1/2 La vaaton de chemn optque ente deux ayons paallèles d ncdence m - et m + est donc : L = (R/2) 3 [ (4-n²) / 3 ] 1/2 Il y a nteféence constuctve des deux ayons s L = (R/2) 3 [ (4-n²) / 3 ] 1/2 = k λ, ou k est un nombe ente, ce qu donne : 3 = (2 k λ / R) [ 3 / (4-n²) ] 1/2 La dévaton des ayons lumneux est donnée pa D = π à l ncdence et pa D m = π + 2 m 4 m au mnmum de dévaton pou = m. En foncton de, D = π acsn(sn() / n), et D m = π + 2 m - 4 acsn(sn( m ) / n) La vaaton de dévaton D est donc : D = 2 ( m ) 4 [acsn(sn() / n) - acsn(sn( m ) / n)] Un développement lmté en pou = m donne au second ode : D = ( ²/2) (3/2) [ (4-n²) / (n²-1) ] 1/2 Il n y a en effet pas de peme ode, pusque la poston du mnmum de dévaton m est défne pa la nullté de la dévée pemèe de D pa appot à, qu fount sn( m ) = [ (4-n²) / 3 ] 1/2

4 Ben sû, D ne dépend pas du sgne de, les deux ayons paallèles entants ont donc sub en sote une dévaton totale dentque égale à D m + D et estent paallèles. De 3 = (2 k λ / R) [ 3 / (4-n²) ] 1/2, on en dédut ans D : D = (k λ / R) 2/3 (3/2) 4/3 (4-n²) 1/6 / (n²-1) 1/2 Sot numéquement avec n = 1.333, D = 2.23 (k λ / R) 2/3 Avec λ = 500 nm et R = 0.3 mm, on touve D = 1.8, 2.8, 3.8 La dévaton sea plus gande pou le ouge que pou le bleu, à l nvese de la éfacton. Le specte de Bocken Acs sunuméaes à l ntéeu du peme ac à une éflexon ntene. L ndce de éfacton n vaant en A + B / λ², l dmnue ves le ouge. Le mnmum de dévaton D m (vosn de 138 ) est donc plus pett dans le ouge que dans le bleu. En conséquence, le ayon angulae de l ac ouge (180 -D m ) est plus gand. La concluson s nvese pou l ac à deux éflexons ntenes (D m vosn de 230, ac de ayon D m -180 ) Le specte de Bocken est féquent en montagne : on l obseve comme un ac en cel, solel dans le dos, en lumèe étodffusée pa de la bume (fnes gouttes d eau), comme le montent les photos c dessous. Au cente du specte se touve l ombe potée de l obsevateu su la bume, pou cette ason on l appelle auss «gloe». Le phénomène ne peut pas s explque pa les los de la éfacton comme dans le cas des acs en cel, ca les anneaux ont un ayon angulae beaucoup plus pett. Du este, l n y a pas nveson de la dspeson ente les dfféents anneaux concentques, contaement à l ac en cel. Il s agt plutôt d un phénomène d nteféences, ou plus pobablement de dffacton des ondes lumneuses pa le contou de la goutte de ayon R. Comme la talle des gouttes d eau de bume est beaucoup plus pette que celle des gouttes de plue (envon 0.01 mm de ayon au leu de 0.3 mm), la dffacton devent mpotante, ca la talle des gouttes se appoche de celle de la longueu d onde de la lumèe. Spectes de Bocken : sommet du Mont Blanc (à gauche) et de la Gande Sassèe (à dote)

5 Avec une ncdence = 90, l angle de éfacton vaut = ac sn(sn / n) où n = est l ndce de éfacton de l eau, sot numéquement = La dévaton apès 2 éfactons et une éflexon ntene vaut : D = 2 ( ) + (π 2 ) = Les nteféences du ayon sotant avec un ayon ayant suv le chemn contae ne sont possbles que s la dévaton est de 180 (dffacton à l nfn). Pou ce fae, on dot nvoque une onde de suface le long d un ac de 14.4 pou compléte le dem cecle. Une façon smplfée pou abode le phénomène consste à consdée sa essemblance avec la dffacton de Faunhoffe (à l nfn) pa le contou de la goutte d eau de ayon R. Le contou peut se épésente pa la foncton de Dac δ(-r). La épatton angulae du fasceau dffacté est donné pa la tansfomée de Foue (ou plus exactement de Hankel en syméte cylndque) du masque (vo le cous d optque de Foue à l adesse suvante : ). + F(u) = 2π f() J 0 ( 2π u ) d 0 avec u = sn(α) / λ α / λ, α donnant la épatton angulae. Avec f() = δ(-r), on te mmédatement F(u) = 2π R J 0 ( 2π u R) et l ntensté lumneuse donne des anneaux de dffacton tels que I(u) = J 0 ( 2π u R)². J 0 ( 2π u R) est la foncton de Bessel d ndce 0. Ses zéos successfs sont donnés pa : u R = sn(α) R / λ α R / λ 0.38, 0.88, 1.38, On obtent donc des anneaux concentques de ayon angulae : α (λ / R) x 0.38, 0.88, 1.38, c est à de vaant en λ / R comme dans tout pocessus de dffacton de la lumèe à l nfn. Comme les anneaux n ont pas le même damète angulae selon les couleus, le damète des anneaux ouges étant plus gand que celu des bleus, on assste à un mélange des couleus. Seule la tache centale est blanche, mas l s y pojette l ombe de l obsevateu. La talle des anneaux dépend du ayon des gouttes. Pou R = 10 mcons, cette théoe tès smplfée donne à λ = 500 nm dans le vet α 1, 2.5, 4, etc S les gouttelettes sont deux fos plus pettes, pa exemple, on double ces valeus. Les halos Halo de 22 en decton du Solel fomé pa la pésence de cstaux de glace.

6 A = π-a 90 Les halos atmosphéques, autou de la Lune ou du Solel, peuvent s explque pa la pésence de cstaux de glace de deux sotes : des cstaux hexagonaux plats, en fome d assettes, ou des cstaux hexagonaux longs, en fome de cayon de pape. Les halos de 22 sont poduts pa la éfacton dans les cstaux plats qu foment un psme de 60 d angle au sommet ; les halos de 46 sont quant à eux dûs à la éfacton dans les cstaux longs au nveau d un psme de 90 d angle au sommet. On a les elatons : sn 1 = n sn 1 et n sn 2 = sn 2 Avec = A et la dévaton D = = A En dfféencant : d 1 + d 2 = 0 ; cos 1 d 1 = n cos 1 d 1 ; n cos 2 d 2 = cos 2 d 2 D où l on te : (cos 1 / cos 2 ) d 1 /d 2 = - cos 1 / cos 2 dd/d 1 = 1 + d 2 /d 1 = 1 - (cos 1 cos 2 ) / (cos 2 cos 1 ) La condton de mnmum de dévaton du psme est obtenue losque dd/d 1 = 0, sot : cos 1 cos 2 = cos 2 cos 1 (1 n² sn² 1 ) 1/2 cos 2 = (1 n² sn² 2 ) 1/2 cos 1 Avec 2 = A - 1, on expme tout en foncton de 1 seulement : (1 n² sn² 1 ) 1/2 cos (A- 1 ) = (1 n² sn² (A- 1 )) 1/2 cos 1 sot: (1 n² sn² 1 ) 1/2 / cos 1 = (1 n² sn² (A- 1 )) 1/2 / cos (A- 1 )

7 Cette égalté n est possble que s 1 = (A- 1 ), d où 1 = A/2. La condton du mnmum de dévaton est donc 1 = 2 = A/2, 1 = 2 = ac sn(n sn(a/2)) et la dévaton mnmale est donnée pa : D m = 2 ac sn(n sn(a/2)) - A Pou la glace avec n = 1.31, on touve D m = 22 avec A = 60 et D m = 46 avec A = 90 L saton povent du fat que l ndce de éfacton est plus élevé dans le bleu que dans le ouge ; les ayons bleus sont donc plus dévés que les ouges, d où l ac ouge à l ntéeu. Lo de Bougue S l ndce de éfacton n d un ayon lumneux qu pénète dans l atmosphèe de la Tee ne dépend que de la dstance au cente, les ayons sont ncuvés à la tavesée de l atmosphèe selon la lo : n=1 n() M atmosphèe R θ n sn = constante O avec OM =, n dépend de, = angle ente le vecteu OM et le ayon lumneux (angle ente la nomale et le ayon) TERRE La tajectoe des ayons lumneux est donnée en coodonnées polaes (,θ) pa tg = dθ / d sachant que n sn = K (constante), on obtent une équaton dfféentelle : d / [ (n²²/k² - 1) 1/2 ] = dθ Dans le cas d école le plus smple où n = constante, sot = constante, les ayons lumneux ont la fome d une spale logathmque du type = 0 exp[(θ-θ 0 )/tg ] La éfacton astonomque La éfacton astonomque découle de la lo de Bougue. Losqu on obseve une étole, depus le sol, à une dstance α du zénth, on commet une eeu de postonnement D dûe à la éfacton atmosphéque. Cette eeu est nulle au zénth (α = 0), et maxmale su l hozon (α = π/2). Nous allons tente de donne une estmaton de cette eeu en foncton de la dstance zénthale α à l ade d un modèle tès smple. étole On assmle pou smplfe l atmosphèe à une couche d ndce de éfacton unfome n > 1 et d épasseu h. n=1 D h θ h h φ R α n>1 R L étole est obsevée sous un angle α. L eeu que l on commet est D = θ φ. C est une dévaton. TERRE atmosphèe

8 D apès la lo de Descates, on a : sn θ = n sn φ D apès la lo de Bougue, on a : (R + h) sn θ = n R sn α d où D = θ - φ = ac sn[n R sn α / (R + h)] ac sn[r sn α / (R + h)] Dans cette fomule qu donne la dévaton D, h, R et n sont connus. C est donc une fomule gossèe qu donne la dévaton D en foncton de la dstance zénthale α d obsevaton. Sachant que n est vosn de 1 (n = ), on peut effectue un développement lmté de ac sn[n R sn α / (R + h)] au vosnage de ac sn[r sn α / (R + h)], et l on touve : D (n-1) R sn α / [(R + h)² - R² sn²α] 1/2 Et en supposant que h << R (ayon de la Tee), on obtent : D (n-1) sn α / [ 2h/R + cos²α] 1/2 Au zenth: α = 0 donne D = 0 et su l hozon, α = π/2 donne D = (n-1) [R/2h] 1/2 Numéquement avec n = , h = 10 km, R = 6380 km, on touve : α = 45, D = 0.02 ; α = 60, D = 0.03 ; α = 80, D = 0.09 ; α = 85, D = 0.16 ; α = 90, D = 0.31 ; on constate que la dévaton coît tès vte au vosnage de l hozon où elle attent une facton appécable de degé. Ans, losqu on vot le Solel se couche, l est déjà lagement passé deèe l hozon pusque son damète angulae est de 0.5. Le ayon vet et la éfacton dfféentelle Le ayon vet est pafos vsble au couche du Solel pendant envon 1 s. Il ésulte de la éfacton dfféentelle en foncton de la longueu d onde : l ndce de éfacton de l atmosphèe est plus élevé dans le vet que dans le ouge. Le ayon bleu n est pas vsble en ason de la dffuson Raylegh du bleu pa les molécules de l atmosphèe, qu est tès fote, en 1/λ 4. L ndce de éfacton de l atmosphèe est donné pa la lo : (n 1) 10 6 = ( / λ²) [1 / ( T )] (P / 760) λ longueu d onde en mcons (µ) T tempéatue en degés C P pesson en mm de mecue Losque l on va ves le bleu, n augmente donc. En pemèe appoxmaton, dn/dλ µ -1 dans le vsble ves 0.5 µ. Ente le jaune et le vet, la dstance spectale n est que de 0.05 mcons (0.53 µ pou le vet, 0.58 µ pou le jaune). On en dédut une vaaton d ndce de éfacton n 10-6 ente les deux couleus. De la dévaton à l hozon D = (n-1) [R/2h] 1/2, on en dédut pa dfféentaton su n :

9 D = n [R/2h] 1/2 Sot numéquement pou h = 10 km, R = 6380 km, D 5 secondes d ac de éfacton dfféentelle ente le jaune et le vet, au solel couchant. Sachant que le solel pacout 15 ac sec pa seconde de temps, le ayon vet ne duea qu une facton de seconde. Son épasseu est nféeue au pouvo sépaateu de l œl (envon 1 mnute de degé). 5 Les mages nféeus, supéeus, la «fata mogana» Le phénomène des mages, pou ête explqué, nécesste d analyse la lo de vaaton de l ndce de éfacton de l a en foncton de la tempéatue. Losque celle c augmente, l ndce de éfacton dmnue, à pesson constante : T = 0 C, n = ; T = 25 C, n = ; T = 50 C, n = Intutvement, le phénomène de mage se podut losqu l peut y avo éflexon totale su une couche d a plus chaude stuée au dessus (mage supéeu) ou au dessous (mage nféeu) de l obsevateu. La «fata mogana» est une combnason des deux mages. Le mage nféeu est couant en été su une oute suchauffée : deux mages appaassent, l une dote, et l aute envesée pa éflexon su la couche d a plus chaude stuée juste au dessus de la oute. L angle d ncdence mnmal m des ayons est donné pa la lo : n(couche fode) sn m = n(couche chaude) Pa exemple, sn m = donne m = 89.4 C dessous, l obsevateu vot l objet OA et son mage OA envesée. A O A Couche fode Couche chaude obsevateu Le mage supéeu se podut plutôt au dessus d un lac ou de la me (fods) sumontés pa une couche d a plus chaude d alttude h. L hozon, masqué nomalement pa la otondté de la tee, peut alos sug de manèe nsolte sous la fome d une mage dote. OH = R + h h est l épasseu d une couche d a fod d ndce n 1 sumontée n 2 < n 1 H pa une couche plus chaude h n 1 d ndce n 2 < n 1. h M L mage d un pont M 2 au P az du sol ou d un pont M 1 M 2 stué beaucoup plus lon α α à l alttude z semble poven R de M. On vot donc appaaîte en P un paysage masqué dans les O M 1 condtons nomales pa la otondté M 1 TERRE de la Tee. OM 2 = OP = R OM 1 = R + z

10 En H, la éflexon est totale s > m avec sn m = n 2 /n 1 < 1 O sn = R / (R+h) La éflexon se podut losque R / (R+h) > n 2 /n 1, sot s : h / R < n 1 /n 2-1 Penons pa exemple n 1 = (T = 0 C) et n 2 = (T = 25 C) ; on en dédut h < 190 m. Pou n 1 et n 2 donné, la condton de éflexon totale n est éalsée que s l alttude h de la couche chaude, d ndce plus pett, est nféeue à une hauteu ctque. Dans ce cas la dstance de vson au sol d un pont M 2 est égale à l ac PM 2 sot : d = 2R ac cos[r/(r+h)] et vaut 100 km avec les valeus numéques c dessus. Cette dstance est en théoe nulle en l absence de éflexon. La dstance de vson d un pont M 1 d alttude z (une montagne) est égale à l ac PM 1 sot : d = 2R ac cos[r/(r+h)] + R ac cos[r/(r+z)] et vaut pa exemple 210 km avec les valeus numéques c dessus pou un sommet de z = 1000 m d alttude. Cette dstance devent R ac cos[r/(r+z)] en l absence de éflexon, et dans note cas seat de110 km. Et pou fn, des ombes Ombe du Tede su l atmosphèe Ombe du Pc du Md au couche du Solel Des stes à vste : Atmosphec optcs : How ae gloes fomed?